2018年人教A版高中数学选修2-1 双曲线 知识点+讲测练(含解析)

2．3.2 双曲线的几何性质[学习目标] 1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．知识点一 双曲线的几何性质范围x ≥a 或x ≤－ay ≥a 或y ≤－a实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x . 思考 (1)椭圆与双曲线的离心率都是e ，其范围一样吗？ (2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？答案 (1)不一样．椭圆的离心率0<e <1，而双曲线的离心率e >1.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y ＝±b a x 的双曲线可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0，λ∈R )，当λ>0时，焦点在x 轴上，当λ<0时，焦点在y 轴上．题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .反思与感悟 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．跟踪训练1 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．解 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝4 3.焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2.题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12， 故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.反思与感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求出来．当双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x 时，可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2 根据条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，由题意可知(－3)29－(23)216＝λ，解得λ＝14.∴所求双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.(2)设所求双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(16－k >0，4＋k >0)，∵双曲线过点(32，2)，∴(32)216－k －44＋k ＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.题型三 直线与双曲线的位置关系例3 直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 的方程．解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*) 设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ， ∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)，∴AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2 ＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝5[3625m 2－4×310(m 2＋2)]．∵AB ＝4，∴365m 2－6(m 2＋2)＝16.∴3m 2＝70，m ＝±2103. 由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±2103代入上式， 得Δ>0，∴m 的值为±2103. ∴所求直线l 的方程为y ＝2x ±2103. 反思与感悟 直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x 或y 的一元二次方程．要注意根与系数的关系，根的判别式的应用．若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解．跟踪训练3 设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若P A →＝512PB →，求a 的值．解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a 2－y 2＝1(a >0)，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0， ∴0<a <2且a ≠1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 依题意得P (0,1)，因为P A →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0， 所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2.消去x 2得－2a 21－a2＝28960.由a >0，解得a ＝1713.1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为________．答案 2 3解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点为F (4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F 到3x －y ＝0的距离为432＝2 3.2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为________． 答案 －14解析 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0，则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1，则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14.3．双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为________．答案 3x ±4y ＝0解析 由x 216－y 29＝1得a 2＝16，b 2＝9，∴渐近线方程为y ＝±34x ，即3x ±4y ＝0.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为________． 答案 x 220－y 25＝1解析 双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20.5．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 答案62解析 设双曲线的焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 虚轴两个端点为B 1(0，－b )，B 2(0，b )， 因为c >b ，所以只有∠B 1F 1B 2＝60°， ∴tan 30°＝b c，∴c ＝3b ，又a 2＝c 2－b 2＝2b 2，∴e ＝c a ＝3b 2b ＝62.1.渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．。

第二章 圆锥曲线与方程§2.1 曲线与方程1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x ，y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做______________；这条曲线叫做________________．2．如果曲线C 的方程是f(x ，y)=0，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则①点P 在曲线C 上⇔____________；②点P 不在曲线C 上⇔____________. 3．求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P=__________； (3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)=0； (4)化方程f(x ，y)=0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一、选择题1．方程x ＋|y －1|=0表示的曲线是( )2．已知直线l 的方程是f(x ，y)=0，点M(x 0，y 0)不在l 上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)=0表示的曲线是( ) A ．直线l B ．与l 垂直的一条直线 C ．与l 平行的一条直线 D ．与l 平行的两条直线 3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )A ．y=x 与y 2=xB ．y=x 与x y=1 C ．y 2－x 2=0与|y|=|x| D ．y=lg x 2与y=2lg x4．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( ) A ．x=0 B ．x=0(0≤y ≤3) C ．y=0 D ．y=0(0≤x ≤2) 5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2=4B ．x 2＋y 2=4 (x>0)C ．y=－4－x 2D ．y=－4－x 2(0<x<2) 6．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ，y)=0，则下列说法正确的是( ) A ．曲线C 的方程是F(x ，y)=0 B ．方程F(x ，y)=0的曲线是CC ．坐标不满足方程F(x ，y)=0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程F(x ，y)=0的点都在曲线C 上 二、填空题7．若方程ax 2＋by=4的曲线经过点A(0,2)和B )3,21(，则a=________，b=________.8．到直线4x ＋3y －5=0的距离为1的点的轨迹方程为______________________________．9．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P 满足|PA|=3|PO|，则点P 的轨迹方程是________________．三、解答题10．已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程．11．动点M在曲线x2＋y2=1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．能力提升12．若直线y=x＋b与曲线y=3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是( )A.[]1－2，3－1，1＋22 B.[]1－22，3 D.[]1－22，1＋22 C.[]2.1.1 曲线与方程课后练习A 级 基础巩固一、选择题:1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是( )2．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2=0表示的图形是( )A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线3．方程x 2＋xy=x 表示的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线4．方程y=2xx 表示的曲线为图中的( )A B C D5．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”，以下不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y=5B ．x 2＋y 2=9 C.x225＋y29=1 D ．x 2=16y二、填空题:6．已知点A(a ，2)既是曲线y=mx2上的点，也是直线x －y=0上的点，则m=________．7．已知A (0，1)，B(1，0)，则线段AB 的垂直平分线的方程是________．8．下列命题正确的是________(填序号)．①方程xy －2=1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线；②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y=5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m=0通过原点的充要条件是m=0.三、解答题：9．方程x 2(x 2－1)=y 2(y 2－1)所表示的曲线C.若点M(m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．10．求方程(x ＋y －1)x －1=0所表示的曲线．B 级 能力提升1．已知定点P(x 0，y 0)不在直线l ：f(x ，y)=0上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)=0表示( ) A ．过点P 且垂直于l 的直线 B ．过点P 且平行于l 的直线 C ．不过点P 但垂直于l 的直线 D ．不过点P 但平行于l 的直线2．设平面点集A={(x ，y)|0)1)((≥--xy x y }，B={(x ，y)|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A∩B 所表示的平面图形的面积为________．3．已知P(x 0，y 0)是曲线f(x ，y)=0和曲线g(x ，y)的交点.求证：点P 在曲线f(x ，y)＋λg(x ，y)=0(λ∈R)上．2.1.1 曲线与方程 分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4=0与x 轴的交点坐标是( )A ．(4，0)和(－1，0)B ．(4，0)和(－2，0)C ．(4，0)和(1，0)D ．(4，0)和(2，0)2．方程(x 2－4)(y 2－4)=0表示的图形是( )A ．两条直线B ．四条直线C ．两个点D ．四个点3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A(1，2)与动点P(x ，y)满足OP →·OA →=4，则点P 的轨迹方程是( ) A ．x ＋y=4 B ．2x ＋y=4 C ．x ＋2y=4 D ．x ＋2y=14．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1=0表示的曲线是( ) A ．一个点与一条直线 B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆5．已知方程y=a|x|和y=x ＋a(a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．0＜a ＜1或a ＞1 D ．a ∈∅二、填空题： 6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解”是“方程f(x ，y)=0是曲线C 的方程”的________条件．7．方程x －3·(x ＋y ＋1)=0表示的几何图形是________________．8．已知定点F(1，0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →=0，延长MP 到点N ，使得|PM →|=|PN →|，则点N 的轨迹方程是________.三、解答题9．如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN(M ，N 分别为切点)，使得|PM|=2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．10．△ABC 的三边长分别为|AC|=3，|BC|=4，|AB|=5，点P 是△ABC 内切圆上一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．[能力提升]1．到点A(0，0)，B(－3，4)的距离之和为5的轨迹方程是( )A ．y=－43x(－3≤x ≤0)B ．y=－43x(0≤x ≤4)C ．y=－43x(－3≤x ≤4)D ．y=－43x(0≤x ≤5)2．已知动点P 到定点(1，0)和定直线x=3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2=4xB ．y 2=－12(x －4)C ．y 2=4x(x ≥3)或y 2=－12(x －4)(x<3)D ．y 2=4x(x ≤3)或y 2=－12(x －4)(x>3)3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．4．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.参考答案第二章圆锥曲线与方程§2.1 曲线与方程知识梳理1．(2)曲线的方程方程的曲线2．①f(x0，y0)=0 ②f(x0，y0)≠03．(1)(x，y) (2){M|p(M)} (3)坐标作业设计1．B [可以利用特殊值法来选出答案，如曲线过点(－1,0)，(－1,2)两点．]2．C [方程f(x，y)－f(x0，y0)=0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．故选C.]3．C [考虑x、y的范围．]4．B [直接法求解，注意△ABC底边AB的中线是线段，而不是直线．]5．D [注意所求轨迹在第四象限内．]6．C [直接法：原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)=0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)=0，则M点不在曲线C上”，此即说法C.特值方法：作如图所示的曲线C，考查C与方程F(x，y)=x2－1=0的关系，显然A、B、D中的说法都不正确．] 7．16－8 3 28．4x＋3y－10=0和4x＋3y=0解析：设动点坐标为(x，y)，则|4x＋3y－5|5=1，即|4x＋3y－5|=5.∴所求轨迹方程为4x＋3y－10=0和4x＋3y=0.9．8x2＋8y2＋2x－4y－5=010．解以两个定点A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．由于|AB|=2a，则设A(－a,0)，B(a,0)，动点M(x，y)．因为|MA|∶|MB|=2∶1，所以(x＋a)2＋y2∶(x－a)2＋y2=2∶1，即(x＋a)2＋y2=2(x－a)2＋y2，化简得⎝⎛⎭⎪⎫x－5a32＋y2=169a2.所以所求动点M的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x－5a32＋y2=169a2.11．解设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝x0＋32y＝y02，即⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2x－3y0＝2y，又∵M在曲线x2＋y2=1上，∴(2x－3)2＋4y2=1.∴点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2=1.12．C [曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2=4 (1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y=x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y=x＋b的距离等于2，解得b=1＋22或b=1－22，因为是下半圆故可得b=1－22，当直线过(0,3)时，解得b=3，故1－22≤b≤3，所以C正确．]2.1.1 曲线与方程 课后练习A 级 基础巩固1．解析：对于A ，x 2＋y 2=1表示一个整圆；对于B ，x 2－y 2=(x ＋y)(x －y)=0，表示两条相交直线；对于D ，由lg x ＋lg y=0知x ＞0，y ＞0.答案：C2．解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.答案：B 3．解析：由x 2＋xy=x ，得x(x ＋y －1)=0，即x=0或x ＋y －1=0.由此知方程x 2＋xy=x 表示两条直线． 答案：C4．解析：y=|x|x2，x ≠0，为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，B.又因为当x>0时，y=1x >0；当x<0时，y=－1x>0，所以排除D.答案：C5．解析：因为M 到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差为8，所以M 的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支，方程为x216－y24=1(x ≥4)．A ：直线x ＋y=5过点(5，0)，满足题意；B ：x2＋y2=9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C ：x225＋y29=1的右顶点为(5，0)，满足题意； D ：方程代入x216－y29=1，可得y －y29=1，即y2－9y ＋9=0，所以y=3，满足题意．故选B.6．解析：根据点A 在曲线y=mx2上，也在直线x －y=0上，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝ma2，a －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝12.答案：127．解析：设点M(x ，y)是线段AB 的垂直平分线上任意一点，也就是点M 属于集合P={M||MA|=|MB|}，由两点间距离公式得x2＋（y －1）2=（x －1）2＋y2，化简得，y=x.答案：y=x8．答案：③9．解：将点M(m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 代入方程x 2(x 2－1)=y 2(y 2－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2（m 2－1）＝2×1，34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝n 2（n 2－1），所以m=±2，n=±12或±32. 10．解：依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1=0，即x ＋y －1=0(x ≥1)或x=1.综上可知，原方程所表示的曲线是射线x ＋y －1=0(x ≥1)和直线x=1.B 级 能力提升1．答案：B2．答案：π2；3．证明：因为P 是曲线f(x ，y)=0和曲线g(x ，y)=0的交点，所以P 在曲线f(x ，y)=0上，即f(x 0，y 0)=0，且P 在曲线g(x ，y)=0上，即g(x 0，y 0)=0， 所以f(x 0，y 0)＋λg(x 0，y 0)=0＋λ·0=0，所以点P 在曲线f(x ，y)＋λg(x ，y)=0(λ∈R)上．2.1.1 曲线与方程 分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]1．【解析】在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4=0中，令y=0，则x 2－3x －4=0，∴x=－1或x=4. ∴交点坐标为(－1，0)和(4，0)．【答案】 A2．【解析】由(x 2－4)(y 2－4)=0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)=0，所以x ＋2=0或x －2=0或y ＋2=0或y －2=0，表示四条直线．【答案】 B 3．【解析】由OP →=(x ，y)，OA →=(1，2)得OP →·OA →=(x ，y)·(1，2)=x ＋2y=4，则x ＋2y=4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．【解析】原方程等价于x 2＋y 2－1=0，即x 2＋y 2=1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C.【答案】 C 5．【答案】 A6．【解析】“方程f(x ，y)=0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解”，反之不成立．【答案】 必要不充分7．【解析】由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3=0，即x ＋y ＋1=0(x ≥3)或x=3.【答案】一条射线和一条直线8．【解析】由于|PM →|=|PN →|，则P 为MN 的中点．设N(x ，y)，则M(－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →=0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2=0，所以(－x)·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2=0，则y 2=4x ，即点N 的轨迹方程是y 2=4x. 【答案】 y 2=4x9．解：以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O 1(－2，0)，O 2(2，0)．连结PO 1，O 1M ，PO 2，O 2N.由已知|PM|=2|PN|，得|PM|2=2|PN|2，又在Rt △PO 1M 中，|PM|2=|PO 1|2－|MO 1|2，在Rt △PO 2N 中，|PN|2=|PO 2|2－|NO 2|2，即得|PO 1|2－1=2(|PO 2|2－1)．设P(x ，y)，则(x ＋2)2＋y 2－1=2[(x －2)2＋y 2－1]，化简得(x －6)2＋y 2=33.因此所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2=33.10．解：因为|AB|2=|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB=90°.以C 为原点O ，CB ，CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|=3，|BC|=4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r)，由△ABC 的面积=12×3×4=32r ＋2r ＋52r ，得r=1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2=1⇒x2＋y 2=2x ＋2y －1，由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P(x ，y)，那么|PA|2＋|PB|2＋|PC|2=x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y2＋x 2＋y 2=3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25=3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25=22－2x ，所以当x=0时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2取最大值为22，当x=2时取最小值为18.[能力提升] 1．【解析】注意到|AB|=5，则满足到点A(0，0)，B(－3，4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y=－43x(－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．【解析】设P(x ，y)，由题意得（x －1）2＋y 2＋|x －3|=4.若x ≤3，则y 2=4x ；若x>3，则y 2=－12(x －4)，故选D.【答案】 D3．【解析】设动点P(x ，y)，依题意|PA|=2|PB|，∴（x ＋2）2＋y 2=2（x －1）2＋y 2，化简得(x －2)2＋y 2=4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S=π·22=4π.【答案】 4π 4．解：法一 设点M 的坐标为(x ，y)，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x ，0)，B 点的坐标为(0，2y)． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P(2，4)，∴PA ⊥PB ，即k PA ·k PB =－1， 而k PA =4－02－2x =21－x (x ≠1)，k PB =4－2y 2－0=2－y 1，∴21－x ·2－y1=－1(x ≠1)，整理得x ＋2y －5=0(x ≠1)．∵当x=1时，A ，B 的坐标分别为(2，0)，(0，4)，∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程x ＋2y －5=0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5=0.法二 设点M 的坐标为(x ，y)，则A ，B 两点的坐标分别是(2x ，0)，(0，2y)，连结PM. ∵l 1⊥l 2，∴2|PM|=|AB|.而|PM|=（x －2）2＋（y －4）2，|AB|=（2x ）2＋（2y ）2，∴2（x －2）2＋（y －4）2=4x 2＋4y 2，化简得x ＋2y －5=0，即为所求的点M 的轨迹方程.。

2018年高中数学人教A 版选修2-1：第2章 圆锥曲线 综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.椭圆x 2＋my 2=1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( )A.14B.12C.2D.42.若直线mx ＋ny=4与圆O ：x 2＋y 2=4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24=1的交点个数为( )A.至多一个B.2C.1D.03.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y=43x ，则双曲线的离心率为( )A.53B.43C.54D.324.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y=3x ，它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236-y 2108=1B.x 29-y 227=1C.x 2108-y 236=1D.x 227-y 29=15.以P(2,2)为圆心的圆与椭圆x 2＋2y 2=a 相交于A ，B 两点，则AB 的中点M 的轨迹方程为( )A. xy-2x-4y=0B. xy ＋2x ＋4y=0C. xy-2x ＋4y=0D. xy ＋2x-4y=06.已知椭圆x 2sin α-y 2cos α=1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π7.已知F 1、F 2为双曲线的焦点，以F 1F 2为边作正三角形，若双曲线恰好平分另外两边，则双曲线的离心率为( )A. 1＋ 3B. 1- 3C. 1＋32D. 1－328.已知抛物线y 2=4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x-4y ＋9=0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.125B.65C.2D.559.如图，定点A ，B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是α内异于A ，B 的动点，且PC ⊥AC ，那么动点C 在平面α内的轨迹是( )A. 一条线段，但要去掉两个点B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一条直线，但要去掉两个点D. 半圆，但要去掉两个点10.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A.y 2=254xB.y 2=454xC.x 2=-452yD.x 2=-454y11.设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 3x ±4y=0B. 3x ＋5y=0C. 5x ±4y=0D. 4x ±3y=012.已知点A(2,0)，在圆x 2＋y 2=4上任取两点B ，C ，使∠BAC=60°，则△ABC 的垂心H 的轨迹方程是( )A. (x ＋2)2＋y 2=4B. x 2＋(y-2)2=4C. (x-2)2＋(y ＋2)2=4D. (x-2)2＋y 2=4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.方程(x ＋y-1)²x －1=0所表示的曲线是__________.14.动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上，且动圆恒与直线x ＋2=0相切，则动圆必过点__________.15.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为__________.16.抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，过焦点F 倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A ′，B ′，若四边形AA ′B ′B 的面积为48，则抛物线的方程为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y29=1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程.18.(12分)已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y ±3x=0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程.19.(12分)已知椭圆C 的焦点F 1(-22，0)和F 2(22，0)，长轴长6，设直线y=x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标.20.(12分)如图，已知两点P(-2,2)、Q(0,2)以及一条直线l：y=x，设长为2的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.21.(12分)如图，抛物线顶点在原点，圆x2＋y2=4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点.(1)求抛物线的方程； (2)求|AB|＋|CD|的值.22.(12分)设A ，B 是椭圆3x 2＋y 2=λ上的两点，点N(1,3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点.(1)当λ=3时，过点P(0,1)且倾斜角为π3的直线与椭圆相交于E 、F 两点，求|EF|的长；(2)确定λ的取值范围，并求直线CD 的方程.参考答案1.解析：由题意可得21m =2³2，解得m=14.答案：A 2.解析：∵4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<2，m 29＋n 24<m 24＋n 24<1，∴点P(m ，n)在椭圆x 29＋y 24=1的内部， ∴过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y24=1有两个交点.答案：B3.解析：双曲线焦点在x 轴，由渐近线方程可得b a =43，可得e=c a =32＋423=53.答案：A4.解析：抛物线y 2=24x 的准线方程为x=-6，故双曲线中c=6. ①由双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的一条渐近线方程为y=3x ，知ba =3， ②且c 2=a 2＋b 2. ③由①②③解得a 2=9，b 2=27.故双曲线的方程为x 29-y 227=1，故选B.答案：B5.解析：本题主要考查由曲线求方程的方法.设M(x ，y)，A(x-m ，y-n)，B(x ＋m ，y ＋n)， 易知AB 的斜率必存在，又A ，B 都在椭圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧x －m 2＋2 y －n 2＝a x ＋m 2＋2 y ＋n 2＝ak AB ²k PM ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧4mx ＋8ny ＝0n m＝－x －2y －2⇒x 2y =x －2y －2，即xy ＋2x-4y=0为所求轨迹方程，故选D.答案：D6.解析：椭圆方程化为x 21sin α＋y2－1cos α=1.∵椭圆焦点在y 轴上，∴-1cos α>1sin α>0.又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4.答案：D 7.解析：本题考查了双曲线的定义及数形结合的方法.设以F 1F 2为边的正三角形与双曲线右支交于点M ，在Rt △MF 1F 2中可得，|F 1F 2|=2c ，|MF 1|=3c ，|MF 2|=c ，由双曲线的定义有|MF 1|-|MF 2|=2a ，即3c-c=2a ，所以双曲线的离心率e=c a =23－1=3＋1，故选A.答案：A8.解析：如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x-4y ＋9=0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5=125.答案：A9.解析：本题主要考查曲线的特征分析.由PB ⊥α，得PB ⊥AC ，又PC ⊥AC ，所以AC ⊥平面PBC ，从而AC ⊥BC.由于A ，B 是平面α内的两个定点，则AB 为定长，因此，动点C 在以AB 为直径的圆周上，但不包含A ，B 两个点，故选B.答案：B10.解析：若设抛物线的方程为y 2=2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，302=2p ²40,2p=452，所以所求抛物线方程为y 2=452x.选项中没有y 2=452x ，但C 中的2p=452符合题意.方程不同主要是因为讨论的焦点不同.答案：C11.解析：本题主要考查双曲线的定义、等腰三角形的性质、双曲线中基本量之间的关系及应用.由题意可知|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|=24c 2－4a 2=4b ，又|PF 1|-|PF 2|=2a ，所以4b-2c=2a ，所以2b-a=c ，两边平方可得4b 2-4ab ＋a 2=c 2=a 2＋b 2，所以3b 2=4ab ，所以4a=3b ，从而b a =43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y=0，故选D.答案：D12.解析：本题主要考查求曲线的方程.设H(x ，y)，BD ⊥AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，得 ∠CBD=∠EAC ，所以△CBD与△HAD 相似，则有|AH||BC|=|AD||BD|⇒|AH|=|AD|²|BC||BD|，而∠BAC=60°，得|AD||BD|=33.又∠BOC=2∠BAC=120°，OB=OC=2，所以|BC|=22＋22－2³2³2cos120°=23，得|AH|=23³33=2.故垂心H 的轨迹方程为(x-2)2＋y 2=4，故选D.答案：D13.解析：由方程(x ＋y-1)²x －1=0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x-1=0，∴x ＋y-1=0(x ≥1)或x=1.答案：直线x=1或射线x ＋y-1=0(x ≥1)14.解析：直线x ＋2=0为抛物线的准线，由于动圆恒与直线x ＋2=0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线的定义可知，定点为抛物线的焦点(2,0). 答案：(2,0)15.解析：由题意，得b 2＋c c －b 2=3⇒b 2＋c=3c-32b ⇒b=c ，因此e=c a =c 2a 2=c 2b 2＋c 2=12=22.答案：22 16.解析：本题考查点斜式，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及梯形的面积公式.因为抛物线的焦点为F(p 2，0)，所以直线AB 的方程为y=33(x-p 2)，代入y 2=2px(p>0)，整理得，x 2-7px ＋p 24=0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由方程的根与系数之间的关系得x 1＋x 2=7p ，x 1²x 2=p 24，y 1-y 2=33(x 1-x 2)，又四边形AA ′B ′B 是梯形，其面积为48，所以12(x 1＋x 2＋p)|y 1-y 2|=48，即12(x 1＋x 2＋p)|33(x 1-x 2)|=36(x 1＋x 2＋p) x 1＋x 2 2－4x 1x 2=48，解得p 2=3，p=3，故抛物线的方程为y 2=23x.答案：y 2=23x 17.解：设P 点的坐标为(x ，y)，M 点的坐标为(x 0，y 0).∵点M 在椭圆x 236＋y 29=1上，∴x 2036＋y 209=1.∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y2，把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝y2，代入x 2036＋y 209=1，得x 236＋y 236=1，即x 2＋y 2=36.∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2=36.18.解：设双曲线方程为y 2-3x 2=k(k ≠0)，当k>0时，a 2=k ，b 2=k 3，c 2=4k3，此时焦点为(0，±4k3)， 由题意得3=4k 32，解得k=27，双曲线方程为y 2-3x 2=27，即y 227-x29=1；当k<0时，a 2=-k 3，b 2=-k ，c 2=-4k 3，此时焦点为(±－4k3，0)， 由题意得3=－4k 2，解得k=-9，双曲线方程为y 2-3x 2=-9，即x 23-y 29=1.∴所求双曲线方程为y 227-x 29=1或x 23-y29=1.19.解：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上，其中c=22，a=3，从而b=1，所以其标准方程是x 29＋y 2=1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝x ＋2，消去y 得，10x 2＋36x ＋27=0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 线段的中点为M(x 0，y 0)，那么x 1＋x 2=-185，x 0=x 1＋x 22=-95，所以y 0=x 0＋2=15.也就是说线段AB 的中点坐标为(-95，15).20.解：如图，∵线段AB 在直线l ：y=x 上，且线段AB 的长为2，设M(x ，y)，A(t ，t)，B(t ＋1，t ＋1)(t为参数)，则直线PA 的方程为y-2=t －2t ＋2(x ＋2)(t ≠-2)，①直线QB 的方程为y-2=t －1t ＋1x(t ≠-1). ②∵M(x ，y)是直线PA 、QB 的交点，∴x ，y 是由①②组成的方程组的解，由①②消去参数t ，得x 2-y 2＋2x-2y ＋8=0. ③ 当t=-2时，PA 的方程为x=-2，QB 的方程为3x-y ＋2=0，此时的交点为M(-2，-4). 当t=-1时，QB 的方程为x=0，PA 的方程为3x ＋y ＋4=0，此时的交点为M(0，-4). 经验证，点(-2，-4)和(0，-4)均满足方程③.故点M 的轨迹方程为x 2-y 2＋2x-2y ＋8=0.21.解：(1)由圆的方程x 2＋y 2=4x ，即(x-2)2＋y 2=4可知，圆心为F(2,0)，半径为2.又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，抛物线方程为y 2=8x.(2)|AB|＋|CD|=|AD|-|BC|，∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|=4，则|AB|＋|CD|=|AD|-4. 设A(x 1，y 1)、D(x 2，y 2)，∵|AD|=|AF|＋|FD|，而A 、D 在抛物线上，由已知可得，直线l 的方程为y=2(x-2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2 x －2 ，消去y ，得x 2-6x ＋4=0.∴x 1＋x 2=6.∴|AD|=6＋4=10.因此，|AB|＋|CD|=10-4=6.22.解：(1)当λ=3时，椭圆方程为x 2＋y 23=1，直线EF 方程为：y=3x ＋1.设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，3x 2＋y 2＝3，∴3x 2＋3x-1=0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－33，x 1x 2＝－13.∴|EF|=1＋k 2|x 2-x 1|=1＋3² x 1＋x 2 2－4x 1x 2=2153. (2)设直线AB 的方程为y=k(x-1)＋3，代入3x 2＋y 2=λ，得(k 2＋3)x 2-2k(k-3)x ＋(k-3)2-λ=0.①设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2=2k k －3 k 2＋3，且Δ=4[λ(k 2＋3)-3(k-3)2]>0.② 由N(1,3)是线段AB 的中点，得x 1＋x 2=2.∴k(k-3)=k 2＋3解得k=-1代入②得λ>12. ∴λ的取值范围是(12，＋∞)，直线CD 的方程为x-y ＋2=0.。

高一年级（数学）学科习题卷双曲线的性质一、 选择题：1．已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 22－y 24＝1 C ．x 224－y 28＝1 D ．x 28－y 224＝1 2．双曲线221168xy -=实轴和虚轴长分别是（ ） A ．8、B ．8、C ．4、D ．4、3. 与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为( ) A ． B ． C ． D ． 4.已知双曲线C ： 22221x y a b-=的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A.y x = B. y = C.2y x =± D. y = 5.双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( ) A.3 B ．2 C ．3 D ．61643622=-y x 191622=-x y 191622=-y x 116922=-x y 116922=-y x6.已知双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的 乘积等于，则双曲线的方程是 （ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且 PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．88．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．－12B ．－2C ．0D ．49．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A ．x 25－y 24＝1 B ．x 24－y 25＝1 C ．x 23－y 26＝1D ．x 26－y 23＝1 10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心， b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点.若060MAN ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C. D. 211．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ ）2212y x +=1221x y -=221y x -=222x y -=222y x -=A. 2214x y -=B. 2214y x -=C. 2212x y -=D. 2212y x -=二、 填空题：12.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 13.过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．14．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 ． 15．已知A (1,4)，F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，求|PF |＋|P A |的 最小值为 ．16．已知双曲线22:1169y x C -=的右焦点为F ，则点F 到渐近线的距离为_________. 17．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()4,2-，则它的离心率为_____．三、解答题：18. 如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，双曲线的离心率为2，求该双曲线的标准方程．19.已知双曲线． （1）求双曲线的标准方程；（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求△的面积．()2222:10,0x y C a b a b-=>>4()0,145︒l C ,A B O OAB答案解析：一、选择题1—5 AAABA 6—10 DCCAA 11.B二、填空题12. 2 13.√214. 3x+4y-5=0 15. 916. 3 17.√5或√52三、解答题18. 设F1、F2分别为x,y 由余弦定理：x²+ y²-4(a²+b²)=2xy×1／2 ①式由双曲线：x-y=2a ②式由三角形面积公式：x×y×√3／2 ×1／2＝2√3 ③式联立①②③式消去x,y可得b²=2,再由双曲线离心=2 可求19.(Ⅰ)依题意可得解得双曲线的标准方程为．(Ⅱ)直线的方程为设、由可得由韦达定理可得，即原点到直线的距离为于是的面积为。