平面内点到直线距离公式的推导方法平面内点P(x 0,y 0)到直线l ∶Ax+By+C=0(A,B不全为0)的距离为d=|Ax 0+By 0+C|A 2+B 2,这个公式称为平面内点到直线的距离公式。
点到直线距离公式是解析几何中的一个非常重要的的公式,应用它可使很多求解面积问题得以简化,也正因为如此,大多数老师和学生更多地重视它的应用,而对于公式本身的证明却不重视。
笔者以为:研究公式的推导比运用这个公式来解决一些问题对思维的发展更具有价值。
平面内点到直线距离公式的推导,在旧人教版必修本教材和人教版新教材中给出了两种不同的推导方法,这两种方法虽有不同之处,但都采用了间接法,即构造以垂线段为边的直角三角形,通过解三角形来求垂线段两个端点间的距离。
教材中也认为这种做法“思路自然,但运算较繁”,因为求出垂足的坐标计算量大,所以教材才避开了这种证法。
笔者认为:用这种方法求线段的长,体现了解析几何的本质,即用代数的方法来研究几何问题。
长期以来,人们一直在回避这种方法,原因在于没有更好的办法求得垂足的坐标。
其实完全没有必要求得垂足的坐标,我们的本意只是要求出两点的距离,下面给出笔者的一种做法:解:过点P(x 0,y 0)向直线l作垂线,垂足为Q,设点Q的坐标为(x 1,y 1),已知:直线PQ的方程为B(x - x 0) - A( y - y 0)=0,点Q在直线l上,所以有Ax 1+By 1+c - 0,(1)即A(x 1-x 0)+B(y 1-y 0)=-(Ax 0+By 0+C),(2)又因为点Q在直线PQ上,所以B(x 1-x 0)-A(y 1-y 0)=0,(3)(2)(3)两式平方相加可得(A 2+B 2)[(x 1-x 0) 2+(y 1-y 0)2]=(Ax 0+By 0+C) 2,所以,点P到直线l的距离d=(x 1-x 0) 2+(y 1-y 0) 2=Ax 0+By 0+CA 2+B 2.这种方法运用整体思想,并不需要引太多的辅助线,也不需要借助于平面几何和三角函数的知识,同时也避开了分类讨论,从而大大减少了运算量,体现了解析法解题的巨大优越性,反映了解析几何的本质。
