自主招生试题分类汇编06 立体几何

专题六 立体几何1、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，13AA =，D 为棱AC 的中点．⑴ 证明1AB ∥平面1BDC ；⑵ 求直线1AB 与平面11BCC B 所成角的正切值．C 1B 1A 1D CB EBCD A 1B 1C 1答案:⑴（本小问6分）连接1B C ，交1BC 于点E ，则E 为1B C 中点．连接DE ，由于D 为棱AC 的中点，所以在1ACB △中，1AB DE ∥，又因为DE ⊂平面1BDC ，而且1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ． ⑵（本小问7分）因为1AA ⊥底面ABC ，11CC AA ∥，所以1CC ⊥底面ABC ，故1CC AC ⊥．又因BC AC ⊥，于是AC ⊥平面11BCC B ，所以1AB C ∠是直线1AB 与平面11BCC B 所成的角． 1Rt ACB △中，2AC =，1B C于是，11tan AC AB C B C ∠===． 所以，直线1AB 与平面11BCC B2、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，1PA AD AB ===，2BC =。

（Ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面PDC ；（Ⅱ）若o 120PAB ∠=，求二面角B PD C --的正切值。

解答：（Ⅰ）由于平面PAB ⊥底面ABCD ， 且平面PAB 平面ABCD AB =，BC AB ⊥，BC ⊥平面ABP ，BC ⊂平面BCP ，所以平面PBC ⊥平面PDC .（Ⅱ）由120,1PAB AP AB AB ∠=︒==⇒由（Ⅰ）知BC ⊥平面ABP BC PB ⇒⊥，且2BC PC =⇒DCBAP由于平面PAB ⊥底面ABCD ,且平面PAB 平面ABCD AB =，AD AB ⊥且AD AB ⊥， 故AD ⊥平面PAB ，从而AD AP ⊥， 再由1AD AP ==知PD =，易见CD BD =. 设二面角B PD C --的平面角的大小为θ，则由空间余弦定理知cos cos cos cos sin sin BDC PDB PDCPDB PDCθ∠-∠⋅∠=∠⋅∠:易求得13cos 0,cos ,cos ,sin 44BDC PDB PDC PDB PDC ∠=∠=∠=-∠=∠，故cos tan θθθ===，即所求的二面角B PD C --3、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为( B ) (A(B(C(D4、在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为 ( D ) (A(B(C(D5、圆心角为60 的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积. 【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =. 于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.6、正四棱锥S ABCD -中，侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成二面角为β，侧棱SB 与底面正方形ABCD 的对角线AC 所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ， 则,,,αβγθ之间的大小关系是（B ）(A)αβθγ<<< (B) αβγθ<<< (C) αγβθ<<< (D) βαγθ<<< 解：设正四棱锥的高是,h a 底面边长为可求cos ,cos =,cos =0,22a h h αβγ因为0,22ah h>>所以2παβγ<<≤，下面求cos θ，过B 作BM SC ⊥于M ，连接DM ，由对称性，可知DM SC ⊥，所以DMB ∠为二面角B SC D --的平面角，可以计算出ABDP22222212()2cos 102()4a h a a h a θ+=-<+，所以θ为钝角.选B. 7、已知三棱锥S ABC -的底面ABC 为正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是ABC的垂心，二面角H AB C --为30°，且2SA =，则此三棱锥的体积为（ ） (A)12(B)(C) (D) 34 解：连接BH 交SC 于M ，因此BM SC ⊥，又A H S C ⊥，因此SC ⊥ 平面ABM ，所以SCAB ，过M 作MN ⊥AB ，连接CM ，因此AB 平面SCN ，从而AB ⊥CN ，三角形ABC 为等边三角形，因此N 为AB 的中点，又SN ⊥AB ，由三角形SAN 和三角形SAN 和三角形SBN 全等，可以得到SA=SB ，类似的做法可以证明2SA SB SC ===，S 在地面射影为三角形ABC 中心。

历年自主招生试题分类汇编——解析几何题5（2012年北约）已知点()()2,0,0,2A B -，若点C 是圆2220x x y -+=上的动点，求ABC∆面积的最小值。

解： AB 所在的直线方程为20x y -+=，圆心()1,0C ，半径为1r =C 到直线ABC 上的点到直线AB 1-，∴min1132ABCS ∆⎫=⋅=-⎪⎭评析：此题涉及到直线，圆与三角形的面积等概念，应充分挖掘圆的几何性质，使问题得到简化，以考查学生思维的灵活性。

2.求过抛物线2221y x x =--和2523y x x =-++的交点的直线方程. 【解】联立两方程,消去2,x 得6710x y +-=.此方程即为所求.6. （2011年北约）1C 和2C 是平面上两个不重合的固定圆,C 是平面上的一个动圆,C 与12,C C 都相切,则C 的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由.【解】设圆心12,C C 的半径分别为12,r r ; (1)若12r r =.①若两圆相离,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线;②若两圆相切,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线(即两圆的内分切线)和直线12C C ,去掉切点;③若两圆相交,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线和以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆,去掉交点.(2)若12r r ≠①若两圆外离,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内);②若两圆外切,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内)和直线12C C ,去掉切点;③若两圆相交,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内)和以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆,去掉交点.④若两圆内切,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆和直线12C C ,去掉切点;⑤若两圆内含,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆. 依据椭圆、双曲线的定义即可证明,这儿不再赘述.3．（2010年北约）AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ， 且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>． 由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；①BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---．对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b ∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab =+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++6个 9个1243691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ===-==∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 5. （2014年华约）已知椭圆22221x y a b +=与圆222x y b +=,过椭圆上一点M 作圆的两切线,切点分别为,P Q ,直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ,求EOF S ∆的最小值.【解】设(cos ,sin )([0,2))M a b θθθπ∈,直线PQ 为点M 关于圆222x y b +=的切点弦,其方程为2(cos )(sin )a x b y b θθ+=,从而2,cos sin E F b bx y a θθ==, 于是331||||2|sin 2|EOFE F b b S x x a aθ∆=⋅=≥,当且仅当(,)M 时,上述等号成立. 3. （2013年华约）点A 在y kx =上,点B 在y kx =-上,其中0k >,2||||1OA OB k ⋅=+,且A B 、在y 轴同侧.(1)求AB 中点M 的轨迹C ;(2)曲线C 与22(0)x py p =>相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程. 【解】(1)设1122(,),(,)A x y B x y ,(,)M x y ,则1212121122(),,,222x x y y k x x y kx y kx x y ++-==-===, 由2||||1OA OB k ⋅=+得,121x x =,显然22121212()()44x x x x x x +--==,于是得2221(0)y x k k-=>,于是AB 中点M 的轨迹C 是焦点为(,实轴长为2的双曲线.(2)将22(0)x py p =>与2221(0)y x k k-=>联立得22220y pk y k -+=,由曲线C 与抛物线相切,故242440p k k ∆=-=,即1pk =,所以方程可化为2220y ky k -+=,即切点的纵从标均为y k =,代入曲线C 得横坐标为.因此切点分别在定直线x x ==,两切点为),()D k E k ,又因为xy p'=,于是在)D k 处的切线方程为y k x -=,即1y x p=-;同理在()E k 处的切线方程为1y x p p=--. （6）（2012年华约）椭圆长轴长为4，左顶点在圆()22(4)14x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）(A) 11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B) 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C) 11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦解：设左顶点为[)42cos ,0,212sin x tt y tπ=+⎧∈⎨=+⎩，则对称中心为()62cos ,12sin t t ++，令62cos ,12sin u x tv y t =--⎧⎨=--⎩则在uv 坐标系中，其左准线为62cos u t =--，因此2411162c o s ,3c o s 42a c t e c c a t ⎡⎤-=-=--⇒==∈⎢⎥+⎣⎦.选B. （12）（2012年华约）已知两点()()2,0,2,0A B -，动点P 在y 轴上的射影是H ，且22PA PB PH ⋅=① 求动点P 的轨迹C 的方程② 已知过点B 的直线交曲线C 于x 轴下方不同的两点,M N ，设MN 的中点为R ，过R 于点()0,2Q -作直线RQ ，求直线RQ 斜率的取值范围。

历年体育单招真题汇编-立体几何（2017）点P 在直二面角βα--AB 的交线AB 上，C ，D 分别在βα,内，且4π=∠=∠DPA CPA ，则=∠CPD （ ） A.6π B. 4π C. 3π D. 2π （2017）长方体''''D C B A ABCD -的长、宽、高分别为4，2，1，由顶点A 沿长方体的表面到顶点'C 路径长度的最小值为 .（2016）两个球的表面积之比为1:4，则它们的体积之比为（ ） A.1:22 B.1:4 C.1:42 D.1:8（2015）设直线l ，m ，平面α，β，有下列4个命题：①若α⊥l ，α⊥m ，则m l // ②若β//l ，β//m ，则m l //③若α⊥l ，β⊥l ，则βα// ④若α//m ，β//m ，则βα// 其中的真命题是（ ）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④（2014）已知A ，B 为球O 的球面上两点，平面AOB 截球面所得圆上的劣弧»AB 长为π10，且OB OA ⊥，则球O 的半径等于（ ）A. 40B. 30C.20D. 10（2013）若四面体的棱长都相等且它的体积为39a ，则此四面体的棱长为（ ）C. D.（2013）已知圆锥的母线长为13，底面周长为10π，则该圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为 . （2012）下面是关于三个不同平面,,αβγ的四个命题 1:p αγ⊥，βγαβ⊥⇒∥； 2:p αγ∥，βγαβ⇒∥∥；3:p αγ⊥，βγαβ⊥⇒⊥； 4:p αγ⊥，βγαβ⇒⊥∥ 其中的真命题是（ ）A. 12,p pB. 34,p pC. 13,p pD. 24,p p（2012）已知圆锥侧面积是底面积的3倍，高为4cm ，则圆锥的体积是 cm 3.（2011）已知圆锥曲线母线长为5，底面周长为6π，则圆锥的体积是（ ）A .6πB .12πC .18πD .36π（2011）正三棱锥的底面边长为1 . （2010）下面是关于两条直线m ，n 和两个平面α，β（m ，n 均不在α，β内）的四个命题：1:p m α∥，n α∥m n ⇒∥； 2:p m α∥，αβ∥m β⇒∥；3:p m α∥，n β∥，αβ∥m n ⇒∥； 4:p m n ∥，n β⊥，m α⊥αβ⇒∥其中的假命题是（ ）A. 1p ，3pB. 1p ，4pC. 2p ，3pD. 2p ，4p（2010）已知一个圆锥的母线长为13cm ，高为12cm ，则此圆锥的内切球的表面积S = cm 2，（轴截面如图所示）（2009）关于空间中的平面α和直线m ，n ，l ，有下列四个命题：1p ：n m l n l m ||,⇒⊥⊥ 2p ：n m n m ||||,||⇒αα3p ：αα⊥⇒⊥m l l m ,|| 4p ：αα⊥⇒⊥m l m l 相交与,其中真命题是 （ ）A . 1p ，3pB . 2p ，4pC . 3pD . 4p（2009）表面积为π180的球面上有A 、B 、C 三点. 已知AC=6，BC=8，AB=10，则球心到ABC ∆所在平面的距离为___ .（2008）正三棱锥的底面边长为2，体积为3，则正三棱锥的高是 （ ）A .2B .3C .4D .6（2008）如图，正三棱柱'''C B A ABC -中，AB=1，AA'=2，则异面直线AB 与A'C 夹角的余弦值是 . （2008）用平面α截球，截得小圆的面积为π，若球心到平面α的距离为2，则球的表面积是 . （2007）三个球的表面积之比为1:2:4，它们的体积依次为1V ，2V ，3V ，则 （ ）A .124V V =B .1322V V =C .234V V =D .2322V V =（2007）一个两头密封的圆柱形水桶装了一些水，当水桶水平横放时，桶内的水浸了水桶横截面周长的41. 当水桶直立时，水的高度与桶的高 度的比值是 （ ）A .41B .4πC .π141-D .π2141-（2007）三棱锥D ABC -中，棱长AB BC CA DA DC a =====，6BD a =则二面角D AC B --的大小为____. （2006）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB ==，设1AB 与平面11AAC C 所成的角为α，则sin α=（ ）A .23B .22C .410D .46（2006）在三棱锥S-ABC 中，已知侧棱SA ，SB ，SC 两两相互垂直，且SA=3，SB=4，SC=5，则三棱锥S-ABC 的体积V=______________.（2006）若圆锥的高H 于底面半径R 都是1，则该圆锥的内切球的表面积S=________.（2017）如图，四面体ABC P -中，BC PA ⊥，D 在棱BC 上，BC AD ⊥，2AD =，1PA =，ο60=∠PAD . （Ⅰ）证明：PBC PA 平面⊥；（Ⅱ）若2=BC ，求四面体ABC P -的体积V .（2016）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点.（Ⅰ）证明1A B P 平面1ADC ； （Ⅱ）若AB AA 21=,求1AC 与平面11BB C C 所成角的大小.（2015）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为梯形，CD AB //，且CD AB 21=，ο90=∠ADC ， ABCD PA 平面⊥，M 是PD 的中点.（Ⅰ）证明：PBC AM 平面//；（Ⅱ）设AB AD PA 2==，求PC 与平面ABCD 所成角的正弦值.（2014）如图，长方体''''D C B A ABCD -中，1'==AD AA ，M ，O 分别是AB ，C A '的中点.求： （Ⅰ）求直线MO 与平面''''D C B A 所成角的大小；（Ⅱ）证明：平面CD A MC A ''平面⊥.（2013）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，4BC =，13AA =，M 为AB 的中点.求： （Ⅰ）二面角111M B C A --的大小；（Ⅱ）点1D 到平面11MB C 的距离.（2012）如图，已知正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 是11B D 的中点.（Ⅰ）证明BM AC ⊥；（Ⅱ）求异面直线BM 与1CD 的夹角；（Ⅲ）求点B 到平面1AB M 的距离.（2011）如图正方体''''D C B A ABCD -中，P 是线段AB 上的点，1AP =，3PB =.（Ⅰ）求异面直线PB'与BD 的夹角的余弦值；（Ⅱ）求二面角B PC B'--的大小；（Ⅲ）求点B 到平面PCB'的距离.（2010）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A C 中点，已知2AB BC ==，二面角1A BD C --的大小为4π3. （Ⅰ）求1AA 的长；（Ⅱ）证明：AE ⊥平面ABD ；（Ⅲ）求异面直线AE 与BC 所成角的大小.（2009）正三棱柱111ABC A B C -，已知1AB =，D 为11C A 的中点.（Ⅰ）证明：B A 1||平面C DB 1； （Ⅱ）当231=AA 时，求点1B 到平面11BC A 的距离； （Ⅲ）1AA 取什么值时，二面角B C A B --111的大小为6π.（2008）如图，直三棱柱ABC A'B'C'-中，2AC =，1BC BB'==，ABC ∠是直角，M 是BB'的中点. （Ⅰ）求平面AMC'与平面A'B'C'所成二面角的平面角的大小；（Ⅱ）求点B'到平面AMC'的距离.（2007）已知ABC A'B'C'-为正三棱柱，D 是BC 中点. （Ⅰ）证明A'B P 平面ADC'；（Ⅱ）若AA'AB =，求A'B 与平面AA'C'C 所成角的大小；（Ⅲ）若AB a =，当A'A 等于何值时A'B AC'⊥？证明你的结论.（2006）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =，点O 是正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，且1CP =.（Ⅰ）求直线AP 与平面11BCC B 所成角θ的正弦值；（Ⅱ）求点P 到平面11ABC D 的距离；（Ⅲ）设点O 在平面1APD 上的投影是H ，证明1AP D H ⊥.专注体育特长生辅导12年，微信：gxhua2004。

个结果 ， 因此满 足条件 的任 何 ． 个 三 棱 柱 中所求 距 离 为 同一 个 数字． 不妨取 三棱柱 Ａ Ｂ Ｃ － Ａ Ｂ １ Ｃ ， 为直 三棱 柱 ， 如 图 ４所 示 ， 运 用 等 体积 法， 易 求得 点 ｃ 到 平 面 Ａ Ｂ， Ｅ的距 离
× × ｌ ×２
从 而 ａ ｎ ４ 高 ３ （ １ 一 ） 。 ， 组 ４ 袁 ３ ，
得 ｔ ａ ｎ （ ＋ 卢 ） ＝ ｉ ｔ ａ ｎ ａ 如 ＋ ｔ ａ ｎ ／ ３＝
．
Ａ ． 孚
Ｂ ． 孚
ｃ ． ３ Ｄ ． ５
又
≤ （
） ＝ １ ，
・４ ５・
２ 距 离 问题 例 ４ 在 三棱柱 Ａ Ｂ Ｃ — Ａ Ｂ Ｃ 中 ， 底 面 边 长 与
侧棱长均等于 ２ ， 且 Ｅ为 Ｃ Ｃ 。 的中点 ， 则点 ｃ 到平 面Ａ Ｂ Ｅ的距离 为 （ ）
｛
Ａ．
Ｂ．
ｃ．
二
Ｄ．
二
分析
一 一
（ ２ ０ １ １ 年同济大学等九校联考试题 ） 本题 每 个选 项 中只 有
例 ６ 有 一个 圆柱 形杯 子 ， 底 面周 长为 １ ２ ｃ ｍ， 高为 ８ ｃ ｍ， 点 Ａ在 内壁距杯 口 ２ ａ ｍ处 ， 点 Ａ对面 外壁距 杯底 ２ ａ ｍ 处有 一 只小虫 ， 问 小 虫 至 少 走 ａ ｍ长 的路 才 能到 点 Ａ处 饱餐 一 顿 ？ （ ２ ０ ０ ９年 南京 大学 自主 招 生试题 ） 分 析 根据 题 意可将 圆柱 形杯 子 展 开 ， 如图７ 所示 ， 小 虫 从 点 Ｂ到 点 Ａ 的 最 短距 离 可利 用 勾 股 定理求得 ， 即为 １ ０ ａ ｍ ． 评注 几何体 的展开是求最短距离 的常用办