系统辨识之经典辨识法
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开环与闭环控制系统辨识
热交换器闭环和开环辨识的模型误差分别为0.1392和 0.0189。闭环模型误差虽然比开环辨识大一些，但数 值仍然很小，因而两者都可以用于过程的动态控制。
实验结果表明，对系统进行闭环辨识，可以得到与 开环辨识相近的过程模型且不会引起过程输入输出 大的波动，也不会危及闭环系统的稳定性，因而是 最适宜于工业生产过程应用的闭环辨识实验调节。
结束语： 开环与闭环，作为自动控制中的两 大基本控制方式，广泛的运用于各种 行业，各种形式的自动控制中。而闭 环辨识，更是以其出色的控制效果， 为现代社会的发展做出了巨大的贡献。
参考资料：
《闭环系统的辨识》
《闭环辨识与开环辨识的比较及应用》
《闭环辨识与开环辨识的仿真比较》
谢谢观看！
特点
1、有反馈； 2、会调整； 3、被控量会被控制在一定的值——结果稳 定； 4、“结果”会影响“结果”； 5、给定量与被控量是可比较的同一种性质 的量。
系统辨识
辨识的定义 L. A. Zadeh曾给辨识下过这样的定义： “辨识就是在输入和输出数据的基础上，从 一组给定的模型类中，确定一个与所测系统 等价的模型。” 三要素： 输入输出数据（辨识的基础） 模型类（寻找模型的范围） 等价准则（辨识的优化目标）
按此实验条件进行了实验室规模热交换器的闭环辨 识，得到的过程模型，虽然比开环辨识模型稍大， 但足可以用于过程控制。 由于闭环辨识能确保生产过程的安全，使用工业仪 表即能获得具有足够精度的过程控制模型，离线计 算简便迅速，因此可以预见将会在工业生产过程中 得到广泛的应用，成为设计控制发难和控制算法的 方便工具。
ˆ z (k )
辨识算法
辨识的分类 离线辨识、在线辨识 非参数模型辨识、参数模型辨识 非参数模型辨识（经典辨识）：假定过程是线性 的前提下不必事先确定模型具体结构。阶跃响应、 脉冲响应、频率响应、相关分析、谱分析等 参数模型辨识（现代辨识）：必须假定一种模型 结构，通过极小化误差准则来确定模型参数。最小 二乘类法、梯度校正法、极大似然法等
系统辨识方法
系统辨识方学习总结一．系统辨识的定义关于系统辨识的定义，Zadeh是这样提出的：“系统辨识就是在输入和输出数据观测的基础上，在指定的一组模型类中确定一个与所测系统等价的模型”。
L.Ljung也给“辨识即是按规定准则在一类模型中选择一个与数据拟合得最好的模型。
出了一个定义：二．系统描述的数学模型按照系统分析的定义，数学模型可以分为时间域和频率域两种。
经典控制理论中微分方程和现代控制方法中的状态空间方程都是属于时域的范畴，离散模型中的差分方程和离散状态空间方程也如此。
一般在经典控制论中采用频域传递函数建模，而在现代控制论中则采用时域状态空间方程建模。
三．系统辨识的步骤与内容(1)先验知识与明确辨识目的这一步为执行辨识任务提供尽可能多的信息。
首先从各个方面尽量的了解待辨识的系统，例如系统飞工作过程，运行条件，噪声的强弱及其性质，支配系统行为的机理等。
对辨识目的的了解，常能提供模型类型、模型精度和辨识方法的约束。
(2)试验设计试验设计包括扰动信号的选择，采样方法和间隔的决定，采样区段（采样数据长度的设计）以及辨识方式（离线、在线及开环、闭环等的考虑）等。
主要涉及以下两个问题，扰动信号的选择和采样方法和采样间隔(3)模型结构的确定模型类型和结构的选定是决定建立数学模型质量的关键性的一步，与建模的目的，对所辨识系统的眼前知识的掌握程度密切相关。
为了讨论模型和类型和结构的选择，引入模型集合的概念，利用它来代替被识系统的所有可能的模型称为模型群。
所谓模型结构的选定，就是在指定的一类模型中，选择出具有一定结构参数的模型M。
在单输入单输出系统的情况下，系统模型结构就只是模型的阶次。
当具有一定阶次的模型的所有参数都确定时，就得到特定的系统模型M，这就是所需要的数学模型。
(4)模型参数的估计参数模型的类型和结构选定以后，下一步是对模型中的未知参数进行估计，这个阶段就称为模型参数估计。
(5)模型的验证一个系统的模型被识别出来以后，是否可以接受和利用，它在多大程度上反映出被识别系统的特性，这是必须经过验证的。
系统辨识经典辨识方法
经典辨识方法报告1. 面积法辨识原理分子多项式为1的系统 11)(111++++=--s a sa s a s G n n nn Λ……………………………………………（）由于系统的传递函数与微分方程存在着一一对应的关系，因此，可以通过求取微分方程的系数来辨识系统的传递函数。
在求得系统的放大倍数K 后，要先得到无因次阶跃响应y(t)（设τ=0）。
大多数自衡的工业过程对象的y(t)可以用下式描述来近似1)()()()(a 111=++++--t y dtt dy a dt t y d a dt t y d n n n nK ……………………………（） 面积法原则上可以求出n 为任意阶的各系数。
以n=3为例，注意到1|)(,0|)(d |)(d |)(d 23====∞→∞→∞→∞→t t t t t y dtt y dt t y dt t y …………………………（） 将式（）的y(t)项移至右边，在[0，t]上积分，得⎰-=++t dt t y t y a dtt dy a dt t y d a 01223)](1[)()()(…………………………………（） 定义⎰-=tdt t y t F 01)](1[)(……………………………………………………………（）则由式（）给出的条件可知，在t →∞⎰∞-=01)](1[a dt t y ……………………………………………………………（）将式a 1y(t)移到等式右边，定义 )()]()([)()(a 201123t F dt t y a t F t y a dtt dy t =-=+⎰…………………………………（）利用初始条件（）当t →∞时)(a 22∞=F …………………………………………………………………… （）同理有a 3=F 3(∞)以此类推，若n ≥2，有a n =F n (∞)分子、分母分别为m 阶和n 阶多项式的系统当传递函数的形式如下所示时111111)()(11)(u h K m n s a s a s a s b s b s b K s G n n n n m m m m ∞=≥++++++++=----ΛΛ…………………………………定义∑∞=----+=++++++++==1111111111)()(1)(i ii m m m m n n nn s c s b s b s b s a s a s a s P s P Ks G ΛΛ………………………………由于⎰∞--=-0**)](1[)](1[dte t h t h L st …………………………………………则)](1[*t h -的Laplace 变换为： ∑∑∞=∞=-+=-=-111*1)(11)](1[i iii i i s C sC s sP s t h L ……………………………………定义一阶面积1A 为：11110011lim )](*1[lim )](*1[c sC sC t h L dt t h A i ii i i i s s =+=-=-=∑∑⎰∞=∞=-→∞→………令 )1(1)]([1*1s c s t h L +=……………………………………………………………定义二阶面积为：2122**0012)1)(1()]()([limc s c s c sc dtd h h A i i i i i i is t=++=-=∑∑⎰⎰∞=∞=-→∞τττ…同理，令 )...1(1)]([11221*1---++++=i i i s c s c s c s t h L ……………………………………定义i 阶面积为i i c A =。
系统辨识基础--经典辨识方法
其中
Lh i 1t s1c1 sc2s2 1 ci 1 si 1
h
9
进一步利用下式
e s t 1 s ts2 t2 si ti
1 ! 2 !
i!
可得 得
L1h*t 1h*testdt Misi
0
i0
Mi
0
1h*t
ti
i!
dt
1Aisi1Misi11
i1 i0
a4 4 4.1207
b1 7.5 7.50402
b2 17.5 17.5233
h
15
4.3 脉冲响应法
ut
yt
1 ut
过 程 yt
0
t
0
t
gk1hkhk1
T0
h
16
ut
过程
yt
gt,0
模型参数 调整机构
~yt +
-
模型
gt,
图4.6 “学习法”原理
h
17
由脉冲响应求过程的传递函数-一阶过程
条件
增益K
a1
噪声 情况
无测量噪 声
有测量噪 声（方差 为0.01）
采样时间 4秒 1.5秒
1.5秒
数据长度 12 30
30
1.0 0.999984 0.999965
1.00204
10.0 11.7097 10.2171
11.5776
a2
6.5 6.52053 6.49897
6.47451
参数
真值 估 计 值
h
14
例 4.2
G s4s41 1s.5 5 3 7s 21 .7 5 7 .s 52 s 7 1.5s1
现代控制理论第13章线性系统的经典辨识方法
2
第一节 脉冲响应的确定方法――相关法
1
伪随机测试信号是六十年代发展起来的一种用于系统辨识的测试信号，这咱信号的抗干扰性能强；为获得同样的信号量，对系统正常运行的干扰程度比其他测试信号低。目前已有用来做这种试验的专用设备。如果系统设备有数字计算机在线工作，伪随机测试信号可用计算机产生。实践证明，这是一种很有效的方法，特别对过渡过程时间长的系统，优点更为突出。
1
(13-2)
2
设 ，则
或
(13-3)
根据维纳－霍夫方程可得 如果输入 是白噪声，则可很容易求脉冲响应函数 。这时 的自相关函数为
01
03
02
这说明，对于白噪声输入， 与 只差一个常数倍。这样，只要记录 与 之值，并计算它们的互相关函数 ，可立即求得脉冲响应函数 。用白噪声辨识系统的模型方块图如图13-2所示。
概率性质2：在序列中总的游程个数平均为 个，1的游程与-1的游程大约各占一半。即大约为个 （N为奇数，表示序列的个数）。
概率性质1：在序列中1出现的次数与-1出现的次数几乎相等。
概率性质3：对于离散二位式无穷随机序列 ，它的相关函数为
01
被辨识系统的数学模型，可以分成参数和非参数模型两类。
02
参数模型 是由传递函数、微分方程或差分方程表示的数学模型。如果这些模型的阶和系数都是已知的，则数学模型是确定的。采用理论推导的方法得到的数学模型一定是参数模型。建立系统模型的工作，就是在一定的模型结构条件下，确定它的各个参数。因此，系统辨识的任务就是选定一个与实际系统相接近的数学模型，选定模型的阶，然后根据输入和输出数据，用最好的估计方法确定模型中的参数。
3
1
(13-8)
3
2
系统辨识课件方崇智
e
ˆ (假设的数学关系) f
系统的 实际输 出
(1)数学模型
• 数学模型和真实系统的区别
不可测干扰 可测 输入
u, d , f z
可测 输出
可测 输入
e
综合误差
ˆ (假设的数学关系) f
ˆ , e拟合u, z关系 u, z f
可测 输出
(1)数学模型
• 数学模型的两类形式及其用途
可测 输入
第6章 模型阶次辨识 内 容：Hankel矩阵法、F-Test定阶法。
第7章 系统辨识在实际中注意的问题
参考书：
1.方崇智、萧德云编著，《过程辨识》，清华大学出版社，北京 2.李言俊，张科编著，《系统辨识理论及应用》，国防工业出版社，北京 3.蔡季冰编著，《系统辨识》，北京理工大学出版社，北京
预修课程：自动控制原理，概率统计与随机过程
e
综合误差
可测 输出 •系统分析 •系统设计
ˆ (假设的数学关系) f
ˆ f
•预测(预测控制) •性能监测与故障诊断 •仿真
ˆ z
•在线估计和软测量 •模型评价与系统辨识
(1)数学模型
• 数学模型的近似性和外特性等价
u u
d f
e ˆ f u
z
近似性
ˆ f
ˆ z
d
u u
从黑箱角度出 发,外特性等价 (统计意义)
(1)设计辨识实验，获取实验数据
数据集是辨识的三要素之一
min J fˆ , K ( z (1)
z ( L), u(1)
u( L), )
数据集性质→影响辨识结果，u →数据集，因 此要设计辨识实验(重点设计u)
(1)设计辨识实验，获取实验数据
系统辨识的经典方法
⎧T
⎨⎩τ
= 2(t2 − t1) = 2t1 − t2
对于以上结果，也可在
⎧⎪⎨tt34
≤τ,
= 0.8T
+τ
,
⎪⎩t5 = 2T +τ ,
y(t3 ) = 0 y(t4 ) = 0.55 y(t5 ) = 0.87
这几点上对实际曲线的拟合精度进行检验。
系统辨识的经典方法
频率响应法
频率响应法－1
; 阶跃响应法辨识原理
¾ 在系统上施加一个阶跃扰动信号，并测定出对象的响应随时间 而变化的曲线，然后根据该响应曲线，通过图解法而不是通过 寻求其解析公式的方法来求出系统的传递函数，这就是阶跃响 应法系统辨识。
¾ 如果系统不含积分环节，则在阶跃输入下，系统的输出将渐进 于一新的稳定状态，称系统具有自平衡特性，或自衡对象。
+ b1s + a1s
+ +
b0 a0
,
n>m
¾ 对应的频率特性可写成：
G(
jω)
=
bm ( an (
jω)m +" + b2 ( jω)2 + b1( jω)n +" + a2 ( jω)2 + a1(
jω) + b0 jω) + a0
=
(b0 − b2ω 2 (a0 − a2ω 2
+ b4ω 4 + a4ω 4
系统辨识的经典方法
肖志云
内蒙古工业大学信息工程学院自动化系
系统辨识的经典方法
1
引言
2
阶跃响应法
3
频率响应法
4
相关分析法
系统辨识课件-经典的辨识方法
ˆ (t ) Ru (t )dt Ruz ( ) g
0
此为辨识过程脉冲响应的理论依据
2 Ru ( ) u ( ) 白噪声输入时 ˆ 1 g ( ) Ruz ( ) 2 u
4.5.2 用M序列作输入信号的离散算法
第4章 经典的辨识方法
4.1 引言 ● 辨识方法的分类 ▲ 经典的辨识方法 (Classical Identification) ：首先获得系统的非参数模型（频 率响应，脉冲响应，阶跃响应），通过特定方法，将非参数模型转化成参数 模型 （传递函数）。 ① 阶跃响应辨识方法 (Step Response Identification) ② 脉冲响应辨识方法 (Impulse Response Identification) ③ 频率响应辨识方法 (Frequency Response Identification) ④ 相关分析辨识方法 (Correlation Analysis Identification) ⑤ 谱分析辨识方法 (Spectral Analysis Identification) ▲ 现代的辨识方法 (Modern Identification)：假定一种模型结构，通过模型与过 程之间的误差准则来确定模型的结构参数）。 ① 最小二乘类辨识方法 (Least Square Identification) ② 梯度校正辨识方法 (Gradient Correction Identification) ③概率逼近辨识方法(Probability Approximation Identification) 经典的辨识方法 1）首先得到系统的非参数模型； 2）由非参数模型转换成参数模型。
K 1 lim h1 (t )
hr (t ) [ K r 1 hr 1 ( )]d
系统辨识综述
系统辨识课程综述作者姓名：王瑶专业名称：控制工程班级：研硕15-8班系统辨识课程综述摘要系统辨识是研究建立系统数学模型的理论与方法。
虽然数学建模有很长的研究历史，但是形成系统辨识学科的历史才几十年在这短斩的几十年里，系统辨识得到了充足的发展，一些新的辨识方法相继问世，其理论与应用成果覆盖了自然科学和社会科学的各个领域。
而人工神经网络的系统辨识方法的应用也越来越多，遍及各个领域。
本文简单介绍了系统辨识的基本原理，系统辨识的一些经典方法以及现代的系统辨识方法，其中着重介绍了基于神经网络的系统辨识方法：首先对神经网络系统便是方法与经典辨识法进行对比，显示出其优越性，然后再通过对改进后的算法具体加以说明，最后展望了神经网络系统辨识法的发展方向。
关键字：系统辨识；神经网络；辨识方法0引言辨识、状态估计和控制理论是现代控制理论三个相互渗透的领域。
辨识和状态估计离不开控制理论的支持，控制理论的应用又几乎不能没有辨识和状态估计技术。
随着控制过程复杂性的提高，控制理论的应用日益广泛，但其实际应用不能脱离被控对象的数学模型。
然而在大多数情况下，被控对象的数学模型是不知道的，或者在正常运行期间模型的参数可能发生变化，因此利用控制理论去解决实际问题时，首先需要建立被控对象的数学模型。
所以说系统辨识是自动化控制的一门基础学科。
图1.1 系统辨识、控制理论与状态估计三者之间的关系随着社会的进步 ,越来越多的实际系统变成了具有不确定性的复杂系统 ,经典的系统辨识方法在这些系统中应用 ,体现出以下的不足 :(1) 在某些动态系统中 ,系统的输入常常无法保证 ,但是最小二乘法的系统辨识法一般要求输入信号已知，且变化较丰富。
(2) 在线性系统中，传统的系统辨识方法比在非线性系统辨识效果要好。
(3) 不能同时确定系统的结构与参数和往往得不到全局最优解，是传统辨识方法普遍存在的两个缺点。
1系统辨识理论综述1.1系统辨识的基本原理根据L.A.Zadel的系统辨识的定义:系统辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。
系统辨识原理及其应用(第二章)
系统辨识原理及其应用
韩 华 中南大学信息院
第2章 传递函数的辨识
经典的传递函数辨识方法可以分为时域法和频率域法 两种。
2.1传递函数辨识的时域法
2.1.1一阶惯性滞后环节的辨识 2.1.2二阶自衡对象的辨识 2.1.3二阶欠阻尼自衡对象的辨识 2.1.4高阶自衡对象的辨识 2.1.5自衡等容对象的辨识 2.1.6无自衡对象的辨识 2.1.7面积法
2.1传递函数辨识的时域法
传递函数辨识的时域法包括阶跃响应法、脉冲响 应法和矩形脉冲响应法等，其中以阶跃响应法最 为常用。阶跃响应法利用阶跃响应曲线对系统传 递函数进行辨识，阶跃响应曲线即输入量作阶跃 变化时，系统输出的变化曲线。在工业工程控制 系统的辨识中，阶跃响应曲线又常被称为飞升曲 线或系统的飞升特性。如果系统不含有积分环节 ，那么阶跃输入下，系统的输出将渐进于一新的 稳定状态，称系统具有自平衡特性，或称为自衡 对象。否则，系统 称为无自衡对象，输出无限地 扩大或减小，说明系统至少有一个纯积分环节。
用阶跃响应辨识的传递函数有以下几种形式：
Ke −τ s G(s) = Ts + 1 Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1) Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3s + 1) Ke −τ s G(s) = (Ts + 1) n Ke −τ s G(s) = s(T1s + 1) n (1) (2) (3) (4)
ln y (t ) − 1 − Ae
− t T1
= ln B − t T2
− t T1
(26)
采用同样的方法可得到 B 和 T2 。y (t ) − 1 − Ae 同理可得 C 和 T3 。 最后:
韩 华 中南大学信息院
第2章 传递函数的辨识
经典的传递函数辨识方法可以分为时域法和频率域法 两种。
2.1传递函数辨识的时域法
2.1.1一阶惯性滞后环节的辨识 2.1.2二阶自衡对象的辨识 2.1.3二阶欠阻尼自衡对象的辨识 2.1.4高阶自衡对象的辨识 2.1.5自衡等容对象的辨识 2.1.6无自衡对象的辨识 2.1.7面积法
2.1传递函数辨识的时域法
传递函数辨识的时域法包括阶跃响应法、脉冲响 应法和矩形脉冲响应法等，其中以阶跃响应法最 为常用。阶跃响应法利用阶跃响应曲线对系统传 递函数进行辨识，阶跃响应曲线即输入量作阶跃 变化时，系统输出的变化曲线。在工业工程控制 系统的辨识中，阶跃响应曲线又常被称为飞升曲 线或系统的飞升特性。如果系统不含有积分环节 ，那么阶跃输入下，系统的输出将渐进于一新的 稳定状态，称系统具有自平衡特性，或称为自衡 对象。否则，系统 称为无自衡对象，输出无限地 扩大或减小，说明系统至少有一个纯积分环节。
用阶跃响应辨识的传递函数有以下几种形式：
Ke −τ s G(s) = Ts + 1 Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1) Ke −τ s G(s) = (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3s + 1) Ke −τ s G(s) = (Ts + 1) n Ke −τ s G(s) = s(T1s + 1) n (1) (2) (3) (4)
ln y (t ) − 1 − Ae
− t T1
= ln B − t T2
− t T1
(26)
采用同样的方法可得到 B 和 T2 。y (t ) − 1 − Ae 同理可得 C 和 T3 。 最后:
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- --系统辨识作业一学院信息科学与工程学院专业控制科学与工程班级控制二班姓名学号2018 年 11 月系统辨识所谓辨识就是通过测取研究对象在认为输入作用的输出响应，或正常运行时的输入输出数据记录，加以必要的数据处理和数学计算，估计出对象的数学模型。
辨识的内容主要包括四个方面：①实验设计；②模型结构辨识；③模型参数辨识；④模型检验。
辨识的一般步骤：根据辨识目的，利用先验知识，初步确定模型结构；采集数据；然后进行模型参数和结构辨识；最终验证获得的最终模型。
根据辨识方法所涉及的模型形式来说，辨识方法可以分为两类：一类是非参数模型辨识方法，另一类是参数模型辨识方法。
其中，非参数模型辨识方法又称为经典的辨识方法，它主要获得的是模型是非参数模型。
在假定过程是线性的前提下，不必事先确定模型的具体结构，广泛适用于一些复杂的过程。
经典辨识方法有很多，其中包括阶跃响应法、脉冲响应法、相关分析法和普分析法等等，本次实验所采用的辨识方法为阶跃响应法和脉冲响应法。
1．阶跃响应法阶跃响应法是一种常用非参数模型辨识方法。
常用的方法有近似法、半对数法、切线法、两点法和面积法等。
本次作业采用面积法求传递函数。
1.1面积法①当系统的传递函数无零点时，即系统传递函数如下：G(S) = a a a a+a a−1a a1−1+⋯+a1a+1(1-1) 系统的传递函数与微分方程存在着一一对应的关系，因此，可以通过求取微分方程的系数来辨识系统的传递函数。
在求得系统的放大倍数K后，要得到无因次阶跃响应y(t)(设τ=0)，其中y(t)用下式描述：a a a(a)a−1(a)a a aa aa aa (1-2) 面积法原则上可以求出n为任意阶的个系数。
以n为3为例。
有：a3a(a) a2a(a) aa(a){aa|a→∞ =aa|a→∞ =aa|a→∞ = 0 (1-3)a(a)|a→∞ = 1将式（1）中的y(t)移至右边，在[0，t]上积分，得a2a(a)a3 aa aa (1-4) 定义：a1(a) = ∫0a[1 − a(a)]aa (1-5) 由式（1-3）条件可知，当t→∞时，a aa (1-6)同理，定义a2aa (1-7)由式（1-,3）条件可知，当t→∞时，a aa (1-8)因此，可得a a(a) = ∫0a[a a−1(a) − a a−1a(a)] dt (1-9)a a= a a(∞) (1-10)②当系统的传递函数存在零点时，传递函数如下：G（s）=kb s mmn +ba s mn-1-1s mn-1-1 ++LL ++a sbs11 +1+1，（n m）（1-11）a s n +其中，K h= ( ) / U0定义1G(s)=KP(s)其中，P(s) = b sa s n mn ++ba s mn-1-1s mn-1-1++LL ++a sbs11 +1+1 = +1 i=1 C s i i（1-12）m根据[1−h*(t)]的Laplace变换，求出一阶面积A1，确定L[h（*1 t ]），并定义二阶面积A2 ，以此类推，得到i 阶面积A i 。
进一步利用e−st 拉氏变换，得到L[1−h*（t ]）=M s i i ，进而得到A i 的值：i=0A i = 01−h*(t) (i 1)!−−t)i−1dt +tj−=20 A i−−j 101−h*(t)(−j!t) j dt（1-13） (根据A C i = i ，可得：a a a a+ a a−1a a−1 + ⋯ + a1a + 1= (a a a a+ a a−1a a−1 + ⋯ + a1a + 1)(1 + ∑∞a=1 a a a a)。
比较上式两边s的各次幂，便可得到a, b, A之间的关系，如下：b1 A n A n−1 L A n m− +1−1 A n+1b2 A n+1 A n L A n m− +2A n+2 =−M L L L L Mb m A n m+ −1 A n m+ −2 L A n A n m+b1a1110 LL 0 00 0b M2 +AA12（1-14）a2 = A1M L L L L L Mb m A na n A n−1 A n−2 L A1 10由此可知，根据式(1-12)、(1-13)、(1-14)便可得到辨识传递函数的参数a, b。
1.2实验过程1.2.1无零点模型系统假设系统的传递函数模型为G(s) = 2 1 ,为无零点的模型，利用10a+6.5a+1Matlab 编程，分别在没有噪声和有噪声两种情况下进行辨识，比较辨识结果。
1.没有噪声时，程序如下：clear;%==================获得原传递函数方程=======================% num=[1]; den=[10 6.5 1];%=====================产生阶跃采样序列======================% T=0.2; %采样周期t=0:T:30; %采样时间 L=length(t); %数据长度h=step(num,den,t); %原传递函数的阶跃响应K=h(L) %系统增益%======================面积法求解参数======================% s1=0; for i=1:L s1=s1+(1-h(i))*T;F(i)=s1; end a1=s1; s2=0;for i=1:L s2=s2+(F(i)-a1*h(i))*T; end a2=s2;num1=[1]; den1=[a2 a1 1];disp('原传递函数为:')G1=tf(num,den)disp('通过辨识得到的传递函数为：')G2=tf(num1,den1)%=============原传递函数和辨识函数的阶跃响应对比图=============% step(G1,'b-',G2,'r-.')title('原系统与辨识后所得到系统阶跃响应对比') legend('原响应曲线','辨识响应曲线') （1）当采样周期T=0.2秒，采样时间t=30s时，行程序后得到原传递函数G1和辨识得到的传递函数G2如图1.1：图1.1原系统和辨识后系统的阶跃响应对比图如下：图1.2（2）当采样周期T=0.2秒，采样时间t=50s时，行程序后得到原传递函数G1和辨识得到的传递函数G2如下：图1.3原系统和辨识后系统的阶跃响应对比图如下：（3）当采样周期T=0.02秒，采样时间t=50s时，行程序后得到原传递函数G1 和辨识得到的传递函数G2如下：图1.5原系统和辨识后系统的阶跃响应对比图如下：2.有噪声的情况下，系统程序如下：主程序还是用面积法，在程序中添加以下代码：%产生期望为0，方差为0.01的噪声figure(1) w=randn(1,L); % 建立服从正态分布的随机矩阵。
w=w/std(w);w=w-mean(w);qw=0;fc=0.01;w=qw+sqrt(fc)*w;%=====================阶跃采样序列中加入白噪声==================% h=h+w; plot(t,w);（1）加入的噪声如下图所示：图1.7（2）当采样周期T=0.02s,采样时间t=50s时，辨识结果如下：图1.8原系统与辨识系统阶跃响应如图所示：结合上述无测量噪声和有测量噪声两种情况下的辨识结果，列出如下所示的表格：表1-1噪声情况条件增益a1 a2 参数采样时间数据长度 1.0 10 6.5 真值无测量噪声0.2 30 0.9985 11.43 6.594 估计值0.2 50 1.0000 11.31 6.60.02 50 1.0000 10.13 6.51有测量噪(方差为0.01)0.02 50 1 7.784 6.709分析：通过对比不同的采样周期和不同的采样时间在无测量噪声情况的辨识结果可知，在相同的采样周期下，适当的增加采样时间，可以提高辨识精度，尤其是对增益的提高有很大影响；而在相同的采样时间下，适当的减小采样时间，对于系统参数的辨识精度有很大的提高。
因此，可以发现合理采样时间和数据长度，可以提高辨识的精度，令辨识后的传递函数系数与原传递函数系数更接近，差距小，从而得到满意的辨识结果。
通过对比无测量噪声和有测量噪声两种情况下的辨识结果，我们可以发现在白噪声的情况下，曲线拟合较无噪声情况下要差，说明白噪声对于面积法辨识系统存在较大的干扰，会对辨识结果产生一定的影响。
1.2.2有零点模型系统17.5a2+7.5a+1 假设系统的传递函数为G(s) = 4a3+5a2+8a+1,为有零点的模型，其中n=3,m=2, 用面积法需要求解a1~a5，利用Matlab 编程，分别在没有噪声和有噪声两种情况下进行辨识，比较辨识结果。
（1）没有噪声时，程序如下：clear;%==================获得原传递函数方程=======================% num=[17.5 7.5 1]; den=[4 5 81];%=====================产生阶跃采样序列======================% T=0.02; %采样周期t=0:T:100; %采样时间 L=length(t); %数据长度y=step(num,den,t); k=y(L) %系统增益%======================面积法求解参数======================% sum1=0; for i=1:L-1;sum1=sum1+(1-(y(i)+y(i+1))/2)*T;A(i)=sum1; end A1=sum1 sum2=0; fori=1:L-1;sum2=sum2+(A(i)-A1*(y(i)+y(i+1))/2)*T;B(i)=sum2; end A2=sum2 sum3=0; for i=1:L-1;sum3=sum3+(B(i)-A2*(y(i)+y(i+1))/2)*T;C(i)=sum3; end A3=sum3 sum4=0;for i=1:L-1;sum4=sum4+(C(i)-A3*(y(i)+y(i+1))/2)*T;D(i)=sum4; end A4=sum4 sum5=0; for i=1:L-1;sum5=sum5+(D(i)-A4*(y(i)+y(i+1))/2)*T; endA5=sum5%==============根据所得A(i)，利用公式求取a、b=================%M=(-1)*(inv([A3,A2;A4,A3]))*[A4;A5];b1=M(1,1); b2=M(2,1);N=[1 0 0;A1 1 0;A2 A1 1]*[b1;b2;0]+[A1;A2;A3];a1=N(1,1); a2=N(2,1); a3=N(3,1);%================根据所求a、b，得到辨识后传递函数==============% num1=[b2 b1 1]; den1=[a3 a2 a1 1];disp('原传递函数为:')G1=tf(num,den)disp('通过辨识得到的传递函数为：')G2=tf(num1,den1)%=============原传递函数和辨识函数的阶跃响应对比图=============%step(G1,'b-',G2,'r-.')title('原系统与辨识后所得到系统阶跃响应对比') legend('原响应曲线','辨识响应曲线') 当采样时间取0.02秒，数据长度为100时，辨识结果如下：图1.10原系统与辨识后的系统阶跃响应对比图：当采样时间为0.02，数据长度为400时，系统辨识结果如下：图1-12原系统与辨识后的系统阶跃响应对比图：图1-13当采样时间为0.2秒，数据长度为400时，系统辨识结果如下：图1-14 原系统与辨识后的系统阶跃响应对比图：综上所述，结果如表表1-2条件增益 a 3 a 2 a 1 b 2 b 1 参数采样时间数据长度 1.0000 4 5 8 17.5 7.5 真值0.02 100 1.0000 3.559 5.224 8.051 17.71 7.515估计值0.02 400 1.0000 4.016 4.914 7.979 17.42 7.4790. 2 400 1.0000 4.129 4.168 7.792 16.61 7.278分析：通过对比不同的采样周期和不同的采样时间在无测量噪声情况的辨识结果可知，对于存在有零点的系统来说，通过面积法辨识系统必须合理的选择分子分母的阶次，否则不能得出正确的辨识结果。