2013年朝阳区高三二模数学(理科)试题及参考答案

2013年北京市朝阳区高三第二学期二模文科数学试题北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类） 2013.５（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合{}0,1,3M =，{}3,N x x a a M ==∈，则MN=A.{}0B.{}0,3{}1,3,9 D. {}0,1,3,9（2）已知p ：(1)(2)0x x --≤，q ：2log (1)1x +≥，则p 是q 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（3）函数()sin()4f x x π=-（x ∈R ）的图象的一条对称轴方程是 A ．x = B.π4x =-C.π4x =D ．π2x =（4）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是A. 6n >?B. 7n ≥?C. 8n >?D. 9n >？（5）若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与抛物线22y x=+相切，则此双曲线的离心率等于A ． 2B ．3 C． D ．9（6）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是A ． 12πB ． 6πC ．112π- D ．16π-D ．①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）i 为虚数单位，计算3i1i+=+ ． （10）已知向量(2,1),(3,)x ==a b ，若(2)-⊥a b b ，则x 的值为 . （11）已知等差数列{}na 的公差为2-，3a 是1a 与4a 的等比中项，则首项=1a _,前n 项和=nS __.（12）若直线l 与圆22(1)4xy ++=相交于A ,B 两点，且线段AB的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的方程为 .（13）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨(x 为600的约数)，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨． （14）数列{21}n -的前n项1,3,7,,21n -组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ，从集合nA 中任取k (1,2,3,,)k n =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为kT （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12nnST T T =+++．例如当1n =时，1{1}A =，11T =，11S=；当2n =时，2{1,3}A=，113T =+，213T =⨯，213137S=++⨯=.则当3n =时，3S = ；试写出nS = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分） 在ABC∆中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，且()f A =2cossin()22A A π-22sin cos 22A A+-.（Ⅰ）求函数()f A 的最大值；（Ⅱ）若()0,,12f A C a 5π===b 的值．（16）（本小题满分13分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间． （Ⅰ）求实数a 的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽 取的2名学生来自不同组的概率．（17）（本小题满分14分）频率分布如图，已知四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，PDEA，22AD PD EA ===，F ,G ,H 分别为BP ,BE ,PC 的中点.（Ⅰ）求证：FG 平面PDE ； （Ⅱ）求证：平面FGH ⊥平面AEB ；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ,使PB ⊥平面EFM ？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由.（18） （本小题满分13分）已知函数()axf x a x =++21，()ln g x a x x =-（0a ≠）.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：当0a >时，对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <成立.BD CFGHAE P（19） （本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过焦点F 斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D . 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知实数12,,,nx x x （n *∈N 且2n ≥）满足||1ix ≤ ()1,2,,i n =⋅⋅⋅，记121(,,,)n i ji j nS x x x x x ≤<≤=∑.（Ⅰ）求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值； （Ⅱ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值；（Ⅲ）当n 为奇数时，求12(,,,)n S x x x 的最小值．注：1i ji j nx x ≤<≤∑表示12,,,nx x x 中任意两个数ix ,jx （1i j n ≤<≤）的乘积之和.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2013.5一、选择题：二、填空题：（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）（Ⅰ）22()2cos sin sincos 2222A A A A f A =+-sin cos )4A A A π=-=-.因为0A <<π，所以444A ππ3π-<-<. 则所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A 取得最大值，且最.……7分 （Ⅱ）由题意知())04f A A π=-=，所以sin()04A π-=．又知444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，则4A π=. 因为12C 5π=，所以712A B π+=，则3B π=. 由sin sin a bA B=得，sin sin 33sin sin 4a Bb Aπ===π． ……………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知(0.20.150.0750.025)21a ++++⨯=，解得0.05a =.人． ……………………4分（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为(0.150.05)20.4+⨯=，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4． ……………………7分（Ⅲ）设事件A ：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在[)2,4有2人，记为,a b ；在[)4,6有6人，记为,,,,,A B C D E F ． 从这8人中随机抽取2人有,,,,,,,,,,,,ab aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF，,,,,,,,,,,,,,,AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF 共28种情况． 事件A 包括,,,,,,,,,,,aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF 共12种情况． 所以123()287P A ==．答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为37． ……………………………13分 （17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为F ,G 分别为PB ，BE的中点，所以FGPE.又因为FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ， 所以FG 平面PED . ……………4分 （Ⅱ）因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA CB ⊥.又因为CB AB ⊥，AB AE A=，所以CB ⊥平面ABE . 由已知F ,H 分别为线段PB ,PC 的中点，所以FHBC.则FH ⊥平面ABE . 而FH ⊂平面FGH ， 所以平面FGH ⊥平面ABE. (9)分（Ⅲ）在线段PC 上存在一点M ，使PB ⊥平面EFM .证明如下： 在直角三角形AEB 中，因为1AE =,2AB =,所以BE =.E BDCPF GH M在直角梯形EADP 中，因为1AE =，2AD PD ==,所以PE = 所以PE BE =.又因为F 为PB 的中点，所以EF PB ⊥. 要使PB ⊥平面EFM ，只需使PB FM ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD CB ⊥，又因为CB CD ⊥，PD CD D=,所以CB ⊥平面PCD ，而PC ⊂平面PCD ，所以CB PC ⊥.若PB FM ⊥，则PFM ∆∽PCB ∆,可得PM PF PB PC=. 由已知可求得PB =，PF =，PC =，所以PM =.……14分（18）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()a x a x x f x x x --+'==++2222211111.当a >0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：当a <0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：综上所述，当a >0时，()f x 的单调递增区间为(,)-11，单调递减区间为(,)-∞-1，(,)+∞1；当a <0时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞-1，(,)+∞1，单调递减区间为(,)-11.……………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a >时，()f x 在(,)01上单调递增，()(0)f x f >；()f x 在(,e]1上单调递减，且2e(e)e 1a f a a =+>+. 所以(0,e]x ∈时，()f x >a . 因为()ln g x a x x=-，所以()1a g x x'=-，令()0g x '=，得x a =.①当0e a <<时，由()0g x >'，得0x a <<；由()0g x <'，得x a >， 所以函数()g x 在(0,)a 上单调递增，在(,e]a 上单调递减. 所以max()()ln g x g a a a a==-.因为(ln )(2ln )(2ln e)0a a a a a a a a --=->-=>， 所以对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <.②当e a ≥时，()0g x '≥在(0,e]上恒成立， 所以函数()g x 在(0,e]上单调递增，max()(e)e <g x g a a==-.所以对于任意(]12,0,e x x ∈，仍有12()()g x f x <.综上所述，对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <. …………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-.由121FA FA ⋅=-，解得22a=，所以21b=.所以椭圆C的方程为2212x y +=. (4)分（Ⅱ）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为0(,)M x y ， 则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，202221k x k =+，0221k yk -=+，所以2222(,)2121k k M k k -++.直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++，令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02ED x x x +=，02ED yy y +=.所以22232(,)2121k k E k k -++.若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121k kk k -+=++.整理得42k=，解得2k=所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.此时点E 到y 的距离为………………………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得222(1,1,)11333S --=-+-=-． (1,1,1,1)1111112S --=----+=-． ………………………3分 （Ⅱ）3n =时，12312132313(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤===++∑．固定23,x x ，仅让1x 变动，那么S 是1x 的一次函数或常函数，因此2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-．同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-．2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值1±的123,,x x x 所达到，于是12311,2,3min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥．当1kx=±（1,2,3k =）时，22221231231[()()]2S x x x x x x =++-++ 212313()22x x x =++-．因为123||1x xx ++≥，所以13122S ≥-=-，且当121x x ==，31x=-，时1S =-，因此min 1S =-． ……………………………………………7分 （Ⅲ）121(,,,)n i ji j nS S x x x x x ≤<≤==∑121312321n n n nx xx x x x x x x x x x -=++++++++.固定23,,,nx x x ，仅让1x 变动，那么S 是1x 的一次函数或常函数，因此2323min{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥-．同理2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥-．2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值1±的12,,,nx x x 所达到，于是1211,2,,min {(,,,)}k n x k nS S x x x =±=≥．当1kx=±（1,2,,k n=）时，222212121[()()]2n n S x x x x x x =+++-+++2121()22n nx x x =+++-．当n 为奇数时，因为12||1n x xx +++≥，所以1(1)2S n ≥--，另一方面，若取12121n x x x -====，1112221n n n x x x --++====-，那么1(1)2S n =--，因此min1(1)2S n =--．…………………………………………………………13分。

2013年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合M ={0, 1, 3}，N ={x|x =3a, a ∈M}，则M ∪N =( ) A {0} B {0, 3} C {1, 3, 9} D {0, 1, 3, 9}2. 已知∫(10x 2+mx)dx =0，则实数m 的值为（ ） A −13 B −23 C −1 D −23. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是（ ）A n >6？B n ≥7？C n >8？D n >9？4. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2+2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A [3, +∞)B (3, +∞)C (1, 3]D (1, 3)5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A 16 B 13 C 12 D 16. 某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有（ ） A 10种 B 12种 C 18种 D 36种7. 已知函数f(x)=a ⋅2|x|+1(a ≠0)，定义函数F(x)={f(x),x >0−f(x),x <0给出下列命题：①F(x)=|f(x)|； ②函数F(x)是奇函数；③当a <0时，若mn <0，m +n >0，总有F(m)+F(n)<0成立， 其中所有正确命题的序号是（ ） A ② B ①③ C ②③ D ①②8. 点P 是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则PA →⋅PC 1→的取值范围是( )A [−1, −14] B [−12, −14] C [−1, 0] D [−12, 0]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 设i 为虚数单位，计算3+i1+i =________．10. 若直线l 与圆C:{x =2cosθy =−1+2sinθ（θ为参数）相交于A ，B 两点，且弦AB 的中点坐标是(1, −2)，则直线L 的倾斜角为________．11. 如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，PC =4，PB =8，则tan∠COP =________，△OBC 的面积是________．12. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买________吨． 13. 将一个质点随机投放在关于x ，y 的不等式组{3x +4y ≤19x ≥1y ≥1 所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是________．14. 数列{2n −1}的前n 项1，3，7，…，2n −1组成集合A n ={1, 3, 7, ..., 2n −1}(n ∈N ∗)，从集合A n 中任取k(k =1, 2, 3,…,n)个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为T k （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n =T 1+T 2+...+T n ，例如当n =1时，A 1={1}，T 1=1，S 1=1；当n =2时，A 2={1, 2}，T 2=1+3，S 2=1+3+1×3=7．则当n =3时，S 3=________；试写出S n =________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f(A)=2cos A2sin(π−A2)+sin 2A2−cos 2A2．(1)求函数f(A)的最大值； (2)若f(A)=0，C =5π12，a =√6，求b 的值．16. 如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA // PD ，AD ＝PD ＝2EA ＝2，F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（1）求证：FG // 平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小；（3）在线段PC 上是否存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成的角为π3？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由．17. 为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：（1）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率；（2）根据（1）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ； （3）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率． 18. 已知函数f(x)=mx x 2+1+1(m ≠0)，g(x)＝x 2e ax (a ∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)当m >0时，若对任意x 1，x 2∈[0, 2]，f(x 1)≥g(x 2)恒成立，求a 的取值范围． 19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1, 0)，短轴的端点分别为B 1，B 2，且FB 1→⋅FB 2→=−a ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 且斜率为k(k ≠0)的直线l 交椭圆于M ，N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D ．设弦MN 的中点为P ，试求|DP||MN|的取值范围．20. 已知实数x 1，x 2，…，x n (n ∈N ∗且n ≥2)满足|x i |≤1(i =1, 2,…,n)，记S(x 1，x 2，…，x n )=∑x i 1≤i<j≤n x j ．（1）求S(−1,1,−23)及S(1, 1, −1, −1)的值；（2）当n =3时，求S(x 1, x 2, x 3)的最小值； （3）当n 为奇数时，求S(x 1, x 2,…,x n )的最小值．注：∑x i 1≤i<j≤n x j 表示x 1，x 2，…，x n 中任意两个数x i ，x j (1≤i <j ≤n)的乘积之和．2013年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）答案1. D2. B3. C4. A5. A6. C7. C8. D9. 2−i 10. π411. 43,185 12. 30 13. 1−π12 14. ,15. 解：(1)f(A)=2cos A2sin A2+sin 2A2−cos 2A2=sinA −cosA =√2sin(A −π4)． 因为0<A <π， 所以−π4<A −π4<3π4，所以当A −π4=π2，即A =3π4时，f(A)取得最大值，且最大值为√2． (2)由题意知f(A)=√2sin(A −π4)=0，所以sin(A −π4)=0． 又知−π4<A −π4<3π4，所以A −π4=0，则A =π4．因为C =5π12，所以A +B =7π12，则B =π3．由asinA=b sinB得，b =asinB sinA=√6⋅sin π3sinπ4=3．16. 证明：因为F ，G 分别为PB ，BE 的中点，所以FG // PE ． 又FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ，所以FG // 平面PED ．因为EA ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥CD ． 又因为四边形ABCD 是正方形，所以AD ⊥CD ． 如图建立空间直角坐标系，因为AD ＝PD ＝2EA ，所以D(0, 0, 0)，P(0, 0, 2)，A(2, 0, 0)， C(0, 2, 0)，B(2, 2, 0)，E(2, 0, 1)．因为F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点，所以F(1, 1, 1)，G(2, 1, 12)，H(0, 1, 1)．所以GF →=(−1,0,12)，GH →=(−2,0,12)，设n 1→=(x 1,y 1,z 1)为平面FGH 的一个法向量，则{n 1→⋅GF →=0n 1→⋅GH →=0 ，即{−x 1+12z 1=0−2x 1+12z 1=0 ， 再令y 1＝1，得n 1→=(0,1,0)． PB →=(2,2,−2),PC →=(0,2,−2)，设n 2→=(x 2,y 2,z 2)为平面PBC 的一个法向量，则{n 2→⋅PB →=0n 2→⋅PC →=0，即{2x 2+2y 2−2z 2=02y 2−2z 2=0，令z 2＝1，得n 2→=(0,1,1)． 所以|cos <n 1→,n 2→>|=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=1×√2=√22． 所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为π4．在线段PC 上存在点M ，使直线FM 与直线PC 所成角为60∘证明：假设在线段PC 上存在点M ，使直线FM 与直线PC 所成角为60∘． 依题意可设PM →=λPC →，其中0≤λ≤1． 由PC →=(0,2,−2)，则PM →=(0,2λ,−2λ)． 又因为FM →=FP →+PM →,FP →=(−1,−1,1)， 所以FM →=(−1,2λ−1,1−2λ)．又直线FM 与直线PA 成60∘角，PA →(2,0,−2)， 所以|cos <FM →,PA →>|=12，即12=|−2−2+4λ|2√2⋅√1+2(2λ−1)2，解得：λ=58． 所以PM →=(0,54,−54)，|PM →|=√0+2×(54)2=5√24．所以，在线段PC 上存在点M ，使直线FM 与直线PC 所成角为60∘，此时PM 的长为5√24．17. 解：（1）根据统计数据可知，从本地区参加“数独比赛”的30名小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为430+630=13，即从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为13． （2）由题意知随机变量X 可取0，1，2，3，∴ P(X =0)=C 03 (13)0(23)3=827；P(X =1)=C 13 (13)1(23)2=49；P(X =2)=C 23 (13)2(23)=29；P(X =3)=C 33 (13)3(23)0=127；所以X 的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）故Eξ=0×827+1×49+2×29+3×127=1，所求期望值为1．（3）设事件M ：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分． 设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m ，n ．则基本事件的总数为C 302， 不妨设m >n ，当m =90时，n =60或40或30，基本事件的数为C 14 （C 110 +C 17 +C 13 ）；当m=70时，n=40或30，基本事件的数为C 16 （C 17 +C 13 ）；当m=60时，n=30，基本事件的数为C 110 C 1 3 ；∴ P(M)=C41(C101+C71+C31)+C61(C71+C31)+C101C31C302=3487．∴ 从这30名学生中，随机选取2人，“这两个人的成绩之差大于20分”的概率为3487．18. 函数f(x)=mxx2+1+1(m≠0)的定义域为R，f′(x)=m(1−x2)(x2+1)2=m(1−x)(1+x)(x2+1)2．①当m>0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：所以，函数f(x)的单调增区间时(−1, 1)，单调递减区间是(−∞, −1)，(1, +∞)．②当m<0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：所以，函数f(x)的单调减区间时(−1, 1)，单调递增区间是(−∞, −1)，(1, +∞)．（2）依题意，对任意当m>0时，对于任意x1，x2∈[0, 2]，f(x1)≥g(x2)恒成立，等价于当m>0时，对于任意x1，x2∈[0, 2]，f(x)min≥g(x)max成立．当m>0时，由(Ⅰ)知，函数f(x)在[0, 1]上单调递增，在[1, 2]上单调递减，因为f(0)＝1，f(2)=2m5+1>1，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝1．所以应满足g(x)max≤1．因为g(x)＝x2e ax，所以g′(x)＝(ax2+2x)e ax．③当a＝0时，函数g(x)＝x2，任意x∈[0, 2]，g(x)max＝g(2)＝4，显然不满足g(x)max≤1，故a＝0不成立．④当a≠0时，令g′(x)＝(ax2+2x)e ax＝0得：x1=0,x2=−2a1∘当−2a≥2，即−1≤a<0时，在[0, 2]上g′(x)≥0，所以函数g(x)在[0, 2]上单调递增，所以g(x)max=g(2)=4e2a．由4e2a≤1得，a≤−ln2，所以−1≤a≤−ln2．2∘当0<−2a <2，即a<−1时，在[0,−2a)上g′(x)≥0，在(−2a,2]上g′(x)<0，所以函数g(x)在[0,−2a )上单调递增，在(−2a,2]上单调递减．所以g(x)max =g(−2a)=4a 2e 2．由4a 2e2≤1得：a ≤−2e，所以a <−1．3∘当−2a <0，即a >0时，显然在[0, 2]上g ′(x)≥0， 函数g(x)在[0, 2]上单调递增，且g(x)max =g(2)=4e 2a ． 显然g(x)max =4e 2a ≤1不成立，故a >0不成立． 综上所述，a 的取值范围是(−∞, −ln2]．19. 解：(I)由题意不妨设B 1(0, −b)，B 2(0, b)，则FB 1→=(−1,−b)，FB 2→=(−1,b)． ∵ FB 1→⋅FB 2→=−a ，∴ 1−b 2=−a ，又∵ a 2−b 2=1，解得a =2，b =√3． ∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(II)由题意得直线l 的方程为y =k(x −1)．联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2=8k 23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2．∴ 弦MN 的中点P(4k 23+4k 2，−3k3+4k 2)．∴ |MN|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)[64k2(3+4k 2)2−4(4k 2−12)3+4k 2]=12(k 2+1)4k 2+3．直线PD 的方程为y +3k4k 2+3=−1k (x −4k 24k 2+3)． ∴ |DP|=3√k 2(k 2+1)4k 2+3．∴ |DP||MN|=3√k 2(k 2+1)4k 2+312(k 2+1)4k 2+3=14√k 2k 2+1=14√1−1k 2+1．又∵ k 2+1>1，∴ 0<1k 2+1<1，∴ 0<14√1−1k 2+1<14．∴|DP||MN|的取值范围是(0,14)．20. 解：（1）由已知得S(−1,1,−23)=−1+23−23=−1． S(1, 1, −1, −1)=1−1−1−1−1+1=−2． …（2）n =3时，S =S(x 1，x 2，x 3)=∑x i 1≤i<j≤3x j =x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3． 固定x 2，x 3，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，因此S≥min{S(1, x2, x3), S(−1, x2, x3)}．同理S(1, x2, x3)≥min{S(1, 1, x3), S(1, −1, x3)}．S(−1, x2, x3)≥min{S(−1, 1, x3), S(−1, −1, x3)}．以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x1，x2，x3所达到，于是S≥min{S(x1, x2, x3)}．当x k=±1(k=1, 2, 3)时，S=12[(x1+x2+x3)2−(x12+x22+x32)]=12(x1+x2+x3)2−32．因为|x1+x2+x3|≥1，所以S≥12−32=−1，且当x1=x2=1，x3=−1，时S=−1，因此S min=−1．…（3）S=S(x1，x2，…，x n)=∑x i1≤i<j≤nx j=x1x2+x1x3+...+x1x n+x2x3+...+x2x n+...+x n−1x n．固定x2，x3，…，x n，仅让x1变动，那么S是x1的一次函数或常函数，因此S≥min{S(1, x2, x3, ..., x n), S(−1, x2, x3, ..., x n)}．同理S(1, x2, x3,…,x n)≥min{S(1, 1, x3, ..., x n), S(1, −1, x3, ..., x n)}．S(−1, x2, x3,…,x n)≥min{S(−1, 1, x3, ..., x n), S(−1, −1, x3, ..., x n)}．以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x1，x2，…，x n所达到，于是S≥min{S(x1, x2, x3, ..., x n)}．当x k=±1(k=1, 2,…,n)时，S=12[(x1+x2+⋯+x n)2−(x12+x22+⋯+x n2)]=12(x1+x2+⋯+x n)2−n2．当n为奇数时，因为|x1+x2+...+x n|≥1，所以S≥−12(n−1)，另一方面，若取x1=x2=⋯=x n−12=1，x n−12+1=x n−12+2=⋯=x n=−1，那么S=−12(n−1)，因此S min=−12(n−1)．…。

2013年北京市朝阳区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（2013•朝阳区二模）已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N=（）A．{0} B．{0，3} C．{1，3，9} D．{0，1，3，9}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：把集合M中的元素分别代入x=3a得到集合N，然后直接利用并集运算求解．解答：解：由M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则N={0，3，9}．所以M∪N={0，1，3}∪{0，3，9}={0，1，3，9}．故选D．点评：本题考查了并集及其运算，解答的关键是注意集合中元素的互异性，是基础题．2．（5分）（2013•朝阳区二模）已知p：（x﹣1）（x﹣2）≤0，q：log2（x+1）≥1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：其他不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；规律型．分析：通过求解不等式求出p，解答对数不等式求解q，然后利用充要条件的判断方法判断即可．解答：解：由题意可知p：（x﹣1）（x﹣2）≤0，可得p：1＜x＜2；q：log2（x+1）≥1，可得x+1≥2，所以q：1≤x，所以p：（x﹣1）（x﹣2）≤0，q：log2（x+1）≥1，则p是q的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查二次不等式的解法，对数不等式的求解，充要条件的判断，基本知识的应用．3．（5分）（2013•朝阳区二模）函数（x∈R）的图象的一条对称轴方程是（）A．x=0 B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：利用正弦函数的性质可求得f（x）=sin（x﹣）的对称轴方程，从而可选到答案．解答：解：∵f（x）=sin（x﹣）的对称轴方程由x﹣=kπ+得：x=kπ+，∴当k=﹣1时，x=﹣即为其一条对称轴的方程，故选B．点评：本题考查正弦函数的对称性，求得f（x）=sin（x﹣）的对称轴方程是关键，也可将选项中的数据代入曲线方程，使之取到最值即可，属于中档题．4．（5分）（2013•朝阳区二模）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是（）A．n＞6？B．n≥7？C．n＞8？D．n＞9？考点：程序框图．专题：阅读型；图表型．分析：根据框图运行后输出的结果是16，从s=0，n=1开始假设判断框中的条件不满足，执行“否”路径，依次执行到s的值为16时看此时的n值，此时的n值应满足判断框中的条件，由此即可得到答案．解答：解：框图首先赋值s=0，n=1，执行s=0+1=1，n=1+2=3；判断框中的条件不满足，执行s=1+3=4，n=3+2=5；判断框中的条件不满足，执行s=4+5=9，n=5+2=7；判断框中的条件不满足，执行s=9+7=16，n=7+2=9；此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，输出结果为16．由此看出，判断框中的条件应是选项C，即n＞8．故选C．点评：本题考查了程序框图，考查了直到型循环，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足算法结束，是基础题．5．（5分）（2013•朝阳区二模）若双曲线的渐近线与抛物线y=x2+2相切，则此双曲线的离心率等于（）A．2B．3C．D．9考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把双曲线的渐近线与抛物线方程联立，由相切⇔△=0即可得出a、b的关系式，再利用双曲线的离心率的计算公式e=即可得出．解答：解：由双曲线可得渐近线方程为．联立，消去y得到．∵双曲线的渐近线与抛物线y=x2+2相切，∴，化为．∴此双曲线的离心率e===3．故选B．点评：熟练掌握双曲线的渐近线与抛物线相切转化为方程联立得到一元二次方程的△=0，即可得出a、b的关系式，再利用双曲线的离心率的计算公式e=即可得出．6．（5分）（2013•朝阳区二模）将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率．解答：解：画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，如图．三角形ABC的面积为S1=×3×4=6，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2=π所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1﹣=．故选C．点评：本题考查几何概型概率公式、简单线性规划的应用、扇形的面积公式，属于基础题．7．（5分）（2013•朝阳区二模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高为1，底面是直角边长度为1的等腰直角三角形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．解答：解：由题设条件，此几何几何体为一个三棱锥，如图红色的部分．其高已知为1，底面是直角边长度为1的等腰直角三角形，底面积是×1×1=其体积是××1=．故选A．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．8．（5分）（2013•朝阳区二模）已知函数f（x）=a•2|x|+1（a≠0），定义函数给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是奇函数；③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正确命题的序号是（）A．②B．①③C．②③D．①②考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：由题意得，F（x）=，再写出|f（x）|的表达式，它和F（x）并不是同一个函数，故①错误；利用函数奇偶性的定义可证得当x＞0或x＜0时，F（﹣x）=﹣F（x）；故函数F （x）是奇函数，②正确；当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上是减函数，利用函数的单调性可得③正确．解答：解：由题意得，F（x）=，而|f（x）|=，它和F（x）并不是同一个函数，故①错误；∵函数f（x）=a•2|x|+1是偶函数，当x＞0时，﹣x＜0，则F（﹣x）=﹣f（﹣x）=﹣f（x）=﹣F（x）；当x＜0时，﹣x＞0，则F（﹣x）=f（﹣x）=f（x）=﹣F（x）；故函数F（x）是奇函数，②正确；当a＜0时，F（x）在（0，+∞）上是减函数，若mn＜0，m+n＞0，总有m＞﹣n＞0，∴F（m）＜F（﹣n），即f（m）＜﹣F（n），∴F（m）+F（n）＜0成立，故③正确．故选C．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、命题的真假判断与应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．（5分）（2013•朝阳区二模）设i为虚数单位，计算= 2﹣i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数的分母实数化，化简为a+bi的形式即可．解答：解：===2﹣i．故答案为：2﹣i点评：本题考查复数的基本运算，复数的分母实数化是解题的关键．10．（5分）（2013•朝阳区二模）已知向量=（2，1），=（3，x），若（2﹣）⊥，则x的值为﹣1或3 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：向量表示错误：由题意可得，（2﹣）•=0，即 2（6+x）﹣（9+x2）=0，由此求得x的值．解答：解：∵向量=（2，1），=（3，x），（2﹣）⊥，∴（2﹣）•=2﹣=2（6+x）﹣（9+x2）=0，即 x2﹣2x﹣3=0，解得 x=﹣1，或 x=3，故答案为﹣1 或3．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．11．（5分）（2013•朝阳区二模）已知等差数列{a n}的公差为﹣2，a3是a1与a4的等比中项，则首项a1= 8 ，前n项和S n= ﹣n2+9n ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得（a1﹣4）2=a1•（a1﹣6），解之可得a1，代入求和公式可得S n．解答：解：由题意可得（a1﹣4）2=a1•（a1﹣6），解得a1=8，故S n=na1+=8n﹣n2+n=﹣n2+9n故答案为：8；﹣n2+9n点评：本题考查等差数列的前n项和公式和等比中项的定义，属基础题．12．（5分）（2013•朝阳区二模）若直线l与圆x2+（y+1）2=4相交于A，B两点，且线段AB的中点坐标是（1，﹣2），则直线l的方程为x﹣y﹣3=0 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设圆心为C，AB的中点为D，由直线和圆相交的性质可得，直线l⊥CD，求出直线l的斜率为的值，再用点斜式求得直线l的方程．解答：解：设圆C：x2+（y+1）2=4的圆心C（0，﹣1），弦AB的中点坐标是D（1，﹣2），由直线和圆相交的性质可得直线l⊥CD，∴直线l的斜率为==1，故直线l的方程为 y+2=x﹣1，即 x﹣y﹣3=0，故答案为 x﹣y﹣3=0．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，用点斜式求直线的方程，属于中档题．13．（5分）（2013•朝阳区二模）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨（x为600的约数），运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元．若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买30 吨．考点：根据实际问题选择函数类型．专题：计算题．分析：由某公司每次都购买x吨，由于一年购买某种货物600吨，得出需要购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，最后利用基本不等式求得一年的总运费与总存储费用之和最小即可．解答：解：某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，一年的总运费与总存储费用之和为•3+2x万元．∵•3+2x≥=120，当=2x，即x=30吨时，等号成立．∴每次购买30吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．故答案为30．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式求最值，属于中档题．解决实际问题的关键是选择好分式函数模型．14．（5分）（2013•朝阳区二模）数列{2n﹣1}的前n项1，3，7，…，2n﹣1组成集合，从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n=T1+T2+…+T n．例如当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7．则当n=3时，S3= 63 ；试写出S n= ．考点：等差数列与等比数列的综合；进行简单的合情推理．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：根据S n=T1+T2+…+T n的意义即可求得n=3时S3．根据S1，S2，S3，猜想﹣1，然后利用数学归纳法证明即可．解答：解：当n=3时，A3={1，3，7}，T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，所以S3=11+31+21=63；由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，猜想﹣1，下面证明：（1）易知n=1时成立；（2）假设n=k时﹣1，则n=k+1时，S k+1=T1+T2+T3+…+T k+1=[T1′+（2k+1﹣1）]+[T2′+（2k+1﹣1）T1′]+[T3′+（2k+1﹣1）T2′]+…+[T k′+（2k+1﹣1）]（其中T i′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为T k），=（）+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）（）=S k+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）S k=2k+1（﹣1）+（2k+1﹣1）=﹣1=﹣1，即n=k时﹣1也成立，综合（1）（2）知对n∈N*﹣1成立．所以﹣1．故答案为：63；﹣1．点评：本题考查等差、等比数列的综合，考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，具有一定综合性，难度较大，能力要求较高．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）（2013•朝阳区二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=．（Ⅰ）求函数f（A）的最大值；（Ⅱ）若，求b的值．考点：正弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（A）为，根据0＜A＜π，利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）取得最大值．（Ⅱ）由题意知，由此求得A的值，再根据C的值，求得B的值，利用正弦定理求出b的值．解答：解：（Ⅰ）=．因为0＜A＜π，所以．则所以当，即时，f（A）取得最大值，且最大值为．…（7分）（Ⅱ）由题意知，所以．又知，所以，则．因为，所以，则．由得，．…（13分）点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．（13分）（2013•朝阳区二模）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（Ⅰ）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图的性质可（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解方程即可得到a的值；再根据样本容量=频数÷频率，求出参加“掷实心球”项目测试的人数；（2）根据题意，成绩在最后两组的为优秀，其频率为0.15+0.05，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数，根据样本估计总体的原则得出估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（3）由频率计算公式得样本中第一组共有2人，得第二组共有6人．用组合数的方法计算出基本事件的总数共有28个，而抽取的2名学生来自不同组构成的基本事件有12个．由此结合古典概型计算公式即可算出所求概率．解答：解：（Ⅰ）由题意可知（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解得a=0.05．所以此次测试总人数为．答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人．…（4分）（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为（0.15+0.05）×2=0.4，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4．…（7分）（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在[2，4）有2人，记为a，b；在[4，6）有6人，记为c，d，e，f，g，h．从这8人中随机抽取2人有C共28种情况．事件A包括2×6共12种情况．所以事件A的概率P==．答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为．…（13分）点评：本题给出频率分布直方图，求样本中成绩优秀的人数，并求一个随机事件的概率．着重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识，属于基础题．17．（14分）（2013•朝阳区二模）如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PDE；（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面AEB；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线的性质证明FG∥PE，再根据直线和平面平行的判定定理证得结论．（Ⅱ）先证明EA⊥CB、CB⊥AB，可得CB⊥平面ABE．再根据FH∥BC，则FH⊥平面ABE．（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，满足条件．先证明PE=BE，根据F为PB的中点，可得EF⊥PB．要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM即可．此时，则△PFM∽△PCB，根据对应边成比列求得PB、PF、PC的值，可得PM的值．解答：（Ⅰ）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE．又因为FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，所以，FG∥平面PED．…（4分）（Ⅱ）因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．又因为CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE．由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH∥BC，则FH⊥平面ABE．而FH⊂平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．…（9分）（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM．证明如下：在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2，所以．在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2，所以，所以PE=BE．又因为F为PB的中点，所以EF⊥PB．要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因为CB⊥CD，PD∩CD=D，所以CB⊥平面PCD，而PC⊂平面PCD，所以CB⊥PC．若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得．由已知可求得，，，所以．…（14分）点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．18．（13分）（2013•朝阳区二模）已知函数f（x）=，g（x）=alnx﹣x（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（I）先求函数f（x）的导数，再对字母a进行分类讨论，根据导数大于0函数单调递增，导数小于0时函数单调递减可得答案．（Ⅱ）欲证当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立，只须证明对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x）max＜f（x）min．由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，从而有f（x）min=a，同样地利用导数可得，当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，从而g（x）max=g（a）=alna﹣a，最后利用作差法即可得到g（x）max＜f（x）min．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，．当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘↗↘当a＜0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，1） 1 （1，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，又f（0）=a，f（e）=所以f（x）min=a，同样地，当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，所以g（x）max=g（a）=alna﹣a，因为a﹣（alna﹣a）=a（2﹣lna）＞a（2﹣lne）=a＞0，所以对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x）max=g（e）=alna﹣a＜a=f（x）min．所以对于任意x1，x2∈（0，e]，仍有x1，x2∈（0，e]．综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．…（13分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）（2013•朝阳区二模）已知椭圆C：（a＞b＞0），C的右焦点F（1，0），长轴的左、右端点分别为A1，A2，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过焦点F斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点D．试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）题目给出了椭圆的右焦点坐标，则知道了c的值，再由，列式求出a2的值，结合隐含条件b2=a2﹣c2求出b2的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由点斜式写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B中点的坐标，然后写出MD所在的直线方程，求出D点的坐标，根据四边形ADBE是菱形，列式求出E点的坐标，把E点的坐标代入椭圆方程求出k2的值，则E点到y轴的距离可求．解答：解：（Ⅰ）依题设A1（﹣a，0），A2（a，0），则，．由，得：（﹣a﹣1）（a﹣1）=﹣1，解得a2=2，又c=1，所以b2=1．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形．事实上，依题直线l的方程为y=k（x﹣1）．联立，得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则，，所以，，所以．则直线MD的方程为，令y=0，得，则．若四边形ADBE为菱形，则x E+x D=2x0，所以．y E+y D=2y0，所以．所以．若点E在椭圆C上，则．即9k4+8k2=2（2k2+1）2整理得k4=2，解得．所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．此时点E到y轴的距离为=．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了设而不求的解题方法，此法的依据是二次方程中根与系数的关系，训练了学生的计算能力，属有一定难度题目．20．（13分）（2013•朝阳区二模）已知实数x1，x2，…，x n（n∈N*且n≥2）满足|x i|≤1（i=1，2，…，n），记．（Ⅰ）求及S（1，1，﹣1，﹣1）的值；（Ⅱ）当n=3时，求S（x1，x2，x3）的最小值；（Ⅲ）当n为奇数时，求S（x1，x2，…，x n）的最小值．注：表示x1，x2，…，x n中任意两个数x i，x j（1≤i＜j≤n）的乘积之和．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据已知中S（x1，x2，…，x n）的计算方法可得得及S（1，1，﹣1，﹣1）的值．（Ⅱ）n=3时，．再固定x2，x3，仅让x1变动，那么S是x1的一次函数或常函数，因此S≥min{S（1，x2，x3），S（﹣1，x2，x3）}．同理S（1，x2，x3）≥min{S（1，1，x3），S（1，﹣1，x3）}．S（﹣1，x2，x3）≥min{S（﹣1，1，x3），S（﹣1，﹣1，x3）}．以此类推，我们可以看出S≥min{S（x1，x2，x3）}．从而求得S（x1，x2，…，x n）的最小值．（Ⅲ）=x1x2+x1x3+…+x1x n+x2x3+…+x2x n+…+x n﹣1x n．固定x2，x3，…，x n，仅让x1变动，那么S是x1的一次函数或常函数，类似于（II）中的方法得出S （x1，x2，…，x n）的最小值．解答：解：（Ⅰ）由已知得．S（1，1，﹣1，﹣1）=1﹣1﹣1﹣1﹣1+1=﹣2．…（3分）（Ⅱ）n=3时，．固定x2，x3，仅让x1变动，那么S是x1的一次函数或常函数，因此S≥min{S（1，x2，x3），S（﹣1，x2，x3）}．同理S（1，x2，x3）≥min{S（1，1，x3），S（1，﹣1，x3）}．S（﹣1，x2，x3）≥min{S（﹣1，1，x3），S（﹣1，﹣1，x3）}．以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x1，x2，x3所达到，于是S≥min{S（x1，x2，x3）}．当x k=±1（k=1，2，3）时，=．因为|x1+x2+x3|≥1，所以，且当x1=x2=1，x3=﹣1，时S=﹣1，因此S min=﹣1．…（7分）（Ⅲ）=x1x2+x1x3+…+x1x n+x2x3+…+x2x n+…+x n﹣1x n．固定x2，x3，…，x n，仅让x1变动，那么S是x1的一次函数或常函数，因此S≥min{S（1，x2，x3，…，x n），S（﹣1，x2，x3，…，x n）}．同理S（1，x2，x3，…，x n）≥min{S（1，1，x3，…，x n），S（1，﹣1，x3，…，x n）}．S（﹣1，x2，x3，…，x n）≥min{S（﹣1，1，x3，…，x n），S（﹣1，﹣1，x3，…，x n）}．以此类推，我们可以看出，S的最小值必定可以被某一组取值±1的x1，x2，…，x n所达到，于是S≥min{S（x1，x2，x3，…，x n）}．当x k=±1（k=1，2，…，n）时，=．当n为奇数时，因为|x1+x2+…+x n|≥1，所以，另一方面，若取，，那么，因此．…（13分）点评：本题主要考查函数与方程的综合运用、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑推理能力．属于难题．。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（文） 2013.5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{}0,1,3M =，{}3,N x x a a M ==∈，则M N =A.{}0B.{}0,3C. {}1,3,9D. {}0,1,3,9 （2）已知p ：(1)(2)0x x --≤，q ：2log (1)1x +≥，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 （3）函数()sin()4f x x π=-（x ∈R ）的图象的一条对称轴方程是A ．0x = B. π4x =- C. π4x = D ．π2x = （4）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是A. 6n >?B. 7n ≥?C. 8n >?D. 9n >？（第4题图）（5）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则此双曲线的离心率等于A ． 2B ．3CD ．9（6）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是A ．12πB ． 6πC ．112π-D ．16π-（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．16B ．13C ．12D ．1（第7题图） （８）已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是A ． ②B ．①③C ．②③D ．①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）i 为虚数单位，计算3i1i+=+ ． （10）已知向量(2,1),(3,)x ==a b ，若(2)-⊥a b b ，则x 的值为 .（11）已知等差数列{}n a 的公差为2-，3a 是1a 与4a 的等比中项，则首项=1a _,前n 项和=n S __.（12）若直线l 与圆22(1)4x y ++=相交于A ,B 两点，且线段AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的方程为 . （13）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨(x 为600的约数)，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨． （14）数列{21}n-的前n 项1,3,7,,21n- 组成集合{1,3,7,,21}()nn A n *=-∈N ，从集合n A 中任取k (1,2,3,,)k n = 个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++ ．例如当1n =时，1{1}A =，11T =，11S =；当2n =时，2{1,3}A =，113T =+，111 正视图侧视图 俯视图213T =⨯，213137S =++⨯=.则当3n =时，3S = ；试写出n S = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()f A =2cos sin()22A A π-22sin cos 22A A+-. （Ⅰ）求函数()f A 的最大值；（Ⅱ）若()0,,12f A C a 5π===b 的值．（16）（本小题满分13分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（Ⅰ）求实数a 的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率； （Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽 取的2名学生来自不同组的概率．（17）（本小题满分14分）如图，已知四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，PD EA ，22AD PD EA ===，F ,G ,H 分别为BP ,BE ,PC 的中点. （Ⅰ）求证：FG 平面PDE ；P频率分布直方图（Ⅱ）求证：平面FGH ⊥平面AEB ；（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ,使PB ⊥平面EFM ？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由.（18） （本小题满分13分）已知函数()axf x a x =++21，()ln g x a x x =-（0a ≠）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：当0a >时，对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <成立.（19） （本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=- . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过焦点F 斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D . 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知实数12,,,n x x x （n *∈N 且2n ≥）满足||1i x ≤ ()1,2,,i n =⋅⋅⋅，记121(,,,)n i j i j nS x x x x x ≤<≤=∑.（Ⅰ）求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值； （Ⅱ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值； （Ⅲ）当n 为奇数时，求12(,,,)n S x x x 的最小值． 注：1i j i j nx x ≤<≤∑表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x （1i j n ≤<≤）的乘积之和.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2013.5（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分）（Ⅰ）22()2cos sin sin cos 2222A A A A f A =+-sin cos )4A A A π=-=-. 因为0A <<π，所以444Aππ3π-<-<.则所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A ……7分（Ⅱ）由题意知())04f A A π=-=，所以sin()04A π-=．又知444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，则4A π=.因为12C 5π=，所以712A B π+=，则3B π=.由sin sin a b A B =得，sinsin 33sin sin 4a Bb A π===π． ……………………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知(0.20.150.0750.025)21a ++++⨯=，解得0.05a =. （Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为(0.150.05)20.4+⨯=，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4． ……………………7分（Ⅲ）设事件A ：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在[)2,4有2人，记为,a b ；在[)4,6有6人，记为,,,,,A B C D E F ．从这8人中随机抽取2人有,,,,,,,,,,,,ab aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF ，,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F D E D F E F 共28种情况． 事件A 包括,,,,,,,,,,,aA aB aC aD aE aF bA bB bC bD bE bF 共12种情况． 所以123()287P A ==． 答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为37． ……………………………13分 （17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为F ,G 分别为PB ，BE 的中点， 所以FG PE .又因为FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ， 所以FG 平面PED . ……………4分 （Ⅱ）因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA CB ⊥.又因为CB AB ⊥，AB AE A = ， 所以CB ⊥平面ABE .由已知F ,H 分别为线段PB ,PC 的中点，所以FH BC . 则FH ⊥平面ABE . 而FH ⊂平面FGH ，所以平面FGH ⊥平面ABE . …………………………………………………9分 （Ⅲ）在线段PC 上存在一点M ，使PB ⊥平面EFM .证明如下： 在直角三角形AEB 中，因为1AE =,2AB =,所以BE =在直角梯形EADP 中，因为1AE =，2AD PD ==,所以PE = 所以PE BE =.又因为F 为PB 的中点，所以EF PB ⊥. 要使PB ⊥平面EFM ，只需使PB FM ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD CB ⊥，又因为CB CD ⊥，PD CD D = , 所以CB ⊥平面PCD ，而PC ⊂平面PCD ，所以CB PC ⊥. 若PB FM ⊥，则PFM ∆∽PCB ∆,可得PM PFPB PC=.由已知可求得PB =PF =PC =2PM =.……14分 AEBD CPF GHM（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()a x a x x f x x x --+'==++2222211111. 当a >0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：当a <0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：综上所述，当a >0时，()f x 的单调递增区间为(,)-11，单调递减区间为(,)-∞-1，(,)+∞1； 当a <0时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞-1，(,)+∞1，单调递减区间为(,)-11. ……………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a >时，()f x 在(,)01上单调递增，()(0)f x f >；()f x 在(,e]1上单调递减，且2e(e)e 1a f a a =+>+. 所以(0,e]x ∈时，()f x >a .因为()ln g x a x x =-，所以()1ag x x'=-， 令()0g x '=，得x a =.①当0e a <<时，由()0g x >'，得0x a <<；由()0g x <'，得x a >，所以函数()g x 在(0,)a 上单调递增，在(,e]a 上单调递减. 所以max ()()ln g x g a a a a ==-.因为(ln )(2ln )(2ln e)0a a a a a a a a --=->-=>， 所以对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <. ②当e a ≥时，()0g x '≥在(0,e]上恒成立，所以函数()g x 在(0,e]上单调递增，max ()(e)e <g x g a a ==-. 所以对于任意(]12,0,e x x ∈，仍有12()()g x f x <.综上所述，对于任意(]12,0,e x x ∈，总有12()()g x f x <. …………………13分 （19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)FA a =-- ，2(1,0)FA a =- . 由121FA FA ⋅=- ，解得22a =，所以21b =. 所以椭圆C 的方程为2212x y +=. …………………………………………4分 （Ⅱ）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，22221k x k =+，0221k y k -=+， 所以2222(,)2121k kM k k -++. 直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++， 令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=.所以22232(,)2121k kE k k -++. 若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121k kk k -+=++.整理得42k =，解得2k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.此时点E 到y 的距离为127-. ………………………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得222(1,1,)11333S --=-+-=-． (1,1,1,1)1111112S --=----+=-． ………………………3分（Ⅱ）3n =时，12312132313(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤===++∑．固定23,x x ，仅让1x 变动，那么S 是1x 的一次函数或常函数， 因此2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-． 同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-．2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值1±的123,,x x x 所达到，于是12311,2,3min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥．当1k x =±（1,2,3k =）时，22221231231[()()]2S x x x x x x =++-++212313()22x x x =++-． 因为123||1x x x ++≥， 所以13122S ≥-=-，且当121x x ==，31x =-，时1S =-， 因此min 1S =-． ……………………………………………7分 （Ⅲ）121(,,,)n i j i j nS S x x x x x ≤<≤==∑121312321n n n n x x x x x x x x x x x x -=++++++++ .固定23,,,n x x x ，仅让1x 变动，那么S 是1x 的一次函数或常函数， 因此2323min{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥- ．同理2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥- ．2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥--- ．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值1±的12,,,n x x x 所达到，于是1211,2,,min {(,,,)}k n x k nS S x x x =±=≥ ．当1k x =±（1,2,,k n = ）时，222212121[()()]2n n S x x x x x x =+++-+++2121()22n n x x x =+++- ． 当n 为奇数时，因为12||1n x x x +++≥ ， 所以1(1)2S n ≥--，另一方面，若取12121n x x x -==== ， 1112221n n n x x x --++====- ，那么1(1)2S n =--，因此min 1(1)2S n =--．…………………………………………………………13分。