2025届高三期初学业质量监测试卷数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}22,2,0,1,3A x x x B =>=−，则A B = （ ）A. {}2,0,3−B. {}2,3−C. {}0,3D. {}3【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A ，然后由交集运算可得. 【详解】解不等式220x x −>，得()(),02,A ∞∞=−∪+， 所以{}2,3A B ∩=−. 故选：B2 已知命题:0,31x p x ∃>>，则p ¬：（ ） A. 0,31x x ∃>≤ B. 0,31x x ∃≤>C. 0,31x x ∀>≤D. 0,31x x ∀>>【答案】C 【解析】【分析】利用存在题词命题的否定是全称量词命题，直接写出结论. 【详解】命题:0,31x p x ∃>>是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以p ¬：0,31x x ∀>≤. 故选：C.3. 函数e ,e ln ln ,e ln x x xxy x x−−− ≥= < 在区间()0,+∞上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.【详解】e ,e ln ln ,e ln x x x x y x x−−− ≥= < ，即{}maxe ,ln xy x −=， 设()e ln xf x x −=−，则()f x 单调递减，且()1,10ef −>=()3ln 3e 0,3f −<=−故存在唯一一个()01,3x ∈使()00,f x = 故在()00,x 上，()eln 0xf x x −=−>，此时{}maxe ,ln e xx y x −−=单调递减； 在()0,x +∞上，()eln 0xf x x −=−<，此时{}maxe ,l l n n xyx x −=单调递增；故e ,e ln ln ,e ln x x xx y x x −−− ≥= <在区间()0,+∞上先减后增. 故选：D4. 已知函数()()211f x x =−−，则（ ） A. ()()11f x f x −=− B. ()()11f x f x −=+C. ()()11f x f x +=−D. ()()11f x f x +=−− 【答案】C 【解析】【分析】根据解析式代入验证即可. 【详解】因()()()2212111f x x f x x −−−≠−−，而()()2111f x f x x +=+=−，所以ff (1+xx )=ff (1−xx ). 故选：C5. 已知235m n==，则4mn =（ ）A.B. 6C. 8D. 9为【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得2log 3mn=，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】由235m n ==，可得23log 5,log 5m n ==，则222232log 5log 5log 3log 5log 5log 3m n===， 则222lo g 3g 23lo 4422log 99mn====. 故选：D6. 设,b c ∈R ，函数()f x x c =++，则“关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ”是“()0f x >恒成立”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充分必要D. 不充分不必要【答案】A 【解析】【分析】由二次函数的性质确定不等式和函数成立的条件，再由充分必要条件得出结果即可； 【详解】因为关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ，则240b c =−< ， 可得()20f x x c c =+=++>恒成立，故充分性成立；取3,2b c ==，满足()0f x >恒成立， 但2320x x ++>的解集为()(),21,−∞−∪−+∞，故必要性不成立；所以“关于x 的不等式20x bx c ++>的解集为R ”是“()0f x >恒成立”的充分不必要条件. 故选：A.7. 已知直线y ax b =+与曲线1y x x=+相切，则2a b +的最大值为（ ） A.12B. 2C.52D. 5【答案】C 【解析】【分析】设切点切点横坐标为()0m m ≠，由题意列出,,a b m 的关系，进而得到2a b +，再由二次函数求最值即可..【详解】设切点横坐标为()0m m ≠，求导：1y x x =+得'211y x=−， 由题意可得2111a m am b m m=−+=+解得：2112a m b m =− = ， 所以222211522222a b m m m +=−++=−−+ ，所以2m =时，2a b +的最大值为52. 故选:C8. 若函数()1f x x x a =−−的3个零点由小到大排列成等差数列，则a =（ ） A. 2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】将问题转化为y x a =−和()10yx x=>的交点，结合函数图象以及一元二次方程的根可得3x =，12x x . 【详解】令()10f x x x a =−−=可得()10x a x x−=>， 在同一直角坐系中作出yx a =−和()10yx x=>的图象如下：要使()1f x x x a =−−有3个零点，则0a >， 由图可知：1x a x =−有一个零点3x ，1x a x=−+有2个零点12,x x ，且12x x <， 即210x ax −−=有一个零点3x ，210x ax −+=有2个零点12,x x ，且12x x <故3x =，12x x ， 由于1322x x x +=2，，平方解得a =±， 由于0a >，故a =， 故选：D【点睛】方法点睛：判断函数yy =ff (xx )零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列曲线平移后可得到曲线2x y =的是（ ） A. 32x y += B. 23xy =−C. 32xy =D. 23xy =【答案】ABD 【解析】【分析】根据图像的平移变换可判断ABD ，根据图像的伸缩变换可判断C.详解】对于A ，曲线32x y +=向右平移3个单位可得到曲线2x y =，故A 正确； 对于B ，曲线23x y =−向上平移3个单位可得到曲线2x y =，故B 正确； 对于C ，曲线32x y =横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线2x y =，故C 错误；【对于D ，曲线22log 3log 322232x x x y −===，向左平移2log 3个单位可得到曲线2x y =，故D 正确； 故选：ABD10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（ ）A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为2200m ，则窗户面积至少应该为230mB. 若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好D. 若窗户面积第一次增加了m %，第二次增加了%n ,地面面积两次都增加了%2m n+，则教室的通风效果变差 【答案】BC 【解析】【分析】设该公寓窗户面积为x ，依题意列出不等式组求解可判断A ；记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时根据B ，C ，D 设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B ，C ，D. 【详解】对于A ，设该公寓窗户面积为x ，则地板面积为200x −，依题意有15%200200xxx x≥− <−100x ≤<， 所以，这所公寓的窗户面积至少为2600m 23，故A 错误； 对于B ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时窗户增加的面积为10%a ⋅，同时地板增加的面积为10%b ⋅，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为()()110%10%,10%110%a a a a a b b b b b++⋅==+⋅+， 所以公寓采光效果不变，故B 正确；对于C ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时增加的面积为c .由题可知，0,0a b c <<>，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为,a a c b b c++， 因为()()()()()b ac a b c c b a a c a b c b b b c b b c +−+−+−==+++，且0,0,0a b c b a <<>−>， 所以0a c ab c b+−>+，即a c abc b +>+,所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了， 故C 正确；对于D ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，则窗户增加后的面积为()()1%1%n m a ++⋅,地板增加后的面积为21%2m n b + +⋅，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为()()21%1%,1%2n m aa b m n b ++⋅++⋅， 因为()()()()221%1%1%%%%1%1%%%22n m n m m n m n m n n m +++++=++++++，又因为0,0,2m n m n +>>≥2%%%2m n m n + ≥， 因为()()()()221%1%1%%%%11%1%%%22n m n m m n m n m n n m +++++=≤++++++，所以()()21%1%1%2n m a ab m n b ++⋅≤+ +⋅ , 当m n =时()()21%1%1%2n m a ab m n b ++⋅=++⋅，采光效果不变，所以无法判断公寓的采光效果是否变差了， 故D 错误. 故选：BC.11. 设函数()f x 的定义域关于原点对称，且()f x 不恒为0，下列结论正确的是（ ） A. 若()f x 具有奇偶性，则满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 中恰有一个为常函数，其函数值为0B. 若()f x 不具有奇偶性，则满足()()()f x p x q x =+奇函数()p x 与偶函数()q x 不存在C. 若()f x 为奇函数，则满足()()()f x p x q x =奇函数()p x 与偶函数()q x 存在无数对D. 若()f x 为偶函数，则满足()()()f x q p x =的奇函数()p x 与偶函数()q x 存在无数对 【答案】ACD 【解析】【分析】利用奇偶性的定义即可判断A 选项；通过举例()2f x x x =+，即可判断B 选项；通过构造的()()11p x f x n =+，()1,q x n =+即可判断C 选项；通过构造()121n p x x +=()()21,n q x f x +=即可判断D 选项.【详解】对于A ，()()()f x p x q x =+，则()()()()()f x p x q x p x q x −=−+−=−+，当()f x 为奇函数时，则()()()20f x f x q x +−==，即()0q x =； 当()f x 为偶函数时，则()()()20f x f x p x −−==，即()0p x =， 即满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 中恰有一个为常函数，其函数值为0，故A 正确；对于B ，当()2f x x x =+，()2,()p x x q x x ==时，()f x 不具有奇偶性， 满足()()()f x p x q x =+的奇函数()p x 与偶函数()q x 存在，故B 错误；对于C ，()f x 为奇函数时，令奇函数()()1,N 1p x f x n n =∈+，偶函数()1,N q x n n =+∈，则()()()p x q x f x =，N n ∈ ，故存在无数对奇函数()p x 与偶函数()q x ，满足()()()f x p x q x =.故C 正确；对于D ，()f x 为偶函数，令奇函数()121,N n p x xn +=∈，偶函数()()21,N n q x f x n +=∈，则()()()121n q p x q x f x +==，N n ∈ ，故存在无数对奇函数()p x 与偶函数()q x ，满足()()()f x q p x =.故D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设函数()f x 的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个()f x =______． 【答案】2x （答案不唯一） 【解析】【分析】只需要函数在不同点处的切线斜率不同即可. 【详解】设()2f x x =，则()2f x x ′=.在()2f x x =上任取一点()200,x x ，则函数在该点处的切线方程为：()2002y x x x x −=−即2002y x x x =−.只要0x 不同，切线方程就不同. 故答案为：2x （答案不唯一）13. 已知矩形()ABCD AB AD >的周长为24，将ABC 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后与DC 交于点P ．设AB x =，则DP =______________（用x 表示），当ADP △的面积最大时，x =______________．【答案】 ①. 1272x x−. ②. 【解析】【分析】结合图形，折叠后易得ADP CB P ′≅ ，设DPB P y ′==，利用Rt B PC ′ ，即可求得DP 的表示式；依题意，求出ADP △的面积表示式，利用基本不等式即可求得面积最大值，从而得到此时x 的值.【详解】如图2是图1沿着AC 折叠后的图形，因AB x =，则12AD x =−，因矩形()ABCD AB AD >的周长为24，则612x <<，对折后12AD B C x ′==−,易得ADP CB P ′≅ ,设DPB P y ′==，则CP x y =−,在Rt B PC ′ 中，由勾股定理，222()(12)x y y x −=+−，整理得1272x y x −=，即DP =ADP △的面积为1127272(12)6()1082x S x x x x−=⋅−⋅=−++，因612x <<，则当且仅当72x x=时，72x x +≥此时x =时，max 6108108S =−×+=−.故答案为：1272x x−；14. 已知a 为常数，且0a >．定义在R 上的函数()f x 满足：()()()3f x a f x f x a +≤≤+，且当0x a ≤≤时，()2f x ax x =−，则a =______________． 【答案】1 【解析】【分析】根据题意，先求出()300,()f f a a a ==−，再赋值得到()303a a f a −≤≤，将(3)f a 转化为()3(3)2()f a f a f a a a ≤≤=−，运用不等式传递性，得到330a a a a −≤≤−.式子恒成立.只能30a a −=.解方程即可.【详解】0x a ≤≤时，()2f x ax x =−，则()300,()f f a a a ==−. 0a >．定义在RR 上的函数()f x 满足：()()()3f x a f x f x a +≤≤+．令0x =，得到()()()03f a f f a ≤≤，即()303a a f a −≤≤.由于()()3(3)22()()f a f a a f a f a a f a a a =+≤=+≤=−，则330a a a a −≤≤−.则要使得式子恒成立，则30a a −=，解得0,a =或1,a =或者1a =−. 由于0a >.则1a =. 故答案为：1．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1B B ⊥平面1,90,1ABC ABC AB BC BB ∠=°===，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 上的动点，且1AEBF B G ==．（1）求证：11A F C G ⊥；（2）若平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13，求BF ． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）12【解析】【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出110A F C G ⋅=，得到垂直关系；（2）在（1）的基础上，得到10A F EG ⋅=，故1A F EG ⊥，从而得到线面垂直，故()11,1,A F m =−− 为平面1EGC 的一个法向量，结合平面11AA B B 的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出m ，从而求出BF .【小问1详解】因为1B B ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ， 所以1B B AB ⊥，1B B BC ，又90ABC ∠=°，故1,,B B AB BC 两两垂直，以B 为坐标原点，1,,BA BB BC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为11AB BC BB ===，1AE BF B G ==，设1AE BF B G m ===，01m ≤≤， 所以()()()()111,1,0,0,0,,0,1,1,0,1,0A F m C G m −，则()()()()()()110,0,1,1,01,1,,0,1,00,1,10,,1A F m m C G m m =−=−−=−−=−− ， 则()()111,1,0,,10A F C G m m m m ⋅=−−⋅−−=−=， 故11A F C G ⊥；【小问2详解】()1,0,0E m −，则()()()0,1,01,0,01,1,0EG m m m m =−−−=−−，则()()11,1,1,1,0110A F EG m m m m m ⋅=−−⋅−−=−+−=，则1A F EG ⊥，又1C G EG G ∩=，1,C G EG ⊂平面1EGC ， 所以1A F ⊥平面1EGC ，故()11,1,A F m =−−为平面1EGC 的一个法向量，又平面11AA B B 的法向量为()0,0,1n =， 则平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为1cos A F ，又平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13， 13=，解得12m =，故12BF =. 16. 某学习小组研究得到以下两个公式：①22sin()sin()sin sin αβαβαβ+⋅−=−；②22sin()sin()cos cos αβαββα+⋅−=−．（1）请你在①和②中任选一个进行证明；（2）在ABC 中，已知4sin sin()sin sin(),cos ,25C A BB C A A BC −=−==，求ABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）34【解析】【分析】（1）若选①，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明； 若选②，利用两角和差的正弦公式及同角之间的关系即可证明；（2）利用两角和差的正弦公式及正弦定理可得22cos a bc A =，再利用面积公式求解. 【小问1详解】 若选①，证明如下：()()sin()sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+⋅−=+−()()22222222sin cos cos sinsin 1sin 1sin sin αβαβαβαβ−=−−− 22sin sin αβ−若选②，证明如下：()()sin()sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+⋅−=+−()()22222222sin cos cos sin 1cos cos cos 1cos αβαβαβαβ=−=−−−22cos cos βα−【小问2详解】由已知sin sin()sin sin()C AB BC A −=−可得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A −=− 即()sin sin cos cos sin 2sin sin cos A C B C B B C A +=即()2sin sin 2sin sin cos sin 2sin sin cos A C B B C A A B C A +=⇒= 由正弦定理可得22cos a bc A =又()4cos ,2,0,5ABC a A π===∈，所以53,sin 25bc A ==， 所以ABC 的面积11533sin 22254S bc A ==××=17. 分别过椭圆22:143x y C +=的左、右焦点,F F ₁₁作两条平行直线，与C 在x 轴上方的曲线分别交于点,P Q ．（1）当P 为C 的上顶点时，求直线PQ 的斜率； （2）求四边形12PF F Q 的面积的最大值．【答案】（1）（2）3 【解析】【分析】（1）结合图形，易得P ，求得1PF 的斜率，由直线2QF 与椭圆的方程联立，求得点8(5Q ，即得直线PQ 的斜率；（2）结合图形，由对称性可知，四边形PRSQ 是平行四边形，四边形12PF F Q 的面积是PRSQ 面积的一半，设直线PR 的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出||PR 和点2F 到直线:10l x my −+=的距离d ，得到四边形12PF F Q 的面积函数式，利用换元和对勾函数的单调性即可求得面积的最大值. 【小问1详解】由22:143x y C +=可知12(1,0),(1,0)F F −,椭圆上顶点为，即P ,直线1PF 2QF 的方程为：1)yx =−，将其代入22:143x y C +=整理得，2580x x -=，解得，0x =或85x =，因点Q 在x 轴上方,故得点8(5Q ，于是直线PQ的斜率为：PQ k ==； 【小问2详解】如图，设过点,F F ₁₁的两条平行线分别交椭圆于点,P R 和,Q S ， 利用对称性可知，四边形PRSQ 是平行四边形，且四边形12PF F Q 的面积是PRSQ 面积的一半.显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成构成四边形），可设直线PR 的方程为:1,l x my =− 代入22:143x y C +=，整理得：22(34)690m y my +−−=，显然0∆>， 设1122(,),(,)P x y R x y ，则122122634934m y y m y y m+= + =−+，于是，||PR2212(1)34m m +=+， 点2F 到直线:10l x my −+=的距离为d =则四边形12PF F Q的面积为221112(1)||2234m S PR d m +=⋅=×=+令t1t ≥，且221m t =−，代入得，2212121213(1)4313t t St t t t==−+++，因函数1133()3y t t t t=+=+在[1,)+∞上单调递增，故，当1t =时，13yt t =+取得最小值为4，此时max 3S =.18. 已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为23，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为11,24.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A ，蓝方击中红方目标为事件B .求： （1）概率()(),P A P B ；（2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X 的概率分布及数学期望； （3）在4轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率． 【答案】（1）1()2P A =，1()3P B = （2）分布列见解析，()16E X =（3）31162【解析】【分析】（1）根据概率的乘法公式即可求出()(),P A P B ； （2）求出X 的可能取值范围及对应的概率，求出()E X ； （3）分蓝方击中0、1和2次三种情况讨论. 【小问1详解】22()3314P A =×=，211()323P B =×=；【小问2详解】X 的可能取值为1,0,1−，因为612131)1(P X ×−===，112132321(0)2P X +=×=×=，31211)3(2P X ×===，所以分布列为：X 1− 0 1所以111()0636E X =−++=； 【小问3详解】若蓝方击中0次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为422242112()C ()()32227=，若蓝方击中1次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为133********C ()()C ()()332281=， 若蓝方击中2次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为222441211C ()()()33254=， 所以红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为28131278154162++=. 19. （1）函数2x y =与2log y x =的图象有怎样的关系?请证明；（2）是否存在正数c ，对任意的x c >，总有222log xx x >>？若存在，求c 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）已知常数1a >，证明：当x 足够大时，总有log x a a a x x >>．【答案】（1）关于直线y x =对称，证明见解析；（2）存在，min 4c =；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）利用互为反函数的性质判断并证明.（2）由22x y x =−零点，可得min 4c =，再构造函数，利用导数证明4x >时不等式恒成立. （3）根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理推理即得. 【详解】（1）函数2x y =与2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，令(,)a b 为函数2x y =图象上任意一点，即2a b =，则2log a b =，因此点(,)b a 在函数2log y x =的图象上，反之亦然，而点(,)a b 与(,)b a 关于直线y x =对称， 所以函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称.（2）存在正数4c =，对任意的4x >，222log xx x >>恒成立， 令()22xf x x =−，显然()()240f f ==，根据指数函数与幂函数的增长特征，在()2,4x ∈上恒有()0f x <，当4x >时，求导得()2ln 22x f x x ′=−，令()2ln 22,4x F x x x −>，求导得2()2(ln 2)2x F x ′=−，函数()F x ′在(4,)+∞上单调递增，2()(4)(4ln 2)20F x F ′′>=−>， 函数()F x 在(4,)+∞上单调递增，(4)16ln 288(ln 41)0F =−=−>，函数()f x 在(4,)+∞上单调递增，因此(4,)x ∀∈+∞，()(4)0f x f >=； 令22()log ,4x x x x ϕ=−>，求导得1()2ln 2x x x ϕ′=−，函数()x ϕ′在(4,)+∞上单调递增， 1()(4)804ln 2x ϕϕ′′>=−>，因此函数()ϕx 在(4,)+∞上单调递增，()(4)140x ϕϕ>=>， 所以存在正数c ，对任意的x c >，总有222log x x x >>，min 4c =.（3）1a >，不妨令1x >，则不等式ln ln ln ln x ax aa x x a a x x a>⇔>⇔<， 令ln ln (),1x a g x x x a=−>，求导得21ln ()xg x x −′=，当1e x <<时，()0g x ′>；当e x >，()0g x ′< 函数()g x 在(1,e)上单调递增；在(e,)+∞上单调递减，当e a ≥时，(,)x a ∀∈+∞，()()0g x g a <=， 当1e a <<时，由()0g a =，得是函数()g x 的一个零点， 又1ln (e)0e a g a =−>，而x 趋近于正无穷大时，ln ln x ax a−趋近于ln 0a a −<， 因此存在大于e 的正数0x ，使得0()0g x =，当0x x >时，0()()0g x g x <=， 所以对于1a >，存在正数0x ，使得0x x ∀>，恒有x a a x >；1a >，不妨令1x >，log 0a x t =>，不等式ln log ln 0a at a tx x a t a a t>⇔>⇔−<， 令l (n )ln ta a t th −=，则函数()h t 在(0,e)上单调递增；在(e,)+∞上单调递减，max1l ()(en e)a a h t h =−=，令()ln ,1H a a a a =>，求导得()1ln 0H a a ′=+>，函数()H a 在(1,)+∞上单调递增，值域为(0,)+∞，存在01a >，使得01()e H a =，当0a a ≥，即e1ln a a ≥时，(e,)t ∀∈+∞，()0h t <恒成立，当01a a <<，即e 10ln a a <<时，函数l (n )ln ta a t th −=有两个零点1212,(1e )t t t t <<<， 对于2(,)t t ∀∈+∞，()0h t <恒成立，因此对于1a >，存在正数2t ，使得2x t ∀>，log a a x x >恒成立， 取02max{,}M x t =，对于任意的x M >，log x a a a x x >>成立， 所以当x 足够大时，总有log x a a a x x >>.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.。
