集合的含义及表示
如自然数的集合，有理数的集合，不等式的解的集合。
到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等
集合的含义是什么呢？
观察下列实例：
（1）1～20以内的所有质数；2,3,5,7,9,11,13,17,19
（2）绝对值小于3的整数；-2,-1,0,1,2
（3）满足x－3＞2 的实数；X>5
（4）我国古代四大发明; 造纸术、活字印刷术、指南针，火药
（5）英山一中高一（10）班的所有同学；
（6）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.
1、集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）．
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素．
集合的含义：一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）
表示方法：集合通常用{}或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示
元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作．
集合的三个特征
确定性：它的元素必须是确定的。即，给定一个集合，那么元素与集合的关系只有“属于”及“不属于”两种。
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.
一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象。
无序性：集合中的元素无顺序,可以任意排列,调换.
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
判断下列对象是否能构成一个集合？
①身材高大的人
②所有的一元二次方程
③直角坐标平面上纵横坐标相等的点
④细长的矩形的全体
⑥的近似值的全体
⑦我国的小河流
⑧所有的数学难题
三常用数集及记
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合．记作N，．
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集．记作N*或N＋，．
（3）整数集：全体整数的集合．记作Z，．
（4）有理数集：全体有理数的集合．记作Q，．
（5）实数集：全体实数的集合．记作R，．
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0．（2）非负整数集内排除0的集．记作N*或N＋．Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*．
集合的表示方法
例，请表示下列集合：，
①方程x2－9=0的解的集合；{3，-3}
②大于0且小于10的奇数的集合；{1,3,5,7,9}
③不等式x－7<3的解集；
④抛物线y=x2上的点集；
1.列举法：把集合的元素一一列出来写在大括号的方法。
2.描述法：用集合所含元素的共同特征（或者说元素的公共属性）表示集合的方法。
表示形式：A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则x ЄA；若x ЄA,则x具有性质p。
说明: (1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；
(2)应防止集合表示中的一些错误。
3.文氏图法(Venn图)
我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合．
例如，图1-1表示任意一个集合A；图1-2表示集合{1，2，3，4，5} ．
4、元素与集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A．
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作．
6、点集与数集
点集：平面直角坐标系中的点组成的集合是点集；
数集：数轴上的点组成的集合是数集．
7、集合的分类：
（1）有限集：含有有限个元素的集合．
（2）无限集：含有无限个元素的集合．
（3）空集：不含任何元素的集合．记作Φ，如：．
二、例题讲解
例1、设集合G中的元素是所有形如a＋b（a∈Z，b∈Z）的数，求证：
（1）当x∈N时，x∈G；
（2）若x∈G，y∈G，则x＋y∈G，而不一定属于集合G．
证明：
（1）在a＋b（a∈Z，b∈Z）中，令a=x∈N，b=0，
则x= x＋0·= a＋b∈G，即x∈G．
（2）∵x∈G，y∈G，
∴x= a＋b（a∈Z，b∈Z），y= c＋d（c∈Z，d∈Z）
∴x＋y=( a＋b)＋( c＋d)=(a＋c)＋(b＋d)
∵a∈Z，b∈Z，c∈Z，d∈Z．
∴(a＋c)∈Z，(b＋d)∈Z
∴x＋y =(a＋c)＋(b＋d)∈G，
又∵＝且不一定都是整数，
∴＝不一定属于集合G．
例2、用列举法表示下列集合
（1）A={x|x=|x|，x∈Z，且x＜5}；
（2）B={(x，y)|x＋y=6，x∈N*，y∈N*}；
（3）a，b为非零实数}；
分析：
（1）根据x的范围解方程；（2）求不定方程x＋y=6的正整数解；（3）根据绝对值的意义化简；（4）所求的x要满足两个条件：①x是正整数，②x使是整数．解：（1）∵x=|x|，∴x≥0，又∵x∈Z且x＜5，
∴x=0，1，2，3，4，∴{x|x=|x|，x∈Z且x＜5}用列举法表示为：{0，1，2，3，4}；（2）B={（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}；
（3）当a＞0，b＞0时，x=2；当a＜0，b＜0时，x=－2；
当a，b异号时，x=0，∴C={－2，0，2}；
说明：
使用列举法时，应注意以下四点：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③不考虑元素顺序；④对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．
例3、已知集合A={x|ax2－3x＋2=0，a∈R}．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来．
分析：
（1）首先要明确，集合A是关于x的方程ax2－3x＋2=0（a∈R）在实数集内的解的集合．
方程无解；（2）方程有且只有一解．
解：
（1）∵A是空集，∴关于x的方程ax2－3x＋2=0（a∈R）无实数解．
∴解得；
（2）∵集合A中只有一个元素，∴关于x的方程ax2－3x＋2=0（a∈R）有且只有一解，若a=0，则原方程变为－3x＋2=0，只有一解；若a≠0，则方程有两相等实根，Δ=(－3)2－8a=0，解得．∴a=0或时，A中只有一个元素．
例4、数集A满足条件：若a∈A，a≠1，则，
证明：（1）若2∈A，则集合A中还有另外两个元素；
（2）若a∈R，则集合A不可能是单元素集．
分析：
反复利用题设：若a∈A，a≠1，则，注意角色转换，单元素集指集合中只有一个元素．证明：
