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高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为 _________．【答案】②③【解析】①中没有规定k的范围，所以动点P的轨迹不一定是椭圆；②正确；③也正确，因为该方程的两个根一个大于1，一个大于零小于1；根据双曲线的第二定义可知④不正确.【考点】本小题主要考查圆锥曲线的定义的应用，考查学生的推理能力和运算求解能力.点评：圆锥曲线的定义中都有一些限制条件，解题时要特别注意.2. F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆【答案】C【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程。
解：因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|，所以点M的轨迹是线段，故选C。
3.若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质。
解：椭圆焦点在x轴，排除A,B。
将分别代入C,D方程中知选D。
4.过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y1) ，B(x2, y2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （）A．8B．10C．6D．4【答案】A【解析】由抛物线的焦半径公式得=，故选A。
【考点】本题主要考查抛物线的焦半径表达式应用。
点评：基础题，关键是记熟抛物线的焦半径公式。
5.过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【答案】C【解析】因为点M（2，4）在抛物线y 2=8x上，所以应考虑两种情况，一是过点M与抛物线相切的直线；二是过点M平行于轴的直线，共有两条，故选C。
高二圆锥曲线方程知识点圆锥曲线方程是高二数学中的重要知识点之一。
在本文中，我们将讨论圆锥曲线方程的相关概念和性质，并解释如何通过给定信息推导出相应的方程。
同时，我们还将介绍不同类型的圆锥曲线方程，并探讨它们的基本形式和特点。
希望本文能够帮助您更好地理解和掌握高二圆锥曲线方程知识点。
1. 圆锥曲线的定义在数学中，圆锥曲线是由一个平面与一个双曲面、抛物面或椭球面相交而产生的曲线。
根据平面与曲面的位置和交点情况，圆锥曲线被分为四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
2. 椭圆的方程椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。
其方程可以写为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y 轴上的半长轴长度。
3. 双曲线的方程双曲线是由双曲面与平面相交而产生的曲线。
它的方程可以写为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1或(y-k)²/b² - (x-h)²/a² = 1其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的半长轴长度。
4. 抛物线的方程抛物线是由抛物面与平面相交而产生的曲线。
它的方程可以写为：y = ax² + bx + c其中，a、b和c为常数，决定了抛物线的形状和位置。
5. 直线的方程直线也可以看作是一种特殊的圆锥曲线。
其方程可以写为：y = mx + c其中，m为直线的斜率，c为直线与y轴的截距。
通过以上的介绍，我们可以看到不同类型的圆锥曲线方程有着不同的形式和特点。
在解题时，我们需要根据题目给出的信息和所求的要素，选择相应的方程进行推导和计算。
总结起来，高二圆锥曲线方程知识点包括了椭圆、双曲线、抛物线和直线的方程形式和性质。
通过学习和理解这些知识，我们可以更好地解决与圆锥曲线相关的问题，提高数学解题能力。
高二-数学-《圆锥曲线方程》知识点总结
圆锥曲线是一类近似椭圆的曲线，也叫双曲曲线或鱼眼曲线。
它们的性质与椭圆十分接近，形状近似椭圆，但是椭圆的离心率为常数，而圆锥曲线的离心率是一个变量。
一般圆锥曲线的方程是这样的：
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a和b是变量，称为离心率。
离心率的大小决定了曲线的形状，a大于b表示离心率大，它的处处突出，而a小于b则表示离心率小，它就会把曲线变得更加平缓。
圆锥曲线的概念和椭圆类似，只是离心率不再是常数而是变量，这使得曲线得到更多的灵活性，可以满足更多类型的用途。
圆锥曲线的准确表达式是：
$$x=acosθ, y=bsinθ, 0 ≤ θ ≤ π$$
其中，θ是由变量a,b决定的，而a和b也可以理解成点(a，0)和点(0，b)。
由于它的形状和椭圆类似，可以用同样的方法来进行求积分。
圆锥曲线也经常用在绘图中，比如地球影像分析中，常常需要使用圆锥曲线来作为地球表面的近似曲线。
圆锥曲线还有很多其他的应用，比如飞行轨迹的分析、流体动力学计算中的重力变形应用、测试反差图的绘制等等。
总之，圆锥曲线是一类强大的数学曲线，可以用来描述很多实际情况，可以给我们带来很多的想象空间。
高中数学平面几何中的圆锥曲线与方程解析在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个重要的内容，它是解析几何的一个分支，与方程解析密切相关。
本文将以高中数学的角度，详细介绍圆锥曲线的基本概念、性质以及解析方程的应用。
一、圆锥曲线的基本概念与性质圆锥曲线是平面上一个点与一个定点的距离与一个定直线的距离之比为定值的点的轨迹。
根据这个定义，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它的定义是一个点到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆的解析方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$其中，a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
在解析几何中，椭圆有许多重要的性质。
例如，椭圆的离心率小于1，焦点在椭圆的内部，且椭圆是对称的。
这些性质在解题过程中起到了重要的作用。
2. 双曲线双曲线也是圆锥曲线的一种，它的定义是一个点到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的解析方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$双曲线的性质与椭圆有很大的不同。
双曲线的离心率大于1，焦点在双曲线的外部，且双曲线也是对称的。
这些性质在解析几何中起到了重要的作用。
3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中的一种，它的定义是一个点到一个定点的距离等于一个定直线的距离的点的轨迹。
抛物线的解析方程为：$y^2 = 2px$抛物线的性质与椭圆和双曲线也有所不同。
抛物线是对称的，焦点在抛物线的内部，且抛物线的开口方向由系数p的正负决定。
二、解析方程的应用解析方程是研究圆锥曲线的重要工具，通过解析方程可以确定圆锥曲线的形状、位置以及与坐标轴的交点等。
1. 求解焦点坐标对于给定的圆锥曲线，可以通过解析方程来求解其焦点坐标。
以椭圆为例，已知椭圆的解析方程为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，我们可以通过求解方程组$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$和$(x - c)^2 + y^2 = a^2$来确定焦点的坐标。
高二数学课本《选修1-1第二章圆锥曲线与方程》高二数学课本《选修1-1》第二章圆锥曲线与方程在本章中，我们将探索圆锥曲线与方程之间的关系。
圆锥曲线是平面几何中的重要主题，而通过引入方程，我们可以更精确地描述这些曲线的性质。
一、引言圆锥曲线是平面几何中的一个基本主题。
椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线都是平面上的点满足某种条件的轨迹。
通过引入方程，我们可以对这些曲线进行精确的描述和分类。
二、基本概念1.圆锥曲线的定义：圆锥曲线是指在平面直角坐标系中，一个动点在满足某种条件的限制下，沿着一条具有特殊形状的轨迹运动所形成的图形。
2.圆锥曲线的方程：对于每种圆锥曲线，我们可以使用一个二元二次方程来表示。
例如，椭圆方程可以表示为(x-a)^2/b^2 + (y-c)^2/d^2 = 1，其中a、b、c、d是椭圆的主要参数。
三、主要内容1.椭圆的定义和方程：椭圆是一种常见的圆锥曲线，它描述了一个动点在两个固定点（焦点）之间移动的轨迹。
椭圆的方程可以写为(x-a)^2/b^2 + (y-c)^2/d^2 = 1，其中(a, c)是焦点位置，b和d是半轴长度。
2.双曲线的定义和方程：双曲线也是一种圆锥曲线，描述了一个动点在一个固定点（焦点）和无穷远点之间的轨迹。
双曲线的方程可以写为(x-a)^2/b^2 - (y-c)^2/d^2 = 1，其中(a, c)是焦点位置，b和d是半轴长度。
3.抛物线的定义和方程：抛物线是一种圆锥曲线，描述了一个动点在一个固定点（焦点）和一条直线（准线）之间的轨迹。
抛物线的方程可以写为y^2 = 2px或x^2 = 2py，其中p是抛物线的焦参数。
4.圆锥曲线的性质：通过观察圆锥曲线的方程，我们可以得出一些重要的性质，例如范围、对称性和离心率等。
这些性质有助于我们更好地理解和应用圆锥曲线。
四、方法与技巧1.代数方法：通过代入坐标到圆锥曲线的方程中，我们可以得到点的位置，从而通过代数方法解决问题。
数学圆锥曲线方程高二知识点
数学圆锥曲线方程高二知识点
数学是学习生涯的关键阶段，为了能够使同学们在数学方面有所建树，店铺特此整理了数学圆锥曲线方程之高二知识点，以供大家参考。
圆锥曲线方程：
1、椭圆：①方程 (a0)注意还有一个;②定义: PF1+PF2=2a ③ e=
④长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c; a2=b2+c2 ;
2、双曲线：①方程(a,b0) 注意还有一个;②定义: PF1-PF2=2a
③e= ;④实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c;渐进线或 c2=a2+b2
3、抛物线：①方程y2=2px注意还有三个，能区别开口方向; ②定义:PF=d焦点F( ,0),准线x=- ;③焦半径 ; 焦点弦=x1+x2+p;
4、直线被圆锥曲线截得的弦长公式：
5、注意解析几何与向量结合问题：1、 , . (1) ;(2) .
2、数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量abcos叫做a与b的数量积，记作ab，即
3、模的`计算：a= . 算模可以先算向量的平方
4、向量的运算过程中完全平方公式等照样适用：
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圆锥曲线方程笔记高二圆锥曲线方程笔记高二圆锥曲线是高中数学学科中的重点内容，也是一种经典的二次曲线形式。
本文将对圆锥曲线的方程进行笔记，通过解析式、性质以及图像等多个方面进行详细的讲解，希望能够帮助同学们全面理解圆锥曲线的特性。
一、解析式圆锥曲线的解析式包括：抛物线、椭圆、双曲线和直线。
它们的解析式分别为：1.抛物线：y²=4ax 或者x²=4ay（a>0）；2.椭圆：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1（a>b>0）；3.双曲线：(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1（a>0,b>0）；4.直线：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）。
这些解析式反映了圆锥曲线与坐标轴之间的关系，通过解析式可以了解到圆锥曲线的几何特性，并能够方便地进行计算和推导。
二、性质每一种圆锥曲线都有其独特的性质，下面对每一种圆锥曲线的性质进行一一介绍。
1.抛物线的性质：（1）焦点和直线：抛物线具有焦点和准线。
焦点到准线的距离等于焦距2a。
准线是y=0坐标轴。
（2）对称性：抛物线关于y轴对称，开口向上或向下。
（3）顶点：抛物线的顶点为（0，0）。
（4）切线：抛物线上任一点处的切线平行于准线。
（5）拋物截距式：若抛物线的方程为y²=4ax，则抛物线与x轴交于两点（-a, 0）和（a, 0）。
2.椭圆的性质：（1）长轴和短轴：椭圆由焦点F1、F2和主轴上的两个端点A、A'所确定，主轴（AA'）为长轴，长度为2a；焦点F1、F2与椭圆中心C的距离为c，满足a>c>0。
（2）顶点和准线：椭圆的顶点为两个焦点所在的直线与椭圆的交点；准线是通过椭圆中心的一条直线。
3.双曲线的性质：（1）渐近线：双曲线由两条渐近线所定义，渐近线的方程为y=kx+b和y=-kx+c，其中 k=a/b（a和b分别为横轴与纵轴的半长度）。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.若椭圆与双曲线有公共的焦点，其交点为且∠，则△的面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵点p既在椭圆上又在双曲线上，∴，由椭圆与双曲线有公共的焦点，得∴∴.【考点】椭圆、双曲线定义的应用。
点评：本题主要考查椭圆和双曲线定义的灵活应用，先根据点p既在椭圆上又在双曲线上，得，，再利用完全平方式求出，从而求出△的面积。
2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，在抛物线上，可以设其方程为：，准线方程为：；根据抛物线的上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可得到准线的距离为5，即∴抛物线方程为。
【考点】本题考查了抛物线的定义及其标准方程的求法。
点评：求抛物线的方程时，通常利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离来求。
本题中根据点在抛物线上判断出焦点在y轴负半轴上是关键。
3.若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则取得最小值时点的坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（2，2）D．【答案】C【解析】点A（3，2）在抛物线的内部，如图：过点A向准线作垂线AH,交抛物线于P，此时取最小值,把代入得，所以的坐标是（2，2）。
【考点】抛物线的定义。
点评：本题用数形结合的思想来解。
如图，由抛物线的定义，,当A,P,H三点共线时，最小。
4.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的焦点为：设，则，设直线PQ为：，由得：∴∴∴。
【考点】抛物线的焦点弦。
点评：在解决焦点弦问题时，一般先利用定义转化成点到准线的距离，然后联立直线方程与抛物线方程，得一元二次方程，再利用韦达定理求解。
5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A. B. 6 C. D. 12【答案】C【解析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=4，所以选C【考点】本题主要考查椭圆的定义及标准方程。
同学们，咱们在高中数学里，圆锥曲线的方程可是个重要的家伙！今天就来给大家好好唠唠。
先说椭圆，它的方程就像一个温柔的“大胖子”。
比如说，椭圆方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），这里的$a$和$b$可重要啦，决定了椭圆的形状和大小。
就像一个大西瓜，$a$是长半轴，$b$是短半轴。
再看双曲线，那可是个“调皮鬼”。
双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，它有两支，一支向左跑，一支向右跑。
比如说，火箭发射的轨道，有时候就像双曲线。
还有抛物线，它是个“急性子”，总是一条线冲出去。
比如投篮的时候，篮球在空中划过的轨迹，就可能是抛物线，它的方程$y^2 =2px$（$p>0$），$p$决定了抛物线的开口大小和方向。
怎么样，同学们，圆锥曲线的方程是不是没那么可怕啦？多做几道题，咱们就能把它们拿下！圆锥曲线方程，你真的懂了吗？亲爱的小伙伴们，今天咱们来聊聊圆锥曲线的方程。
想象一下，椭圆就像一个压扁的圆，比如我们常见的操场跑道，有一部分就是椭圆形状的。
它的方程$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$，告诉你怎么画出这个“压扁的圆”。
双曲线呢，像是两个背靠背的滑梯。
比如一些建筑的设计，就会用到双曲线的形状。
它的方程$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，让我们能算出滑梯的样子。
抛物线就简单啦，像喷泉水柱往上喷，然后落下来的轨迹。
家里的手电筒照出的光，也近似抛物线。
它的方程$y^2 = 2px$，帮我们描述这个美丽的曲线。
好好琢磨琢磨这些例子，圆锥曲线方程就不再神秘啦！圆锥曲线方程：数学世界的奇妙之旅小伙伴们，让我们一起踏上圆锥曲线方程的奇妙之旅吧！先说椭圆，它的方程就像一个神奇的密码。
比如我们看太阳系里行星的轨道，很多就是近似椭圆的。
高二圆锥曲线与方程知识点在高二数学学习中，圆锥曲线与方程是一个重要的知识点，它涉及到二元一次方程、抛物线、椭圆和双曲线等内容。
掌握这些知识点不仅能够帮助我们解决实际问题，也是高中数学学习的基础。
本文将从二元一次方程和三种圆锥曲线入手，详细介绍高二圆锥曲线与方程的相关知识点。
一、二元一次方程1. 二元一次方程的基本形式是：Ax + By + C = 0，其中A、B、C是已知数，且A和B不同时为零。
2. 当A和B同时为零时，方程没有解。
3. 当A或B有且只有一个为零时，方程有唯一解。
4. 当A和B都不为零时，方程有无数解，这类方程表示一条直线。
二、抛物线1. 抛物线的标准方程是：y = ax² + bx + c，其中a≠0，a、b、c为常数。
2. 抛物线开口方向由a的正负决定，a>0表示抛物线开口向上，a<0表示抛物线开口向下。
3. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
4. 抛物线的对称轴与x轴平行，方程为x = -b/2a。
三、椭圆1. 椭圆的标准方程是：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中a、b分别表示椭圆长半轴和短半轴的长度，(h, k)表示椭圆的中心坐标。
2. 椭圆是关于x轴和y轴对称的。
3. 椭圆的焦点到中心的距离称为焦距，焦距的长度等于椭圆的长半轴长度。
4. 椭圆的离心率ε = c/a，其中c表示焦距的长度。
四、双曲线1. 双曲线的标准方程是：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中a、b分别表示双曲线横轴和纵轴的半轴长度，(h, k)表示双曲线的中心坐标。
2. 双曲线是关于x轴和y轴对称的。
3. 双曲线的焦点到中心的距离称为焦距，焦距的长度等于双曲线的横半轴长度。
4. 双曲线的离心率ε = c/a，其中c表示焦距的长度。
五、总结通过学习高二圆锥曲线与方程的知识点，我们可以应用它们解决一些实际问题。
圆锥曲线与方程知识点详细圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学、物理等领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们详细了解一下圆锥曲线与方程的相关知识点。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为椭圆的长半轴长，＄b$为椭圆的短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。
焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
（2）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
（3）顶点：焦点在$x$轴上的椭圆的顶点为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆的顶点为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
（4）离心率：＄e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），离心率反映了椭圆的扁平程度，＄e$越接近$0$，椭圆越圆；＄e$越接近$1$，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，其中$a ＞ 0$，＄b ＞ 0$，＄c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。
第二章：圆锥曲线知识点：1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化①建立适当的直角坐标系；),M x y 及其他的点； ③找出满足限制条件的等式； ④将点的坐标代入等式；⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。
2、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F）的点的轨迹称为椭圆。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。
()12222MF MF a a c +=> 3、椭圆的几何性质：焦点在x 轴上4、设M 是椭圆上任一点，点M 到F 对应准线的距离为1d ，点M 到F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==。
5、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。
()12222MF MF a a c -=< 6、双曲线的几何性质：7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
x129、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．11、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p F x P =+；、若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02p F y P =-+．12、抛物线的几何性质：关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸112.||||FA FB P+= 知识储备1、 直线的方程形式：① 点斜式：已知直线过点(x0,y0),斜率为k,则直线方程为y －y0＝k(x －x0),它不包括垂直于x 轴的直线；② 斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b,斜率为k,则直线方程为y ＝kx ＋b,它不包括垂直于x 轴的直线；③ 两点式：已知直线经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1,它不包括垂直于坐标轴的直线； ④ 截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a,b,则直线方程为x/a ＋y/b ＝1,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；⑤ 一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A,B 不同时为0)的形式.2、 与直线相关的重要内容：① 倾斜角与斜率k ：倾斜角与斜率k ：② 点到直线的距离d ： 夹角公式：③ 弦长公式：④ 两条直线的位置关系：。
1．已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-．（1）若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且AOB △的面积为2， 求实数k 的值． 【答案】（1）(2,1)(1,1)(1,2)---；（2）0k =或62k =±． 【解析】（1）由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩，消去y 整理得22(1)220k x kx -+-=，由题意知2221048(1)0k Δk k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩，解得22k -<<且1k ≠±， 所以实数k 的取值范围为(2,1)(1,1)(1,2)---．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由（1）得12221k x x k +=--，12221x x k =--， 又直线l 恒过点(0,1)D -，①当120x x <时，1212111||||||2222AOB OAD OBD S S S x x x x =+=+=-=△△△； ②当120x x >时，1212111||||||||||2222AOB AOD OBD S S S x x x x =-=-=-=△△△， 所以222121212()()4(22)x x x x x x -=+-=，即22228()811k k k-+=--， 所以0k =或62k =±， 由（1）知上述k 的值符合题意，所以0k =或62k =±． 典题温故圆锥曲线与方程2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点(1)3M -在椭圆上，椭圆C 的离心率为12． （1）求椭圆的方程；（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P ，Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP ，AQ 斜率分别为1k ，2k ，若1214k k =-，请判断直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）过定点，直线PQ 过定点(1,0)． 【解析】（1）由点1)-在椭圆上，且椭圆C 的离心率是12， 可得22222811312a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得222431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设点P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，①当直线PQ 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得3(1,)2P ，3(1,)2Q -；②当直线PQ 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y ，得222(43)8(412)0k x kmx m +++-=，由222222644(43)(412)48(43)0Δk m k m k m =-+-=-+>，有2243k m +>，由韦达定理得122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，∴1212121(2)(2)4y y k k x x ==-++， 12124(2)(2)0y y x x +++=，∴221212(41)(42)()440k x x km x x m ++++++=，故有222224128(41)(42)4404343m kmk km m k k -+-+++=++，化简整理得2220m km k --=，解得2m k =或m k =-，当2m k =时，直线PQ 的方程为2y kx k =+，即(2)y k x =+，过定点(2,0)-不合题意；当m k =-时，直线PQ 的方程为y kx k =-，即(1)y k x =-过定点(1,0)， 综上，由①②知，直线PQ 过定点(1,0)．一、选择题1．曲线223440x xy y x y ---+-=与y 轴的交点坐标是（ ） A ．(0,2)-B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(0,2)-或(0,2)2．已知双曲线2213y x m m -=的一个焦点为(0,2)，椭圆221y x n m+=的焦距等于4，则n =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．63．已知椭圆的方程为2221(4)16x y a a +=>，它的两个焦点分别为1F ，2F ，且12||10F F =，弦AB 过1F ，则2ABF △的周长为（ ） A ．10B ．20C ．241D ．4414．抛物线24y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．455．已知直线l 交22142x y +=于A ，B 两点，且线段AB 的中点为(1,1)-，则l 的斜率k 为（ ） A ．12B ．12-C ．1D ．1-经典集训6．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，离心率为2，过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF △的周长为16，那么C 的方程为（ ）A ．221168y x +=B ．2211610y x +=C ．221104y x +=D ．221106y x +=7．已知||4AB =，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，2133OP OA OB =+， 点P 的轨迹方程为（ ）A ．229911664x y +=B ．229916416x y +=C ．2211664y x +=D ．2216416y x +=8．若点O 和点F 分别为椭圆2211615x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．20 B ．25 C ．26 D ．27二、填空题9．抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离||4PF =，则点P 的坐标为 ． 10．已知抛物线22y x =过点(2,1)Q 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程为 ．三、简答题11．求满足以下条件的双曲线方程．（1）以320x y ±=为渐近线，且经过点(1,2)；（2）与椭圆2255x y +=共焦点且一条渐近线方程为0y =．12．过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，||2AF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上存在点0(2,)M y -，使得MA MB ⊥，求直线l 的方程．13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点1)2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A 为椭圆C 的下顶点，M ，N 是椭圆C 上两个不重合的点，若直线AM 与直线AN 的斜率之和为6b ，试判断是否存在定点P ，使得直线MN 恒过点P ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题 1．【答案】B【解析】令0x =，得2440y y -+-=，所以2(2)0y -=，故曲线223440x xy y x y ---+-=与y 轴的交点坐标是为(0,2)． 2．【答案】C【解析】由题意可知0m >，且43m m =+，解得1m =，故椭圆221y x n m+=的方程可化为221y x n +=，故其焦距24c ==或24c ==，解得5n =或3n =-（此时方程不表示椭圆，舍去）． 3．【答案】D【解析】∵4a >，∴椭圆的焦点在x 轴， 由12||10F F =，得5c =，∴21625a -=，∴a =由椭圆的定义知2ABF △的周长，221212||||||||||||||4L BA F B F A BF BF AF AF a =++=+++==4．【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，双曲线221169x y -=的一条渐近线为340x y -=，距离35d ==． 5．【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由线段AB 的中点(1,1)M -，则122x x +=-，122y y +=，则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()042x x x x y y y y +-+-+=，∴121212y y x x -=-，∴直线l 的斜率为12k =． 6．【答案】A【解析】依题意设椭圆C 的标准方程为22221(0)x x a b a b+=>>，由e =2212c a =，从而22212a b a -=，2212b a =，由2ABF ∆的周长为221212||||||||||||||416AB BF AF AF AF BF BF a ++=+++==，得4a =，∴28b =，故椭圆C 的标准方程为221168y x +=．7．【答案】A【解析】设动点P 的坐标为(,)x y ，(0,)A a ，(,0)B b ， 由2133OP OA OB =+，得21(,)(0,)(,0)33x y a b =+，∴32a y =，3b x =， ∵||4AB =，∴2216a b +=，∴223()(3)162y x +=， 即229911664x y +=． 8．【答案】A【解析】由题意得(1,0)F -，设点00(,)P x y ，则2200015(1)(44)16x y x =--≤≤， 222200000001(1)15(1)(8)111616x OP FP x x y x x x ⋅=++=++-=++，当04x =时，OP FP ⋅取得最大值20．二、填空题9．【答案】或(3,-【解析】设(,)P m n ，由于抛物线24y x =的准线为1x =-，由定义可得||14PF m =+=，解得3m =， 则212n =，解得n =-n = 即点P的坐标为或(3,-． 10．【答案】217()24y x -=-【解析】设弦AB 的中点为M ，并设点A ，B ，M 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，(,)x y ，由题意有2112y x =①，2222y x =②，122x x x +=③，122y y y +=④，当12x x ≠时，①-②得2212122()y y x x -=-，∴12121y y x x y-=-，又∵AB MQ k k =，∴121212y y y x x x --=--，∴112y x y-=-，即22y y x -=-，∴217()24y x -=-， 当12x x =时，则点(2,0)M ，满足上述轨迹方程， 综上所述，弦AB 的中点的轨迹方程为217()24y x -=-．三、简答题11．【答案】（1）2249177y x -=；（2）2213y x -=． 【解析】（1）设所求双曲线方程为2294(0)x y λλ-=≠，将点(1,2)代入方程可得7λ=-，则所求双曲线方程为22947x y -=-，即2249177y x -=． （2）由已知得椭圆2255x y +=的焦点为(2,0)±，由双曲线的一条渐近线方程为0y -=，则另一条渐近线方程为0y +=，设所求的双曲线方程为223(0)x y λλ-=>，则23a λ=，2b λ=，所以222443c a b λ=+==，所以3λ=，故所求的双曲线方程为2213y x -=．12．【答案】（1）24x y =；（2）21y x =+．【解析】（1）抛物线2:2(0)C x py p =>的准线方程为2p y =-，焦点为(0,)2p F ， ∵当点A 的纵坐标为1时，||2AF =，∴122p+=，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24x y =．（2）∵点0(2,)M y -在抛物线C 上，∴20(2)14y -==， 又∵(0,1)F ，∴设直线l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=，124x x =-，11(2,1)MA x y =+-，22(2,1)MB x y =+-，∵MA MB ⊥，∴0MA MB ⋅=，∴1212(2)(2)(1)(1)0x x y y +++--=， ∴248440k k -++-=，解得2k =或0k =，当0k =时，l 过点M （舍），∴2k =，∴直线l 的方程为21y x =+．13．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，定点1(,1)3P ．【解析】（1）椭圆C 的离心率e =2a =，即224a b =，又∵点1)2在椭圆C 上，∴223114a b+=，则21b =，24a =，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=． （2）当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y kx t t =+≠±，代入2214x y +=，得222(14)8440k x ktx t +++-=， ∴22226416(14)(1)0Δk t k t =-+->，即241t k -<， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122814kt x x k-+=+，21224414t x x k -=+， ∵直线AM 与AN 斜率之和为6b ， ∴121212121111AM AN y y kx t kx t k k x x x x +++++++=+=+1212(1)()22661t x x k k b x x t ++-=+===-， ∴113t k =-，∴直线MN 的方程为111()133y kx t kx k k x =+=+-=-+， 显然直线1()13y k x =-+经过定点1(,1)3；当直线MN 斜率不存在时，设直线MN 的方程为x m =，∵直线AM 与直线AN 的斜率之和为6b ，设(,)M m n ，则(,)N m n -，∴11266AM AN n n k k b m m m +-++=+===，解得13m =， 此时直线MN 的方程为13x =，显然直线13x =必然经过定点1(,1)3， 综上，存在定点1(,1)3P ，使得直线MN 恒过点P ．。
