一曲线的参数方程1．参数方程的概念1．参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数t的函数:错误!①，并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程,t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程．2．参数的意义参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．求曲线的参数方程如图，△ABP是等腰直角三角形,∠B是直角，腰长为a，顶点B,A分别在x轴、y轴上滑动,求点P在第一象限的轨迹的参数方程．此类问题的关键是参数的选取．本例中由于A，B的滑动而引起点P的运动,故可以OB的长为参数，或以角为参数，不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解．法一：设P点的坐标为（x,y)，过P点作x轴的垂线交x轴于点Q。
如图所示，则Rt△OAB≌Rt△QBP。
取OB＝t，t为参数（0＜t＜a)．∵|OA|＝错误!，∴｜BQ｜＝a2－t2.∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为错误!（0＜t＜a）．法二：设点P的坐标为(x,y），过点P作x轴的垂线交x轴于点Q,如图所示．取∠QBP＝θ，θ为参数错误!，则∠ABO＝错误!－θ。
在Rt△OAB中,|OB｜＝a cos错误!＝a sin θ.在Rt△QBP中,|BQ|＝a cos θ，｜PQ|＝a sin θ。
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为错误!错误!。
求曲线参数方程的主要步骤第一步,画出轨迹草图，设M(x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步,选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标x,y 与参数的关系比较明显，容易列出方程;二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如,在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外,离某一定点的“有向距离”，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等,建立点的坐标与参数的函数关系式,证明可以省略．1．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度为错误! rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M(x,y）对应时刻t，由图可知错误!（θ为参数），又θ＝错误!t，故参数方程为错误!（t为参数）．2．选取适当的参数,把直线方程y＝2x＋3化为参数方程．解：选t＝x，则y＝2t＋3.由此得直线的参数方程为错误!（t为参数)．也可选t＝x＋1，则y＝2t＋1。
