第一章_系统辨识常用输入信号及古典辨识方法1(王)

3）工程上要便于实现，成本低。
辨识中常用的输入信号有白噪声或伪随机信号
4
2.1 谱密度与相关函数
1．帕塞瓦尔（Parseval）定理与功率谱
Parseval定理：确定性信号x(t)的总能量为：



x ( t ) dt
2
1 2



|| X ( j ) ||
2
d
5
2．维纳—辛钦关系式：
物理上是不存在的，常见的往往是有色噪声。
有色噪声的表示定理：设平稳噪声序列{e(k)}的谱密度
S e ( ) 是ω的实函数，则必定存在一个渐近稳定的线性环节
，使得在输入为白噪声序列的情况下，环节的输出是谱密度 S e ( ) 的平稳噪声序列{e(k)}。 为
白噪声 线性环节 (成形滤波器) {w(k)} H(z-1 ) 有色噪声
R w ( ) ( ) ，其中，
2
( )
为Dirac函数，即

( )
( )
∞，τ=0 0，τ≠0
2
且

( ) d 1
的傅立叶变换为1，
，频谱宽度无限。
8
S w ( )
2. 有色噪声
有色噪声是指每一时刻的噪声和另一时刻的噪声相关， 因而其谱密度也不再是常数。在工业生产实际中，白噪声在
plot(k,v,k,v,'r');
12
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Li1.m A=19;N=200;x0=37;f=2;M=512; for k=1:N x2=A*x0 x1=mod(x2,M) v1=x1/512 v(:,k)=(v1-0.5)*f x0=x1 v0=v1 end v2=v k1=k k=1:200; plot(k,v)
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-1
1
-1
1
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1 1
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1
-1
-1
1
1
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四位移位寄存器产生的序列周期不可能超过16，全 零初态导致全零序列 四位移位寄存器产生的序列最大周期只能是15 如果一个移位寄存器的输出序列周期达到最大，这 个序列称为最大长度二位式序列或M序列。 如果输出序列的周期比最大周期小，就不是M序列。 N级移位寄存器产生的序列的最大周期为N＝2n－1
N
当N很大时，白噪声或M序列可近似满足这一要 求；当N不大时，并非对所有的N都能找到这种
输入信号。
3
在具体工程应用中，选择输入信号时还应考虑 以下因素：
1）输入信号的功率和幅度不宜过大，以免使 系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信 噪比太小，直接影响辨识精度；
2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应 使正负向扰动机会几乎均等；
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移位寄存器：
移位寄存器由触发器串联而成，分别以0，1表示两种状态。 当移位脉冲来到时，每位的内容（0或1）移到下一位，最 后一位的内容就是输出。
为保持连续工作，将最后2级寄存器模2加后反馈到第1级的 输入端(M序列)。
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一个四级移位寄存器
若初始状态为（0000），则输出为全零序列 若初始状态为（1111），则寄存器内容： 1111 0111 0011 0001 1000 0100 0010 1001 1100 0110 1011 0101 1010 1101 1110 1111 输出序列为：111100010011010 1111… 周期为15
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2．M序列的性质
1) n级移位寄存器产生的序列的最大周期为N＝2n－1 2) M序列的一个周期中，“0”出现的次数为（N-1）/2 “1”出现的次数为（N+1）/2，当N较大时，0，1出现的 概率几乎是相等的。1/2. 3) M序列中某种状态连续出现的段称为游程。一个周期中有
2n-1个游程，游程长度为1~n，但出现的概率是随机的。其中 0的游程和1的游程各占一半
可以证明序列{i}为伪随机数序列，循环周期可达2k-2
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A=6; x0=1; M=255; f=2; N=100; %初始化； x0=1; M=255; for k=1: N %乘同余法递推100次； x2=A*x0; %分别用x2和x0表示xi+1和xi-1； x1=mod (x2,M); %取x2存储器的数除以M的余数放x1（xi）中； v1=x1/256; %将x1存储器中的数除以256得到小于1的随机数放v1中； v(:,k)=(v1-0.5 )*f; %将v1中的数（ ）减去0.5再乘以存储器f中的系数，存 放在矩阵存储器v的第k列中，v(:,k)表示行不变、列随递推循环次数变化； x0=x1; % xi-1= xi； v0=v1; end %递推100次结束； v2=v %该语句后无‘；’，实现矩阵存储器v中随机数放在v2中， 且可直接显示在MATLAB的window中； k1=k; %grapher %以下是绘图程序； k=1:k1;
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(0,1)均匀分布随机数的产生仿真举例 利用乘同余法，37选R＝2，A＝19，k=9,M=512,递推100次 调用random.m
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
v
0
10
20
30
40
50 k
60
70
80
90
100
15
16
产生（－1，1）均匀分布的白噪声
20
30
40
50 k
60
70
80
90
100
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2.3
伪随机序列
1. M序列的产生
伪随机序列是一种很好的辨识输入信号，它具有近似 白噪声的性质，不仅可以保证较好的辨识效果，而且工程 上又易于实现。 应用领域：通信、雷达、导航、密码学、声学、数字跟踪 系统、网络系统故障诊断等
M序列，二位式最大长度线性反馈移位寄存器序列，是伪 随机二位式序列最简单的一种，由带有线性反馈逻辑电路 的移位寄存器产生。
长度为1的游程有2n-2个，长度为2的游程有2n-3个，长度为3
的游程有2n-4个，以此类推，最后，长度为n的游程有1个。 27
4)移位可加性：
2个彼此移位等价的相异M序列，按位模2加后得到的和序列仍为 M序列 一个4级M序列 延迟7bit的序列 1111000100110101111… 0011010111100010011…
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（0，1）均匀分布的随机数的产生
在计算机上产生（0，1）均匀随机数的方法很多， 其中最简单、最方便的是数学方法。
乘同余法
先用递推同余式产生正整数序列{xi}
x i Ax i 1 (mod M )
Mod为取M的余数，M为2的方幂，即M＝2k，k为大于2的 整数，A取适中值，如3<A<10，初值x0取正奇数，如x0 ＝1。 下一个随机数是上一个随机数乘以A对M取余而得到的, xi 再令 i M
N 1 at 2 Nt N 1 at 2 Nt a N
自相关函数 R x ( ) （1） ＝0
第二章 系统辨识常用输入信号 及经典辨识方法
主讲人：王树彬
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合理选用辨识的输入信号是能否获得好的辨识结 果的关键之一。
为了使系统可辨识，输入信号必须满足一定的条 件。最低要求是在辨识时间内系统的动态必须被输入 信号持续激励。也就是说，在试验期间输入信号必须 充分激励系统的所有模态。
更进一步，输入信号的选择应能使给定问题的辨 识模型精度最高。
随机过程x(t)的谱密度 S x ( ) 与自相关函数 构成一组傅立叶变换对：
S x ( ) R x ( )
R x ( )
j



R x ( ) e
d
j
1 2



S x ( ) e
d
定义互谱密度为互相关函数的傅立叶变换：
S xy ( j ) R xy ( )
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X1=1;X2=0;X3=1;X4=0; %移位寄存器输入Xi初T态（0101）， Yi为移位 寄存器各级输出 m=60; %置M序列总长度 for i=1:m %1# Y4=X4; Y3=X3; Y2=X2; Y1=X1; X4=Y3; X3=Y2; X2=Y1; X1=xor(Y3,Y4); %异或运算 if Y4==0 U(i)=-1; else U(i)=Y4; end end M=U %绘图 i1=i k=1:1:i1; stem(k,U,'filled') xlabel('k') 23 ylabel('M序列') title('移位寄存器产生的M序列')
输出谱密度关系告诉我们：要充分激励系统，就要 使输入信号的频谱“宽”于系统频谱。
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2.2
白噪声
1. 白噪声 均值为0，谱密度为非0常数的平稳随机过程
无记忆性，即t时刻的数值与t时刻以前的过去值无关，也
不影响t时刻以后的将来值。从另一意义上说， 即不同时刻的随机信号互不相关。
定义：1. E(w) w 0 2.
{e(k)}
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3. 白噪声的产生及其MATLAB仿真
如何在计算机上产生统计上比较理想的各