2023中考数学真题汇编·30新定义与阅读理解创新型问题一、单选题1.（2023·重庆）在多项式x y z m n （其中)x y z m n 中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：||x y z m n x y z m n ，x y z m n x y z m n ， ．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．32.（2023·福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似值为3.1416．如图，O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计O 的面积，可得 的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 的估计值为（）AB ．C ．3D ．3.（2023·湖北武汉）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积112S N L ，其中,N L 分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知 0,30A ， 20,10,0,0B O ，则ABO 内部的格点个数是（）A ．266B ．270C ．271D ．2854.（2023·湖南张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边ABC 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）A ．B ．3C ．2D ．25.（2023·山东）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：(1,3),(2,6),(0,0)A B C 等都是“三倍点”，在31x 的范围内，若二次函数2y x x c 的图象上至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（）A ．114c B ．43c C ．154c D ．45c 6.（2023·湖南岳阳）若一个点的坐标满足 ,2k k ，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x 的二次函数 212y t x t x s （,s t 为常数，1t ）总有两个不同的倍值点，则s 的取值范围是（）A ．1sB ．0sC ．01sD ．10s 二、填空题7.（2023·北京）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟．8.（2023·湖南常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图． AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是弦AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ．“会圆术”给出 AB 长l 的近似值s 计算公式：2CD s AB OA，当2OA ，90AOB 时，l s __________．（结果保留一位小数）9.（2023·重庆）如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab bc cd ，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵411229 ，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53322124 ，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________．10.（2023·重庆）对于一个四位自然数M ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M 为“天真数”．如：四位数7311，∵716 ，312 ，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵816 ，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记 3P M a b c d ， 5Q M a ，若P M Q M 能被10整除，则满足条件的M 的最大值为________．11.（2023·浙江绍兴）在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数 2(2)03y x x 的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数 21034y x bx c x图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b ________．12.（2023·四川乐山）定义：若x ，y 满足224,4x y t y x t 且x y （t 为常数），则称点(,)M x y 为“和谐点”．（1）若(3,)P m 是“和谐点”，则m __________．（2）若双曲线(31)k y x x存在“和谐点”，则k 的取值范围为__________．三、解答题13.（2023·内蒙古通辽）阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程 200ax bx c a 的两个实数根12x x ，和系数a ，b ，c 有如下关系：12b x x a，12c x x a ．材料2：已知一元二次方程210x x 的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn 的值．解：∵m ，n 是一元二次方程210x x 的两个实数根，∴1,1m n mn ．则 22111m n mn mn m n ．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）应用：一元二次方程22310x x 的两个实数根为12x x ，，则12x x _______，12x x _______；（2）类比：已知一元二次方程22310x x 的两个实数根为m ，n ，求22m n 的值；（3）提升：已知实数s ，t 满足2223102310s s t t ，且s t ，求11s t的值．14.（2023·湖南张家界）阅读下面材料：将边长分别为a ，a ，a a 1S ，2S ，3S ，4S ．则2221(S S a a((a a a a(2a2b例如：当1a ，3b 时，213S S 根据以上材料解答下列问题：（1）当1a ，3b 时，32S S ______，43S S ______；（2）当1a ，3b 时，把边长为a 1n S ，其中n 是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出1n n S S 等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当1a ，3b 时，令121t S S ，232t S S ，343t S S ，…，1n n n t S S ，且12350T t t t t ，求T 的值．15.（2023·云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数2(42)(96)44y a x a x a （实数a 为常数）的图象为图象T ．（1）求证：无论a 取什么实数，图象T 与x 轴总有公共点；（2）是否存在整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．16.（2023·江苏徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．17.（2023·内蒙古赤峰）定义：在平面直角坐标系xOy 中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和纵坐标相等时，则称点N 为图形M 的“梦之点”．（1）如图①，矩形ABCD 的顶点坐标分别是 1,2A ， 1,1B ， 3,1C ， 3,2D ，在点 11,1M ， 22,2M ， 33,3M 中，是矩形ABCD “梦之点”的是___________；（2）点 2,2G 是反比例函数1k y x图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H 的坐标是__________，直线GH 的解析式是2y _________．当12y y 时，x 的取值范围是___________．（3）如图②，已知点A ，B 是抛物线21922y x x 上的“梦之点”，点C 是抛物线的顶点，连接AC ，AB ，BC ，判断ABC 的形状，并说明理由．18.（2023·北京）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于O 的弦AB 和O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点 1,0A ，122B ，222B①在点 11,1C ，20()C ， 3C 中，弦1AB 的“关联点”是______．②若点C 是弦2AB 的“关联点”，直接写出OC 的长；（2）已知点 0,3M ，,05N．对于线段MN 上一点S ，存在O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．19.（2023·四川凉山）阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形ABCD 是矩形，AEF △是等腰直角三角形，记BAE 为 、FAD 为 ，若1tan 2，则1tan 3．证明：设BE k ，∵1tan 2，∴2AB k ，易证AAS AEB EFC △≌△∴2,EC k CF k ，∴,3FD k AD k∴1tan 33DF k AD k ，若45 时，当1tan 2 ，则1tan 3．同理：若45 时，当1tan 3，则1tan 2 ．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线39y x 与反比例函数(0)m y x x的图象交于点A ，与x 轴交于点B ．将直线AB 绕点A 顺时针旋转45 后的直线与y 轴交于点E ，过点A 作AM x 轴于点M ，过点A 作AN y 轴于点N ，已知5OA ．（1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出tan tan BAM NAE 、的值；（3）求直线AE 的解析式．20.（2023·山西）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为ABC 和DFE △，其中90,ACB DEF A D ．将ABC 和DFE △按图2所示方式摆放，其中点B 与点F 重合（标记为点B ）．当ABE A 时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．（1）数学思考：请你解答老师提出的问题；（2）深入探究：老师将图2中的DBE 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在ABC 内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE BAC 时，过点A 作AM BE 交BE 的延长线于点,M BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当CBE BAC 时，过点A 作AH DE 于点H ，若9,12BC AC ，求AH 的长．请你思考此问题，直接写出结果．21.（2023·广西）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD 对折，使AD 与BC 重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B 落在EF 上，并使折痕经过点A ，得到折痕AM ，点B ，E 的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：（1）观察图1中1 ，2 和3 ，试猜想这三个角的大小关系．．．．；（2）证明（1）中的猜想；【类比操作】如图2，N 为矩形纸片ABCD 的边AD 上的一点，连接BN ，在AB 上取一点P ，折叠纸片，使B ，P 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B ，P 分别落在EF ，BN 上，得到折痕l ，点B ，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：（3）证明BB 是NBC 的一条三等分线．22.（2023·河南）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．（1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点 4,0M 的直线l y 轴，作ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △，再分别作111A B C △关于x 轴和直线l 对称的图形222A B C △和333A B C △，则222A B C △可以看作是ABC 绕点O 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；333A B C △可以看作是ABC 向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．（2）探究迁移：如图2，ABCD Y 中， 090BAD ，P 为直线AB 下方一点，作点P 关于直线AB 的对称点1P ，再分别作点1P 关于直线AD 和直线CD 的对称点2P 和3P ，连接AP ，2AP ，请仅就图2的情形解决以下问题：①若2PAP ，请判断 与 的数量关系，并说明理由；②若AD m ，求P ，3P 两点间的距离．（3）拓展应用：在（2）的条件下，若60 ，AD 15PAB ，连接23P P ．当23P P 与ABCD Y 的边平行时，请直接写出AP 的长．23.（2023·浙江宁波）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．（1）如图1，在四边形ABCD 中，,90AD BC A ∥，对角线BD 平分ADC ．求证：四边形ABCD 为邻等四边形．（2）如图2，在6×5的方格纸中，A ，B ，C 三点均在格点上，若四边形ABCD 是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D ．（3）如图3，四边形ABCD 是邻等四边形，90DAB ABC ，BCD 为邻等角，连接AC ，过B 作BE AC ∥交DA 的延长线于点E ．若8,10AC DE ，求四边形EBCD 的周长．24.（2023·湖北荆州）如图1，点P 是线段AB 上与点A ，点B 不重合的任意一点，在AB 的同侧分别以A ，P ，B 为顶点作123 ，其中1 与3 的一边分别是射线AB 和射线BA ，2 的两边不在直线AB 上，我们规定这三个角互为等联角，点P 为等联点，线段AB 为等联线．（1）如图2，在53 个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；（2）如图3，在Rt APC △中，90A ，AC AP ，延长AP 至点B ，使AB AC ，作A 的等联角CPD 和PBD ．将APC △沿PC 折叠，使点A 落在点M 处，得到MPC ，再延长PM 交BD 的延长线于E ，连接CE 并延长交PD 的延长线于F ，连接BF ．①确定PCF 的形状，并说明理由；②若:1:2AP PB ，BF ，求等联线AB 和线段PE 的长（用含k 的式子表示）．25.（2023·甘肃兰州）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点 1,2A ， 3,2B ， 2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ， 3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过 1,0G ，0,3T两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y 轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方， OC 点P 是ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ， 2,0B ， 2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b 的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．【参考答案与解析】1.【答案】C 【详解】解：x y z m n x y z m n ，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现x ，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x 的符号为负，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是x y z m n x y z m n ；x y z m n x y z m n ；||x y z m n x y z m n ；x y z m n x y z m n ．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是x y z m n x y z m n ；x y z m n x y z m n ；x y z m n x y z m n ．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C ．2.【答案】C【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30 ，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形OAB ，过点B 作BC OA 交OA 于点于点C ，∵30AOB ，∴1122BC OB ，则1111224OAB S ，故正十二边形的面积为1121234OAB S ，圆的面积为113 ，用圆内接正十二边形面积近似估计O 的面积可得3 ，故选：C ．3.【答案】C【详解】如图所示，∵ 0,30A ， 20,10,0,0B O ，∴130203002ABO S V ，∵OA 上有31个格点，OB 上的格点有 2,1， 4,2， 6,3， 8,4， 10,5， 12,6， 14,7， 16,8， 18,9， 20,10，共10个格点，AB 上的格点有 1,29，2,28， 3,27， 4,26， 5,25， 6,24， 7,23， 8,22， 9,21， 10,20， 11,19， 12,18， 13,17， 16,14， 15,15， 16,14， 17,13， 18,12， 19,11，共19个格点，∴边界上的格点个数31101960L ，∵112 S N L ，∴13006012N ，∴解得271N ．∴ABO 内部的格点个数是271．故选：C ．4.【答案】B【详解】解：∵等边三角形ABC 的边长为3，60ABC ACB BAC ，∴ 603180AB BC AC ，∴该“莱洛三角形”的周长33 ，故选：B ．5.【答案】D【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为3y x ，在31x 的范围内，二次函数2y x x c 的图象上至少存在一个“三倍点”，即在31x 的范围内，2y x x c 和3y x 至少有一个交点，令23x x x c ，整理得：240x x c ，则 22444116+40b ac c c ===，解得4c ，x ，∴12x 22x ∴321 或321当321 时，13 ，即03 ，解得45c ，当321 时，31 ，即01 ，解得43c ，综上，c 的取值范围是45c ，故选：D ．6.【答案】D【详解】解：由“倍值点”的定义可得： 2212x t x t x s ，整理得， 210t x tx s ∵关于x 的二次函数 212y t x t x s （,s t 为常数，1t ）总有两个不同的倍值点，∴ 22=41440,t t s t ts s ∵对于任意实数s 总成立，∴ 24440,s s 整理得，216160,s s ∴20,s s ∴ 10s s ，∴010s s ，或010s s ，当010s s 时，解得10s ，当010s s 时，此不等式组无解，∴10s ，故选：D ．7.【答案】53；28【详解】解：由题意得：9979710253 （分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，且工序A ，B 都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A ，乙学生同时做工序B ，需要9分钟，然后甲学生做工序D ，乙学生同时做工序C ，乙学生工序C 完成后接着做工序G ，需要9分钟，最后甲学生做工序E ，乙学生同时做工序F ，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要991028 （分钟），故答案为：53，28；8.【答案】0.1【详解】∵290OA OB AOB ，，∴AB ，∵C 是弦AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ，∴延长DC 可得O 在DC 上，12OC AB∴2CD OD OC ∴ 22232CD s AB OA，9022360l ，∴30.1l s ．故答案为：0.1．9.【答案】4312；8165【详解】解：∵a312是递减数，∴1033112a ，∴4a ，∴这个数为4312；故答案为：4312∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除，∴101010a b b c c d ，∵1001010010abc bcd a b c b c d ，∴110010110100110001abc bcd a b c b b a b a b c ，∵ 11010199112a b a b a b ，能被9整除，∴112a b 能被9整除，∵各数位上的数字互不相等且均不为0，∴12345678,,,,,,,87654321a a a a a a a a b b b b b b b b，∵最大的递减数，∴8,1a b ，∴1089110c c d ，即：1171c d ，∴c 最大取6，此时5d ，∴这个最大的递减数为8165．故答案为：8165．10.【答案】6200；9313【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；根据题意，6a d ，2b c ，69a ，29b ，则 8c d a b ，∴ 348P M a b c d a b ，∴ 485P M M a Q b a ，若M 最大，只需千位数字a 取最大，即9a ，∴498795b P Q b M M ，∵ P M Q M 能被10整除，∴3b ，∴满足条件的M 的最大值为9313，故答案为：6200，9313．11.【答案】712或2512 【详解】由 2(2)03y x x ，当0x 时，4y ，∴ 0,4C ，∵ 3,0A ，四边形ABCO 是矩形，∴ 3,4B ，①当抛物线经过O B ，时，将点 0,0， 3,4B 代入 21034y x bx c x，∴019344c b c ，解得：712b ②当抛物线经过点,A C 时，将点 3,0A , 0,4C 代入 21034y x bx c x，∴419304c b c ，解得：2512b 综上所述，712b 或2512b ，故答案为：712或2512 ．12.【答案】7 ；34k 【详解】解：（1）若(3,)P m 是“和谐点”，则224,433m t m t ，则22,3412m t m t ，∴223124m m ，即24210m m ，解得2137,m m （不合题意，舍去），∴7m ，故答案为：7（2）设点 ,a b 为双曲线(31)k y x x上的“和谐点”，∴224,4b t b a t a ，(31)k b a a，即2244a a b b ，∴ 40a b a b a b ，则 40a b a b ，∵a b ¹，∴40a b ，即4b a ，∵(31)k b a a，∴ 224424k ab a a a a a ，且31a ，对抛物线 224k a 来说，∵10 ，∴开口向下，当1a 时， 21243k ，当3a 时， 23243k ，∵对称轴为2a ，31a ，∴当2a 时，k 取最大值为4，∴k 的取值范围为34k ，故答案为：34k 13.【答案】（1）32 ，12 （2）解：∵一元二次方程22310x x 的两根分别为m 、n ，∴32b m n a，12c mn a ，∴ 2222m n m n mn 213222 914 134 ；（3）解：∵实数s 、t 满足2223102310s s t t ，，∴s 、t 可以看作方程22310x x 的两个根，∴32b s t a，12c st a ，∵ 224t s t s st 231422 17=4，∴t s或t s 当172t s时，11212t s s t st当t s1711212t s s t st综上分析可知，11s t【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；∵一元二次方程22310x x 的两个根为1x ，2x ，∴1232b x x a ，1212c x x a ．（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出32m n ，12mn ，再根据 2222m n m n mn ，最后代入求值即可；（3）由题意可将s 、t 可以看作方程22310x x 的两个根，即得出32s t，12st ，从而由224t s t s st ，求得2t s或2t s ，最后分类讨论分别代入求值即可．14.【答案】（1）9 15（2）猜想结论：163n n S S n证明：221(11(n n S S n 2(2n3(21)n 63n（3）12350T t t t t 2132435150S S S S S S S S 511S S 2(11 7500 ．【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；2232((S S a a 2244(2)a b a b 22442a b a b 23b当1a ，3b 时，原式9 ；2243((S S a a 2269(44)a b a b 226944a b a b 25b当1a ，3b 时，原式15 ；（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．15.【答案】（1）解：当12a 时，420a ，函数2(42)(96)44y a x a x a 为一次函数126y x ，此时，令0y ，则1260x ，解得12x ，∴一次函数126y x 与x 轴的交点为102；当12a 时，420a ，函数2(42)(96)44y a x a x a 为二次函数，∵2(42)(96)44y a x a x a ，∴ 2(96)(42)444a a a 228110836643232a a a a 214049100a a 20107a ，∴当12a 时，2(42)(96)44y a x a x a 与x 轴总有交点，∴无论a 取什么实数，图象T 与x 轴总有公共点；（2）解：当12a 时，不符合题意，当12a 时，对于函数2(42)(96)44y a x a x a ，令0y ，则2(42)(96)440a x a x a ，∴ 2144210a x a x ，∴ 21440a x a 或210x ，∴4421a x a 或12x ，∵6221x a，整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点，即x 为整数，∴211a 或211a 或212a 或212a 或213a 或213a 或216a 或216a ，解得0a 或1a 或12a（舍去）或32a （舍去）或1a 或2a 或52a （舍去）或72a （舍去），∴0a 或1a 或1a 或2a ．【分析】（1）分12a 与12a 两种情况讨论论证即可；（2）当12a 时，不符合题意，当12a 时，对于函数2(42)(96)44y a x a x a ，令0y ，得2(42)(96)440a x a x a ，从而有4421a x a或12x ，根据整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点，即x 为整数，从而有211a 或211a 或212a 或212a 或213a 或213a 或216a 或216a ，解之即可．16.【答案】（1）32:27（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A 、B 、C ，则分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC 的垂直平分线，线段,AB AC 的垂直平分线的交点即为圆心O ，过圆心O 画一条直径，以O 为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；②按照①中作出圆的圆心O ，过圆心画一条直径AB ，过点A 作一条射线，然后以A 为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C 、D 、E ，连接BE ，然后分别过点C 、D 作BE 的平行线，交AB 于点F 、G ，进而以FG 为直径画圆，则问题得解；如图所示：【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；由图1可知：璧的“肉”的面积为 22318 ；环的“肉”的面积为223 1.5 6.75 ，∴它们的面积之比为8:6.7532:27 ；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．17.【答案】（1）1M ，2M （2） 2,2H ，2y x ，<2x 或02x （3）ABC 是直角三角形，理由见解析【详解】（3）ABC 是直角三角形，理由如下：∵点A ，B 是抛物线21922y x x上的“梦之点”，∴联立21922y x x y x，解得33x y 或33x y ，∴ 3,3A ， 3,3B ，∵ 2219115222y x x x ，∴顶点 1,5C ，∴ 22231358AC ， 222333372AB ， 222313580BC ，∴222BC AC AB ，∴ABC 是直角三角形．【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；∵矩形ABCD 的顶点坐标分别是 1,2A ， 1,1B ， 3,1C ， 3,2D ，∴矩形ABCD “梦之点” ,x y 满足13x ，12y ，∴点 11,1M ， 22,2M 是矩形ABCD “梦之点”，点 33,3M 不是矩形ABCD “梦之点”，（2）把 2,2G 代入1ky x求出解析式，再求与y x 的交点即为H ，最后根据函数图象判断当12y y 时，x 的取值范围；∵点 2,2G 是反比例函数1k y x图象上的一个“梦之点”，∴把 2,2G 代入1k y x 得4k ，∴14y x，∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，∴“梦之点”都在直线y x 上，联立14y x y x，解得22x y 或22x y ，∴ 2,2H ，∴直线GH 的解析式是2y x ，函数图象如图：由图可得，当12y y 时，x 的取值范围是<2x 或02x ；故答案为： 2,2H ，2y x ，<2x 或02x ；（3）根据“梦之点”的定义求出点A ，B 的坐标，再求出顶点C 的坐标，最后求出AC ，AB ，BC ，即可判断ABC 的形状．18.【答案】（1）1C ，2C；OC （2）2313t或263t 【详解】（1）解：①由关联点的定义可知，若直线CA CB ，中一经过点O ，另一条是O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”，∵点 1,0A，1B， 11,1C，20()C， 3C ，∴直线2AC 经过点O ，且2BC 与O 相切，∴2C 是弦1AB 的“关联点”，又∵ 11,1C 和 1,0A横坐标相等，与122B都位于直线y x 上，∴1AC 与O 相切，11B C 经过点O ，∴1C 是弦1AB 的“关联点”．②∵ 1,0A ，222,22B，设 C a b ，，如下图所示，共有两种情况，a 、若12C B 与O 相切，AC 经过点O ，则12C B 、1AC 所在直线为：0y x y，解得：1C ，∴1OC b 、若2AC 与O 相切，22C B 经过点O ，则22C B 、2AC 所在直线为：1x y x，解得： 211C ，，∴2OC ，综上，OC （2）解：∵线段MN 上一点S ，存在O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，又∵弦PQ 随着S 的变动在一定范围内变动，且 0,3M ，N，OM ON ，∴S 共有2种情况，分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上，如图所示，①当S 位于点 0,3M 时，MP 为O 的切线，作PJ OM ，∵ 0,3M ，O 的半径为1，且MP 为O 的切线，∴OP MP ，∵PJ OM ，∴MPO POJ ∽ ，∴OP OMOJ OP ，即13OJ ，解得13OJ ，∴根据勾股定理得，PJ 123Q J根据勾股定理，1PQ2PQ ，∴当S 位于点 0,3M 时，1PQ ．②当S 位于经过点O 的MN 的垂直平分线上即点K 时，∵点 0,3M ，655N，∴5MN ，∴2OK OM ON MN ，又∵O 的半径为1，∴30OKZ ，∴三角形OPQ 为等边三角形，∴在此情况下，1PQ ，PQ ∴当S 位于经过点O 的MN 的垂直平分线上即点K 时，1PQ 的临界值为1∴在两种情况下，PQ 的最小值在13t 内，最大值在3t综上所述，t 的取值范围为1tt 19.【答案】（1）将0y 代入39y x 得，3x ，∴ 3,0B ，∵直线39y x 与反比例函数(0)my x x的图象交于点A ，∴设 ,39A a a ，∵AM x ，5OA ，∴在Rt AOM △中，222OM AM AO ，∴ 222395a a ，∴解得14a ，275a，∵点A 的横坐标要大于点B 的横坐标，∴275a 应舍去，∴4a ，∴ 4,3A ，∴将 4,3A 代入(0)my x x，解得12m ；∴反比例函数的解析式为12(0)y x x；（2）1tan 3BAM ，1tan 2NAE（3）112y x【分析】（1）首先求出点 3,0B ，然后设 ,39A a a ，在Rt AOM △中，利用勾股定理求出4a ，得到 4,3A ，然后代入(0)my x x求解即可；（2）∵ 4,3A ， 3,0B ，∴4MO ，3BO ，∴1MB ，3AM ，∵AM x ，∴1tan 3BM BAM AM，∵AN y ，90NOM ，∴四边形NOMA 是矩形，∴90NAM ，∵将直线AB 绕点A 顺时针旋转45 后的直线与y 轴交于点E ，∴45BAE ，∴45BAM NAE ，∵1tan 3BAM ，∴1tan 2NAE ；（3）∵四边形NOMA 是矩形，∴4AN OM ，3NO AM ，∵AN y ，1tan 2NAE，∴12NE AN ，即142NE ，∴解得2NE ，∴1OE ON NE ，∴ 0,1E ，∴设直线AE 的解析式为y kx b ，∴将 0,1E 和 4,3A 代入得，143b k b ，∴解得112b k，∴直线AE 的解析式为112y x ．20.【答案】（1）解：四边形BCGE 为正方形．理由如下：∵90BED ，∴18090BEG BED ．∵ABE A ，∴AC BE ∥．∴90CGE BED ．∵90C ，∴四边形BCGE 为矩形．∵ACB DEB ，∴BC BE ．∴矩形BCGE 为正方形．（2）：①AM BE ．证明：∵ABE BAC ，∴AN BN ．∵90C ，∴BC AN ．∵AM BE ，即AM BN ，∴1122ABN S AN BC BN AM △．∵AN BN ，∴BC AM ．由（1）得BE BC ，∴AM BE ．②275【分析】（1）先证明四边形BCGE 是矩形，再由ACB DEB 可得BC BE ，从而得四边形BCGE 是正方形；（2）①由已知ABE BAC 可得AN BN ，再由等积方法1122ABN S AN BC BN AM △，再结合已知即可证明结论；②解：如图：设,AB DE 的交点为M ，过M 作MG BD 于G ，∵ACB DEB ，∴9,12BE BC DE AC ，A D ABC DBE ，，∴CBE DBM ；∵CBE BAC ，∴D BAC ，∴MD MB ，∵MG BD ，∴点G 是BD 的中点；由勾股定理得15AB ，∴11522DG BD；∵cos DG DE D DM BD，∴1515752128DG BD DM DE ，即758BM DM ；∴75451588AM AB BM；∵,AH DE BE DE ，AMH BME ，∴AMH BME ，∴35AH AM BE BM ，∴33279555AH BE，即AH 的长为275．21.【答案】（1）解：由题意可知123 ；（2）证明：由折叠的性质可得：AB BB ，AB AB ，AE AE ，AE BE ，∴AB BB AB ，AE B E ，∴ABB 是等边三角形，∵AE B E ，60ABB ，∴1302ABE B BE ABB，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ，∴330 ，∴123 ；（3）证明：连接PB，如图所示：由折叠的性质可知：BB PB ，PB P B ，PBB P B B ∠∠，∵折痕B E AB ，BB PB ，∴12PB E BB E BB P ∠∠∠，∵四边形ABCD 为矩形，∴90EBC ，∴CB AB ，∵B E AB ，∴B E BC ∥，∴12BB E CBB BB P∠∠，∵在PBB △和P B B 中，PB P B PBB P B B BB B B，∴ SAS PBB P B B ≌，∴P BB PB B ∠∠，∴12CBB NBB ∠∠，∴13CBB CBN ∠∠，∴BB 是NBC 的一条三等分线．【分析】（1）根据题意可进行求解；（2）由折叠的性质可知AB BB ，AB AB ，然后可得AB BB AB ，则有ABB 是等边三角形，进而问题可求证；（3）连接PB ，根据等腰三角形性质证明12PB E BB E BB P ∠∠∠，根据平行线的性质证明12BB E CBB BB P∠∠∠，证明 SAS PBB P B B ≌，得出P BB PB B ∠∠，即可证明13CBB CBN ∠∠．22.【答案】（1）180 ，8（2）①2 ，理由如下，连接1AP，由对称性可得，112PAB P AB P AD P AD ，，2112PAP PAB P AB P AD P AD 1122P AB P AD 112P AB P AD 2BAD∴2 ，②连接113,PP P P 分别交,AB CD 于,E F 两点，过点D 作DG AB ，交AB 于点G ，由对称性可知：113PE PE PF P F ，且113PP AB P P CD ，，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD∥∴13P P P ，，三点共线，∴311311222PP PE PE PF P F PE PF EF ，∵113,,PP AB PP CD DG AB ，∴1190P FD P EG DGE ，∴四边形EFDG 是矩形，∴DG EF ，在Rt DAG △中，DAG ，AD m ∵sin DGDAG DA，∴sin sin DG AD DAG m ,∴3222sin PP EF DG m（3）【详解】（1）∵ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △，111A B C △与222A B C △关于x 轴对称，∴222A B C △与ABC 关于O 点中心对称，则222A B C △可以看作是ABC 绕点O 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为180 ∵ 1,1A ，∴12AA ，∵ 4,0M ,13,A A 关于直线4x 对称，∴131248A A AA ，即38AA ，333A B C △可以看作是ABC 向右平移得到的，平移距离为8个单位长度．故答案为：180 ，8．（2）①连接1AP ，由对称性可得，112PAB P AB P AD P AD ，，进而可得22PAP BAD ，即可得出结论；②连接113,PP P P 分别交,AB CD 于,E F 两点，过点D 作DG AB ，交AB 于点G ，由对称性可知：113PE PE PF P F ，且113PP AB P P CD ，，得出32PP EF ，证明四边形EFDG 是矩形，则DG EF ，在Rt DAG △中，根据sin DG DAG DA，即可求解；（3）解：设AP x ，则12AP AP x ，依题意，12PP AD ，当23P P AD ∥时，如图所示，过点P 作1PQ AP 于点Q ，∴12390PP P∵15PAB ，60 ，∴1320P PAP AB ，1245DAP DAP∴2190P AP ，则12PP ，在1APP 中， 111180752AP P PAP ，∴213180457560P PP ，则13230PP P ，∴13212PP P P在Rt APQ △中，30PAQ ，则1122PQ AP x，2AQ ，在1Rt PQP 中，11PQ AP AQ x x ，1PP ，∴311322PP PP PP x x x 由（2）②可得32sin PP AD ，∵AD ∴326PP ，6 ，解得：x 如图所示，若23P P DC ∥，则13290PP P ，∵21360P PP ，则32130P P P ，则13121222PP PP x ，∵1622PP ，36226222PP x ，∵36PP ，∴62x ，解得：x ，综上所述，AP 的长为．23.【答案】（1）解：∵,90AD BC A ∥，∴18090ABC A ，ADB CBD ，∵对角线BD 平分ADC ，∴ADB CDB ，∴CBD CDB ，∴CD CB ，∴四边形ABCD 为邻等四边形．（2）解：1D ，2D ，3D 即为所求；（3）如图，过C 作CQ AD 于Q ，∵90DAB ABC ，∴四边形ABCQ 是矩形，∴,AQ BC AB CQ ，AD BC ∥，∵BE AC ∥，∴四边形ACBE 为平行四边形，∴8BE AC ，AE BC ，设BC AE x ，而10DE ，∴10AD x ， 10210DQ x x x ，由新定义可得CD CB x ，由勾股定理可得： 22222108x x x ，整理得：220820x x ，解得：110x 210x （不符合题意舍去），∴10CB CD ∴四边形EBCD 的周长为 10821038 【分析】（1）先证明18090ABC A ，ADB CBD ，再证明CD CB ，即可得到结论；。
