江苏省南京市2021届高三上学期期初数学试题(解析版)

第7题 导数的几何意义及应用一、原题呈现【原题】若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则（ ） A. e b a < B. e a b < C. 0e b a << D. 0e a b <<【答案】D 【解析】解法一：设过点(),a b 的切线与曲线e x y =切于(),e tP t ,对函数e x y =求导得e x y '=,所以曲线e x y =在点P 处的切线方程为()e e t t y x t -=-,即()e 1e t t y x t =+-,由题意可知,点(),a b 在直线()e 1et ty x t =+-上,所以()()e 1e 1e tttb a t a t =+-=+-,过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则方程()1etb a t =+-有两个不同实根,令()()1e t f t a t =+-,则()()e tf t a t '=-.当t a <时,()0f t '>,此时函数()f t 单调递增,且()0f t >,当t a >时,()0f t '<,此时函数()f t 单调递减,所以,()()max e af t f a ==,如图所示,当直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点时,当0e a b <<时,直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选D.解法二：画出函数曲线e x y =的图象如图所示,根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0e a b <<.故选D.【就题论题】本题主要考查利用导数的几何意义研究确定的切线,注意等价转化思想的应用：切线有两条→切点(),ett 有2个t −−−−−−→整理出关于的方程关于t 的方程()1e t b a t =+-有2个不同实根→直线y b =与()()1e t f t a t =+-有2个交点.另外由解法二可知：点(),a b 在曲线下方且在x 轴上方时符合条件的切线有2条；点(),a b 在曲线上或在x 轴上或在x 轴下方时符合条件的切线有1条；点(),a b 在曲线上方时符合条件的切线不存在；若把题中的切线换成3y x =,点(),a b 位置与切线条数有何关系,有兴趣的同学可以探讨一下.二、考题揭秘【命题意图】本题考查导数几何意义的应用,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等.【考情分析】导数的几何意义是高考的一个高频考点,考查热点主要有：求曲线在某点处的切线；求两条曲线的公切线；确定满足条件的曲线的条数. 【得分秘籍】(1) 导数的几何意义是研究曲线的切线的基石,函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率．也就是说,曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是()0f x '.求以曲线上的点(x 0,f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0),并化简．(2) 研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线. (3) 求曲线切线的条数一般是设出切点()(),t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,把切线条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题. 【易错警示】(1) 求导出错,如一下几个函数的导数比较容易出错：()211cos sin ,x x x x ''⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭； (2)混淆在某点处的切线与过某点的切线,注意求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x 0,y 0),解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0,y 0),进而确定切线方程． (3)对曲线的切线理解失误,如误认为曲线的切线与曲线只有1个公共点,又如误认为0x =不是曲线3y x =在0x =处的切线方程.三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷） 单选题1．（2021广东省肇庆市高三二模）曲线()1ln f x x x=-在()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．230x y --= B ．210x y --= C ．230x y +-=D ．210x y +-=【答案】A 【解析】()211x f x x=+',()11f =-,()12f '=,故切线方程为()()121y x --=-,即230x y --=. 故选A.2．（2021湖南省部分学校高三下学期联考）函数32()71f x x x =-+的图象在点(4,(4))f 处的切线斜率为（ ） A ．8- B ．7- C ．6- D ．5-【答案】A【解析】因为()2314f x x x '=-,所以所求切线的斜率为()43161448f '=⨯-⨯=-.故选A3．（2021山东省滨州市高三二模）设曲线2ax y e =(e =2.718…为自然对数的底数)在点()0,1处的切线及直线210x y --=和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则a =（ ）A ．1-B ．14-C ．14D ．1【答案】B【解析】由题意,函数()2axf x e=,可得()22axf x ae'=,则()02f a '=,即曲线2ax y e =在点()0,1处的切线的斜率为2k a =,所以切线方程为12y ax -=,即21y ax =+,要使得切线与直线210x y --=和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则满足两直线垂直,即221a ⨯=-,解得14a =-.故选B. 4．（2021江苏省盐城市高三5月第三次模拟）韦达是法国杰出的数学家,其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系,如：设一元三次方程)(3200ax bx cx d a +++=≠的3个实数根为1x ,2x ,3x ,则123b x x x a ++=-,122331c x x x x x x a++=,123d x x x a =-.已知函数)(321f x x x =-+,直线l 与)(f x 的图象相切于点)()(11,P x f x ,且交)(f x 的图象于另一点)()(22,Q x f x ,则（ ） A ．1220x x -= B ．12210x x --= C ．12210x x ++= D ．1220x x +=【答案】D【解析】)(261f x x ='-,211()61k f x x '∴==-,又直线过点)()(22,Q x f x ,332221211221212121()()222()1f x f x x x x x k x x x x x x x x --+-∴===++---222212112()161x x x x x ∴++-=-,化简得22212120x x x x +-=,即2121(2)()0x x x x +-=,12x x ≠,2120x x ∴+=,故选D5．（2021湖南省永州市高三下学期二模）曲线()2ln f x x =在x t =处的切线l 过原点,则l 的方程是（ ） A ．20x ey -= B ．20x ey += C ．20ex y -= D ．20ex y +=【答案】A【解析】曲线()2ln f x x =,2()f x x'=,切点为(),2ln t t ,所以切线l 的斜率(2)k f t t '==,又直线l 过原点,所以0220lnt k t t -==-,得1lnt =,t e =．所以2k e=,故切线l 的方程为()22y x e e -=-即20x ey -=．故选A ．6．（2021广东省肇庆市高三下学期5月模拟）函数1()cos f x x x=-的图像的切线斜率可能为（ ） A ．13-B ．2-C ．53-D ．4-【答案】A【解析】由1()cos f x x x=-,得'21()sin f x x x =-+,因为210x >,sin [1,1]x ∈-,所以'()1f x >-,所以函数1()cos f x x x=-的图像的切线斜率大于1-,故选A7．（2021河北省衡水中学高三第一次联考）已知M 为抛物线2:4C x y =上一点,C 在点M 处的切线11:2l y x a =+交C 的准线于点P ,过点P 向C 再作另一条切线2l ,则2l 的方程为（ ） A ．1124y x =-- B ．122y x =-+ C ．24y x =-+ D ．24y x =--【答案】D【解析】设()00,M x y ,由题意知,214y x =,则12y x '=,C 在点M 处的切线11:2l y x a =+,所以001122x x y x =='=,所以01x = ,则11,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,将11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭代入11:2l y x a =+的方程可得14a =-,即111:24l y x =-,抛物线2:4C x y =的准线方程为：1y =- ,则3,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设2l 与曲线C 的切点为()00,N x y ,则20000011(1)433222x x y x x +--==⎛⎫+-- ⎪⎝⎭,解得04x =-或01x =（舍去）, 则(4,4)N -,所以2l 的方程为24y x =--.故选D8．（2021湖南省衡阳市高三下学期联考）若函数()()210f x ax a =->与()1ln g x x =-的图象存在公切线,则实数a 的最小值为（ ） A ．12eB ．21eC ．2eD ．1【解析】法一：设公切线与()f x ,()g x 图象分别切于点()()1122,,A B x y x y ，, 则()f x 图象在A 处的切线方程为：()()211112y ax ax x x --=--,即21121y ax x ax =-++,同理：()g x 图象在B 处的切线方程为：()()22211ln y x x x x --=--, 即2212ln y x x x =-+-,由上述两直线重合,122121212ln ax x ax x⎧=⎪⎨⎪+=-⎩消元1x 可得,()22211ln 4x x a =-,令()()()21ln 0h x x x x =->,则()()12ln h x x '=-,当(x ∈时,()0h x '>,当)x ∈+∞时,()0h x '<,所以()h x 在(单调递增,在)+∞单调递减,则()max 142e h x h a≤==,解得12a e≥, 方法二：在同一坐标系中作出()f x ,()g x 的图象如图所示：由图象知：()f x ,()g x 分别为上凸和下凸函数,要使()f x ,()g x 存在公切线, 只须()()f x g x ≤在()0,∞+上恒成立即可,即2ln xa x≥在()0,∞+上恒成立 令()2ln x h x x =,求导得()312ln xh x x-'=,当(x ∈时,()0h x '>,当)x ∈+∞时,()0h x '<,所以当x =,()h x 取得最大值为12e ,所以12a e≥故选A 9．（2021江苏省南通等七市2021届高三下学期2月调研）已知曲线ln y x =在()11,A x y ,()22,B x y ,两点处的切线分别与曲线x y e =相切于()33,C x y ,()44,D x y ,则1234x x y y +的值为（ ）A ．1B ．2C ．52D ．174【答案】B【解析】由题设有33111311ln 1x x e x x e x x x ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩,化简可得111311ln 1x x x x x -=-即31111ln ln x x x x x =+-=-, 整理得到1111ln 1x x x +=-,同理2221ln 1x x x +=-,不妨设12x x <,令12ln ln 111x y x x x x +=-=----,因为当()0,1x ∈时,2ln ,1y x y x ==--均为增函数,故1ln 1x y x x +=--为增函数, 同理当()1,x ∈+∞时,故1ln 1x y x x +=--为增函数,故12,x x 分别为1ln 1x y x x +=--在()0,1、()1,+∞上的唯一解,又1111111111lnln ,111x x x x x x ++=-=---,故111111ln 11x x x +=-, 故11x 为1ln 1x y x x +=--在()1,+∞的解,故211x x =即121=x x . 所以34123412121212x x x x y y x x ex x x x ++=+=+=,故选B. 10．（2021江苏省苏州市常熟市高三抽测）已知两曲线()2sin f x x =,()cos g x a x =,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭相交于点P ,若两曲线在点P 处的切线互相垂直,则实数a 的值为（ ） A ．2 BC ．2± D．±【答案】B【解析】设切点(P m ,)(0)2n m π<<,由()2sin f x x =的导数()2cos f x x '=,()cos g x a x =的导数()sin g x a x '=-, 可得2cos (sin )1m a m ⋅-=-,所以1sin cos 2m m a=, 又2sin cos m a m =, 即sin tan (0)cos 2m am a m ==>,则2222sin cos tan 12sin cos 1214a m m m m m a sin m cos m tan m a====+++,即为2314a =,解得3a =,故选B11．（2021山东省高考考前热身押题）若x ,y R ∈,0x >,求()()2224ln 21x y x x y -+---的最小值为（ ） ABC ．165D【答案】C【解析】问题可以转化为：()2,4ln A x x x-是函数24ln y x x =-图象上的点,(),21B y y +是函数21y x =+上的点,()()22224ln 21AB x y x x y =-+---.当与直线21y x =+平行且与()f x 的图象相切时,切点到直线21y x =+的距离为AB 的最小值.()2422,20,1f x x x x x x=-=+-==',舍去负值, 又()11f =-,所以()1,1M -到直线21y x =+的距离即为AB 的最小值.min AB =,2min 165AB =.故选C.12．（2021河北省邢台市高考模拟）若曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线,则m 的取值范围为（ ） A ．427,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．427,0e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．427,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．4271,e ⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A【解析】∵曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线, ∴函数()11xmy xe x x =+<-+的导函数存在两个不同的零点, 又()()'2101x my x e x =+-=+,即()31xm x e =+在(),1-∞-上有两个不同的解,设()()()311x f x x e x =+<-,()()()2'14xf x x e x =++,当4x <-时,()'0fx <；当41x -≤<-时,()'0f x >,所以()()4min 274f x f e =-=-, 又当x →-∞时,()0f x →,当1x →-时,()0f x →, 故427,0m e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.故选A. 13．（2021福建省龙岩市高三三模）若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线,也是曲线1x y e =-的切线,则k b +=（ ）A ．ln22- B ．1ln22- C ．ln212- D ．ln22【答案】D【解析】设曲线2x y e -=上的点11(,)P x y ,2x y e -'=,121x k e -=； 曲线1x y e =-上的点22(,)Q x y ,e x y '=,22xk e =；11122211x x x l y e x e x e ---∴=+-：,222221x x x l y e x e x e ∴=+--：121122222121x x x x x x e e e x e e x e ---⎧=∴⎨-=--⎩,2ln 2x ∴=-, 2222111ln 21(ln 2)2222x x x k b e e x e ∴+=+-+=+--=．故选D ． 二、多选题14．（2021广东省深圳市高三下学期二模）设函数()xf x e ex =-和()()()21ln 122g x x kx k x k =-+-+∈R ,其中e 是自然对数的底数()2.71828e =,则下列结论正确的为（ ）A ．()f x 的图象与x 轴相切B ．存在实数0k <,使得()g x 的图象与x 轴相切C ．若12k =,则方程()()f x g x =有唯一实数解 D ．若()g x 有两个零点,则k 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】()x f x e e '=-,若()f x 的图象与x 轴相切,则()01xf x e e x '=-=⇒=,又(1)0f =,则切点坐标为(1,0),满足条件,故A 正确；()()212(12)1(1)(12)212kx k x x kx g x kx k x x x-+-++-'=-+-==,()0x >, 当0k <时,易知()0g x '>恒成立,不存在为0的解,故不存在实数0k <,使得()g x 的图象与x 轴相切,B 错误； 由上所述,()f x 在(0,1)x ∈上单减,(1,)x ∈+∞上单增,则()(1)0f x f ≥=； 若12k =,()211ln 22g x x x =-+,()(1)(1)x x g x x+-'=,()g x 在(0,1)x ∈上单增,(1,)x ∈+∞上单减,()(1)0g x g ≤=,故方程()()f x g x =有唯一实数解1x =,故C 正确；()(1)(12)x kx g x x+-'=,()0x >,当0k ≤时,()0g x '>恒成立,()g x 单增,不存在2个零点,故舍去； 当0k >时,()g x 在1(0,)2k 上单增,在1(,)2k+∞上单减,且0x →时,()g x →-∞,x →+∞时,()g x →-∞,故若()g x 有两个零点,则应使最大值102g k ⎛⎫>⎪⎝⎭, 即()21111111ln ()12ln 202222242g k k k k k k k k ⎛⎫=-+-+=-->⎪⎝⎭, 令11()ln 242h k k k =--,易知()h k 单调递减,且1()02h =, 因此()0h k >的解集为1(0,)2k ∈,D 正确；故选ACD15．（2021河北省邯郸市高三三模）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法,做法如下：如图,设r 是()0f x =的根,选取0x 作为r 的初始近似值,过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线()()()000:'l y f x f x x x -=-,则l 与x 轴的交点的横坐标()()()()01000'0'f x x x f x f x =-≠,称1x 是r的一次近似值；过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线,则该切线与x 轴的交点的横坐标为x 2,称x 2是r 的二次近似值；重复以上过程,得r 的近似值序列,其中()()()()1'0'n n n n n f x x x f x f x +=-≠,称1n x +是r 的n +1次近似值,这种求方程()0f x =近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程22x =的近似解,则（ ）A ．若取初始近似值为1,则该方程解的二次近似值为1712 B ．若取初始近似值为2,则该方程解的二次近似值为1712C ．()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =----D ．()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =-+-+【答案】ABC【解析】构造函数2()2f x x =-,则'()2f x x =,取初始近似值01x =,则()()01001231'212f x x x f x -=-=-=⨯,()()12119231743'21222f x x x f x -=-=-=⨯,则A 正确；取初始近似值02x =,则()()0100423222'2f x x x f x -=-=-=⨯,()()12119231743'21222f x x x f x -=-=-=⨯,则B 正确；根据题意,可知()()0100'f x x x f x =-,()()1211'f x x x f x =-,()()2322'f x x x f x =-,()()3433'f x x x f x =-,上述四式相加,得()()()()()()()()0123400123''''f x f x f x f x x x f x f x f x f x =----,则D 不正确,C 正确,故选ABC.16．（2021河北省唐山市高三下学期第二次模拟）若直线y ax =与曲线()x f x e =相交于不同两点()11,A x y ,()22,B x y ,曲线()x f x e =在A ,B 点处切线交于点()00,M x y ,则（ ）A ．a e >B ．1201x x x +-=C ．2AM BM AB k k k +>D ．存在a ,使得135AMB ∠=︒【答案】ABC【解析】对于A ：当0a ≤时,直线y ax =与曲线()x f x e =没有两个不同交点,所以>0a ,如图1所示, 当直线y ax =与曲线()x f x e =相切时,设切点为()(),P t f t ,则'()x f x e =,所以切线方程为：()t ty e e x t -=-,代入点()00，解得1t =,此时a e =,所以直线y ex =与曲线()x f x e =相切,所以当a e >时直线y ax =与曲线()x f x e =有两个不同的交点, 当0a e <<时,直线y ax =与曲线()x f x e =没有交点,故A 正确； 对于B ：由已知得11x ax e =,22xax e =,不妨设12x x <,则1201x x <<<,又()x f x e =在点A 处的切线方程为：()111+xxy e x x e =-,在点B 处的切线方程为()222+x xy ex x e =-,两式相减得()()121212+1+0x xx x e e x x ex e --=,将11x ax e =,22x ax e =代入得()()()()121122+1+0x x ax ax x x x a a --⋅⋅=,因为()120a x x -≠,所以121x x x +-=,即1201x x x +-=,故B 正确；对于C ：要证2AM BM AB k k k +>,即证12+>2x x e e a ,即证12+>2a ax x a ,因为>a e ,所以需证12+>2x x .令xax e =,则x e a x =,令()x e g x x =,则点A 、B 是y a =与e xy x=的两个交点,令()()()()201G x g x g x x =--<<,所以()()()2'2212x x e x x x e G x -⎛⎫=-- ⎝-⎪⎪⎭,令()()2>0x e x h x x =,则()()'32x e x h x x -=,所以当()0,2x ∈时,()'0h x <,()h x 单调递减,而01x <<,0122x x <<<-<,所以 ()()>2h x h x -,所以01x <<时,()'0G x <,所以()G x 单调递减,所以()()>10G x G =,即()()112>0g x g x --,又()()12g x g x a ==,所以()()21>2g x g x -, 而()()2'1x x g e xx -=,所以当>1x 时,()'>0g x ,()g x 单调递增,又2>1x ,12>1x -,所以21>2x x -,即12+>2x x ,故C 正确；对于D ：设直线AM 交x 轴于C ,直线BM 交x 轴于点D ,作ME x ⊥轴于点E ．若135AMB ∠=︒,则45AMD ∠=,即45MDE MCD ∠-∠=,所以()tan tan tan 11tan tan 1BM AM AM BMk k MDE MCDMDE MCD +MDE MCD +k k -∠-∠∠-∠===∠⨯∠⨯,化简得1BM AM AM BM k k +k k -=⨯,即21121211x x x x x +x e e e e ++e -=⨯=,所以21121ax ax +ax ax -=⨯,即()21121a x x x x --=,令2112m x x x x =--,则()()211212111m x x x x x x ++=--=--,又1201x x <<<,所以()()2112121111m x x x x x x ++>=--=--,而a e >,所以方程()21121a x x x x --=无解,所以不存在a ,使得135AMB ∠=︒,故D 不正确, 故选ABC ．三、填空题17．（2021山东省百所名校高三下学期4份联考）已知函数()3xf x e mx =-,曲线()y f x =在不同的三点()()11,x f x ,()()22,x f x ,()()33,x f x 处的切线均平行于x 轴,则m 的取值范围是______．【答案】2e ,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】因为函数()3xf x e mx =-,所以()23xf x e mx '=-,又曲线()y f x =在不同的三点()()11,x f x ,()()22,x f x ,()()33,x f x 处的切线均平行于x 轴,所以230xe mx -=有3个不同的解,即23xe m x=,令()2xe g x x =,则()()32x e x g x x-'=,当()0g x '>时,0x <或2x >；当()0g x '<时,02x <<,所以()g x 在2x =时有极小值为()24xe g =,结合函数()2x e g x x =图象可知,234e m >,即212e m >．18.（2021江苏省南京市高三下学期5月第三次模拟）已知直线y kx b =+与曲线2cos y x x =+相切,则2k b π+的最大值为______. 【答案】24π 【解析】由2cos y x x =+得：2sin y x x '=-,设直线y kx b =+与曲线2cos y x x =+相切与点()2000,cos x x x +,则002sin k x x =-,又2000cos x x kx b +=+,则20000cos sin b x x x x =-+,()20000002sin cos sin 22k b x x x x x x ππ∴+=-+-+200000sin cos 2x x x x x ππ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭,令()2sin cos 2f x x x x x x ππ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭,()sin cos sin 22cos 22f x x x x x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫'∴=++---=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos 22x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,1cos 1x -≤≤,cos 20x ∴-<,∴当,2x π⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<；()f x ∴在,2π⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,()222maxcos 22244f x f πππππ⎛⎫∴==+-=⎪⎝⎭,即2k b π+的最大值为24π. 四、解答题18．（2021广东省惠州市高三调研）已知实数0a >,函数()22ln f x a x a x x=++,(0,10)x ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点,曲线()y f x =在点11(,())P x f x ､22(,())Q x f x (12x x <)处的切线分别为12l l ，,且12l l ，在y 轴上的截距分别为1b ､2b ．若12l l //,求12b b -的取值范围． 【解析】（1）()()()()222212010ax ax a f x a x x x x+-'=-++=<<. 0a >,010x <<, 20ax ∴+>.①当110a ≥,即当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0f x '<, ()f x ∴在()0,10上单调递减；②当1010a <<,即1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<； 当1,10x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,10a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.综上所述：当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()f x 在()0,10上单调递减； 当1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,10a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.（2）1x =是()f x 的极值点,()10f '∴=,即()()210a a +-=, 解得：1a =或2a =-（舍）, 此时()2ln f x x x x =++, ()2211f x x x'=-++.1l ∴方程为：()1112111221ln 1y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令0x =,得：1114ln 1b x x =+-； 同理可得：2224ln 1b x x =+-. 12//l l ,221122212111x x x x ∴-++=-++, 整理得：()12122x x x x =+,12122x x x ∴=-, 又12010x x <<<,则1112102x x x <<-, 解得：1542x <<, ()1212211111211221222221244ln ln ln 1x x x x x x x x xb b x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭∴-=+=+=+++.令12x t x =, 则1111211,1224x x t x x -⎛⎫=⋅=-∈ ⎪⎝⎭, 设()()21ln 1t g t t t-=++, ()()()()222141011t g t t t t t -'∴=-+=>++, ()g t ∴在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,又()10g =,16ln 445g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()6ln 4,05g t ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭,即12b b -的取值范围为6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

江苏省南京市秦淮区2020-2021学年度第一学期第一阶段质量检测（第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学）期中联考高三数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知全集U=R ，集合M ={}13|<<-x x ，N ={}11|<<-x x ，则阴影部分表示的集合是（ ）A.[]11，- B ．(]13，- C ．(]13--， D ．()()∞+--∞-，，13 【答案】C【考点】集合的运算【解析】由题意阴影部分表示M 中去掉M ∩N 的部分，且M ∩N =N=()11，-，则阴影部分表示：(]13--，，故答案选C. 2．若复数i z -=1，则=-z z 1（ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意()211111111=+=--=-+=⋅-=-=-i i i i i i i i z z ，故答案选B. 3．已知函数()()x x f x x ln 22-+=的图象大致为（ ）【答案】B【考点】函数的图象 【解析】由题意该函数()()()x f x x f x x =-+=--ln 22，为偶函数，且非三角函数类型，则排除D 选项；因为()022>+-x x ，而x ln 可以取到负数，则排除C 选项；去特殊值()01=f ，且当()+∞→+∞→x f x ，，则排除A ，故答案选B.4．()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数是（ ） A ．1 B ．3C ．6D ．10【答案】D【考点】二项式定理展开式 【解析】由题意()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数为10242322=++C C C ，故答案选D.5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若α β=m ，n ⊂α，则n ⊥β【答案】C【考点】立体几何的位置关系判断：平行与垂直【解析】对于A 选项，m 与n 可相交、异面，则选项A 错误；对于B 选项，m 与n 可异面，则选项B 错误；对于C 选项，若m ⊥α，m ∥n ，可推导出n ⊥α，又由n ⊂β，利用面面垂直的判定定理可推出α⊥β，则选项C 正确；对于D 选项，n 与β可平行、相交，则选项D 错误；故答案选C.6．已知奇函数()x f 的图象关于直线x =3对称，当[]30，∈x 时，()x x f -=，则()=-16f （ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D【考点】函数概念与基本性质【解析】由题意()x f 为奇函数，则()()x f x f -=-，又()x f 的图象关于直线x =3对称，则()()x f x f -=6，则有()()()x f x f x f --=-=6，即()()x f x f -=-6，所以()()()()()x f x f x f x f =--=--=-612，则周期为12，所以()()()()224416=-=-=-=-f f f f .故答案选D.7．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3N n n ∈≥，．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【考点】文化题：利用周期性求数列的项【解析】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3，故答案选A.8．已知函数[](()⎩⎨⎧∞+∈--∈+-，，，，0220211x x f x x ，若方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}02|<<-a aB ．{}02|≤<-a aC ．{}2102|<<<<-a a a 或D ．{}102|=<<-a a a 或【答案】D【考点】函数的概念与性质、函数方程（零点）【解析】由题意方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，可等价于函数()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.因为当[]02，-∈x 时，()11+-=x x f ，当(]20，∈x 时，(]022，-∈-x ，所以()()()11222--=-=x x f x f ，因为当()42，∈x 时，()202，∈-x ，所以()()()31422--=-=x x f x f ， 如图，可画出函数()x f y =在[]42，-内的图象，有图象可知，当02<<-a 或a =1时，()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】AC【考点】信息统计与理解应用【解析】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A 正确；对于B 选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值优于甲的直观想象能力指标值，故选项B 错误；对于C 选项，甲的六维能力指标值的平均值为()62343543461=+++++⨯，乙的六维能力指标值的平均值为()623434534561>=+++++⨯，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C 正确；对于D 选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D 错误；故答案选AC.10．若将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=122cos πx x f 的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()x g 的最小正周期为πB ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递减C ．12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴D ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21- 【答案】ACD【考点】三角函数的图象与性质【解析】由题意可知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos 1282cos πππx x x g ，对于选项A ，()x g 的最小正周期为ππ=22，所以A 选项正确；对于选项B ，若()x g 单调递减，则[]Z k k k x ∈+∈+，，ππππ2232，解得Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈，，ππππ36，所以()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，上单调递减，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递增，所以B 选项错误；对于选项C ，当12π=x 时，103122cos 12±≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππg ，所以12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴，故C 选项正确；对于选项D ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈66ππ，x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32032ππ，x ，则()x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈121，，即()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21-，故D 选项正确。

2021届江苏省南京市秦淮中学高三上学期期初调研数学试题一、单选题1．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x <<【答案】B【解析】化简集合B ，求出R C A ，利用交集的定义运算即可． 【详解】{}|1=≤R C A x x ，{}()(){}{}220=|210|12B x x x x x x x x =--<-+<=-<<则()R C A B ={}11x x -<≤故选：B 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2．若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可. 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24 B ．36C ．48D ．64【答案】B【解析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和. 【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题. 4．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BB 1，P 为B 1C 1的中点.则异面直线AC 与BP 所成的角为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B【解析】取A 1B 1中点Q ，可得∠BPQ 就是异面直线AC 与BP 所成的角或补角，进而可证明△BPQ 是等边三角形，从而求得. 【详解】A 1B 1中点Q ，连接PQ ，BQ ，∵PQ ∥AC ，∴∠BPQ 就是，异面直线AC 与BP 所成的角或补角，又∵1111ABCD A B C D -为正四棱柱，且12AB BB = ,P 为11B C 中点， ∴111111,,,B B B P B Q B B B P B Q ==两两垂直，111,,,Rt PB Q Rt PB B Rt BB Q 全等，∴PQ PB BQ ==， ∴△BPQ 是等边三角形， ∴∠BPQ ＝60°，即异面直线AC 与BP 所成的角为60°， 故选：B. 【点睛】本题考查异面直线所成的角，属基础题.5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ） A ．0.6076 B ．0.7516 C ．0.3924 D ．0.2484【答案】A【解析】先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率. 【详解】两人投中次数相等的概率P ＝2211220.40.3+0.60.40.70.3C C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+220.60.70.3924⨯=，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076. 故选：A . 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ） A ．58- B ．18C ．14D ．118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=. 【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 8．设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2e -B ．1e-C ．2D ．2e【答案】D 【解析】利用()'f x 为奇函数求得a 的值，由此求得()'1f 的值.【详解】依题意()()'x x x x fx e ae x e ae --=++-，由于()'f x 是奇函数，所以()'010f a =+=，解得1a =-，所以()()'x x x x f x e e x e e --=-++，所以()'1112f e e e e e=-++=.故选：D 【点睛】本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.二、多选题9．为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ）A ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则1r =B ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C ．若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D ．若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强 【答案】ABD【解析】根据相关系数与变量x 与y 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误. 【详解】若所有样本点都在直线21y x =-+上，且直线斜率为负数，则1r =-，A 、B 选项均错误；若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】本题考查相关系数与线性相关性之间关系的判断，考查推理能力，属于基础题.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有（ ）A ．渐近线方程为y =B ．渐近线方程为3y x =± C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒【答案】BC【解析】由离心率公式222 22c a b a a+=化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到MAN∠的值.【详解】双曲线2222:1y,x y bC xa b a-==±的渐近线方程为离心率为23ca=，2222222224131,,333c a b b b ba a a a a则则，+==+===±故渐近线方程为33y x=±，取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得d APabc==,则cosabAP acPANAN b c∠===，所以221cos cos2212aMAN PANc∠=∠=⨯-=则60MAN∠=︒故选BC【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.11．已知函数()()(0,0,0)f x Acos x Aωϕωϕπ=+>><<的图象的一个最高点为,312π⎛⎫-⎪⎝⎭，与之相邻的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，将()f x的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x的图象，则（）A．()g x为偶函数B．()g x的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()g x 为奇函数D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点 【答案】BD【解析】先根据余弦函数的图象和性质，求得()f x 的解析式，再结合三角函数的图象变换，求得函数()g x 的解析式，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】 由题意，可得()46124T πππ=--=，所以T π=，可得22w Tπ==， 所以()3cos(2)f x x ϕ=+，因为()3cos[2()]31212f ππϕ-=⨯-+=，所以2,6k k Z πϕπ-=∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，即()3cos(2)6f x x π=+，所以()3cos[2()]3cos(2)666g x x x πππ=-+=-， 可得函数()g x 为非奇非偶函数， 令222,6k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间为5[,]1212ππ-； 由2,,62x k k Z πππ-=+∈，解得,3x k k Z ππ=+∈，所以函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点. 故选：BD 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．若0a >，0b >，则下面有几个结论正确的有（ ） A ．若1a ≠，1b ≠，则log log 2a b b a +≥B ．2a b ≥+C ．若142a b +=，则92a b +≥ D ．若22ab b +=，则34a b +≥ 【答案】BCD【解析】根据基本不等式，对选项逐一分析即可. 【详解】对于A ：当01,1a b <<>时，log 0,log 0a b b a <<，即log log 0a b b a +<，故A 不正确；对于B ：若0a >，0b >，由基本不等式得:222a b ab +≥，即有()()2222a b a b +≥+a b ≥=+≥a b =”时取等号，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，11412a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()1141415522922b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=+=， 当且仅当1442,b aa b a b +==，即3,32a b ==时取等号，故C 正确； 对于D ：由0a >，0b >，()22ab b a b b +=+=，即有()24b a b +=，根据基本不等式有：()324a b a b b +=++≥=，当且仅当22,2ab b a b b +=+=，即1a b ==时取等号，故D 正确.综上：BCD 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查基本不等式，应用基本不等时：“一正，二定，三相等”缺一不可，属于基础题．三、填空题13．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.【答案】27n ⨯【解析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a . 【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯, 3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯. 【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.14．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________. 【答案】8【解析】根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解 【详解】由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8 故答案为：8 【点睛】本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题15．已知椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，若直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，则圆O 的半径为___________【答案】1【解析】根据椭圆的性质写出点F 、P 的坐标，求出直线PF 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】由椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，则c =不妨取)F，(P ，则直线PF的方程：0y x -+=， 由直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，所以1R ==.故答案为：1 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质以及点到直线的距离公式，考查了基本运算能力，属于基础题.四、双空题16．棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E —BCD 的体积为_______，该正三棱锥内切球的半径为_______. 【答案】【解析】根据组合体的结构特征，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，列出方程组，求得,R x 的值，利用体积公式，即可求得三棱锥E BCD -的体积与表面积，再结合等体积法，即可求得内切球的半径，得到答案. 【详解】由棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合， 若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上， 所以多面体ABCDE 的外接球即为正四面体ABCD 的外接球， 且其外接球的直径为AE ，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，则()((2222222122R x x R ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得R x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 由题意得证四面体ABCD的高为，外接球的半径为 设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为AE h ==，所以h =因为底面BCD ∆的边长为12，所以EB EC ED ===则正三棱锥E BCD -三条侧棱两两垂直，可得正三棱锥E BCD -的表面积为108S =+体积为V＝21123⨯= 设正三棱锥E BCD -的内切球的半径为r ，由13S r ⋅=r =故答案为：. 【点睛】本题主要考查了组合体的结构各种，以及正三棱锥内切球的半径的求法，三棱锥的体积的计算，其中解答中熟练应用组合体的结构特征，以及球的性质是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及推理与计算能力.五、解答题17．在①cos 220B B +=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】①；证明见解析【解析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得sin B ，结合a ，b ，c 成等差数列可得2b a c =+，3B π=，代入余弦定理公式，即可得2b ac =，结合等式2b a c =+可求得a c =，进而证明ABC ∆为等边三角形. 【详解】选择①cos 220B B +=，证明：则由余弦降幂公式可得212sin 20B B -+=，即(2sin sin 0B B =，由0B π<<可得sin B =， 又因为a ，b ，c 成等差数列，则B 为锐角， 则2b a c =+，3B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得()223b a c ac =+-，即2b ac =，则22a c ac +⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简可得()20a c -=， 即a c =，又因为3B π=，所以ABC ∆为等边三角形. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）4(1)nnT n =+.【解析】（1）本小题先借n S 与n a 的关系判断数列{}n a 为等差数列，再求通项公式即可；（2）本小题直接运用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为1n a +是4和n S 的等比中项，所以2(1)4n n a S +=①，当2n ≥时，211(1)4n n a S --+=②，由①②得：2211(1)(1)44n n n n a a S S --+-+=-，化简得221(1)(1)n n a a --=+，即111n n a a --=+或者11(1)0n n a a --++=（舍去），故12n n a a --=(2)n ≥，数列{}n a 为等差数列，因为211(1)4a S +=，解得11a =，所以数列{}n a 是首项为1、公差为2的等差数列， 通项公式：21n a n =-. （2）∵ 111111(1)(1)2(22)41n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⋅++⎝⎭，∴12311111111(1)()()()42233414(1)n n nT b b b b n n n ⎡⎤=++++=-+-+-++-=⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及数列的前n 项和的求法，考查等差数列的判定，考查裂项相消法求和，考查推理能力与计算能力，是中档题.19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围.为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下： 得分 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100男性人数 49 12 13 11 6 3女性人数1 2 2 21 10 4 2（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，()n a b c d=+++.临界值表：【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，()21 10E X=.【解析】（1）根据题中已知条件完善22⨯列联表，并计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）由题意可知7~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，并由此可计算出随机变量X的数学期望. 【详解】（1）由题意得列联表如下：不太了解 比较了解 合计男性 25 33 58女性 5 37 42合计30701002χ的观测值()22100253733511.29130704258χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为11.29110.828>，所以有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关；（2）由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为70710010=， 73,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()33731010k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k =、1、2、3， 即X 的概率分布列如下表所示：X123P271000189100044110003431000所以()72131010E X =⨯=. 【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了利用二项分布求随机变量的分布列与数学期望值，考查数据处理能力，属于中等题.20．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，//DC EB ，1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D AE B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6-.【解析】（1）结合线面垂直判定定理证明DE ⊥平面ACD 即可；（2）采用建系法，以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系，求出平面DAE 和平面AEB 的法向量，结合向量夹角公式即可求解 【详解】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC BC ⊥，又DC AC C ⋂＝，∴BC ⊥平面ACD ，∵//DC EB ，DC EB ＝，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴//DE BC ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE . （2）当C点为半圆的中点时，AC BC ==以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则()001D ，，，()0E，()0A ，，()0B ，∴()AB =﹣，0,0,1BE =（），()0,DE =，(21)DA =-， 设平面DAE 的法向量为111,m x y z =（）,，平面ABE 的法向量为222,,n x y z =（）， 则00m DA m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00AB BE n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，22200z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x=得(m =，令21x =得()1,1,0n =.∴,63m n cos m n m n⋅===⨯. ∵二面角D AE B --是钝二面角， ∴二面角D AE B --的余弦值为6-.【点睛】本题考查面面垂直的证明，建系法求解二面角的余弦值，属于中档题 21．已知函数321(2)()232a f x x x ax +=++. （1）当2a =时，求过坐标原点且与函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）当()0,2a ∈时，求函数()f x 在[]2,a a -上的最大值. 【答案】（1）4y x =；y x =；（2）32max 5()36f x a a =+. 【解析】（1）设出切点坐标，代入a 的值，表示出切线方程，根据切线过(0，0)，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可． 【详解】（1）设切点坐标为()00,x y ，当2a =时，321()243f x x x x =++， 则2()44f x x x '=++ 所以切线方程为322000000124(44)()3y x x x x x x x ---=++-， 又过原点(0，0)，所以3232000000124443x x x x x x ---=---， 32002203x x +=，解得00x =或03x =-， 当00x =时，切线方程为4y x =﹔ 当03x =时，切线方程为y x =. （2）因321(2)()232a f x x x ax +=++，所以()()()()2222f x x a x a x x a '=+++=++，令()0f x '=，得x a =-，2x =-，①当22a -≥-，即01a <≤时，()f x 在()2,a a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()()(){}max 2,f x max f a f a =-. 因3322382(2)244033f a a a a a a -=-++-=-<， 33223215()230326a f a a a a a a =+++=+>，所以()()2f a f a -<，所以32max 5()()36f x f a a a ==+. ②当22a -<-，即12a <<时，()f x 在()2,2a --上单调递增，在()2,a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()(){}max (2,f x max f f a =-.842(2)2442333f a a a -=-++-=-+<-，3322321523()233266a f a a a a a a =+++=+>， 所以()()max f x f a =. 综上可得：32max 5()()36f x f a a a ==+. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．已知点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点.求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用椭圆的定义求解即可；（2）由题意可知D ，E 两点与点P 不重合，设出D ，E 两点的坐标，求出直线PD 和PE ，设以MN 为直径的圆与直线32y =交于G ，H 两点，利用0GM GN ⋅=，可得出弦长为定值． 【详解】（1）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =.因为24a ==，所以2a =，b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合.因为D ，E 两点关于原点对称，所以设(),D m n ，()E m n --，，()1m ≠±， 设以MN 为直径的圆与直线32y =交于3,2G t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,(0)2H t t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭两点，所以GM GN ⊥直线PD ：332(1)21n y x m --=--当0x =时，33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭直线PE ：332(1)21n y x m +-=-+当0x =时，3+32+12n y m =-+，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭，32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭，因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=，所以2224904(1)n GM GN t m -⋅=+=-. 因为22143m n +=，即223412m n +=，224933n m -=-，所以2304t -=，所以2t =，所以322G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以GH =.所以以MN 为直径的圆被直线32y =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题，考查数量积的坐标表示，属于中档题．。

第一篇备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径专题10 概率统计多选题1.下列判断正确的是（ ） A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1E ξ=； D ．已知直线2ax by +=经过点()1,3，则28a b +的取值范围是[)4,+∞ 【答案】ACD【解析】A 选项，若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，根据正态分布曲线的对称性有()()240.79P P ξξ≥-=≤=，所以()()21210.790.21P P ξξ≤-=-≥-=-=，A 选项正确；B 选项，因为//αβ，直线l ⊥平面α，所以直线l ⊥平面β，又直线//m 平面β，所以l m ⊥，充分性成立；设n αβ=，在α内取平行于n 的直线m n ≠，则l m ⊥且βn//，但是α与β相交，必要性不成立，B 不正确； C 选项，因为14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1414E np ξ==⨯=，C 正确；D 选项，由题意知32a b +=，因为20a >，3820b b =>，所以2824a b +≥=，当且仅当11,3a b ==时取等号，故D 正确.故选：ACD2.由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（ ）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【答案】A BD【解析】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误． 故选：ABD ．3.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人增加了2个 B ．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变 C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD ．他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少 【答案】 ABD【解析】体重在区间[)90,100内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人增加了2个，故A 正确；他们健身后，体重在区间[)100,110内的百分比没有变，所以人数没有变，故B 正确； 他们健身后，20人的平均体重大约减少了()()0.3950.51050.21150.1850.4950.51055kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯= ，故C 错误；因为图（2）中没有体重在区间[)110,120内的比例，所以原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少，故D 正确. 故选：ABD4.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算2K 的观测值 4.762k ≈，则可以推断出（ ）A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 【答案】 AC【解析】对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为30330205=+,故A 正确；对于选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为4043401055=>+,故B 错误； 因为 4.762 3.841k ≈>,所以有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C 正确,D 错误 故选：AC5.甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】 ABD【解析】由题意甲企业产品的成本为10000，其中材料成本1000060%6000⨯=、支付工资1000035%3500⨯=、费用支出500；乙企业产品的成本为12000，其中材料成本1200053%6360⨯=、支付工资1200030%3600⨯=、费用支出2040；丙企业产品的成本为15000，其中材料成本1500060%9000⨯=、支付工资1500025%3750⨯=、费用支出1500015%2250⨯=.所以成本最大的企业是丙企业，费用支出最高的企业是丙企业，支付工资最少的企业是甲企业，材料成本最高的企业是丙企业，A 、B 、D 选项正确，C 选项错误. 故选：ABD.6.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ A ．25 B ．45C ．60D ．75【答案】 BC【解析】设男生的人数为()5n n N *∈，根据题意列出22⨯列联表如下表所示：则()221042310557321n n n n n n Kn n n n⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.841 6.632K≤<，即103.841 6.63221n≤<，得8.066113.9272n≤<，n N*∈，则n的可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60.故选：BC.7.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】ACD【解析】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．故选：ACD．8.如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）A ．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B ．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C ．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D ．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快 【答案】 ABD【解析】对于选项A ，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A 正确； 对于选项B ，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B 正确；对于选项C ，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C 错误； 对于选项D ，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D 正确.故选ABD.9.设集合{2,3,4}M =，{1,2,3,4}N =，分别从集合M 和N 中随机取一个元素m 与n .记“点(,)P m n 落在直线x y k +=上”为事件()*38,k A k k N ≤≤∈，若事件k A 的概率最大，则k 的取值可能是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】 BC【解析】由题意，点(,)P m n 的所有可能情况为(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)，共12个基本事件，则事件3A ：点(,)P m n 落在直线3x y +=包含其中(2,1)共1个基本事件，所以()3112P A =；事件4A ：点(,)P m n 落在直线4x y +=包含其中(2,2)、(3,1)共2个基本事件，所以()416P A =；事件5A ：点(,)P m n 落在直线5x y +=包含其中(2,3)、(3,2)、(4,1)共3个基本事件，所以()514P A =；事件6A ：点(,)P m n 落在直线6x y +=包含其中(2,4)、(3,3)、(4,2)共3个基本事件，所以()614P A =；事件7A ：点(,)P m n 落在直线7x y +=包含其中(3,4)、(4,3)共2个基本事件，所以()716P A =；事件8A ：点(,)P m n 落在直线8x y +=包含其中(4,4)共1个基本事件，所以()8112P A =.综上可得，当5k =或6时，()()()56max 14k P A P A P A ===.故选：BC.10.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）. A ．7()10P B =B ．9()10P A B ⋃=C ．()0P A B ⋂=D ．()()P A B P C ⋃=【答案】 ABC【解析】由题意知A ，B ，C 为互斥事件，故C 正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以7()10P B =，2()10P A =，1()10P C =则9()10P A B ⋃=，故A 、B ，C 正确；故D 错误. 故选ABC.。

江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}220x x x --<，B ＝{}13x x <<，则AB ＝A ．{}13x x -<<B ．{}11x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}23x x << 2．已知(3﹣4i)z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量a ，b 满足a ＝1，b ＝2，且3a b +=，则a 与b 的夹角为A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π4．在平面直角坐标系xOy 中，若点P(0)到双曲线C ：22219x y a -=的一条渐近线的距离为6，则双曲线C 的离心率为A ．2B ．4CD 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b cosC≤2a ﹣c ，则角B 的取值范围是 A ．(0，3π] B ．(0，23π] C ．[3π，π) D ．[23π，π)6．设4log 9a =， 1.22b -=，138()27c -=，则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：22(1)1x y -+=，点B(3，0)，过动点P 引圆A的切线，切点为T ．若PT PB ，则动点P 的轨迹方程为 A ．2214180x y x +-+= B ．2214180x y x +++= C ．2210180x y x +-+= D ．2210180x y x +++=8．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且(1)(1)f x f x +=-．若当x ∈(0，1]时，()f x ＝2log (23)x +，则93()2f 的值是 A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产岀做出预测由上图提供的信息可知 A ．运营商的经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势 10．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =的图象，则 A ．函数()g x 的图象关于直线12x π=对称B ．函数()g x 的图象关于点(6π，0)对称 C ．函数()g x 在区间(512π-，6π-)上单调递增D ．函数()g x 在区间(0，76π)上有两个零点 11．已知5234560123456(2)(12)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则 A ．0a 的值为2 B ．5a 的值为16C ．123456a a a a a a +++++的值为﹣5D ．135a a a ++的值为12012．记函数()f x 与()g x 的定义域的交集为I ．若存在0x ∈I ，使得对任意x ∈I ，不等式[()f x0()]()0g x x x --≥恒成立，则称(()f x ，()g x )构成“M 函数对”．下列所给的两个函数能构成“M 函数对”的有 A ．()ln f x x =，1()g x x=B ．()e xf x =，()eg x x = C ．3()f x x =，2()g x x = D ．1()f x x x=+，()3g x x = 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球（小球 完全浸入水中），水面高度恰好升高3r，则R r＝ ．14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学 第13题家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l ：y ＝4与抛物线C ：214y x =交于A ，B 两点，则弦与拋物线C 所围成的封闭图形的面积为 ．15．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且12n n n S a a +=，n N *∈，则4a ＝；若1a ＝2，则20S ＝ ．（本题第一空2分，第二空3分）16．若不等式2(1)e 1xax bx ++≤对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，则a ＋b 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知向量m ＝(2cos x ，﹣1)，n ＝sin x ，2cos 2x )，x ∈R ，设函数()1f x m n =⋅+． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若a ∈[3π，712π]，且8()5f a =，求cos2a 的值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ， （1）在①13222S S S +=+，②373S =，③2344a a a =，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列{}n a 的通项公式，并判断此时数列{}n a 是否满足条件P ：任意m ，n N *∈，m n a a 均为数列{}n a 中的项，说明理由；（2）设数列{}n b 满足11()n n n na b n a -+=，n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：是否达标性别不达标达标男生36 24女生10 30（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关?附：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++．P(2χ≥k) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（2）如果用这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点E在棱PC上，设CE＝λCP．（1）求证：CD⊥AE；（2）记二面角C—AE—D的平面角为θ，且10cosθ=，求实数λ的值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2214x y +=． （1）设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，T 是椭圆C 上的一个动点，求12TF TF ⋅的取值范围；（2）设A(0，﹣1)，与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，若△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程． 22．（本小题满分12分）已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ． （1）当k ＝2时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0＜x ≤1时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围；（3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+．江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}220x x x --<，B ＝{}13x x <<，则AB ＝A ．{}13x x -<<B ．{}11x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}23x x << 答案：C解析：∵集合A ＝{}220x x x --<，∴集合A ＝{}12x x -<<， 又∵B ＝{}13x x <<，∴AB ＝{}12x x <<，故选C ．2．已知(3﹣4i)z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B 解析：1i 17i 34i 25z +-+==-，故在复平面内z 对应的点为(125-，725)，在第二象限，故选B ．3．已知向量a ，b 满足a ＝1，b ＝2，且3a b +=，则a 与b 的夹角为A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π答案：D解析：223+2=31a b a b a b a b +=⇒+⋅⇒⋅=-， 11cos ,122a b a b a b⋅-<>===-⨯，故a 与b 的夹角为23π，故选D ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若点P(0)到双曲线C ：22219x y a -=的一条渐近线的距离为6，则双曲线C 的离心率为A ．2B ．4CD 答案：A解析：双曲线C ：22219x y a -=的一条渐近线为30x ay -=，6=，解得a =2c e a ===，故选A ． 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b cosC≤2a ﹣c ，则角B 的取值范围是 A ．(0，3π] B ．(0，23π] C ．[3π，π) D ．[23π，π)答案：A解析：∵2b cosC≤2a ﹣c ，∴2sinBcosC ≤2sinA ﹣sinC ，故cosB ≥12， ∴0＜B≤3π，故选A ． 6．设4log 9a =， 1.22b -=，138()27c -=，则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b 答案：C解析：∵9＞8，∴3＞322，故32223log 3log 22>=， 从而有 1.2423log 9log 3122a cb -==>=>>=，故选C ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：22(1)1x y -+=，点B(3，0)，过动点P 引圆A的切线，切点为T ．若PT PB ，则动点P 的轨迹方程为 A ．2214180x y x +-+= B ．2214180x y x +++= C ．2210180x y x +-+= D ．2210180x y x +++= 答案：C解析：设P(x ，y )，∵PT PB ，∴PT 2＝2PB 2，∴2222(1)12[(3)]x y x y -+-=-+，整理得：2210180x y x +-+=，故选C ． 8．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且(1)(1)f x f x +=-．若当x ∈(0，1]时，()f x ＝2log (23)x +，则93()2f 的值是 A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3 答案：B解析：根据奇函数()f x ，满足(1)(1)f x f x +=-，可知函数的周期为4，∴2933331()(48)()()()log 4222222f f f f f =-+=-=-=-=-=-，故选B ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产岀做出预测由上图提供的信息可知 A ．运营商的经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势 答案：ABD解析：从图表中可以看出2029年、2030年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，C 错误，故选ABD ．10．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =的图象，则 A ．函数()g x 的图象关于直线12x π=对称B ．函数()g x 的图象关于点(6π，0)对称C ．函数()g x 在区间(512π-，6π-)上单调递增 D ．函数()g x 在区间(0，76π)上有两个零点 答案：ACD解析：可得()sin(2)3g x x π=+，当12x π=，232x ππ+=，故A 正确；当6x π=，2233x ππ+=，故B 错误； 当x ∈(512π-，6π-)，23x π+∈(2π-，0)，故C 正确； 当x ∈(0，76π)，23x π+∈(3π，83π)，故D 正确． 故选ACD ．11．已知5234560123456(2)(12)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则 A ．0a 的值为2 B ．5a 的值为16C ．123456a a a a a a +++++的值为﹣5D ．135a a a ++的值为120 答案：ABC解析：令x ＝0，得02a =，故A 正确；5544552(2)(2)16C C ⨯-+-=，故516a =，B 正确；令x ＝1，得01234563a a a a a a a ++++++=-①，又02a =， ∴1234565a a a a a a +++++=-，故C 正确；令x ＝﹣1，得0123456243a a a a a a a -+-+-+=②，由①②得：135123a a a ++=-，D 错误．故选ABC ．12．记函数()f x 与()g x 的定义域的交集为I ．若存在0x ∈I ，使得对任意x ∈I ，不等式[()f x0()]()0g x x x --≥恒成立，则称(()f x ，()g x )构成“M 函数对”．下列所给的两个函数能构成“M 函数对”的有 A ．()ln f x x =，1()g x x=B ．()e xf x =，()eg x x = C ．3()f x x =，2()g x x = D ．1()f x x x=+，()3g x x = 答案：AC解析：选项B 满足()()f x g x ≥，故不成立；选项D ，()()F x f x =-()g x 存在两个非零的零点，故不成立． 故选AC ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高3r ，则R r＝ ． 答案：2解析：223244233r R RRr r rππ=⇒=⇒=． 14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l ：y ＝4与抛物线C ：214y x =交于A ，B 两点，则弦与拋物线C 所围成的封闭图形的面积为 ． 答案：643解析：首先得到弦的两个端点的坐标分别为(4，4)，(﹣4，4)，其次得在该两点处的抛物线的切线方程分别为y ＝2x ﹣4，y ＝﹣2x ﹣4，从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为188322⨯⨯=，故弦与拋物线C 所围成的封闭图形的面积为643．15．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且12n n n S a a +=，n N *∈，则4a ＝；若1a ＝2，则20S ＝ ．（本题第一空2分，第二空3分） 答案：4；220解析：根据12n n n S a a +=①，得112n n n S a a --=②，①﹣②得112n n a a +--=，故4224a a =+=；当1a ＝2，可得该数列满足212k k a a -=，且{}21k a -与{}2k a 均为公差为2的等差数列，即可求得20S ＝220．16．若不等式2(1)e 1xax bx ++≤对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，则a ＋b 的取值范围是 ． 答案：(-∞，﹣1]解析：令2()(1)e xf x ax bx =++，()(0)f x f ≤恒成立，显然a ≤0， 2()e [(2)1]xf x ax a b x b '=++++，则(0)101f b b '=+=⇒=-，2()e [(21)]e (21)x x f x ax a x x ax a '=++=+-，当a ＝0时，()f x 在(-∞，0)递增，(0，+∞)递减，()(0)f x f ≤符合题意， a ＜0时，()f x 在(-∞，12a a -)递减，(12aa-，0)递增，(0，+∞)递减 x ＜12a a-，210()0ax x f x -+<⇒<，故()(0)f x f ≤符合题意， 综上，a ≤0，b ＝﹣1，因此a ＋b ∈(-∞，﹣1]．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知向量m ＝(2cos x ，﹣1)，n ＝sin x ，2cos 2x )，x ∈R ，设函数()1f x m n =⋅+． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若a ∈[3π，712π]，且8()5f a =，求cos2a 的值．解：因为 m ＝(2cos x ，－1)，n ＝(3sin x ，2cos 2x )，所以f (x )＝m ·n ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)．（1）T ＝2π2＝π．（2）由f (α)＝85，得sin(2α－π6)＝45．由α∈[π3，7π12]，得π2≤2α－π6≤π，所以cos(2α－π6)＝－1－sin 2(2α－π6)＝－1－(45)2＝－35，从而 cos2α＝cos[(2α－π6)＋π6]＝cos(2α－π6)cos π6－sin(2α－π6)sin π6＝－35×32－45×12＝－4－3310．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ， （1）在①13222S S S +=+，②373S =，③2344a a a =，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列{}n a 的通项公式，并判断此时数列{}n a 是否满足条件P ：任意m ，n N *∈，m n a a 均为数列{}n a 中的项，说明理由；（2）设数列{}n b 满足11()n n n na b n a -+=，n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）选①，因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，因此a n ＝1×2n －1＝2n －1．此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m －1·2n －1＝2m＋n －2，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项， 因此数列{a n }满足条件P ． 选②，因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝73，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝13，因此a n ＝13×2n －1．此时a 1a 2＝29＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． 选③，因为a 2a 3＝4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4， 因此a n ＝4×2n －1＝2n ＋1．此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m ＋1·2n ＋1＝2m＋n ＋2，由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项， 因此数列{a n }满足条件P ．（2）因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a n ＋1a n＝2，因此b n ＝n ×2n －1．所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 则2T n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ， 两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ＝1－2n 1－2－n ×2n＝(1－n )2n －1， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1．19．（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：（1附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．（2）如果用这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X 表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X 的分布列和数学期望．解：（1）假设H 0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得χ2＝100×(36×30－24×10)2(36＋24)×(10＋30)×(36＋10)×(24＋30)＝2450207≈11.836＞6.635，因为当H 0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． （2）记事件A 为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B 为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标． 由题意知：P (A )＝2460＝25，P (B )＝3040＝34．随机变量X 的取值可能为0，1，2，3． P (X ＝0)＝(1－25)2×(1－34)＝9100，P (X ＝1)＝C 12×25×(1－25)×(1－34)＋34×(1－25)2＝39100， P (X ＝2)＝(25)2×(1－34)＋C 12×25×(1－25)×34＝25， P (X ＝3)＝(25)2×34＝325．所以随机变量X 的分布列为：期望E (X )＝0×9100＋1×39100＋2×25＋3×325＝1.55．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝PA ＝1，zxPABCDEyAD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点E在棱PC上，设CE＝λCP．（1）求证：CD⊥AE；（2）记二面角C—AE—D的平面角为θ，且10cosθ=，求实数λ的值．（1）证明：因为∠P AD＝90°，所以P A⊥AD．因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，P A⊂平面P AD，所以P A⊥平面ABCD．又CD⊂平面ABCD，所以CD⊥P A．在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB＝90°，所以∠ABC＝90°，又AB＝BC＝1，所以△ABC是等腰直角三角形，即∠BAC＝∠CAD＝45°，AC＝2．在△CAD中，∠CAD＝45°，AC＝2，AD＝2，所以CD＝ AC2＋AD2－2×AC×AD×cos∠CAD＝2，从而AC2＋CD2＝4＝AD2．所以CD⊥AC．又AC∩P A＝A，AC，P A⊂平面P AC，所以CD⊥平面P AC．又AE⊂平面P AC，所以CD⊥AE．（2）解：因为P A⊥平面ABCD，BA⊥AD，故以{→AB，→AD，→AP}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB＝BC＝P A＝1，AD＝2，所以A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，则→CD＝(－1，1，0)，→AD＝(0，2，0)．因为点E在棱PC上，且CE＝λCP，所以→CE＝λ→CP，设E (x ，y ，z )，则(x －1，y －1，z )＝λ(－1，－1，1)， 故E (1－λ，1－λ，λ)，所以→AE ＝(1－λ，1－λ，λ)．由（1）知，CD ⊥平面P AC ，所以平面ACE 的一个法向量为n ＝→CD ＝(－1，1，0)． 设平面AED 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·→AE ＝0，m ·→AD ＝0，得⎩⎨⎧(1－λ)x 1＋(1－λ)y 1＋λz 1＝0，y 1＝0，令z 1＝1－λ，所以平面AED 的一个法向量为m ＝(－λ，0，1－λ)． 因此 |cos θ|＝|cos<m ，n >|＝|m ·n|m ||n ||＝|λ2·λ2＋(1－λ)2|＝105， 化简得3λ2－8λ＋4＝0，解得λ＝23或2．因为E 在棱PC 上，所以λ∈[0，1]，所以λ＝23．所以当|cos θ|＝105时，实数λ的值为23． 21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2214x y +=． （1）设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，T 是椭圆C 上的一个动点，求12TF TF ⋅的取值范围；（2）设A(0，﹣1)，与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，若△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．解：（1）因为椭圆C ：x 24＋y 2＝1，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设T (x 0，y 0)，则 TF 1→·TF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 02＋y 02－3．因为点T (x 0，y 0)在椭圆C 上，即x 024＋y 02＝1，所以TF 1→·TF 2→＝34x 02－2，且x 02∈[0，4]，所以TF 1→·TF 2→的取值范围是[－2，1]．（2）因为直线l 与坐标轴不垂直，故设直线l 方程y ＝kx ＋m (m ≠－1，k ≠0)．设B (x 1，y 1)，Ｄ(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1．得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1) 1＋4k 2．因为△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB ⊥AD ，即 AB →·AD →＝0， 因此 (y 1＋1)( y 2＋1)＋x 1x 2＝0，即(kx 1＋m ＋1)( kx 2＋m ＋1)＋x 1x 2＝0， 从而 (1＋k 2) x 1x 2＋k (m ＋1)( x 1＋x 2)＋(m ＋1)2＝0， 即(1＋k 2)×4(m 2－1)1＋4k 2－k (m ＋1)×8km1＋4k2＋(m ＋1)2＝0， 也即 4(1＋k 2)( m －1)－8k 2m ＋(1＋4k 2) (m ＋1)＝0， 解得m ＝35．又线段BD 的中点M (－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2)，且AM ⊥BD ， 所以m1＋4k 2＋1－4km 1＋4k 2＝－1k ，即3m ＝1＋4k 2，解得k ＝±5 5．又当k ＝±5 5，m ＝35时，△＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝57625＞0， 所以满足条件的直线l 的方程为y ＝±5 5x ＋35. 22．（本小题满分12分）已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ．（1）当k ＝2时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0＜x ≤1时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围；（3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+． 解：（1）当k ＝2时，f (x )＝2x －x ln x ，f′(x )＝1－ln x ， 由f′(x )＞0，解得0＜x ＜e ；由f′(x )＜0，解得x ＞e ，因此函数f (x )单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． （2）f (x )＝kx －x ln x ，故f′(x )＝k －1－ln x ． 当k ≥1时，因为0＜x ≤1，所以k －1≥0≥ln x ， 因此f′(x )≥0恒成立，即f (x )在(0，1]上单调递增，所以f (x )≤f (1)＝k 恒成立．当k ＜1时，令f′(x )＝0，解得x ＝e k －1∈(0，1)．当x ∈(0，e k －1)，f′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e k －1，1)，f′(x )＜0，f (x )单调递减； 于是f (e k －1)＞f (1)＝k ，与f (x )≤k 恒成立相矛盾． 综上，k 的取值范围为[1，＋∞)． （3）由（2）知，当0＜x ≤1时，x －x ln x ≤1．令x ＝1n 2(n ∈N *)，则 1n 2＋2n 2ln n ≤1，即2ln n ≤n 2－1，因此ln n n ＋1≤n －12． 所以ln12＋ln23＋…＋ln n n ＋1≤02＋12＋…＋n －12＝n (n －1)4．。

2020-2021学年第一学期12月六校联合调研试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2≥16}，集合B ＝{x |ln x ≥0}，则（C U A ）∩B ＝（）A ．[4，＋∞）B ．（1，4]C ．[1，4）D ．（1，4）2．设i 为虚数单位，a ∈R ，“a ＝1”是“复数z ＝a 22－11－i 是纯虚数”的（）条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知圆C 的圆心在直线y ＝x 上，且与y 轴相切于点(0，5)，则圆C 的标准方程是（）A ．(x ＋5)2＋(y －5)2＝25B ．(x －5)2＋(y －5)2＝25C ．(x －5)2＋(y －5)2＝5D ．(x ＋5)2＋(y －5)2＝54．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.8的视标边长为（）A ．a8.010B ．a7.010C ．a8.010-D ．a7.010-5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，直线y ＝32（x ＋a ）与C 的一条渐近线在第一象限相交于点P ，若PA 与x 轴垂直，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．36．已知函数y ＝f (x )的图象如右图所示，则此函数可能是（）A ．f (x )＝sin6x2－x －2xB ．f (x )＝sin6x2x －2－x C ．f (x )＝cos6x 2－x －2xD ．f (x )＝cos6x2x －2－x7．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”（第4题图）yx（第6题图）O字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（）A ．59B ．49C ．716D ．9168．在三棱锥P －ABC 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且AB ＝2，PA ＝PC ＝5，PB 与底面ABC 所成的角的余弦值为223，则三棱锥P －ABC 的外接球的体积为（）A ．9π2B ．8989π6C ．9πD ．27π2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是()A ．若X~B （n ，13），且EX ＝2，则n ＝6B ．设有一个回归方程y ＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0），则P （ξ＞1）＝0.510．若函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移π6个单位得到的图象对应的函数为g (x )，则下列说法中正确的是（）A ．g (x )的图象关于x ＝5π12对称B ．当x [0，π2]时，g (x )的值域为[－32，32]C ．g (x )在区间[5π12，11π12]上单调递减D ．当x ∈[0，π]时，方程g (x )＝0有3个根11．如图，直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC＝1，AB ＝1，E 为AB 中点，以DE 为折痕把ADE 折起，使点A 到达点P 的位置，且PC A ．平面PED ⊥平面EBCD B ．PC ⊥EDC ．二面角P －DC －B 的大小为π4D ．PC 与平面PED 所成角的正切值为2212．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F 直径的圆交y 轴于M 、N 两点，设线段AB 的中点为P ，则（）A ．→OA ·→OB ＝－3p 24B ．若|AF |·|BF |＝4p 2，则直线AB 的斜率为3C ．若抛物线上存在一点E （2，t ）到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为y 2＝8xD ．若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin ∠PMN 的最小值为12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，D 为AB 边上的中点，则→CD ·→AC 等于▲．14．（x －2y ）（x ＋y ）8的展开式中x 2y 7的系数为▲．用数字填写答案）15．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递减，若不等式f (－ax ＋ln x ＋1)＋f (ax －ln x －1)≥2f (1)对x ∈[1，e 2]恒成立，则实数a 的取值范围为▲．16．已知函数f (x )＝3cos （2x ＋π3），当x ∈[0，9π]时，把函数F (x )＝f (x )－1的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，……，x n ，且x 1＜x 2＜x 3＜……＜x n ，记数列{x n }的前n 项和为S n ，则2S n －（x 1＋x n ）＝▲．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在①AC →·AB →＝b 2－12ab ，②a tan C ＝2c sin A ，③S ＝34(a 2＋b 2－c 2)这三个条件中任选一个．．，补充在下面的问题中，并解决该问题．锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，△ABC 的面积为S ，已知______，（1）求角C 的大小；（2）求sin A ＋sin B 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n ＞0，6S n ＝a n 2＋3a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n ＝1S n，若k ＞T n 恒成立，求k 的最小值．19．（本小题满分12分）如图，点C 是以AB 为直径的圆上的动点（异于A ，B ），己知AB ＝2，AC ＝2，AE ＝7，四边形BEDC 为矩形，平面ABC ⊥平面BEDC ．设平面EAD 与平面ABC 的交线为l ．（1）证明：l ∥BC ；（2）求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，……，20），其中x i 和y i 分别表示第i 个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得20180ii x==∑，2014000ii y==∑，()202180i i x x =-=∑，()20218000i i y y =-=∑，()()201700i i i x x y y =--=∑．（1）请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合；（2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？参考公式：相关系数()()niix x yy r --=∑对于一组具有线性相关关系的数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，……，n ），其回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆni ii n i i x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB 面积（O 为原点）的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝te tx (t ＞0)，g (x )＝ln x ，（1）若f (x )在x ＝0处的切线与g (x )在x ＝1处的切线平行，求实数t 的值；（2）设函数φ(x )＝f (x )－g (x )，①当t ＝1时，求证：φ(x )在定义域内有唯一极小值点x 0，且φ(x 0)∈(2，52)；②若φ(x )恰有两个零点，求实数t 的取值范围．2020-2021学年第一学期12月六校联合调研试题高三数学答案一、单选题：1~8：CABDCDBA 二、多选题：9、ABD10、AC11、ACD12、AD三、填空题：13、－8；14、－48；15、[1e ，4e 2]；16、442π3四、解答题：17、解答:(1)选条件①AC →·AB →＝bc cos A ＝b 2－12ab 所以cb ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－12ab ，即b 2＋c 2－a 2＝2b 2－ab ，所以b 2＋a 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝12．…………………………………………………………3分因为C ∈(0，π)，…………………………………………………………4分所以C ＝π3．…………………………………………………………5分选条件②a tan C ＝2c sin A ，有正弦定理得，sin A ·sin C cos C ＝2sin C sin A ，因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ，sin C＞0，因此cos C ＝12，…………………………………………………………3分C ∈(0，π)，…………………………………………………………4分所以C ＝π3．…………………………………………………………5分所以选条件③S △ABC ＝34(a 2＋b 2－c 2)＝342ab cos C ，S △ABC ＝12ab sin C ，3ab cos C ＝ab sin C ，C ∈(0，π)，sin C ＞0，cos C ＞0，tan C ＝3，…………………………………………………………3分C ∈(0，π)，…………………………………………………………4分C ＝π3．…………………………………………………………5分（2）sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(2π3－A )＝32sin A ＋32cos A ＝3sin(A ＋π3)，……………7分A ∈(0，π2)，2π3－A ∈(0，π2)，所以A ∈(π6，π2)，A ＋π6∈(π3，2π3)，……………8分所以sin A ＋sin B ∈(32，3]．…………………………………………………………5分18、解析（1）当n ＝1时，211163a a a =+，解得a 1＝3．……………1分当n ≥2时，由263n n n S a a =+，得211163n n n S a a ---=+，两式相减并化简得()()1130n n n n a a a a --+--=，由于0n a >，所以130n n a a ---=，即13(2)n n a a n --=≥，………………………………4分故{}n a 是首项为3，公差为3的等差数列，所以3n a n =．………………………………6分（2）S n ＝3n （n ＋1）2b n ＝1S n ＝23n （n ＋1）＝23（1n －1n ＋1）．……………………8分故T n ＝b 1＋b 2＋……＋b n ＝23（11－12）＋23（12－13）……＋23（1n －1n ＋1）＝23（1－1n ＋1），由于{T n }是单调递增数列，23（1－1n ＋1）<23……………………10分，所以k ≥23．故k 的最小值为23．……………………12分19、解∶（1）因为四边形BEDC 为矩形，DE//BC ，DE ⊂平面D AB ，BC ⊄平面D AB ，所以BC //平面EAD ，…………………2分又平面EAD ∩平面ABC =l ，又BC ⊂平面C AB ，所以得//l BC ．…………………4分（2）四边形BEDC 为矩形，所以DC ⊥BC ,又平面ABC ⊥平面BEDC ，平面ABC ∩平面BEDC=BC ，DC ⊂平面BEDC ，所以CD ⊥平面ABC ．所以CD ⊥AC ，又AB 为直径，所以AC ⊥BC …………………6分以C 为坐标原点，以CA ，CB ，CD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则(0,0,0)C，A，D，E ，所以(AD =，DE =，平面ABC的法向量1n =，…………………8分设平面ADE 的法向量2(,,)n x y z = ，2200n AD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以00⎧+=⎪=，即2n =，…………………10分所以12121210cos ,5n n n n n n ⋅===⋅…………………12分20、（1）由题意知相关系数()()2070.8758iix x y y r --==∑，…………3分因为y 与x 的相关系数接近1，所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.（2）由题意可得，()()()2012021700ˆ8.7580iii i i x x y y bx x ==--===-∑∑，…………5分400080ˆˆ8.752008.7541652020ay bx =-=-⨯=-⨯=，所以ˆ8.75165yx =+.…………7分（3）以频率估计概率，甲款垃圾处理机器的使用年限为X （单位：年）的分布列为：()10.120.430.340.2 2.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………9分乙款垃圾处理机器使用年限为Y （单位：年）的分布列为：Y1234P0.30.40.20.1()10.320.430.240.1 2.1E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………11分因为()()E X E Y >，所以该机构购买一台甲款垃圾处理机器使用更长久.…………12分21.（1）由222222213a b b e a a -==-=得33b a =①，由椭圆C 经过点31()22，得2291144a b +=②，…………2分联立①②，解得1b =，a =C 的方程是2213x y +=；…………4分（2）由题意可知直线AB 一定存在斜率，设其方程为2y kx =+，联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22(13)1290k x kx +++=，则2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >，设11()A x y ，、22()B x y ，，则1221213k x x k +=-+，122913x x k ⋅=+，…………6分∴1212122AOB POB POA S S S x x x x =-=⨯⨯-=- ，∵22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-⋅=--=+++，…………8分设21k t -=(0t >)，则212236363()16(34)4924t x x t t t -==≤=+++，…………10分当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时2713k =>可取，此时AOB 面积取得最大值32.…………12分注：Δ不检验，扣一分22、解答:（1）f'(x )＝t 2e tx ，g'(x )＝1x，t 2＝1，（t ＞0）t ＝1…………2分（2）①φ(x )＝e x －ln x (x ＞0)，φ'(x )＝e x －1x ，φ''(x )＝e x ＋1x 2＞0，所以φ’(x )在定义域上是增函数，φ'(12)＝e 12－2＜0，φ'(1)＝e －1＞0，所以φ'(x )在区间(12，1)上有唯一零点x 0．当x ∈(0，x 0)时，φ'(x )＜0，即φ(x )是减函数；当x ∈(x 0＋∞)时，φ'(x )＞0，即φ(x )是增函数，所以x 0是φ(x )的唯一极小值点．…………4分e x＝1x 0，x 0＝－ln x 0，x 0∈(12，1)．φ(x 0)＝x 0＋1x 0在(12，1)是减函数，所以φ(x 0)∈(2，52)．…………6分②因为te tx ＞0，ln x ≤0(0＜x ≤1)所以φ(x )＝te tx －ln x 的零点在(1，＋∞)上．由题意得，xφ(x )＝(tx )e tx －x ln x 在(1，＋∞)上两个零点，设h (x )＝x ln x ，h'(x )＝1＋ln x ＞0，所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，h (x )＝h (e tx )，当且仅当x ＝e tx ，即ln x x－t ＝0有两个解．…………8分设p (x )＝ln x x －t (x ＞1)，令p'(x )＝1－ln x x 2＞0，x ＜e ，当x ∈(1，e )，p'(x )＞0，p (x )是增函数，当x ∈(e＋∞)，p’(x )＜0，p (x )是减函数，所以当x ＝e 时，p (x )的最大值为e －1－t ，(Ⅰ)当t ＞e －1时，p (x )＜0恒成立，方程ln x x－t ＝0无解，舍去；…………9分(Ⅱ)当t ＝e －1时，p (x )≤0恒成立，当且仅当p (e )＝0，方程ln x x－t ＝0有唯一解e ，舍去；…………10分(Ⅲ)当0＜t ＜e －1时，设p (e )＝e －1－t ＞0，p (1)＝－t ＜0，所以p (x )在(1，e )有唯一零点，由(Ⅱ)已证ln x ≤x e，ln x x ＝2ln(x 12)x ≤2x 12ex ＝2e x ，p ((2et ＋e )2)＜0，所以p (x )在(e ＋∞)有唯一零点．综上所述，当0＜t ＜e－1时，φ(x )恰有两个零点．…………12分。

2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤【解析】根据交集定义直接求得结果. 【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤ 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2【解析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】 ∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200.【解析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯= ∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______． 【答案】13. 【解析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 5．函数21log y x =+______． 【答案】1[,)2+∞【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由201log 0x x >⎧⎨+≥⎩，得12x ≥，∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题. 6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 【考点】循环结构流程图7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为_______．【答案】2212016x y -=.【解析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程. 【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-= ∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a ±=+220a =∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果. 【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ==本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3.【解析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin 4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x 的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果. 【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：3 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为_______． 【答案】14. 【解析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q-=++=和2311aa q ==可构造方程求得q ，代入求得结果. 【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q114a ∴=本题正确结果：14【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______．【答案】(0，1).【解析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】()f x 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m-+-<得：()()()22111f m f m f m-<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,1 【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______． 【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==，即22016x y += 又()22008PC x y =-+且PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y += 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式. 13．如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅，则ABAD=_______．【答案】33. 【解析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD ，AB表示出CD，FA ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD=，从而得到结果.【详解】作//FG AD，交BD于点GAED FEG∆∆GF EGAD DE∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+==又23BCAD=，可得：2DE EG=3344DF DG EGDC DB EG∴===2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB=++=++=-()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22133312234422FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又2AB AD FA CD⋅=⋅223122AB AD∴=，即223122AB AD=3ABABAD AD∴==本题正确结果：33【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.14．已知函数()1ln,111,122x xf xx x+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x≠，且()()122f x f x+=，则12x x+的取值范围是________.【答案】[32ln2,)-+∞【解析】首先可根据题意得出12x x、不可能同时大于1，然后令121x x，根据122f x f x即可得出122212ln x x x x ，最后通过构造函数12ln 1g xx x x 以及对函数12ln 1g x x x x 的性质进行分析即可得出结果。

江苏省2022届高三数学上学期期中分类汇编专题06 立体几何一、单选题1．（2021·江苏南通·高三期中）已知圆锥SO 的顶点为S ，母线SA ，SB ，SC 两两垂直，且6SA SB SC ===，则圆锥SO 的体积为（ ） A ．182πB ．2πC ．3πD ．3π2．（2021·江苏南通·高三期中）在正方体111-ABCD A B CD 中，M ，N ，Q 分别为棱AB ，111,B B C D 的中点，过点M ，N ，Q 作该正方体的截面，则所得截面的形状是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形3．（2021·江苏南通·高三期中）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4．（2021·江苏·金陵中学高三期中）在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，10AB AC ==2BC =，点G 为三角形ABC 的重心，若四面体ABCD 的外接球的表面积为2449π，则tan AGD ∠=（ ） A ．12B ．2C 22D 2二、多选题5．（2021·江苏连云港·高三期中）在棱长均为2的四棱锥P -ABCD 中，O 为正方形ABCD 的中心，E ，F 分别为侧棱P A ，PB 的中点，则（ ） A ．OF //APB ．平面OEF //平面PDCC ．点E 到平面PBCD ．点A 到平面PDC 6．（2021·江苏南通·高三期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1AD 上，点N 在线段BD 上，则（ ）A ．当M 为1AD 的中点时，1AC MN ⊥B ．当MN ∥平面11CCD D 时，AM BN =C ．当N 为BD 的中点时，三棱锥1C BMN -的体积为16D ．当M 为1AD 的中点时，以M 为球心，MN 为半径的球被平面11BB D D 截得的圆的面积的最小值为4π 7．（2021·江苏南通·高三期中）正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 为BA 1的中点，下列判断正确的是（ ） A ．AB //平面A 1CDB ．直线EC 1与直线AD 是异面直线C ．在直线A 1C 1上存在点F ，使EF ⊥平面A 1CD D ．直线BA 1与平面A 1CD 所成角是6π8．（2021·江苏扬州·高三期中）已知α､β表示不同的平面，m ､n 表示不同的直线，则下列命题中正确的有（ ） A ．若m //n ，n ⊂α，则m //α B ．若m //α，m ⊂β，α∩β=n ，则m //n C ．若m ⊥β，m ⊂α，则α⊥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //n9．（2021·江苏苏州·高三期中）如图，正方形ABCD 与正方形DEFC 边长均为1，平面ABCD 与平面DEFC 互相垂直，P 是AE 上的一个动点，则（ ）A ．CPB ．当P 在直线AE 上运动时，三棱锥D BPF -的体积不变C ．PD PF +D ．三棱锥A DCE -的外接球表面积为3π10．（2021·江苏·南京师大附中高三期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是棱11,AA CC 的中点，过点E ，F 的平面分别与棱11,BB DD 交于点G ，H ，以下四个结论正确的是（ ）A ．正方体外接球的表面积为3πB ．平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为4π C ．四棱锥1C EGFH -的体积为定值 D ．点1B 到平面EGFH 6三、填空题11．（2021·江苏连云港·高三期中）现有四个半径都为2的小球，若把这四个小球完全装入一个球形容器内，则该球形容器半径的最小值为___________.12．（2021·江苏南通·高三期中）2021年9月，我国三星堆遗址出土国宝级文物“神树纹玉琮”，如图所示，该玉琮由整块灰白色玉料加工而成，外方内圆，中空贯通，形状对称．为计算玉琮的密度，需要获得其体积等数据．已知玉琮内壁空心圆柱的高为h ，且其底面直径为d ，正方体(四个面与外侧圆柱均相切)的棱长为a ，且d ＜a ＜h ，则玉琮的体积为______．(忽略表面磨损等)13．（2021·江苏南通·高三期中）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是________.14．（2021·江苏扬州·高三期中）在三棱锥O -ABC 中，AB =2，AC =BC =4，且侧棱长均为___________.15．（2021·江苏·金陵中学高三期中）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底而直径和高均为10cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为___________.（精确到0. 01cm ）.16．（2021·江苏常州·高三期中）正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，点O 为线段1A C 的中点，三棱锥O ABC -的体积为___________，过点O 且垂直于1A C 的平面与底面ABCD 的交线长为___________.四、解答题17．（2021·江苏连云港·高三期中）如图，在三棱柱111ABC A B C ，2BA BC ==，120ABC ∠=，114AA AC ==，160A AB ∠=.(1)证明：1A B ⊥平面ABC ；(2)若123BP BB =，求二面角1P A C A --的正弦值.18．（2021·江苏南通·高三期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，PA CD ⊥，1AB BC PA PC ====，2AD =.(1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若1AC =，求二面角A PD C --的正弦值.19．（2021·江苏南通·高三期中）如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知AB //CD ，AD ⊥CD ，AB ＝AD ＝1，DC ＝DP ＝2，PD ⊥平面ABCD ．(1)求证：BC ⊥平面PBD ；(2)设M ，N 分别为棱P A ，PC 的中点，点T 满足3=DT TP ，求证：B ，N ，T ，M 四点共面．20．（2021·江苏常州·高三期中）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是矩形，11222AB BC A B ===，平面11A D DA ⊥平面ABCD ，平面11A B BA ⊥平面ABCD .(1)求证：1AA ⊥平面ABCD ；(2)若二面角1A BB D --的大小为π6，求四棱台1111ABCD A B C D -的高.21．（2021·江苏南通·高三期中）如图所示，矩形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面垂直，点G 是边AB 上一点，AB =AF =4，AD =2，AG =BE =1，AF ⊥AB ，BE ⊥AB .(1)求证：平面DFG ⊥平面ACF ；(2)求平面DFG 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值.22．（2021·江苏徐州·高三期中）如图①，在梯形ABCD 中，//,4AD BC AD =，3BC =，点F 是边AD 的中点，点E 在边BC 上，且四边形CEFD 为正方形．将梯形ABEF 沿EF 折起，使得AC DE ⊥，得到如图②所示的几何体．(1)证明：平面ABEF ⊥平面CEFD ； (2)求二面角B AC D --的大小．23．（2021·江苏扬州·高三期中）在①(2)cos cos b c A a C -=，②(sin sin )()(sin sin )A B a b c C B +-=-，③tan tan tan 3tan A B C B C ++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若___________. (1)求A ；(2)若点M 在线段AC 上，∠ABM =∠CBM ，573BM 1cos 7B =，求c . 24．（2021·江苏苏州·高三期中）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2AC =，1BC CD ==，30CAD ∠=︒，60ACB ∠=︒，M 是PB 上一点，且3PB MB =，N 是PC 中点.(1)求证：PC BD ⊥；(2)若二面角P BC A --大小为45︒，求棱锥C AMN -的体积.25．（2021·江苏·金陵中学高三期中）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠ABC＝90°，P A ＝2，AC ＝(1)求证：平面PBC ⊥平面PAB ；(2)若二面角P ﹣BC ﹣A 的大小为45°，过点A 作AN ⊥PC 于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小．26．（2021·江苏·南京师大附中高三期中）在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11ACC A 是正方形，1112,====AA AB B C AB BC ，AB ⊥BC ．(1)求证：平面1AB C ⊥平面ABC ；(2)线段1B C 上是否存在点E ，使得直线1A E 与平面1AB C 所成角为6π？参考答案：1．C【解析】根据题意，因为SA ，SB ，SC 两两垂直，且6SA SB SB ===， 所以62AB AC BC ===设圆锥底面半径为r ，结合正弦定理，知6223r 26r = 因此()2262623SO =-=124231633V ππ=⨯⨯=.故选：C. 2．D【解析】如图所示：,,E F H 分别为111,,AD DD B C 中点，M ，N ，Q 确定平面α， NH MQ ∥且N α∈，故NH α⊂，,Q H αα∈∈，故QH α⊂，同理可得FQ α⊂，EF α⊂，EM α⊂，故截面为六边形. 故选：D.3．C【解析】如图所示：将多面体放置于正方体中，以点O 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2则()()()()1,0,2,0,1,2,0,2,1,1,2,0A B C D()1,1,0AB =-，()1,0,1CD =-，设异面直线AB 与CD 所成角为θ所以1cos 22AB CD AB CDθ⋅===⋅，故60θ= 故选：C 4．B【解析】设BC 的中点为E ，因为点G 是ABC 的重心，所以22233AG AE ===， 设ABC 的外心为O ，由题意可得点O 在AE 上，令OA r =，则有222OE EC OC +=，即()2231r r -+=，解得：53r =，又AD ⊥平面ABC ，所以四面体ABCD 的外接球的半径222225294AD ADR r ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 由题意得222524444949AD R πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得：4=AD ， 所以4tan 22AD AGD AG ∠===.故选：B 5．BC【解析】因O 为正方形ABCD 的中心，则O 为线段BD 与AC 中点，如图，F 为PB 中点，因此，OF //PD ，而P A 与PD 相交，即OF 与P A 不平行，A 不正确；OF //PD ，OF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，则有OF //平面PCD ，又E 为P A 中点，同理//OE 平面PCD ，OE OF O ⋂=，,OE OF ⊂平面OEF ，于是得平面OEF //平面PCD ，B 正确； 令A h 为点A 到平面PBC 的距离，E h 为点E 到平面PBC 的距离，显然2,3PBCPO S =，2ABC S =△，由A PBC P ABC V V --=得：1133A PBCABCh SS PO ⋅=⋅322A h =26A h =，因E 为P A 中点，则6E h =C 正确； 令A h '为点A 到平面PCD 距离，由A PCD P ACD V V --=，同上可得266A h '=≠D 不正确. 故选：BC 6．ABD【解析】对于A ，当M 为1AD 的中点时，由正方体的性质可知11C D ⊥平面11AA D D ，DM ⊥1AD ， ∴11C D ⊥DM ，又11C D 11AD D ⋂=， ∴DM ⊥平面11ABC D ，∵2AM =1AB =，12BC ∴12AM AB AB BC ==∴1ABM BC A ∽， ∴1AC BM ⊥，又由DM ⊥平面11ABC D 得1AC DM ⊥，BM DM M ⋂=， ∴1AC ⊥平面DBM ，MN ⊂平面DBM ，1AC MN ⊥，A 正确； 对于B ，分别过M ，N 作1ME DD ⊥，NF CD ⊥，则111111//,//,////ME A B NE BC A B BC B C ，∴ME NF ∥，由MN ∥平面11CC D D ，MN ⊂平面MNFE ，平面11CC D D 平面MNFE EF =，∴MN EF ∥，∴四边形MNFE 为平行四边形，∴ME NF =， ∴1D M DN =，又1D A DB =，∴AM BN =，B 正确；对于C ，1111111111112222312C BMN M BC N M BCD A BC D C ABD ABD V V V V V S -----=====⨯⋅=△，C 错；对于D ，球心M 到平面11BB D D 的距离d =，设DN x =，x ⎡∈⎣，取AD 的中点G ，连接MG ，GN ，则12MG DG ==，∴MN ==∴截面圆半径12r =，当x = ∴截得圆面积最小值为4π，D 正确. 故选：ABD. 7．ACD【解析】对于选项A ，结合正方体的性质，可知//AB CD ，故易得AB //平面A 1CD ，故A 正确；对于选项B ， 结合正方体的性质，易知直线1EC 与直线AD 都在平面11B ADC 中，故B 错误； 对于选项C ，取11A C 的中点O ，连接OE 、11A C 、1BC 、1A B ，易知1//EO BC ， 结合正方体的性质，易知1BC ⊥平面1A CD ，故EO ⊥平面1A CD ，即F 在O 点处时，EF ⊥平面1A CD ，故C 正确；对于选项D ，取1B C 的中点M ，结合正方体的性质，易知BM ⊥平面1A CD ， 因此1BA M ∠即为直线1BA 与平面1A CD 所成角， 因为112BM BA =，190BMA ∠=，所以130BA M ∠=，故D 正确.故选：ACD. 8．BCD【解析】对于A ，满足m //n ，n ⊂α，也可能m α⊂内，故错误； 对于B ，由线面平行的性质定理知，正确； 对于C, 由面面垂直的判定定理知，正确； 对于D, 根据线面垂直的性质定理知，正确. 故选：BCD 9．BD【解析】对于A ，连接,DP CP ，易得22216112CP DP CD DP =+=++=A 错误；对于B ，P 在直线AE 上运动时，△PBF 的面积不变，D 到平面PBF 的距离也不变，故三棱锥D BPF -的体积不变，故B 正确；对于C ，如图，将△ADE 翻折到与平面ABFE 共面，则当D 、P 、F 三点共线时，PD PF +取C 错误；对于D3π，故D 正确. 故选：BD. 10．ACD【解析】对于A：24π3πR S R ==，正确； 对于B ：成最大角时为平面1EBFD 或平面1EB FD 所成角1π4D BD ∠<，错误； 对于C ：11111111122213226C EGFH C EHF C EGF C EGF E C GF V V V V V -----=+===⨯⨯⨯⨯=，正确；对于D ：如图所示建立空间直角坐标系，设H (0，0，m )，设平面EGFH 的法向量为(),,n x y z =，则0102n EF x y n EH x m z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎛⎫⋅=-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩， 取1z =得到11(,,1)22=--n m m ，1||2EB nd n m ⋅===≤=1m =时等号成立，正确.故选：ACD.11．26【解析】当4个小球彼此相外切，与大球内切时，大球半径最小， 四个小球，三个在下一个在上，四个球心连成正四面体.设正四面体ABCD 的边长为2r ，BCD △的外接圆的圆心为1O ，正四面体ABCD 的外接球的球心为O ,则2AB AC AD BC BD CD r ======,1322323BO r == 正四面体的高2212326(2)3AO r r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭设正四面体的外接球半径为R ,则222211()()OB R AO R BO ==-+,∴ 222226129r R R ⎡⎤⎫⎢⎥=-+⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦正四面体的外接球半径6R =， ∴大球半径最小为61r ⎛⎝⎭，又2r =.∴6611226r ⎛⎛=⨯= ⎝⎭⎝⎭26 故答案为：2612．()22344a h a d h a π-π+-。

江苏省南京市三校2021届高三第一学期期中联考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（ ）A. []1,5B. ()2,3C. [)1,2D. (]3,52. 已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A.75B. 75-C. 15D. 15-3. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ） A. 20种B. 50种C. 80种D. 100种4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A. 80里B. 86里C. 90里D. 96里5. 若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)a y x x =>在同一个坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D.6. 设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A. a b c d >>>B. d c b a >>>C. b a c d >>>D. b a d c >>>7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（ ）A. 8B. 16C. 4D. 438. 设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[)0,+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()x f x +>0的解集是（ ） A. (3,)+∞ B. (1,)+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞ D. (,1)(3,)-∞-+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（ ） A. (1,)+∞B. (,0)-∞C. (,)-∞+∞D. (0,)+∞10. 若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（ ） A.43πB.23π C. 23π-D. 43π-11. 设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ） A.11a b+2 B.21a b+的最小值为2 C. 12a b+的最小值为94D.111b a a b +≥++ 12. 设常数R a ∈，N n *∈，对于二项式(1)n x +的展开式，下列结论中，正确的是（ ）A. 若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a n >C. 若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D. 若2a =7n =，则所有奇数项系数和为239三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为1的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为__________.14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是__________元．（四舍五入，精确到整数）15. 数学家研究发现，对于任意的x ∈R ，()357211sin (1)N 3!5!7!(21)!n n x x x x x x n n --*=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为_________米．（精确到1米）16. 如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB DC ，//HG DE ，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为___________.四、解答题：本题共6小题；共70分.将解答写在答题卡中相应的空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设函数2()434sin cos 1f x x x x =-+. （1）求()f x 最小正周期和值域；（2）在锐角ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a =，求ABC 周长的取值范围．18. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由．19. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求PA 的长；（2）求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．20. 在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．未感冒 感冒 使用血清 17 3 未使用血清146（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X ，试写出X 的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A ，类B ）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：Ⅱ类1类2Ⅰ类Aab类Bcd有22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表（部分）()2P k χ≥0.50 0.40 0.25 015 0.10 0.05 0.025 0.010 0005 0.001k0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82821. 设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合： ①方程()0f x x -=有实数解； ②函数()f x 的导数fx 满足0()1f x '<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为42 （1）求椭圆E 的方程；（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．（答案）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（ ）A. []1,5B. ()2,3C. [)1,2D. (]3,5【答案】B2. 已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A.75B. 75-C. 15D. 15-【答案】D3. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ） A. 20种 B. 50种C. 80种D. 100种【答案】B4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A. 80里 B. 86里C. 90里D. 96里【答案】D5. 若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)a y x x =>在同一个坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】C6. 设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A. a b c d >>> B. d c b a >>>C. b a c d >>>D. b a d c >>>【答案】C7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（ ）A. 8B. 16C. 4D. 43【答案】B8. 设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[)0,+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()x f x +>0的解集是（ ） A. (3,)+∞ B. (1,)+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (,1)(3,)-∞-+∞【答案】A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（ ） A. (1,)+∞ B. (,0)-∞C. (,)-∞+∞D. (0,)+∞【答案】AB10. 若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（ ）A.43π B.23π C. 23π-D. 43π-【答案】AC11. 设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ） A.11a b+的最小值为2 B.21a b+的最小值为2 C. 12a b+的最小值为94D.111b a a b +≥++ 【答案】BCD12. 设常数R a ∈，N n *∈，对于二项式(1)n a x +的展开式，下列结论中，正确的是（ ）A. 若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a n >C. 若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D. 若2a =-，7n =，则所有奇数项系数和为239 【答案】BCD三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为1的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为__________. 【答案】3±14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是__________元．（四舍五入，精确到整数） 【答案】36720915. 数学家研究发现，对于任意的x ∈R ，()357211sin (1)N 3!5!7!(21)!n n x x x x x x n n --*=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为_________米．（精确到1米）【答案】8616. 如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB DC ，//HG DE ，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为___________.【答案】108四、解答题：本题共6小题；共70分.将解答写在答题卡中相应的空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设函数2()434sin cos 1f x x x x =-+. （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a =，求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）T π=；[323,523]-++；（2）31,3]+.18. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 【答案】答案见解析19. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求PA的长；（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．【答案】（1）1；（26 .20. 在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．未感冒感冒使用血清17 3未使用血清14 6（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X，试写出X的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：Ⅱ类1 类2 Ⅰ类A a b类B c d有22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++.临界值表（部分）()2P k χ≥ 0.50 0.40 0.25 015 0.10 0.05 0.025 0.010 0005 0.001k0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.21. 设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合：①方程()0f x x -=有实数解；②函数()f x 的导数f x 满足0()1f x '<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．【答案】（1）是集合M 中的元素．理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为42（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22196y x +=或2231248y x +=；（2）答案不唯一见解析.。

南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．53米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3＋4i，则z1z2＝A．25 B．－25 C．7－24i D．－7－24i 2．设集合A，B是全集U的两个子集，则“A∩B＝ ”是“A✶ U B”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a⋅c＝b⋅c＝2，则c的模为A．1 B． 2 C．2 D．224．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为R，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗(VN称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为()RN VN-．已知新冠病毒在某地的基本传染数R＝2.5，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为A．40% B．50% C．60% D．70%5．计算2cos10sin20cos20︒-︒︒所得的结果为A．1 B． 2 C． 3 D．26．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78．1周角等于6000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为A ．12－50B ．17－50C ．21－00D ．35－007．已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且cos θ＝14.若|AB |＝|AF 1|，则双曲线C 的离心率为A ．4B ．15C ．32 D ．28．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，其导函数为f ′(x )，且当x ＞0时，()()ln 0f x f x x x'⋅+>，则不等式(x 2－1)f (x )＜0的解集为A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．对于两条不同直线m ，n 和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为A ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nB ．若m //α，n //β，α⊥β，则m ⊥n 或m //nC ．若m //α，α//β，则m //β或m ⊂βD ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //α或n ⊂α 10．已知a ＞b ＞0，下列选项中正确的为A ．若a －b ＝1，则a －b ＜1B ．若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1C ．若2a －2b ＝1，则a －b ＜1D ．若22log log 1a b -=，则a －b ＜1 11．已知函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |,则A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的图象必有对称轴C ．f (x )的增区间为2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，， D ．f (x )的值域为⎡⎣ 12．已知*n N ∈，n ≥2，p ＋q ＝1，设()22k n kn f k C q-=，其中k ∈N ，k ≤2n ，则 A ．()201nk f k ==∑ B ．()202nk kf k npq ==∑C ．若np ＝4，则f (k )≤f (8)D ．()()0112212nnk k f k f k ==<<-∑∑第II 卷 (非选择题 共90分)三，填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有 ▲ 种．(用数字填写答案)14．已知椭圆22143x y +=的右顶点为A ，右焦点为F ，以A 为圆心，R 为半径的圆与椭圆相交于B ，C 两点，若直线BC 过点F ，则R 的值为 ▲ ．15．在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，且P A ＝2．若点E 、F 分别为AB ，AD 的中点，则直线EF 被四棱锥P －ABCD 的外接球所截得的线段长为 ▲ ．16．牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r 是函数y ＝f (x )的一个零点，任意选取x 0作为r 的初始近似值，过点()()00x f x ，作曲线y ＝f (x )的切线l 1，设l 1与x 轴交点的横坐标为x 1，并称x 1为r 的1次近似值；过点()()11x f x ，作曲线y ＝f (x )的切线l 2，设l 2与x 轴交点的横坐标为x 2，称x 2为r 的2次近似值．一般的，过点(x n ，f (x n ))(n ∈N )作曲线y ＝f (x )的切线l n+1， 记l n+1与x 轴交点的横坐标为x n+1，并称x n+1为r 的的n ＋1次近似值．设()31f x x x =+-(x ≥0)的零点为r ，取x 0＝0，则r 的2次近似值为 ▲ ；设33321n n n n x x a x +=+，n ∈N *，数列{}n a 的前n 项积为T n ．若任意n ∈N *，T n ＜λ恒成立，则整数λ的最小值为 ▲ ．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在①b ＝3a ；②a ＝3cos B ；③a sin C ＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问 题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin B A C C --=，c ＝3， ▲ ？18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋r ，其中r 为常数．(1)求r 的值；(2)设()221log n n b a =+，若数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原来的顺序组成数列{c n }，求123100c c c c ++++的值．某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：(1)请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；(2)该公司计划用7百万元对A ，B 两个项目进行投资．若公司对项目B 投资x (1≤x ≤6)百万 元所获得的利润y 近似满足：y ＝0.16x －0.49x ＋1＋0.49，求A ，B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大?附：①对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，……，(x n ，y n )，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-． ②线性相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱． 参考数据：对项目A 投资的统计数据表中111ni ii x y==∑，212.24ni i y ==∑， 4.4≈2.1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，B 1C ＝6，AB ⊥B 1C. (1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)若点P 在棱BB 1上且直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，求BP 的长21．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线C ：24y x =于A ，B 两点． (1)设直线l 与x 轴的交点为T ．若→AT ＝2→TB ，求实数m 的值；(2)若点M ，N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：A ，B ，M ，N 四点共圆．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ax sin x －x －1，x ∈[]0π，，a ∈R ． (1)当a ＝12时，求证：f (x )≥0；(2)若函数f (x )有两个零点，求a 的取值范围．南京市、盐城市 2021 届高三年级第二次模拟考试数 学 试 题(总分 150 分，考试时间 120 分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷（选择题 共 60 分）一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数 z 1，z 2 在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1＝3＋4i ，则 z 1z 2＝A ．25B ．－25C ．7－24iD ．－7－24i 【答案】A【解析】＋4i)( 3－4i)＝32＋42＝25，故选择A. 2．设集合 A ，B 是全集 U 的两个子集，则“A ∩B ＝∅”是“A ⊆∁U B ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由韦恩图，A ∩B ＝∅，而显然可得 A ⊆∁U B ，又 A ⊆∁U B ，可得 A ∩B ＝∅，所以“A ∩B ＝∅”是“A ⊆∁U B ”的充要条件，故选择 C.3．已知 a ，b 是相互垂直的单位向量，与 a ， b 共面的向量 c 满足 a ·c ＝b ·c ＝2，则 c 的模为A ．1 【答案】DB ． 2C ．2D ．2 2【解析】不妨设 a ，b 分别为平面直角坐标系中 x 轴，y 轴上的单位向量，则 a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，设 c ＝(x ,y )，则 a ·c ＝x ＝2，b ·c ＝y ＝2，所以 c ＝(2,2)，所以|c |＝ 22＋22＝2 2，故选择 D.4．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于 1 时， 每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长．当基本传染数持续低于 1 时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假 设某种传染病的基本传染数为 R 0，1 个感染者在每个传染期会接触到 N 个新人，这 N 人中 有 V 个人接种过疫苗(V 称为接种率)，那么 1 个感染者新的传染人数为 N R 0(N －V )．已知新冠 N 病毒在某地的基本传染数 R 0＝2.5，为了使 1 个感染者传染人数不超过 1，该地疫苗的接种 率至少为()A ．40% 【答案】CB ．50%C ．60%D ．70%R 0 V【解析】为使 1 个感染者传染人数不超过 1，即 (N －V )≤1，即 R 0 (1－ )≤1，由题 R 0＝N N 2.5，所以 2.5(1－V)≤1 V 60%，即接种率至少为 60%，故选择 C. ，所以可解得N ≥N 2cos10º－sin20º 5．计算所得的结果为 cos20ºA ．1B ． 2C ． 3D ．2【答案】C【解析】cos10° ＝ c os(30° － 20°) ＝ c os30°cos20° ＋ sin30°sin20°＋ 1sin20°. 故 22cos10°－sin20°3cos20° ＝＝ 3，故选择C. cos20°6．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为 6000 份，每一份叫做 1 密位的角．以密位 作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数 码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间 画一条短线，如 7 密位写成“0-07”，478 密位写成“4-78”．1 周角等于 6000 密位，记作 71 周角＝60-00，1 直角＝15-00．如果一个半径为2 的扇形，它的面积为 π ，则其圆心角用密6 位制表示为 A ．12-50 B ．17-50C ．21-00D ．35-00【答案】B7π 6 7πS 7 【解析】面积 6 ，半径为 2 的扇形所对的圆心角弧度大小为 θ＝2π·πr 2＝2π·4π＝12π，由题 7 π12意，其密位大小为 6000× 2π ＝1750，故用密位制表示为 17-50.故选择B.x 2 y 27 ．已知双曲线 C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过点 F 2 作倾斜角 1为 θ 的直线 l 交双曲线 C 的右支于 A ，B 两点，其中点 A 在第一象限，且 cos θ ＝4．若|AB |＝|AF 1|，则双曲线 C 的离心率为3 A ．4 B ． 15C ．2D ．2【答案】D1【解析】由双曲线的性质，|AF 1|－|AF 2|＝2a 即|AB |－|AF 2|＝|BF 2|＝2a ，由 cos θ＝ 知 B 点的4a 215 (c －2) () 21 a横坐－ ＝1， a 2 b 2c结合 c 2＝a 2＋b 2 消去 b 2 即离心率为 2.故选择 D.，可得a ＝f (x ) 8．已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数，其导函数为 f ′(x )，且当 x ＞0 时， f ′(x ) ·ln x 0，＋ ＞x 则不等式(x 2－1)f (x )＜0 的解集为 A ．(－1， 1)C ． (－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)【答案】B【解析】设 g (x )＝f (x )·ln x ，则 g'(x )＝f'(x )·ln x ＋f (x )·1(x ＞0)，则由题意 g (x )在(0,＋∞)单调递 x ， 增，且由 g (1)＝0 知，当 x ∈(0,1)时 g (x )＜0，当 x ∈(1,＋∞)时 g (x )＞0，又由 g (x )＝f (x )·ln x ， 故有 x ∈(0,1)或(1,＋∞)时 f(x)＞0.因为 f (x )为奇函数，所以 x ∈(－∞,－1)或(－1,0)时 f (x )＜0. 综上(x 2－1) f (x )＜0 的解集为(－∞,－1)∪(0,1).故选择 B.二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9. 对于两条不同直线 m ，n 和两个不同平面 α，β，下列选项中正确的为 A ．若 m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则 m ⊥n B ．若 m //α，n //β，α⊥β，则 m ⊥n 或 m //nC. 若 m //α，α//β，则 m //β 或 m ⊂βD. 若 m ⊥α，m ⊥n ，则 n //α 或 n ⊂α【答案】ACD 【解析】略10．已知 a ＞b ＞0，下列选项中正确的为A ．若 a － b ＝1，则 a －b ＜1B ．若 a 2－b 2＝1，则 a －b ＜1C ．若 2a －2b ＝1，则 a －b ＜1D ．若 log 2a －log 2b ＝1，则 a －b ＜1 【答案】BCa 2－b 2 1【解析】a －b ＝( a － b )( a ＋ b )＝ a ＋ b ＞ a － b ＝1，A 错误；a －b ＝ a ＋b ＝a ＋b 1 ＜ ，a －b ＜1，B 正确；2a －2b ＝1＝2b (2a －b －1)＞2a －b －1，a －b ＜1，C 正确；log 2a a －b －log 2b ＝1＝log a，a ＝2b ，a －b 无法判断，D 错误；故选择BC.2b 11．已知函数 f (x )＝ |sin x |＋ |cos x |，则A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的图象必有对称轴π，k ⊥Z D ．f (x )的值域为[1，4 8]C ．f (x )的增区间为[k π，k π ＋2] 【答案】ABD【解析】A 显然正确；注意到 f (－x )＝ |sin(－x )|＋ |cos(－x )|＝ |sin x |＋ |cos x |＝f (x )， π＝1， π＝4 8，C 错误；f (x )＝ |sin x | 故 y 轴为 f (x )的一条对称轴，B 正确；注意到 f (0)＝f (2) f (4) k π π(k ∈Z )时，取“＝”，又 f (x )＝＋ |cos x |≤(1＋1)(sin x ＋cos x )≤ 4 8，当且仅当 x ＝ ＋24|sin x |＋ |cos x |≥ |sin x |2＋ |cos x |2＝|sin x |＋|cos x |≥1，当且仅当 x ＝k π(k ∈Z )时，取2 “＝”，D 正确；故选择ABD.k * k 2n － k12．已知 n ⊥N ，n ≥2，p ，q ＞0，p ＋q ＝1．设 f (k )＝C p q，其中 k ⊥N ，k ≤2n ，则2n 2nA ． ∑ f (k )＝1k =02nB ． ∑ kf (k )＝2npqk =0n1 nC ．若 np =4，则 f (k )≤f (8)D ． ∑ f (2k ) f (2k －1)＜ ＜∑ 2 k =0k =1 【答案】AC2n2n2n 2n －1k k － k k 2n k － 1 k 2n k －p k q 2n －1－k ＝ 【解析】A 显然正确； ∑ kf (k )＝ ∑ kC p q ＝ ∑ 2nC p q ＝2np ∑ C 2n 2n －12n －1 k =0 k =0 k =1 k =0k k 2n k－f (k ) C p qp (2n ＋1－k ) f (k ＋1) p (2n －k ) p (2n －k ) 2n 2np ，B 错误； ＝ ＝ ， ＝ ， ≤1≤ k － qkf (k ) f (k －1) 1 k — ＋ －1 2n 1 k q (k ＋1) q (k ＋1) C p q 2n p (2n ＋1－k ) 1n ，2np －p ≤k ≤2np ＋q ，8－p ≤k ≤8＋q ，k ＝8，C 正确；当 p ＝q ＝2时，∑f (2k )qk k =01 n＝ ＝∑f (2k －1)，D 错误；故选 AC. 2 k =1三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13．某班 4 名同学去参加 3 个社团，每人只参加 1 个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有【答案】36▲ 种．（用数字填写答案） 【解析】依题意，四名同学可分为(1，1，2)，有 C 2A 3＝6×6＝36 种. 4 3 x 2 y 2 14 ．已知椭圆4 ＋ 3 ＝1 的右顶点为 A ，右焦点为 F ，以 A 为圆心，R 为半径的圆与椭圆相交 于 B ，C 两点．若直线 B C 过点 F ，则 R 的值为 ⊥ ．13【答案】2【解析】A (2,0), F (1,0), B ，C 两点关于 x 轴对称，即横坐标为 1，代入椭圆方程，得 B ,C 坐 33 2＝ .标为(1， ±2）,R ＝ (2－1)2＋(0 －2) 15．在四棱锥 P －ABCD 中，P A ⊥面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，且 P A ＝ 2．若点 E ，F 分别为 AB ，AD 的中点，则直线 EF 被四棱锥 P －ABCD 的外接球所截得的线段长为▲ ． 【答案】 6【解析】注意到⊥P AC ，⊥PBC ，⊥PDC 均为以 PC 为斜边的直角三角形，故外接球球心O为 PC 中点，R ＝2PC ＝ 3，取 EF 中点 G ，又AC ＝OC ＝故 GO ⊥PC ，d ＝GO ＝ 1P C GC 6l ＝2 R 2－d 2＝ 6.16．牛顿迭代法又称牛顿－拉夫逊方法，它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设 r 是函数 y ＝f (x )的一个零点，任意选取 x 0 作为 r 的初始近似值，过点(x 0，f (x 0))作曲线 y ＝f (x )的切线 l 1，设 l 1 与 x 轴交点的横坐标为 x 1，并称 x 1 为 r 的 1 次近似值；过点(x 1，f (x 1))作曲线 y ＝f (x )的切线 l 2，设 l 2 与 x 轴交点的横坐标为 x 2，并称 x 2 为 r 的 2 次近似值．一般的，过点(x n ，f (x n ))(n ⊥N )作曲线 y ＝f (x )的切线 l n ＋1，记 l n ＋1 与 x 轴交点的横坐标为 x n ＋1，并称 x n ＋1 为 r 的 n ＋1 次近似值．设 f (x )＝x 3＋x －1(x 3x 3＋x n n，n ⊥N *，数列{a n }≥0)的零点为 r ，取 x 0＝0，则 r 的 2 次近似值为 ▲ ；设 a n ＝ 2x 3＋1n 的前 n 项积为 T n ．若任意 n ⊥N *，T n ＜λ 恒成立，则整数 λ 的最小值为 ▲ ．3【答案】4，2【解析】(1) f '(x )＝3x 2＋1，取 x 0＝0，f (0)＝－1，f '(0)＝1，即过点(0，－1)作曲线 y ＝f (x )的切线 l 1 斜率为 1，l 1 方程为 y ＝x －1,交 x 轴点横坐标为 1，即 x 1＝1，f (1)＝1，f '(1)＝4，过点(1，1)作曲线 y ＝f (x )的切线 l 2 斜率为 4，l 2 方程为 y ＝4x －3 交 x 轴点横坐标为3(2)f (x 0)＝； 42 x 3＋1 0x 3＋x －1，f '(x )＝3x 2＋1，切线方程为 y ＝(3x 2＋1)(x －x )＋x 3＋x －1,即 x ＝,可得出0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 x 2＋1 03 2 32x ＋1 n －1 1 3x ＋1 x n －1 n －1 3x ＋x n －1x n －1 n －1 ,即 a ＝ ，所以 n ⊥N * {x }的递推关系式为 x ＝, ＝ , ＝ n n n －1 3x ＋1 x n 2x ＋1 2 3 x n 3x n 2x ＋1n －1 n －1 n －1 x 11 3 1 ，因为 f '(x )＞0，且 f ( )＝－ ，f (1)＝1，所以 f (x )的有唯一零点 x '∈( ，1)，所以 时 T n ＝2 8 2 x n ＋11x 1 当 n ≥1 时，x ⊥(x '，x ) (2， 1)，所以 T ＝ ∈(1，2).故 λ 的最小值为 2. n ＋1 1 n x n ＋1四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)在①b ＝ 3a ；②a ＝3cos B ；③a sin C ＝1 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题 中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在⊥ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 sin B －sin(A －C )＝ 3sin C ，c ＝3，?解：因为 A ＋B ＋C ＝π，所以 sin B ＝sin(A ＋C )，所以 sin B －sin(A －C )＝(sin A cos C ＋cos A sin C ) －(sin A cos C －cos A sin C )＝2cos A sin C ＝ 3sin C ，因为 C ∈(0，π)，所以 sin C ≠0，所以 cos A ＝π又 A ∈(0，π)，所以 A ＝6.若选①，由正弦定理，sin B ＝ 3sin A π 2π所以 B ＝3或 3 ，ππ 若 B ＝3，则 C ＝π－A －B ＝2，所以 b ＝c cos A ＝1 1 S ⊥ABC ＝2bc sin A ＝3×2＝2π π若 B ＝ 3 ，则 C ＝π－A －B ＝6，所以 a ＝c ＝3，1 1 S ⊥ABC ＝2ac sin B ＝2×3×3×若选②，因为 c ＝3，由正弦定理，sin A ＝sin C cos B ，又因为 A ＋B ＋C ＝π， 所以 sin A ＝sin(C ＋B )＝sin C cos B ＋cos C sin B ， 所以 cos C sin B ＝0，又 B ∈(0，π)，所以 sin B ≠0，π所以 cos C ＝0，C ＝2，所以 b ＝c cos A ＝1 1 S ⊥ABC ＝2bc sin A ＝3×2＝1若选③，由正弦定理 c sin A ＝a sin C ＝1，由 c ＝3，sin A ＝2，矛盾，所以这样的三角形不存在 . 18．(本小题满分 12 分)已知等比数列{a n }的前 n 项和 S n ＝2n ＋r ，其中 r 为常数． (1)求 r 的值；(2)设 b n ＝2(1＋log 2a n )，若数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原来的顺序组成数列 {c n }，求 c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100 的值． 解:(1)n ＝1 时，a 1＝S 1＝2＋r ，－1n ≥2 时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以 a 2＝2，a 3＝4，a 22＝1，即 2＋r ＝1，所以 r ＝－1，因为{a n }为等比数列，所以 a 1＝ a 3n此时，对任意 n ⊥N ，a ＝2 ，所以 n ≥2 时，a * n 1－ ≠0， ＝2，故{a }为等比数列，所 n n －1 na n －1以 r ＝－1．(2)b n ＝2(1＋log 2a n )＝2n ，b n ＋1－b n ＝2，所以{b n }是首项为 2，公差为 2 的等差数列．数列{b n }前 100 项为 2，4，6，8，…，200，其中 2，4，8，16，32，64，128 为数列{a n } 中的项，所以{c n }前 100 项为{b n }中前 107 项去除 2，4，8，16，32，64，128 后按原来顺 序构成的数列．故 c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100＝(b 1＋b 2＋…＋b 107)－(a 2＋a 3＋…＋a 8) 107(2＋214) ＝ －2(2 －1)＝11556－256＋2＝11302． 7 2 19．(本小题满分 12 分)某公司对项目 A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：(1)请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，并用相关系数加以说明；(2)该公司计划用 7 百万元对 A ，B 两个项目进行投资．若公司对项目 B 投资 x (1≤x ≤6)百 万元所获得的利润 y 近似满足：y ＝0.16x －0.49＋0.49，求对 A ，B 两个项目投资金额分别x ＋1 为多少时，获得的总利润最大？附：①对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，···，(x n ，y n )，其回归直线方程^y ＝b ^x ＋a^的斜率和 项目 A 投资金额 x（单位：x 百万元）12345所获利润 y（单位：y 百万元）0.30.30.50.91n∑ x i y i －nx · y— －i=截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝n ∑ i i =1n∑ x i y i －nx · y i =1 — －②线性相关系数 r ＝．一般地，相关系数 r 的绝对值在 0.95 以n ( n∑ x i －nx ) ( ∑ y i －ny 2 －2 2－2 )i =1i =1上(含 0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．n n参考数据：对项目 A 投资的统计数据表中∑ x y ＝11， ∑ y ＝2.24， 4.4≈2.1．2i i i i =1 i =1解(y ＝(0.3＋0.3＋0.5＋0.9＋1)÷5＝0.6， 5∑ i ＝1 5∑ 22i =1 5 ∑2 2i =1 5∑ x i y i －5 x · y — －i =1 则b ^ ＝^－ ^ ^ － ＝0.2，a ＝ y －bx ＝0.6－0.2×3＝0，则有y ＝0.2x ， 5 ∑ i i =15∑ x i y i －5 x · y— －2 2＝ ＝ ≈0.9524＞0.95， i ＝1 r ＝2.1 5 5 10×0.44 ∑ x i －5 x ) ( ∑ y i －5 y 2 －2 2－2 ( )i ＝1i ＝1答：线性回归方程为：^y ＝0.2x ；y 与 x 线性相关性较强．(2)由于对项目 B 投资 x (1≤x ≤6)百万元，则对项目 A 投资(7－x )百万元，则总利润为：y ＝0.16x －0.49＋0.49＋0.2(7－x )，(1≤x ≤6)x ＋1 y ＝1.89－0.04x －0.49 ＝1.93－[0.04(x ＋1)＋0.49] x ＋1 ≤1.93－0.28＝1.65x ＋1当且仅当 x ＋1＝3.5，即 x ＝2.5 时，取到最大值 1.65 百万元，答：投资 A 项目 4.5 百万元，B 项目 2.5 百万元，利润最大值为 1.65 百万元． 20．(本小题满分 12 分)如图，三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的所有棱长都为 2，B 1C ＝ 6，且 AB ⊥B 1C ． （1）求证：平面 ABB 1A 1⊥平面 ABC ；4（2）若点 P 在棱 BB 1 上且直线 CP 与平面 ACC 1A 1 所成角的正弦值为 ，求 BP 的长．5z C 1C 1B 1B 1A 1A 1PxCCBOAy （第 20 题图）A （第 20 题图）解(1)证明：取 AB 中点 O ，连结 B 1O ，CO ，在正三角形 ABC 中，CO ⊥AB ，且 CO ＝ 3，因为 AB ⊥B 1C ，CO ∩B 1C ＝C ，所以 AB ⊥平面 B 1CO ，所以 AB ⊥B 1O ，因为 BO ＝1，BB 1＝2，所以 B 1O ＝ 3，因为 B 1O 2＋CO 2＝6＝B 1C 2，所以 B 1O ⊥CO ， 因为 CO ∩AB ＝O ，所以 B 1O 垂直平面 ABC ，又 B 1O ⊆平面 ABB 1A 1，所以平面 ABB 1A 1⊥平 面 ABC ；(2)由(1)，OC ，OA ，OB 1 两两垂直，故可分别以 OC ，OA ，OB 1 方向为 x ，y ，z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系，所以 A (0，1，0)，C( 3，0，0)，B (0，－1，0)，B 1(0，0， 3)，→ → - - 所以AC ＝( 3，－1，0)，CB ＝(－ 3，－1，0)，AA 1＝BB 1＝(0，1， 3)，设BP ＝λBB 1＝(0，- →→ λ， 3λ) ，则CP ＝ C B ＋ BP ＝ (－ 3，λ－1， 3λ).设平面 ABB 1A 1 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，⎧⎪→ ⎧y ＝ 3 则⎨ AC ·n ＝ 3x －y ＝0，取 x ＝1，得⎨ ， ⎪ → ⎩z ＝－1 ⎩ AA 1·n ＝y ＋ 3z ＝0所以 n ＝(1， 3，－1)，设直线 CP 与平面 ACC 1A 1 所成角的大小为 θ， →则 sin θ＝|cos<n ， C P >| ＝(1， 3，－1)·(－ 3，λ－1， 3λ)||12＋( 3)2＋(－1)2× (－ 3)2＋(λ－1)2＋( 3λ)2＝ 2 3 1 1 4 ＝ ，得 4λ －2λ＋ ＝0，解得 λ＝ ， 2 4 4 55× 4λ2－2λ＋41 1所以 BP ＝ BB 1＝ .4 221.已知直线 l :y ＝x ＋m 交抛物线 C :y 2＝4x 于 A ，B 两点． -(1)设直线 l 与 x 轴的交点为 T ，若AT ＝2 TB ，求实数 m 的值；(2)若点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称，求证:A ，B ，M ，N 四点共圆． 解:(1)在 y ＝x ＋m 中令 y ＝0，可得 T (－m ，0)， 设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，- - → → 因为AT ＝2 TB ，所以OA ＝3 OT －2OB ，即(x 1，y 1)＝(－3m －2x 2，－2y 2)，所以 y 1＝－2y 2， 将 y ＝x ＋m 代入 y 2＝4x 可得 y 2－4y ＋4m ＝0， 所以 y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ， 所以 y 1＝8，y 2＝－4，m ＝－8， 所以实数 m 的值为－8．(2)证法 1：设 M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 因为点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称，所以可设直线 MN :x ＋y ＋n ＝0，代入 y 2＝4x 得 y 2＋4y ＋4n ＝0， 所以 y 3＋y 4＝－4，y 3y 4＝4n ， x ＋x 3 4所以 MN 中点为 ( ，－2)，2y 2＋y 2 x 3＋x 4 3 4＝ (y 3＋y 4)2－2y 3y 4 因为 ＝ ＝2－n ，2 8 8所以 MN 中点为(2－n ，－2)， 所以－2＝2－n ＋m ，即 m －n ＝－4，y 3－y 4 4(y 3－y 4) 4因为 k MN ＝ ＝ ＝ ， y 2－y 2x 3－x 4 3 4y 3＋y 4 4 16 所以 k AM ·k BM ＝ 4· ＝ ， y 2＋(y 1＋y 2)y 3＋y 1y 2y 3＋y 1 y 3＋y 2 3因为 y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ，16 4 所以 k AM ·k BM ＝ 16＝ ＝ ＝－1，y 2＋4y 3＋4m 4x 3＋4y 3＋4m m －n 3 所以⊥AMB ＝90º，同理⊥ANB ＝90º， 所以 A ，B ，M ，N 都在以 AB 为直径的圆上， 所以 A ，B ，M ，N 四点共圆．证法 2：因为点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称， 所以可设直线 MN :x ＋y ＋n ＝0，所以 A ，B ，M ，N 满足方程(x －y ＋m )(x ＋y ＋n )＋2(y 2－4x )＝0， 即 x 2＋y 2＋(m ＋n －8)x ＋(m －n )y ＋mn ＝0， 所以 A ，B ，M ，N 四点共圆．注：圆锥曲线上四点共圆的充要条件是两条对棱斜率相反或斜率均不存在，参考我拙作《高 中数学－解析几何系统解析》. 22．(本小题满分 12 分)已知函数 f (x )＝e x －ax sin x －x －1，x ⊥[0，π]，a ⊥R ． 1 (1)当 a ＝2 时，求证：f (x )≥0；(2)若函数 f (x )有两个零点，求 a 的取值范围． 1 1解：(1)当 a f (x )=e x －2x sin x －x －1， ＝2时， 1f'(x )＝e x －2(sin x ＋x cos x )－1，1 1 f'(x )＝e x －2(cos x ＋cos x －x sin x )＝(e x －1)＋(1－cos x ) ＋2x sin x ≥0(因为 x ∈[0，π])， 所以 f'(x )在区间[0，π]为单调递增函数，所以 f'(x )≥f ’(0)＝0， 所以 f (x )在区间[0，π]为单调递增函数，所以 f (x )≥f (0)＝0．1 1≤2时，f (x )≥e x －2x sin x (2)由(1)知，当 a －x －1≥0，当且仅当 x ＝0 时取等号， 此时函数 f (x )仅有 1 个零点．1当a＞2时，因为f(x)＝e x－ax sin x－x－1，所以f′(x)＝e x－a(x cos x＋sin x)－1，f′′(x)＝e x＋a(x sin x－2cos x)．当x∈ π[2，π]时，f′′(x)＞0，所以f′(x)单调递增．π时，f′′′(x)＝e x＋a(3sin x＋x cos x)．当x∈[0，2]因为e x＞0，a(3sin x＋x cos x)≥0，所以f′′′(x)＞0，所以f′′(x)单调递增．πππ又f′′(0)＝1－2a＜0，f′′(2)＝e2＋2a＞0，ππ因此f′′(x)在[0，]上存在唯一的零点x0，且x0⊥(0，)．2当x⊥(0，x0)时，f′′(x)＜0，所以f′(x)单调递减；2π当x⊥(x0，)时，f′′(x)＞0，所以f′(x)单调递增．2又f′(0)＝0，f′(x0)＜f′(0)＝0，f′(π)＝eπ＋aπ－1＞0，因此f′(x)在[0，π]上存在唯一的零点x1，且x1⊥(x0，π)．当x⊥(0，x1)时，f′(x)＜0，所以f(x)单调递减；当x⊥(x1，π)时，f′(x)＞0，所以f (x)单调递增．又f (0)＝0，f (x1)＜f (0)＝0，f(π)＝eπ－π－1＞0，所以f(x)在(x1，π)上存在唯一零点，因此f(x)在[0，π]上有两个零点．综上，a 的取值范围是1(2，＋∞)．18。

2江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试数学试题2020．11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．复数z ＝i (﹣1﹣2i )的共轭复数为A ．2﹣iB ．2＋iC ．﹣2＋iD ．﹣2﹣i【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意可知z ＝i (﹣1﹣2i )=-i +2，则其共轭复数为2＋i.故答案选B.2．设集合M ＝{}2x x x =，N ＝{}lg 0x x ≤，则M N ＝A ．{1}B ．(0，1]C ．[0，1]D ．(-∞，1]【答案】C【考点】集合的交集运算【解析】由题意可知{}10，=M ，{}10|≤<=x x N ，则M N ＝[0，1].故答案选C. 3．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用．比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用．若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为A ．24B ．26C ．28D ．302【答案】B【考点】文化题（数列的通项与求和）【解析】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6，其中1+1+2+3+1+0=8，则211820191820b b S b b S S ++=++=261183=++⨯=，故答案选B.4．已知函数1, 1()(2), 1x mx x f x n x +<⎧=⎨-≥⎩，在R 上单调递增，则mn 的最大值为 A ．2 B ．1 C ．94 D ．14【答案】D【考点】分段函数的单调性、基本不等式综合【解析】由题意可知，函数在R 上单调递增，则m >0，2-n >1，且m ×1+1≤(2-n )1，解得m >0，n <1，m +n ≤1，则由基本不等式可得mn 4121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n m ，当且仅当m=n=21时取等号.故答案选D. 5．一质点在力1F ＝(﹣3，5)，2F ＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则1F ，2F 的合力F 对该质点所做的功为A ．24B ．﹣24C ．110D ．﹣110【答案】A【考点】平面向量在物理中的应用【解析】由题意可知，1F ，2F 的合力F ==1F +2F ==(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，()()51450104，，-=+--=→AB ，则由共点力平衡得合力F 对该质点所做的功为2()()2451421=-⋅-=⋅→→，，AB F .故答案选A. 6．已知函数2()(1)sin f x a x a x =--是奇函数，则曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣1【答案】D【考点】函数的奇偶性与函数的切线方程【解析】由题意函数为奇函数可知a -1=0，则函数可化为()x x f sin -=，则()()10cos -='-='f x x f ，，则由导数得几何意义可知曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为-1.故答案选D.7．若cos(15°＋α)＝3，则sin(60°﹣2α)＝ A． B． C ．59 D ．59- 【答案】D【考点】三角函数的公式运用【解析】由题意()()()95194115cos 2152cos 230cos 2-=-=-+︒=+︒=+︒ααα，则sin(60°﹣2α)＝()[]()95230cos 26090cos -=+︒=-︒-︒=αα.故答案选D.8．某数学兴趣小组对形如32()f x x ax bx c =+++的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是A ．函数()f x 的图象过点(2，1)B ．函数()f x 在x ＝0处有极小值2C ．函数()f x 的单调递减区间为[0，2]D ．函数()f x 的图象关于点(1，0)对称【答案】B 或C【考点】三角函数的图象与性质运用【解析】由题意对于A 选项，()12482=+++=c b a f ；对于B 选项，()()00232=='++='b f b ax x x f ，；对于C 选项，由递减区间可得()()0412200=++='=='b a f b f ，；对于D 选项，函数()f x 的图象关于点(1，0)对称，则有()()011=-++x f x f ，可赋值得到：当x =0时，()012=f ，当x =1时，()()002=+f f ，即可得到010248=+++=++++c b a c c b a 与，综上可知选项B 、C 矛盾，则由A 选项和D 选项解得a =-3，b =3，c =-1，即()()3231133-=-+-=x x x x x f ，则选项BC 错误. 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列结论正确的有A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2B ．命题“∀x ＞0，2x ≥x 2”的否定是“∃x ＞0，2x ＜x 2”C ．“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是存在性命题D ．“x ＜1”是“1122x -<”的必要不充分条件 【答案】BD【考点】不等式的性质、常用逻辑用语中否定、存在性命题、条件考查【解析】由题意可知，对于A 选项，当c =0时不满足，则选项A 错误；2 对于B 选项，否定形式正确，则选项B 正确；对于C 选项，该命题表示任意三个连续的数满足题意，所以为全称性命题，则选项C 错误；对于D 选项，2121<-x 解得10<<x ，显然10<<x 为x ＜1的真子集，则“x ＜1”是“1122x -<”的必要不充分条件，选项D 正确，故综上答案选BD. 10．函数()3sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，0＜ϕ＜π)(x ∈R)在一个周期内的图象如图所示，则A ．函数()f x 的解析式为5()3sin(2)8f x x π=+(x ∈R) B ．函数()f x 的一条对称轴方程是58x π=- C ．函数()f x 的对称中心是(8k ππ-，0)，k ∈ZD ．函数7()8y f x π=+是偶函数 第10题 【答案】BD【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由图象可知周期为πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=8832T ，所以22==T πω，由图象过⎪⎭⎫ ⎝⎛-08，π，则Z k k ∈+=+⨯-，ππϕπ2228，解得Z k k ∈+=，ππϕ243，又0＜ϕ＜π，则043==k ，πϕ，所以函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432sin 3πx x f .对于A 选项，不正确；对于B 选项，当58x π=-时，343852sin 385-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππf ，为最小值，选项2B 正确；对于C 选项，当8ππ-=k x 时，343822sin 38=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππππk k f ，显然对称中心不是(8k ππ-，0)，故选项C 错误；对于D 选项，x x x x f y 2cos 3222sin 3438722sin 387=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππππ，为偶函数，故选项D 正确.综上，答案选BD.11．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a n a a n +=+-(n N *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 A ．11a = B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >【答案】BC【考点】数列的通项与求和 【解析】由121n n n a n a a n +=+-可知nn n n n a n a a n a a n 1121-+=-+=+，即n n n a n a n a 11--=+， 当n =1时，则211a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；n n a a a S +++= 21 11112312011201+++=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n a n a a n a n a n a a a a ，所以n a S n n =+1，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误.综上，答案选BC.12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托2 尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，因此，下列对应法则f 满足函数定义的有A ．(sin )cos 2f x x =B ．(sin )f x x =C ．(1)f x x -=D ．2(2)1f x x x +=+【答案】AD【考点】文化题（函数的概念）【解析】对于A 选项，()x x x f 2sin 212cos sin -==，则()221x x f -=，满足函数的概念，故选项A 正确；对于B 选项，可代入特殊值验证65621ππ或可以为，则x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛，则不满足y 有唯一的值，故选项B 错误；对于C 选项，同样可以带入特殊值验证()1f ，则x 可以为1或0，同样不满足y 有唯一的值，故选项C 错误；对于D 选项，可令t x x =+22，则()221112+=+=++x t x x ，则()()111-≥+=+=t t x t f ，，满足函数的概念，故选项D 正确；综上，答案选AD.三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，M ，N 是BC 上的两动点，且MN ＝2，则AM DN ⋅的最小值为 ．【答案】82【考点】平面向量的线性运算、数量积综合 第13题【解析】由题意AB ⊥CN ，BN ⊥DC ，且可设BM=x ，则CN=2-x ，（0<x <2）则→→→→→→→→→→→→→→→⋅+++=⋅+⋅+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅CN BM CN BM DC BM CN AB AB CN DC BM AB DN AM 0092()()209229180cos 92<<+-=--=︒⋅+=→→x x x x x CN BM ，，则x 2-2x +9=（x -1）2+8≥8，当x =1时取得最小值.14．在等比数列{}n a 中，22a =，516a =，则23102310a a a +++＝ ．【答案】9216【考点】等比数列、错位相减法求和【解析】由题意在等比数列{}n a 中，可解得a 1=1，q =2，则23102310a a a +++＝m =⋅++⋅+⋅+⋅9321210242322 ，则m 221024232210432=⋅++⋅+⋅+⋅ ，两式相减可得()m -=⋅-+++++⋅1094321210222222 ，则()2121222821--+⋅=-m 9216292101010-=⋅-=⋅-，则原式=m =9216.15．函数sin(2)4y x π=+的图像与直线y ＝a 在(0，98π)上有三个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围为 ．【答案】(54π，118π) 【考点】三角函数的性质与函数的零点【解析】由题意因为x∈(0，98π)，则⎪⎭⎫⎝⎛∈+25442πππ，x，可画出函数大致的图象则由图可知当122<<a时，方程()axf=有三个根，由8242πππ==+xx解得，852342πππ==+xx解得，且点()01，x与点()02，x关于直线8π=x对称，点()02，x与点()03，x关于直线85π=x对称，所以421π=+xx，893ππ<<x，则81145321ππ<++<xxx，即⎪⎭⎫⎝⎛∈++81145321ππ，xxx.16．已知函数3ln,1(),1x xf xx x x≥⎧=⎨-+<⎩，令()()g x f x kx=-，当k＝﹣2e2时，有0()0g x=，则x＝；若函数()g x恰好有4个零点，则实数k的值为．（本题第一空2分，第二空3分）【答案】0，1e【考点】双空题：函数取值与函数零点【解析】由题意可知当x≥1时，()02ln2>+=xexxg恒成立，所以x0<0；当x<1时，()0223=++-=xexxxg，可化简得()02122=++-exx，则2210exx+-==或；由上述题意该分段函数在x=0时为其一个零点，则当0≠x时，可令()0=-kxxf，22则解得⎩⎨⎧=≥≠<+-1ln0112x x x x x x k ，，且，，若方程有四个解，则e k 1=. 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边AB ，AD ，BC 上，且满足AE ＝13AB ，AF ＝13AD ，BG ＝23BC ，设AB ?a =，AD b =． （1）用a ，b 表示EF ，EG ；（2）若EF⊥EG ，AB EG 2a b ⋅=⋅，求角A 的值．【考点】平面向量的线性运算即数量积应用【解析】（1）由平面向量的线性运算可知a b AB AD AE AF EF 31313131-=-=-=→→→→→， a b AD AB BG EB EG 32323232+=+=+=→→→→→． （2）由题意因为EF⊥EG ，所以()()()()a b a b a b a b EG EF +-=+⋅-=⋅→→923231 ()()()()09292323122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⋅-=⋅→→a b a b a b a b a b EG EF ，解得22a b =， 所以()A b a a A b a a b a EG AB cos 232cos 32322 =+=+⋅=⋅→→，则可化简上式为A A cos 2cos 3232=+，解得.321cos π==A A ，则 18．（本小题满分12分）2如图，设矩形ABCD(AB ＞BC)的周长为m ，把⊥ABC 沿AC 翻折到⊥AB′C ，AB′交DC 于点P ，设AB ＝x ． （1）若CP ＝2PD ，求x 的值； （2）求⊥ADP 面积的最大值．【考点】三角函数中的实际问题【解析】（1）由题意可知在⊥ABC 中，可设θ=∠=∠CAP CAB ，则由角度关系可得θθπ222=∠-=∠APD PAD ，，设BC=y ，且θπθθtan 332tan tan ===yxy ，，则有33tan tan 3tan 1tan 22tan 2==-=θθθθθ，解得，则有x y 33=， ∴m x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+332，最后解得()m x 433-=． （2）由题意可设θ=∠=∠CAP CAB ，则θθπ222=∠-=∠APD PAD ，，且()10tan ，∈θ，则有()m x x =⨯+2tan θ，解得()θtan 12+=m x ，即AD=BC=()θθtan 12tan +m ，∴()m m AD PD 4tan 1tan 2tan 1tan 12tan 2tan 2θθθθθθ-=-⋅+==， 则S ⊥ADP =()θθθθθθtan 1tan tan 164tan 1tan 12tan 21222+-⋅=-⋅+⋅m m ，令()21tan 1，，则∈=+t t θ2所以S ⊥ADP =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=-+-⋅=---⋅32162316111622222t t m t t t m t t t m ≤()223162-⋅m ，当且仅当22==t tt ，即时取等号. 则⊥ADP 面积的最大值为()223162-⋅m .19．（本小题满分12分）已知⊥ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足cosAsin(A ﹣6π)＝14．（1）求⊥BAC 的值；（2）若A，sinB＝7，AM 是BC 边上的中线，求AM 的长．【考点】三角函数与解三角形 【解析】（1）由cosAsin(A ﹣6π)＝14．可化简得416sin cos 6cos sin cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππA A A即()A A A A A A A 2cos 32sin 4122cos 1232sin 41cos 23cos sin 212-=+⋅-=-24143=-，即162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA ， ∵()π，0∈A ，∴326265662ππππππ==-⎪⎭⎫⎝⎛-∈-A A A ，，则，. （2）由题意在⊥ABC 中，可由正弦定理得B b A a sin sin =，代入化简得721237b=，解得b =2．又由余弦定理可得A bc c b a cos 2222-+=，代入化简得c c 2472-+=，解得c =3.则在⊥AMB 中，由余弦定理可得BM AB AM BM AB B ⋅-+=2cos 222，在⊥ABC 中，由余弦定理可得BCAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222，两式联立可得()77322732732273222222⋅⋅-+=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+AM ，解得219=AM 20．（本小题满分12分）定义在R 上的函数()f x 满足以下两个性质：⊥()()0f x f x -+=，⊥(1)f x +=(2f )x -，则称函数()f x 具有性质P ．（1）判别函数33221()e ex x f x -+=-，2()cos()32x f x ππ=+是否具有性质P ？请说明理由；（2）若函数()g x 具有性质P ，且函数()g x 在(﹣10，10)有n 个零点，求n 的最小值．2【考点】新定义函数的性质综合应用 【解析】（1）由题意()()02323232311=-+-=+-+--+x x x x eeeex f x f ，且()()x x x x eex f eex f --+--=-≠-=+232112521121，则()x f 1不具有性质P .又因为()()03sin 3sin 23cos 23cos 22=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-x x x x x f x f ππππππ，且()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+33sin 323cos 12πππππx x x f ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-33sin 2333cos 22πππππx x x f则()()x f x f -=+2122，即()x f 2具有性质P .（2）若函数()g x 具有性质P ，则满足()()0=+-x g x g 且()()x g x g -=+21，则()g x 在R 上为奇函数，且一个周期为6，则()00=g ，()06=g ，()06=-g ，而由()()x g x g =+6，可得()()33-=g g ，所以()()33g g -=，所以()()033=-=g g ，所以()()099=-=g g ，则函数()g x 在(﹣10，10)有n 个零点，即为0，3，-3，6，-6，9，-9，n 的最小值为7.21．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且满足1111a b =-=，21441n n a S n +=++，481b a =+．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；2（2）若不等式2(4)(1)n n n a b m a ->-对于任意n N *∈恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】等差、等比数列的证明、恒成立问题【解析】（1）由21441n n a S n +=++①，则当n ≥2时()114412+-+=-n S a n n ②，则①-②可得444441221+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以()2221244+=++=+n n n n a a a a ，因为0>n a ，则()221≥+=+n a a n n ，当n =1时，3542122=+=a a a ，则，此时212=-a a 亦满足上式，所以21=-+n n a a ，所以数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列.（2）由（1）知()12121-=-+=n n a n ，且215411122=+=+=a b a a ，则，16115184=+=+=a b ， 因为数列{}n b 为等比数列，则设公比为q ，所以28143===q b b q ，则，所以n n n b 2221=⋅=-，所以2(4)(1)n n n a b m a ->-可化简为 ()()()2224212-≥-⋅-n m n n，则()()()max2212224⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--≥-n n n m ，可令()()nn n n c 212222⋅--=， ()()()()()()()()()()()1231222121212122524212122414124212142124++++⋅-++--=⋅-++---=⋅---⋅+=-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c c 令()()*230252N n n n n n f ∈>+-=，且，所以()()5321062-=-='n n n n n f ，令()0='n f ，解得35=n ，则当⎪⎭⎫⎝⎛∈350，n 时()0<'n f ，即()n f 单调递减；当⎪⎭⎫⎝⎛∞+∈，35n 时()0>'n f ，即()n f 单调递增，且()()，，022011<-=<-=f f2()0113>=f ，所以当21≤≤n 时，01>-+n n c c ，321c c c <<；当3≥n 时，01<-+n n c c ，则 >>>543c c c ，所以()523max ==c c n ，则()()()52212224max 2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--≥-n n n m ， 解得518<m .所以实数m 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-518，.22．（本小题满分12分）已知函数()ln 2f x ax x x =+(a ∈R)． （1）讨论()f x 的极值；（2）若a ＝2，且当2e x -≥时，不等式2()(ln )4ln 2mf x x x ≥++恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】函数的极值与恒成立综合应用【解析】（1）由题意函数()x f 的定义域为()∞+，0，且()2ln ++='a x a x f ∴①当a =0时，()02>='x f 恒成立，则()x f 在定义域上单调递增，此时无极值；②当a ≠0时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛++='a x a x f 21ln ，可令()0='x f ，解得a e x 21--=，所以（i ）当a >0时，且当aex 210--<<时，此时()0<'x f ，即()x f 单调递减；当aex 21-->时，此时()0>'x f ，即()x f 单调递增，则()x f 的极小值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a e f 21= aae21---，无极大值；2（ii ）当a <0时，且当aex 210--<<时，此时此时()0>'x f ，即()x f 单调递增；当aex 21-->时，此时()0<'x f ，即()x f 单调递减，则()x f 的极大值为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a e f 21= aae21---，无极小值；综上所述，当a =0时，()x f 无极值；当a >0时，()x f 有极小值aae 21---，无极大值；当a <0时，()x f 有极大值aae21---，无极小值.（2）若a ＝2，()x x x x f 2ln 2+=，不等式化为()()2ln 4ln 2ln 22++≥+x x x x x m则令[)∞+-∈=，，2ln t t x ，则不等式化为()24222++≥+⋅t t e e t m t t ， 所以①当12-≤≤-t 时，参变分离得()2224222422+++=+⋅++≤t e t t e e t t t m t t t ，设()()22242+++=t e t t t g t ，()()()()()()01222224222222>++-=+--+='t e t t t e t t t e t g t t t ， 则()t g 在[]12--，上单调递增，∴()()2min 2e g t g m =-=≤. ②当t =-1时，不等式化为0>-1，显然成立.③当t >-1时，()22242+++≥t e t t m t ，则()()()22122++-='t e t t t g t ，可令()0='t g ，解得t =0， 且当01<<-t 时，()0>'t g ，即()t g 单调递增；当0>t 时，()0<'t g ，即()t g 单调递减，所以()()10max ==g t g ，所以()1max =≥t g m . 综上所述，实数m 的取值范围为[]21e ，．。

专题14 结构不良题型〔数列〕结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。

数列局部主要涉及到数列的求和以及与不等式有关的问题。

一、题型选讲题型一 、数列中的求和问题例1、〔江苏省南京市2021届高三上学期期初学情调研〕数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ，〔1〕在①13222S S S +=+，②373S =，③2344a a a =，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列{}n a 的通项公式，并判断此时数列{}n a 是否满足条件P ：任意m ，n N *∈，m n a a 均为数列{}n a 中的项，说明理由；〔2〕设数列{}n b 满足11()n n n na b n a -+=，n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：在第〔1〕问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：〔1〕选①，因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，因此a n ＝1×2n －1＝2n －1．此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m －1·2n －1＝2m＋n －2，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项， 因此数列{a n }满足条件P ． 选②，因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝73，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝13，因此a n ＝13×2n －1．此时a 1a 2＝29＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． 选③，因为a 2a 3＝4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4， 因此a n ＝4×2n －1＝2n ＋1．此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m ＋1·2n ＋1＝2m＋n ＋2，由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项， 因此数列{a n }满足条件P ．〔2〕因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a n ＋1a n＝2，因此b n ＝n ×2n －1．所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 那么2T n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ， 两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ＝1－2n1－2－n ×2n＝(1－n )2n －1， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1．例2、〔湖北黄冈地区高三联考〕函数()log k f x x =〔k 为常数，0k >且1k ≠〕． 〔1〕在以下条件中选择一个，使数列{}n a 是等比数列，说明理由；① 数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列；② 数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③ 数列(){}nf a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．〔2〕在〔1〕的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】〔1〕①③不能使{}n a 成等比数列.②可以：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+， ………1分 即log 22k n a n =+，得22n n a k+=，且410a k =≠，2(1)22122n n n n a k k a k++++∴==. ………3分 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列． ………4分〔2〕由〔1〕知2n 2n k a +=，所以当k =12n n a +=.………5分因为12241+=-n n n a b n ， 所以2141n b n =-，所以1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ………7分12111111...1...23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ . ……10分 例3、〔2021年辽宁锦州联考〕在①2n S n n =+，②3516a a +=，3542S S +=，③171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_____，12112,2a a b a b ==．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 解：选①：当1n =时，112a S ==，当2n 时，12n n n a S S n -=-=，又1n =满足2n a n =，所以2n a n =．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12b =，2q =，所以2n n b =； 由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 选②：设公差为d ，由1353512616,16,42,81342,a d a a S S a d +=⎧+=+=⎨+=⎩得解得12,2,a d =⎧⎨=⎩所以22,n n a n S n n ==+．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12b =，2q =，所以2n n b =．由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++，故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++．选③： 由11111,,,11n n n n n n a a a a an a a n a n n n n +++====+得所以即，74172856S a a ===，所以12a =，所以22,n n a n S n n ==+． 设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12,2,2n n b q b ===所以． 由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 例4、〔江苏省扬州2021届高三上学期期初学情调研〕在①1a ，14，2a 成等差数列，②1a ，21a +，3a 成等比数列，③334S =，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．n S 为数列{}n a 的前n 项和，132n n S a a =+，(n N *∈)，10a ≠，且 ．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕记22log n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．题型二、数列中的不等式问题例5、〔江苏省南通2021届高三上学期期初学情调研〕在①}{b n 为等比数列，1122,3b a b a ==,②}{b n 为等差数列，22114,2a b a b ==,③}{b n 为等比数列，4,22211+=+=a b a b 。

高三数学试题第1页（共5页）盐城市、南京市2022届高三年级第一次模拟考试数学2022.01(总分150分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，N ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则M ∩N ＝A ．[－1，＋ )B ．[－1，0)C ．[0，1]D ．(0，1]2．在等比数列{a n }中，公比为q ，已知a 1＝1，则0＜q ＜1是数列{a n }单调递减的条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要3．某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩X ~N (110，100)，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为(参考数据：P (|X －μ|＜σ)≈0.68，P (|X －μ|＜2σ)≈0.95)A ．16B ．10C ．8D ．24．若f (α)＝cos α＋isin α(i 为虚数单位)，则[f (α)]2＝A ．f (α)B ．f (2α)C ．2f (α)D ．f (α2)5．已知直线2x ＋y ＋a ＝0与⊙C ：x 2＋(y －1)2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝A ．－4或2B ．－2或4C ．－1±3D ．－1±66．在平面直角坐标系xOy 中，设A (1，0)，B (3，4)，向量→OC ＝x →OA ＋y →OB ，x ＋y ＝6，则|→AC |的最小值为A ．1B ．2C ．5D ．25高三数学试题第2页（共5页）7．已知α＋β＝π4(α＞0，β＞0)，则tan α＋tan β的最小值为A ．22B ．1C ．－2－22D ．－2＋228．已知f (x )x －4，x ≤4x －16)2－143，x ＞4，则当x ≥0时，f (2x )与f (x 2)的大小关系是A ．f (2x )≤f (x 2)B ．f (2x )≥f (x 2)C ．f (2x )＝f (x 2)D ．不确定二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.若函数f (x )＝cos2x ＋sin x ，则关于f (x )的性质说法正确的有A ．偶函数B ．最小正周期为πC ．既有最大值也有最小值D ．有无数个零点10．若椭圆C ：x 29＋y 2b 2＝1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，则下列b 的值，能使以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有公共点的有A ．b ＝2B ．b ＝3C ．b ＝2D ．b ＝511．若数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1，记在数列{a n }的前n ＋2(n ∈N *)项中任取两项都是正数的概率为P n ，则A ．P 1＝13B ．P 2n ＜P 2n ＋2C ．P 2n －1＜P 2nD ．P 2n －1＋P 2n ＜P 2n ＋1＋P 2n ＋212．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB＝AD ＝CD ＝1，BC ＝P A ＝2，记四棱锥P －ABCD 的外接球为球O ，平面P AD 与平面PBC 的角线为l ，BC 的中点为E ，则A ．l ∥BC B ．AB ⊥PCC ．平面PDE ⊥平面PAD D ．l 被球O 截得的弦长为1第II 卷（非选择题共90分）三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若f (x )＝(x ＋3)5＋(x ＋m )5是奇函数，则m ＝．ABDCEP(第12题图)高三数学试题第3页（共5页）14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3b ，则cos B 的最小值是．15．计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作于生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制．一个十进制数n (n ∈N *)可以表示成二进制数(a 0a 1a 2…a k )2，k ∈N ，则n ＝a 0⋅2k ＋a 1⋅2k －1＋a 2⋅2k －2＋…＋a k ⋅20，其中a 0＝1，当i ≥1时，a i ∈{0，1}．若记a 0，a 1，a 2，…，a k 中1的个数为f (n )，则满足k ＝6，f (n )＝3的n 的个数为．16．已知：若函数f (x )，g (x )在R 上可导，f (x )＝g (x )，则f′(x )＝g′(x )．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ＋…，则a 0＝，∑=+1011n nn na a ＝．(第一空2分，第二空3分)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)从①sin D ＝sin A ；②S △ABC ＝3S △BCD ；③→DB ·→DC ＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．已知点D 在△ABC 内，cos A ＞cos D ，AB ＝6，AC ＝BD ＝4，CD ＝2，若，求△ABC 的面积．注：选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋4，数列{b n }的首项为b 1＝2．(1)若{b n }是公差为3的等差数列，求证：{a n }也是等差数列；(2)若{a b n}是公比为2的等比数列，求数列{b n }的前n 项和．高三数学试题第4页（共5页）19．(本小题满分12分)佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021年度序号x 1234不戴头盔人数y125010501000900(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y 与年度序号x 之间的回归直线方程ŷ＝bˆx ＋a ˆ，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；(2)交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到右表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关?参考公式：bˆ＝∑∑==--ni ini iix n xyx n yx 1221＝()()()∑∑==---n i ini ii x x y yx x 121，aˆ＝y －x bˆ．P (K 2≥k )0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327高三数学试题第5页（共5页）20．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝13，AB ＝8，BC ＝6，AB ⊥BC ，AB 1＝B 1C ，D 为AC 中点，平面AB 1C ⊥平面ABC ．(1)求证：B 1D ⊥平面ABC ；(2)求直线C 1D 与平面A 1BC 所成角的正弦值．21．(本小题满分12分)(1)设双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a ，b ＞0)的右顶点为A ，虚轴长为2，两准线间的距离为263．(1)求双曲线C 的方程；(2)设动直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，已知AP ⊥AQ ，设点A 到动直线l 的距离为d ，求d 的最大值．22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax ，a ∈R ．(1)求函数f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若x 1，x 2为函数f (x )的两个不等于1的极值点，设P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))，记直线PQ 的斜率为k ，求证：k ＋2＜x 1＋x 2．A BC 1D(第20题图)A 1CB 1高三数学试题第1页（共18页）盐城市、南京市2022届高三年级第一次模拟考试数学2022.01(总分150分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，N ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则M ∩N ＝A ．[－1，＋ )B ．[－1，0)C ．[0，1]D ．(0，1]2．在等比数列{a n }中，公比为q ，已知a 1＝1，则0＜q ＜1是数列{a n }单调递减的条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D．既不充分又不必要3．某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩X ~N (110，100)，高三数学试题第2页（共18页）则估计该班数学得分大于120分的学生人数为(参考数据：P (|X －μ|＜σ)≈0.68，P (|X －μ|＜2σ)≈0.95)A ．16B ．10C ．8D ．24．若f (α)＝cos α＋isin α(i 为虚数单位)，则[f (α)]2＝A ．f (α)B ．f (2α)C ．2f (α)D ．f (α2)5．已知直线2x ＋y ＋a ＝0与⊙C ：x 2＋(y －1)2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝A ．－4或2B ．－2或4C ．－1±3D ．－1±66．在平面直角坐标系xOy 中，设A (1，0)，B (3，4)，向量→OC ＝x →OA ＋y →OB ，x ＋y ＝6，则|→AC |的最小值为A ．1B ．2C ．5D ．25高三数学试题第3页（共18页）7．已知α＋β＝π4(α＞0，β＞0)，则tan α＋tan β的最小值为A ．22B ．1C ．－2－22D ．－2＋228．已知f (x )x －4，x ≤4x －16)2－143，x ＞4，则当x ≥0时，f (2x )与f (x 2)的大小关系是A ．f (2x )≤f (x 2)B ．f (2x )≥f (x 2)C ．f (2x )＝f(x 2)D ．不确定二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.若函数f (x )＝cos2x ＋sin x ，则关于f (x )的性质说法正确的有A ．偶函数B ．最小正周期为πC ．既有最大值也有最小值D ．有无数个零点高三数学试题第4页（共18页）10．若椭圆C ：x 29＋y 2b 2＝1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，则下列b 的值，能使以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有公共点的有A ．b ＝2B ．b ＝3C ．b ＝2D ．b ＝511．若数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1，记在数列{a n }的前n ＋2(n ∈N *)项中任取两项都是正数的概率为P n ，则A ．P 1＝13B ．P 2n ＜P 2n ＋2C ．P 2n －1＜P 2nD ．P 2n －1＋P 2n ＜P 2n ＋1＋P 2n ＋2高三数学试题第5页（共18页）12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB＝AD ＝CD ＝1，BC ＝P A ＝2，记四棱锥P －ABCD 的外接球为球O ，平面P AD 与平面PBC 的角线为l ，BC 的中点为E ，则A ．l ∥BC B ．AB ⊥PCC ．平面PDE ⊥平面PAD D ．l 被球O 截得的弦长为1ABDCEP(第12题图)高三数学试题第6页（共18页）高三数学试题第7页（共18页）第II 卷（非选择题共90分）三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若f (x )＝(x ＋3)5＋(x ＋m )5是奇函数，则m ＝．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3b ，则cos B 的最小值是．高三数学试题第8页（共18页）15．计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作于生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制．一个十进制数n (n ∈N *)可以表示成二进制数(a 0a 1a 2…a k )2，k ∈N ，则n ＝a 0⋅2k ＋a 1⋅2k －1＋a 2⋅2k －2＋…＋a k ⋅20，其中a 0＝1，当i ≥1时，a i ∈{0，1}．若记a 0，a 1，a 2，…，a k 中1的个数为f (n )，则满足k ＝6，f (n )＝3的n 的个数为．16．已知：若函数f (x )，g (x )在R 上可导，f (x )＝g (x )，则f′(x )＝g′(x )．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e 2x＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ＋…，则a 0＝，∑=+1011n nn na a ＝．(第一空2分，第二空3分)高三数学试题第9页（共18页）四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)高三数学试题第10页（共18页）从①sin D ＝sin A ；②S △ABC ＝3S △BCD ；③→DB ·→DC ＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．已知点D 在△ABC 内，cos A ＞cos D ，AB ＝6，AC ＝BD ＝4，CD ＝2，若，求△ABC 的面积．注：选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】高三数学试题第11页（共18页）18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋4，数列{b n }的首项为b 1＝2．(1)若{b n }是公差为3的等差数列，求证：{a n }也是等差数列；(2)若{a b n}是公比为2的等比数列，求数列{b n }的前n 项和．【解析】19．(本小题满分12分)佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021年度序号x 1234不戴头盔人数y125010501000900(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y 与年度序号x 之间的回归直线方程ŷ＝bˆx ＋a ˆ，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；(2)交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到右表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关?参考公式：bˆ＝∑∑==--ni ini iix n xyx n yx 1221＝()()()∑∑==---n i ini ii x x y yx x 121，aˆ＝y －x b ˆ．不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327高三数学试题第12页（共18页）P (K 2≥k )0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．【解析】不戴头盔戴头盔总计伤亡7310不伤亡132740总计203050高三数学试题第13页（共18页）20．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝13，AB ＝8，BC ＝6，AB ⊥BC ，AB 1＝B 1C ，D 为AC 中点，平面AB 1C ⊥平面ABC ．(1)求证：B 1D ⊥平面ABC ；(2)求直线C 1D 与平面A 1BC 所成角的正弦值．【解析】A BC 1D(第20题图)A 1CB 1高三数学试题第14页（共18页）21．(本小题满分12分)(1)设双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a ，b ＞0)的右顶点为A ，虚轴长为2，两准线间的距离为263．(1)求双曲线C 的方程；(2)设动直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，已知AP ⊥AQ ，设点A 到动直线l的距离为d ，求d 的最大值．【解析】高三数学试题第15页（共18页）法二：高三数学试题第16页（共18页）22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax ，a ∈R ．(1)求函数f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若x 1，x 2为函数f (x )的两个不等于1的极值点，设P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))，记直线PQ 的斜率为k ，求证：k ＋2＜x 1＋x 2．【解析】法一：高三数学试题第17页（共18页）高三数学试题第18页（共18页）。

2021届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考数学（文）试题一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，若，则实数__________．【答案】1【解析】由题意得,验证满足点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.2. 设复数满足（为虚数单位），则__________．【答案】【解析】,,3. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则__________．【答案】【解析】由题意得，所以4. 已知的三边长成公比为的等比数列，则最大的余弦值为__________．【答案】【解析】由题设三边长分别为:a,,2a,且2a为最大边,所对的角为,由余弦定理得:5. 设是定义在上的周期为2的函数，当时，则__________．【答案】1【解析】∵周期为2,∴6. 设为等比数列的前项和，，则__________．【答案】-11【解析】试题分析：通过，设公比为，将该式转化为，解得，代入所求式可知答案．考点：等比数列的前n项和．7. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式组的解集用区间表示为__________．【答案】【解析】由是定义在上的奇函数，当时，解得8. 函数,(,,是常数，，)的部分图象如图所示，则__________．【答案】【解析】由的图象可得函数的周期T满足=− , 解得T=π=又∵ω>0，故ω=2又∵函数图象的最低点为(,−)故A=且sin(2×+φ)=−即+φ=故φ=∴f(x)=sin(2x+)∴f(0)=sin=故答案为：9. 已知函数在区间（）上存在零点，则__________．【答案】5【解析】函数是连续的单调增函数,, , 所以函数的零点在之间,所以n=510. 区域是由直线、轴和曲线在点处的切线所围成的封闭区域，若点区域内，则的最大值为__________．【答案】2【解析】由题意知，f(x)在（1，0）处的切线方程为y=x-1，如图，可行域为阴影部分，易求出目标函数z=x-2y的最优解（0，-1），即z的最大值为2.11. 如图，在中，，，，则的值为__________．【答案】-2【解析】试题分析：考点：向量数量积12. 已知等差数列的首项为，公差为-4，其前项和为，若存在，使得，则实数的最小值为__________．【答案】15【解析】试题分析：由题意得，即，当且仅当时取等号，因为，又，所以实数的最小值为考点：等差数列求和，不等式求最值13. 已知函数（）与，若函数图像上存在点与函数图像上的点关于轴对称，则的取值范围是__________．【答案】【解析】设点在函数上，由题意可知，点P关于y轴的对称点在函数上，所以，消，可得，即，所以令，，问题转化为函数与函数在时有交点。

江苏省南京市2021届高三上学期期中考试考前训练
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。

1．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ）．
A ． 第一象限
B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限
2．已知集合{{}221,650A x
B y y y x ⎫=≥=-+≤⎬⎭，则=A B （ ） (]A.0,5 []B.0,5 (]C.0,3 []D.0,3
3．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>C 的渐近线方程为 ( )
A ．20x y ±=
B ．20x y ±=
C 0y ±=
D 0y ±=
4．函数31()()2
x f x x =-的零点所在区间为( ) A ．(1,0)- B ．1(0,)2 C ．1(,1)2 D ．(1,2)
5．函数22()()||x x f x e e ln x -=+的部分图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账。

江苏省南京市中华中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是A． B．C．D．参考答案：D略2. 下列命题正确的个数是①已知复数，在复平面内对应的点位于第四象限；②若是实数，则“”的充要条件是“”；③命题P：“”的否定P：“”；A．3 B．2C．1 D．0参考答案：C3. 给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20参考答案：A【考点】循环结构．【分析】结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．【解答】解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A4. 如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则A． B．C． D．参考答案：B5. 执行如图2的程序框图，如果输入的的值是6，那么输出的的值是A．15 B．105 C．120 D．720参考答案：B略6. 已知PC为球O的直径，A，B是球面上两点，且，，若球O的体积为，则棱锥的体积为A．B．C．D．参考答案：B略7. 设,则 ( ).(A)a<b<c (B)b<a<c(C)b<c<a (D)a<c<b参考答案：D8. 集合U=R，A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}参考答案：B【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】数形结合；综合法；集合．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（?U B）．A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则?U B={x|x≥1}，则A∩（?U B）={x|1≤x＜2}．故选：B．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．9. 已知全集U＝R，A U，如果命题p：∈A∪B，则命题“非p”是（）A．非p： A B．非p：∈C U BC．非p：A∩B D．非p：∈（C U A）∩（C U B）参考答案：D略10. 设全集若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为A. B. C. D.参考答案：A因为直线与圆的两个交点关于直线对称，所以直线与直线垂直，且直线过圆心，所以。

2021年江苏省南京市黎明中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知F是抛物线x2=4y的焦点，直线y=kx﹣1与该抛物线交于第一象限内的零点A，B，若|AF|=3|FB|，则k的值是（）A．B．C．D．参考答案：D考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，利用抛物线的定义表示出|AF|与|FB|，再利用直线与抛物线方程组成方程组，结合根与系数的关系，求出k的值即可．解答：解：∵抛物线方程为x2=4y，∴p=2，准线方程为y=﹣1，焦点坐标为F（0，1）；设点A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|=y1+=y1+1，|FB|=y2+=y2+1；∵|AF|=3|FB|，∴y1+1=3（y2+1），即y1=3y2+2；联立方程组，消去x，得y2+（2﹣4k2）y+1=0，由根与系数的关系得，y1+y2=4k2﹣2，即（3y2+2）+y2=4k2﹣2，解得y2=k2﹣1；代入直线方程y=kx﹣1中，得x2=k，再把x2、y2代入抛物线方程x2=4y中，得k2=4k2﹣4，解得k=，或k=﹣（不符合题意，应舍去），∴k=．故选：D．点评：本题考查了抛物线的标准方程与几何性质的应用问题，也考查了直线与抛物线的综合应用问题，考查了方程思想的应用问题，是综合性题目．2. 在正项等比数列{a n}中，a3＝，a5＝8a7，则a10＝()A. B. C. D.参考答案：D3. 如下图，矩形ABCD中，点E为边CD上的任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个[点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为所以选C.4. 中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”如图1，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数学九章》中对此类问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，如图2程序框图的算法思路源于“大衍求一术”执行该程序框图，若输入的a，b 分别为20，17，则输出的c=（）A．1 B．6 C．7 D．11参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序运行过程，即可得出程序运行后输出的c值．【解答】解：模拟执行程序运行过程，如下；a=20，b=17，r=3，c=1，m=0，n=1，满足r≠1；a=17，b=3，r=2，q=5，m=1，n=1，c=6，满足r≠1；a=3，b=2，r=1，q=1，m=1，n=6，c=7，满足r=1；输出c=7．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5. 直线与曲线交于两点，且，则A. B. C. D.参考答案：略6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（）A． B． C． D．参考答案：B7. 如果函数图像上任意一点的坐标都满足方程，那么正确的选项是A.B.C.D.参考答案：A略8. 一个几何体的三视图如图所示．已知这个几何体的体积为8，则h=（）A．1 B．2 C．3 D．6参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可构造关于h的方程，解得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面是一个长，宽分别为3，4的矩形，故底面面积S=3×4=12，高为h，故这个几何体的体积为V=×12×h=8，解得：h=2，故选：B．9. 设集合≥，≤≤，如果有，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A10. 已知随机变量的值如下表所示，如果与线性相关且回归直线方程为，则实数（）A. B. C. D. [来参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x 轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是____▲________参考答案：略12. 已知样本的平均数与方差分别是1和4，(a>0,i=1,2..2019)且样本的平均数与方差也分别是1和16，则;参考答案：513. 已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．参考答案：14. 曲线（为参数且）与直线交点的极坐标为．参考答案：略15. .参考答案：16知识点：等比数列的通项公式解析：因为已知数列为等比数列，且，则，所以=16；故答案为：16．【思路点拨】因为已知数列为等比数列，所以成等比数列，利用等比中项可求。