2020-2021学年江苏省淮阴中学高一4月阶段检测数学试卷

江苏省淮安市淮阴中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|log 2x >1}，B ={−1,0,1,3,5}，则A ∩B =( ) A. {1,3}B. {3,5}C. {−1,0,1,3}D. {−1,0,1,3,5}2.下列各角中，与角−3π4终边相同的角为( ) A.3π4B.5π4C.9π4D. −π43.已知一个扇形的周长是4cm ，面积为1cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A. 2B. 3C. 4D. 54.已知a =(16)0.3,b =(16)0.2,c =log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <a <c5.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数f(x)=exx 4−1的图象大致形状是( )A. B.C. D.6.已知幂函数y =(m 3−4m +1)x m 的图象与坐标轴没有公共点，则实数m 的取值为( ) A. 2B. −2C. 0或−2D. 0或27.设x ，y ∈R ，则“xy +1=x +y ”的充要条件为( ) A. x ，y 至少有一个为1 B. x ，y 都为1 C. x ，y 都不为1D. x 2+y 2=28.已知函数f(x)=ln(e x +a −1)，若对于任意0<x 1<x 2，都有f(x 1+1)−f(x 2+1)<x 1−x 2成立，则实数a 的取值范围( )A. (1,+∞)B. (−∞,1)C. [1−e,1)D. (1−e,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。

江苏省淮安市淮阴中学、姜堰中学2020-2021学年高三下学期4月阶段测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}0,1,1A =-，{}210B x x =-≥，则A B =______.2．已知复数z 满足32z i i ⋅=-，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数是______.3．已知角510︒的终边经过点()P a ，则实数a 的值是______.4．如图所示的流程图，输出的n = .5．已知函数()()3sin f x x a x =+为偶函数，则实数a 的值是______.6．现有5根铁丝，长度(单位：cm )分别为2.1，2.2，2.4，2.5，2.7，若从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差0.3cm 的概率是______.7．已知单位向量a ，b 的夹角为120，则||2a b -的值是________．8．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，AB =14AA =，若点P 从点A 出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱11A B 运动到点1C ，则点P 运动的最短路程为______.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4226a a -=，则11S 的值=______. 10．已知函数()1a f x x =-(0a >)，()()31g x x =-，若()f x 与()g x 的图像交于A ､B 两个不同的点，点P 在圆C ：()2211x y +-=上运动，则PA PB +的取值范围是______.11．如图，由一个正方形ABCD 与正三角形BDE (点E 在BD 下方)组成一个“风筝骨架”，O 为正方形ABCD 的中心，点P 是“风筝骨架”上一点，设OP mOA nOB =+(m ，n R ∈)，则m n +的最大值是______.12．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)，存在过左焦点F 的直线与椭圆C 交于A ､B 两点，满足2AF BF=，则椭圆C 离心率的最小值是______. 13．已知函数()()12log 1,1211,x x t f x x t x a⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪--+<≤⎩，若存在实数t ，使()f x 的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是______.14．对任意x ∈R ，不等式()()442223x x x x a b --+++≤恒成立，则+ab 的最大值是______.二、解答题15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2 cos3A=，sin B C=.(1)求tanC的值；(2)若a，求△ABC的面积．16．如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC．(1)求证：平面AEC⊥平面ABE；(2)点F在BE上．若DE∥平面ACF，求BFBE的值．17．某工厂C发生爆炸出现毒气泄漏，已知毒气以圆形向外扩散，且半径以每分钟1km 的速度增大. 一所学校A，位于工厂C南偏西45︒，且与工厂相距5km.消防站B位于学校A的正东方向，且位于工厂C南偏东60︒，的速度沿直线BC 赶往工厂C救援，同时学校组织学生P从A处沿着南偏东75︒的道路，以每分钟kma的速度进行安全疏散(与爆炸的时间差忽略不计).要想在消防员赶往工厂的时间内(包括消防员到达工厂的时刻)，保证学生的安全，学生撤离的速度应满足什么要求？18．如图所示，已知椭圆：22221x ya b+=(0a b>>)的离心率为12，右准线方程是直线l：4x=，点P为直线l上的一个动点，过点P作椭圆的两条切线PA､PB，切点分别为A､B(点A在x轴上方，点B在x轴下方).（1）求椭圆的标准方程；（2）①求证：分别以PA ､PB 为直径的两圆都恒过定点C ； ②若12AC CB =，求直线PC 的方程. 19．设函数()22ln f x x a x =+，(a R ∈).（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x m =+，求实数a ､m 的值； （2）关于x 的方程()2cos 5f x x +=能否有三个不同的实根？证明你的结论； （3）若()()2122f x f x -+>对任意[)2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 20．若无穷数列{}n a 满足：0n a >，且对任意s k l n <<<，s n k l +≥+(s ，k ，l ，n *∈N )都有s n k l a a a a +≥+，则称数列{}n a 为“T ”数列.（1）证明：正项无穷等差数列{}n a 是“T ”数列；（2）记正项等比数列{}n b 的前n 项之和为n S ，若数列{}n S 是“T ”数列，求数列{}n b 公比的取值范围；（3）若数列{}n c 是“T ”数列，且数列{}n c 的前n 项之和n T 满足12n n T c c n +≥，求证：数列{}n c 是等差数列.参考答案1．{}1,1-【分析】计算(][),11,B =-∞-+∞，再计算交集得到答案.【详解】 {}(][)210,11,B x x =-≥=-∞-⋃+∞，故A B ={}1,1-.故答案为：{}1,1-.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2．23i -+【分析】化简得到23z i =--，再计算共轭复数得到答案.【详解】 32z i i ⋅=-，则()()323223i z i i i i-==--=--，故23z i =-+. 故答案为：23i -+.【点睛】 本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.3．1【分析】直接根据诱导公式和三角函数定义计算得到答案.【详解】根据题意：()tan 510tan 54030tan 30︒=︒-︒=-︒==，故1a =. 故答案为：1.【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 4．4【解析】试题分析：第一次循环：1,1,n S ==第二次循环：2,4,n S ==第三次循环：3,9,n S ==第四次循环：4,1616,n S ==≥结束循环，输出.4=n考点：循环结构流程图5．0【分析】直接根据偶函数得到()()f x f x -=，代入计算得到答案.【详解】()()3sin f x x a x =+，则()()()3sin 3sin f x x a x ax x x f x -=--=-+=，故0a =. 故答案为：0.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.6．310【分析】5根铁丝随机抽取两根铁丝，共有2510C =种抽法，长度恰好相差0.3cm 有3种，得到概率.【详解】5根铁丝随机抽取两根铁丝，共有2510C =种抽法，长度恰好相差0.3cm 有()2.1,2.4，()2.2,2.5，()2.4,2.73种，故310p =. 故答案为：310. 【点睛】本题考查了古典概率，意在考查学生的计算能力和应用能力.7【分析】直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可．【详解】解：单位向量a b ，的夹角为120°，则221244142a b a a b b -=-⋅+=+⨯=【点睛】本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．8【分析】如图所示：将111A B C 翻折到与11ABA B 共面，故点P 运动的最短路程为1AC ，计算得到答案.【详解】如图所示：将111A B C 翻折到与11ABA B 共面，故点P 运动的最短路程为1AC .在11AA C ∆中，2221111111112cos 31AC AA A C AA A C AA C =+-⋅∠=，故1AC =【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离，余弦定理，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．66【分析】化简得到1656a d a +==，计算11611S a =得到答案.【详解】4226a a -=，则()()11236a d a d +-+=，即1656a d a +==，()1111161111662a a S a +⨯===.故答案为：66.【点睛】本题考查了等差数列求和，意在考查学生的计算能力和对于数列公式的灵活运用.10．2⎡⎤⎣⎦【分析】计算341A a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，341B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()cos ,1sin p θθ+，计算8PA PB +=. 【详解】()()()311a f x g x x x ===--，故1x =±341A a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，341B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 设()cos ,1sin p θθ+，故33441cos ,1sin 1cos ,1sin A PB a a P θθθθ⎛+---⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭-⎝-()22cos ,22sin θθ=---=[]sin 1,14πθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故22PA PB +∈⎡⎤⎣⎦.故答案为： 2⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题考查了向量模的范围问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.11【分析】，DE ：1y x =+，计算13m n x x ⎛⎫+=-++≤ ⎪ ⎪⎝⎭，得到答案. 【详解】，则()1,0A -，()0,1B -，当P 在DE 上时，DE ：13y x =+，x ⎡⎤∈⎣⎦，故设,13P x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，故()3,1,3OP x x mOA nOB m n ⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，故13m n x x ⎛⎫+=-++≤ ⎪ ⎪⎝⎭，当x =同理可得P 在其他“风筝骨架”的最值，比较知当P 与E 点重合时m n +【点睛】本题考查了向量运算，意在考查学生的计算能力，建立直角坐标系是解题的关键. 12．13【分析】如图：过点A 作AM ⊥准线于M ，BN ⊥准线于N ，AB 交准线于Q ，准线交x 轴于G ，计算2232a a AM c a c c ⎛⎫=-≤+ ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】如图：过点A 作AM ⊥准线于M ，BN ⊥准线于N ，AB 交准线于Q ，准线交x 轴于G . 2AF BF=，则2AM BN =，故AB BQ =， 故46GF QF AM AQ ==，223322a a AM GF c a c c ⎛⎫==-≤+ ⎪⎝⎭，即2132e e ≤+，解得13e ≥. 当A 取右顶点，B 取左顶点时等号成立. 故答案为：13.【点睛】本题考查了椭圆离心率的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 13．1,22⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据()1f a ≥-，()1f t ≤解得02a ≤≤，12t ≤，讨论102a ≤≤和122a <≤两种情况，计算最值得到答案. 【详解】根据题意知()2111f a a =--+≥-，解得02a ≤≤，()()12log 11f t t =-+≤，解得12t ≤；当102a ≤≤时，()f x 在[]1,t -上的最大值为()1f t <，在(],t a 上的最大值为()210f a a =-≤，不成立；当122a <≤时，取12t =，故()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-，在1,2a ⎛⎤⎥⎝⎦上的满足[]121101,12--+=∈-，[]211111,1--+=∈-， []2111,1a --+∈-，故满足条件；综上所述：1,22a ⎛⎤∈⎥⎝⎦.故答案为：1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了根据值域求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14．34【分析】设22x x t -+=，则2t ≥，()2223f t at bt a =+--，计算(10f ≤得到34a b +≤，再验证等号成立得到答案. 【详解】设22x x t -+=，则2t ≥，()()442223x xxx a b --+++≤，即()2223a t bt -+≤恒成立，设()2223f t at bt a =+--，则((()1230f a b +=++-≤，解得34a b +≤. 现在验证，存在,a b使等号成立，1a b b a⎧+=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，则a b ==， 此时()23342f t t +=-，对称轴为1t =+()(max 10f x f =+=. 满足条件，故+a b.. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 15．【解析】解：(1)∵0<A<π，cosA ＝23，∴sinA＝sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＋23sinC ，∴tanC(2)由tanC sinC，cosC于是sinB由a 及正弦定理sin aA＝sin C ，得c ，设△ABC 的面积为S ，则S ＝12acsinB ．16．(1)见解析 (2)12【解析】(1)证明 因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC. 因为平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面BCE.因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ⊥AB.因为CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB∩BE ＝B ， 所以CE ⊥平面ABE.因为CE ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE. (2)解 连接BD 交AC 于点O ，连接OF.因为DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF∩平面BDE ＝OF ， 所以DE ∥OF.又因为矩形ABCD 中，O 为BD 中点， 所以F 为BE 中点，即＝12. 17．学生撤离的速度至少要是每分钟1km 【分析】因为安全撤离，所以PC t >在[]0,5t ∈上恒成立，设学生速度为a ，故()()2215250f t a t at =--+>恒成立，讨论a 的范围，计算得到答案.【详解】因为安全撤离，所以PC t >在[]0,5t ∈上恒成立，设学生速度为a ，2222222cos 255PC AC AP AC AP CAP a t at t =+-⋅∠=+->在[]0,5t ∈上恒成立，所以()()2215250f t a t at =--+>1°1a =时，()5250f t t =-+>在[]0,5t ∈上恒成立，所以1a =符合题意；2°01a <<时，()f t 的最小值只可能在端点处取得，所以只要()00f >且()50f >， 解得0a <或1a >，舍去； 3°1a >时，（1）当()25521aa ≥-即114a <<时，()f t 的最小值为()50f >，得0a <或0a <，所以114a +<<；（2）当()25521aa <-即a >时，∆<0得a >>，所以a >. 综上，1a ≥即学生撤离的速度至少要是每分钟1km . 【点睛】本题考查了余弦定理，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.18．（1）22143x y +=.（2）①答案见解析：②55y x =-+【分析】（1）计算得到2a =，1c =得到答案. （2）计算切线AP ：00143x x y y+=，得到P 坐标，得到AP 为直径的圆的圆方程，取0y =计算得到答案；设()11,A x y ，()22,B x y ，()1,0C ，解得AP 坐标，得到直线方程. 【详解】（1）12c e a ==，准线24a x c==，解得2a =，1c =，故b =故椭圆方程为：22143x y +=.（2）①设切点()00,A x y ，当0y >时，y =，3'x y -=故0034x k y -=，则切线AP ：00143x x y y+=，所以点()00314,x P y -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 以AP 为直径的圆：()()()()00003140x x x x y y y y -⎛⎫--+--=⎪⎝⎭， 由对称性可知定点在x 轴上，令0y =得()200430x x x x -+++=，过定点()1,0C ，同理，以BP 为直径的圆过定点()1,0C ，得证.②设()11,A x y ，()22,B x y ，()1,0C ，因为12AC CB =，所以2121322x x y y =-⎧⎨=-⎩，又因为22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以7,48A ⎛ ⎝⎭，4,5P ⎛- ⎝⎭， 所以直线PC的方程为y x =+【点睛】本题考查了椭圆方程，定点问题，直线和椭圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19．（1）2a =-，0m =.（2）不可能有三个不同的实根，证明见解析. （3）12a ≤ 【分析】（1）求导根据导数等于斜率，过点()()1,1f 计算得到答案.（2）讨论0a <，0a ≥得到()0g x '=在()0,∞+至多1个实根，得到答案. （3）不等式等价于()()224ln 421ln 21x a x x a x ->---，令()4ln h t t a t =-，则()()221h x h x >-，根据单调性得到答案.【详解】（1）()22ln f x x a x =+，则()'4af x x x=+，故()'12f =，()122f m ==+， 解得2a =-，0m =.（2）不可能有三个不同的实根，证明如下： 令()()2cos g x f x x =+，如果()5g x =有三个不同的实根，则()g x 至少要有三个单调区间，则()0g x '=至少两个不等实根，所以只要证明()0g x '=在()0,∞+至多1个实根，()42sin ag x x x x'=+-，()242cos a g x x x x ''=--，1°当0a <时，42cos 0x ->，20ax->，∴()0g x ''>，∴()g x '在()0,∞+单调递增，∴()0g x '=在()0,∞+至多1个实根；2°当0a ≥时，()42sin 42cos 0x x x '-=->，∴42sin y x x =-在()0,∞+单调递增， ∴42sin 0y x x =->，又因为0a ≥时0a x ≥，∴()42sin 0ag x x x x'=+->， ∴()0g x '=在()0,∞+没有实根综合1°2°可知，()0g x '=在()0,∞+至多1个实根，所以得证.（3）∵()()2122f x f x -+>对任意[)2,x ∈+∞恒成立，且()22ln f x x a x =+，∴()2484ln 212ln x x a x a x -++->对任意[)2,x ∈+∞恒成立，∴()()224ln 421ln 21x a x x a x ->---对任意[)2,x ∈+∞恒成立，令()4ln h t t a t =-， 则()()221h xh x >-对任意[)2,x ∈+∞恒成立，∵[)2,x ∈+∞时221x x >-，且()()221h xh x >-，[)24,x ∈+∞，[)213,x -∈+∞∴()4ln h t t a t =-在[)3,t ∞∈+单调递增∴()40ah t t'=-≥在[)3,t ∞∈+恒成立， ∴12a ≤. 【点睛】本题考查了切线问题，方程解的个数问题，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20．（1）答案见解析.（2）1q ≥.（3）答案见解析 【分析】（1）()s n k l a a a a s n k l d +--=+--，根据题意得到s n k l a a a a +≥+，得到证明. （2）讨论1q =，1q >，01q <<三种情况，1q >时，计算0s n k l S S S S +-->，01q <<时，计算0s n k l S S S S +--<，得到答案. （3）计算得到12n n T c c n +≤，根据题意得到12n nT c c n +=，利用退项相减得到122n n n a a a ++=+，得到证明.【详解】（1）()s n k l a a a a s n k l d +--=+--，因为正项无穷等差数列{}n a ，所以0d >，且s n k l +≥+，所以s n k l a a a a +≥+， 所以正项无穷等差数列{}n a 是“T ”数列.（2）1°1q =时()10s n k l S S S S s n k l a +--=+--≥成立，所以1q =； 2°1q >时()()11111k l n s s k s l s n s s n k l a aS S S S q q q q q q q q q q---+--=+--=+----， 因为s n k l +≥+，所以n k l s ≥+-，又因为1q >，所以2n sk l s k s l s q q q q -+---≥=⋅，所以()()11110k sl s n s k s l s k s l s k s l s qq q q q q q q q ---------+--≤+-⋅-=--<，所以()1101s k sl s n s s n k l a S S S S q q q q q---+--=+-->-，所以1q >. 3°01q <<时，()()11111k l n sn k n l n s n s n k l a a S S S S q q q q q q q q q q---+--=+--=+---- 1111111n k n n sn a q q q q q ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为s n k l +≥+，所以n k l s ≥+-，又因为01q <<，所以111n sk sl sq q q ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以111111111n kn ln ss ks lk sl sq q q q q q q -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--≤⋅+-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11110k s l s q q --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 所以1111101n s n kn ln s n k l a S S S S q q q q q ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪+--=+--< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭舍去， 综上：1q ≥ （3）12n n T c c c =+++，11n n n T c c c -=+++，所以()()()12112n n n n T c c c c c c -=++++++，数列{}n c 是“T ”数列，故211n n c c c c -+≤+，321n n c c c c -+≤+，…，11n n c c c c +≤+， 所以()122n T n c c ≤+，所以12n n T c c n +≤，又因为12n n T c c n +≥，所以12n nT c c n +=， 即()12n n T n c c =+，()()11121n n T n c c ++=++，相减得到()111n n na n a a +=-+， 故()1211n n n a na a +++=+，相减得到122n n n a a a ++=+，故数列{}n c 是等差数列. 【点睛】本题考查了数列的新定义，证明等差数列，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用能力.。

江苏省淮阴中学2021～2022学年度第二学期阶段检测高一数学试题2022.4一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1.求值sin110cos10sin 20sin10︒︒-︒︒=（）A.12B.12-C.2D.2.设1e 与2e是不共线的非零向量，且12ke e + 与12e ke + 共线，则k 的值是（）A.1B.1- C.±1D.任意不为零的实数3.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos =c b A ，则ABC 为（）A.等腰非等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形4.函数2sin()241x x x y π+=-的图象大致为（）A. B.C.D.5.已知单位向量a ，b满足a b b -=+ ，则3a b += （）A.2B.C.D.36.求值1tan15tan15︒+︒（）A.4B.14C.4+D.4-7.已知1sin sin 3-=αβ，cos cos 3αβ-=-，α，(0,2πβ∈，则αβ-=（）A.3π-B.6π-C.3π D.3π±8.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，D 是边b 上的点（异于点A ，C ），2BD =，30DBC ∠=︒，则ac 的最小值为（）A.83B.C.163D.323二、多项选择题（每题5分，共20分，给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A .若,a b b c ==，则a c= B.若//a b ，//b c ，则//a cC.若0xa yb +=，,x y R ∈，a ，b 不共线，则0x y == D.若2b = ，a 在b 上的投影向量为12b ，则a b ⋅的值为210.下列式子成立的是（）A.1cos30tan15sin 30+︒︒=︒B.tan17tan 43tan17tan 43︒+︒︒︒=C.1tan151tan15-︒=+︒D.221tan 151tan 152-︒=+︒11.在锐角三角形ABC 中，下列命题成立的是（）A.sin 5A =，tan 3B =，则A B < B.tan tan 1A B ⋅<C.sin sin cos cos A B A B+>+ D.sin sin 1A B +>12.双曲函数是与三角函数一样，分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种.已知双曲正弦函数e e sinh 2x x x --=，双曲余弦函数e e cosh 2x xx -+=，下列正确的有（）A.sinh 22sinh cosh x x x= B.2cosh 22cosh 1x x =-C.sinh()sinh cosh cosh sinh x y x y x y+=+ D.cosh()cosh cosh sinh sinh x y x y x y+=-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，其中16题第一问2分，第二问3分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.已知tan 2α=，则2cos sin 2αα+=__________．14.若(1,2),(1,1)a b ==- ，且()b a a λ-⊥，则λ的值为__________．15.已知α是第二象限的角，cos 10α=-，则cos()52sin()sin()2παππαα-=+++__________．16.古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知AC ，BD 为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，已知sin :sin :sin 3:5:7ABD ADB BCD ∠∠∠=，若97AD =，则圆的半径为__________；若2AC BC CD λ=⋅，则实数λ的最小值为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知,αβ为锐角，4sin 5α=，cos()5αβ+=-，求cos β和cos()αβ-的值．18.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积为222()4b c a +-.（1）求A 的值；（2）若cos 7B =，6c =，求b .19.已知函数()sin ()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根，且12x x <，①求m 的取值范围；②求12tan()x x +.20.如图ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，3AD AF = ，令AB a = ，AC b =.（1）试a 、b 表示EF；（2）延长EF 交AC 于P ，设AP x AC =，求x 的值.21.今年2月底俄罗斯与乌克兰冲突爆发以来，大量的乌克兰人民离开故土开启了逃亡之路，截止3月底，联合国难民事务高级专员表示，乌克兰难民人数已经超过400万，其中大多数逃往波兰、匈牙利、摩尔多瓦、罗马尼亚和斯洛伐克等邻国.各邻国都在陆续建立难民收容所，波兰某地准备在一个废弃的汽车停车场，临时建一处形状为矩形的收容所供乌克兰难民所用.已知停车场是近似如图所示半径为50米，圆心角为23π的扇形区域AOB ，C 为弧AB 的中点，设QOC θ∠=.（1）用θ来表示矩形PQRS 的面积()f θ，并指出θ的取值范围；（2）θ为多少时，()f θ取得最大值，并求出此最大值.22.函数()()sin 22sin cos 1a x f x a x x +=+-.（1）若1a =，,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，求函数()f x 的值域；（2）当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，且()f x 有意义时，①若(){}0y y f x ∈=，求正数a 的取值范围；②当12a <<时，求()f x 的最小值N .江苏省淮阴中学2021～2022学年度第二学期阶段检测高一数学试题2022.4一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.求值sin110cos10sin 20sin10︒︒-︒︒=（）A.12B.12-C.2D.【1题答案】【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式，结合两角和的余弦公式进行求解即可.【详】sin110cos10sin 20sin10cos 20cos10sin 20sin10cos(2010)cos30,2︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=故选：C2.设1e 与2e是不共线的非零向量，且12ke e + 与12e ke + 共线，则k 的值是（）A.1B.1- C.±1D.任意不为零的实数【2题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据向量共线的关系，可写出两个向量共线的充要条件，整理出关于,k λ的关系式，解方程组即可.【详解】解：因为12ke e + 与12e ke +共线，则可设()1212ke e e ke λ+=+ ，由于1e ，2e是非零向量，即()121212ke e e ke e ke λλλ+=+=+ ，则1k kλλ=⎧⎨=⎩，解得1k =±.故选：C.【点睛】本题考查了向量共线的充要条件.本题的关键是写出两共线向量的关系式.3.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos =c b A ，则ABC 为（）A.等腰非等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【3题答案】【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得2B π=，从而判断出三角形形状．【详解】解：cos =c b A ，所以sin cos sin C A B =.在ABC 中，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，故sin cos 0A B =，因为sin 0A ≠，所以cos 0B =，因为0πB <<，所以π2B =，故ABC 为直角三角形.故选：C ．4.函数2sin()241x x x y π+=-的图象大致为（）A. B.C.D.【4题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据解析式判断奇偶性，再结合零点个数以及特殊值法进行判断.【详解】解：由题意得：22sin()2cos cos 2()412122x xx x x x x x x y f x π-+====---由cos ()()22x x xf x f x --==--可判断函数为奇函数，可判断A 错误；又由三角函数的性质可知函数有无数个零点，故C 错误；当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y >，由此排除B ；故选：D5.已知单位向量a ，b满足a b b-=+ ，则3a b += （）A.2B.C.D.3【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据模的运算先求出a b →→⋅，进而解出3a b→→+.【详解】由题意，||||1a b →→==，由a b b →→→-=+⇒=12a b →→⇒⋅=-，所以3a b →→+===.故选：C.6.求值1tan15tan15︒+︒（）A.4B.14C.4+D.4-【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】用两角差正切公式即可.【详解】()1tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 303︒︒︒︒︒︒︒--=-==-+，1tan1524tan15︒︒+=-；故选：A.7.已知1sin sin 3-=αβ，cos cos 3αβ-=-，α，(0,2πβ∈，则αβ-=（）A.3π-B.6π-C.3π D.3π±【7题答案】【答案】C 【解析】【分析】对两个等式平方相加，根据同角的三角函数关系式、两角差的余弦公式进行求解即可.【详解】因为1sin sin 3-=αβ，cos cos 3αβ-=-，所以2222cos cos 1(sin)sin )(()3(3αβαβ--+-=+，2222sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos 1αβαβαβαβ⇒+-++-=，112sin sin 2cos cos 2cos()1cos()2αβαβαβαβ⇒=+⇒-=⇒-=，因为α，(0,2πβ∈，所以22ππαβ-<-<，因为1sin sin 03αβ-=>，而α，(0,2πβ∈，所以αβ>，因此02παβ<-<，故αβ-=3π，故选：C 8.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，D 是边b 上的点（异于点A ，C ），2BD =，30DBC ∠=︒，则ac 的最小值为（）A.83B.C.163D.323【8题答案】【答案】D 【解析】【分析】运用三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为120ABC ∠=︒，30DBC ∠=︒，所以90DBA ∠=︒，因为ABCABD BCD S S S =+△△△，所以有111sin12022sin 30222ac c a ︒︒=⨯⋅+⨯⋅⋅，即22ac c a =+，因为2c a +≥，当且仅当2a c =时取等号，所以有3223ac ac ≥⇒≥，故选：D二、多项选择题（每题5分，共20分，给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列关于平面向量的说法中，正确的是（）A.若,ab bc ==，则a c= B.若//a b ，//b c，则//a cC.若0xa yb += ，,x y R ∈，a ，b 不共线，则0x y == D.若2b = ，a 在b 上的投影向量为12b，则a b ⋅ 的值为2【9题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】运用平面向量的基本定理和有关的运算规则逐项分析即可.【详解】对于A ，根据平面向量相等的定义，正确；对于B ，若0b=，则不能推出a c= ，错误；对于C ，根据平面向量基本定理，正确；对于D ，由投影向量的定义可知，a 在b上的投影向量1cos ,2b a a b b b==，()cos ,10b a a b -=，cos ,1a ab ∴= ，cos ,2a b a b a b ==，正确；故选：ACD.10.下列式子成立的是（）A.1cos30tan15sin 30+︒︒=︒B.tan17tan 43tan 43︒+︒+︒︒=C.1tan151tan15-︒=+︒D.221tan 151tan 152-︒=+︒【10题答案】【答案】BD 【解析】【分析】根据两角和差的正切公式及同角三角函数的基本关系一一计算可得；【详解】解：对于A ：()1tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 303-︒-︒︒=︒-︒==-+︒︒而11cos30221sin 302++︒==+︒A 错误；对于B ：()tan17tan 43tan 60tan 17431tan17tan 43︒+︒︒=︒+︒==-︒︒，所以tan17tan 43tan 43︒+︒+︒︒=B 正确；对于C ：()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan153-︒︒-︒==︒-︒=+︒+︒︒，故C 错误；对于D ：222222sin 1511tan 15cos 15sin 151tan 151cos 15︒--︒︒=︒+︒+︒222222cos 15sin 15cos 15sin 15cos30cos 15sin 152︒-︒==︒-︒=︒=︒+︒，故D 正确；故选：BD11.在锐角三角形ABC 中，下列命题成立的是（）A.sin 5A =，tan 3B =，则A B < B.tan tan 1A B ⋅<C.sin sin cos cos A B A B+>+ D.sin sin 1A B +>【11题答案】【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角恒等变换，逐个选项化简判断即可求解【详解】因为在锐角三角形中，所以，,,A B C 均为锐角对于A，sin 5A =，得cos 5A =，tan2tan A B =<，所以，A B <；所以，A 正确；对于B ，若tan tan 1A B ⋅<，整理得sin sin cos cos 0A B A B -<，化简得cos()0A B +>，所以，cos 0C <，C 为钝角，与题意不符，B 错误；对于C ，若sin sin cos cos A B A B +>+))44A B ππ->-，化简得sin()sin()44A B ππ->-，因为,,A B C 均为锐角，所以，必有44A B ππ->-，得2A B π+>，符合,,A B C 均为锐角，所以，C 正确；对于D ，因为,,A B C 均为锐角，得2A B π+>，所以，2A B π>-，所以，sin sin sin()sin 2A B B B π+>-+cos sin B B >+4B π=+≥1>，所以，sin sin 1A B +>成立，D 正确；故选：ACD12.双曲函数是与三角函数一样，分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种.已知双曲正弦函数e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数e e cosh 2x xx -+=，下列正确的有（）A.sinh 22sinh cosh x x x= B.2cosh 22cosh 1x x =-C.sinh()sinh cosh cosh sinh x y x y x y+=+ D.cosh()cosh cosh sinh sinh x y x y x y+=-【12题答案】【答案】ABC 【解析】【分析】按照函数的定义，将sinh x和cosh x代入即可运算出结果.【详解】对于A ，()()22e e e e e e sinh 22sinh cosh 22x x x x x x x x x ---+--===，正确；对于B ，()2222e e2e ecosh 22cosh 122xx x xx x --+-+===-，正确；对于C ，()()e e e e e e e e e esinh cosh cosh sinh sinh 22222x y x x y y x x y y x y x y x y x y -+----+-++--+=+==+ ，正确；对于D ，e e e e e e e e cosh cosh sinh sinh 2222x x y y x x y yx y x y ----++---=- ()()()e e cosh cosh 2x y x y x y x y ---+==-≠+，错误；故选：ABC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，其中16题第一问2分，第二问3分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.已知tan2α=，则2cos sin 2αα+=__________．【13题答案】【答案】1【解析】【分析】原式分母看作“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan α的值代入计算即可求出值.【详解】tan 2α= ，∴原式22222cos 2sin cos 12tan 1221sin cos tan 121ααααααα+++⨯====+++.故答案为1.【点睛】(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.14.若(1,2),(1,1)a b ==- ，且()b a a λ-⊥，则λ的值为__________．【14题答案】【答案】5-【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算直接计算可得.【详解】因为(1,2),(1,1)a b ==-所以21,5a b a a a ⋅=-=⋅=由()b a aλ-⊥ 所以2()50b a a a b a λλλ-⋅=⋅-=--= ，得5λ=-故答案为：5-15.已知α是第二象限的角，cos10α=-，则cos()52sin()sin()2παππαα-=+++__________．【15题答案】【答案】17-【解析】【分析】由同角三角函数的平方关系先求sinα，然后用诱导公式化简目标式代入可得.【详解】因为α是第二象限的角，cos10α=-，所以sin10α==，所以cos()cos152sin cos72sin()sin()21010πααπααπαα--===--++++故答案为：17-16.古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知AC，BD为圆的内接四边形ABCD的两条对角线，已知sin:sin:sin3:5:7ABD ADB BCD∠∠∠=，若97AD=，则圆的半径为__________；若2AC BC CDλ=⋅，则实数λ的最小值为__________．【16题答案】【答案】①.②.6049【解析】【分析】利用圆的内接四边形对角的关系结合已知可求得ABD△的边长，然后由余弦定理求角BAD∠，再由正弦定理可得圆的半径；再在BCD△由余弦定理结合已知表示出λ，使用基本不等式可得最小值.【详解】因为四边形ABCD内接于圆，所以BAD BCDπ∠=-∠，所以sin sin()sinBAD BCD BCDπ∠=-∠=∠因为sin:sin:sin3:5:7ABD ADB BCD∠∠∠=所以sin:sin:sin3:5:7ABD ADB BAD∠∠∠=，即::3:5:7AD AB BD=又97AD=，所以15,37AB BD==在ABD△中，由余弦定理可得81225914949cos9152277BAD+-∠==-⨯⨯所以23πBAD∠=，记四边形ABCD的外接圆半径为R，则322sin3Rπ==，所以R=由上可知，3BCDπ∠=，在BCD△中，记,BC m CD n==则由余弦定理得222cos93mn mn π+-=，即229m n mn +-=又由托勒密定理知，AC BD AB CD BC AD⋅=⋅+⋅，即159377AC n m =+，得222225812709494949n m mn AC =++又2AC BC CD mnλλ=⋅=所以22225812709494949n m mn mn λ=++，得2259302253030306024949494949494949n m m n λ=++≥+=+=当且仅当2225949499n m m nm n mn ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，即15191991919m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号所以λ的最小值为6049.故答案为：60349，四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知,αβ为锐角，4sin 5α=，5cos()5αβ+=-，求cos β和cos()αβ-的值．【17题答案】【答案】5cos 5β=，()115cos25αβ-=.【解析】【分析】利用()βαβα=+-和平方关系先求cos β，再由平方关系求sin β，然后再由余弦的两角差公式可得cos()αβ-.【详解】4(0,),sin 25παα∈=23cos 1sin 5αα∴=-=(0,(0,)2πβαβπ∈∴+∈ 225sin()1cos ()5αβαβ∴+=-+cos cos(())cos()cos sin()sin βαβααβααβα∴=+-=+++3455555 =-+=sin5β∴==cos()cos cos sin sinαβαβαβ+∴-=34555525=⨯+⨯=18.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC的面积为222()4b c a+-.（1）求A的值；（2）若cos7B=，6c=，求b.【18题答案】【答案】（1）3π（2）4【解析】【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式得到1sin cos22bc A A=，即可得到tan A，从而求出A；（2）根据同角三角函数的基本关系求出sin B，再根据两角和的正弦公式、诱导公式求出sin C，最后利用正弦定理计算可得；【小问1详解】解：因为222()cos42ABCS b c a A=+-=，又1sin2ABCS bc A=，所以1sin cos22bc A bc A=，所以tan A=，又(0,)Aπ∈，3Aπ∴=；【小问2详解】解：因为cos7B=，sin7B∴==，sin sin()sin()sin cos cos sinC C A B A B A Bπ∴=-=+=+1272714=⨯+⨯=由正弦定理sin sinb cB C=，可得6sin4sin14c BbC⨯===；20.已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x Aπωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根，且12x x <，①求m 的取值范围；②求12tan()x x +.【20题答案】【答案】（1）()2sin()3f x x π=+（2）①)3,2②33【解析】【分析】（1）根据图像先求A ，再求T 得到ω，再代入点的坐标求出ϕ即可；（2）先求()2sin(23g x x π=+单调性，确定m 的取值范围，再根据()g x 的对称轴得到12x x +的值，求解计算即可.【小问1详解】根据函数图像得：2A =，373()4632T πππ=--=，所以2T π=，所以21Tπω==，所以()2sin()f x x ϕ=+，因为函数图像过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，所以()2sin()033f ππϕ-=-+=，所以3πϕ=，所以()2sin(3f x x π=+.【小问2详解】根据题意，所以()2sin(23g x x π=+，当[0,)12x π∈时，()f x 单调递增，当[122x ，ππ∈时，()f x 单调递减，因为(0)3g =，(32g π=(212g π=，所以若()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根，则)3,2m ∈，因为函数()g x 关于直线12x π=对称，所以12212x x π+=，所以126x x π+=，所以12tan()tan63xx π+==.22.如图ABC中，D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，3AD AF = ，令AB a = ，AC b =.（1）试a 、b表示EF ；（2）延长EF交AC 于P ，设AP x AC =，求x 的值.【22题答案】【答案】（1）1136a b EF =-+（2）14x =【解析】【分析】（1）先用a 、b 表示出AF，再由EF AF AE =- 得出答案.（2）用AE 、AP表示出AF.再利用AF AP AE λμ=+ ，若E F P 、、三点共线，1λμ+=.即可列出等式，计算出答案【小问1详解】111()362AF AD AB AC AE AB==+=又11113636EF AF AE AB AC b ∴=-=-+=-+【小问2详解】1111()3636AF AD AB AC AE APx ==+=+ 又EF tEP= ()AF AE t AP AE ∴-=- (1)AF t AP t AE∴=+- 11136x ∴+=14x ∴=24.今年2月底俄罗斯与乌克兰冲突爆发以来，大量的乌克兰人民离开故土开启了逃亡之路，截止3月底，联合国难民事务高级专员表示，乌克兰难民人数已经超过400万，其中大多数逃往波兰、匈牙利、摩尔多瓦、罗马尼亚和斯洛伐克等邻国.各邻国都在陆续建立难民收容所，波兰某地准备在一个废弃的汽车停车场，临时建一处形状为矩形的收容所供乌克兰难民所用.已知停车场是近似如图所示半径为50米，圆心角为23π的扇形区域AOB ，C 为弧AB 的中点，设QOC θ∠=.（1）用θ来表示矩形PQRS 的面积()f θ，并指出θ的取值范围；（2）θ为多少时，()f θ取得最大值，并求出此最大值.【24题答案】【答案】（1）()5000325003sin(2)363f πθθ=+-，πθ0,3骣琪Î琪桫（2）6πθ=时，()f θ取得最大值，最大值为250033【解析】【分析】（1）设QR ，PS 分别交OC 于D ，E ，根据题意得到()503100sin (50cos sin )3Sf QR ED θθθθ==⋅=-；（2）由（1）中函数知，当sin(2)=16πθ+时取最值.【小问1详解】设QR ，PS 分别交OC 于D ，E50sin QD PE θ==，100sin QR θ=，50cos OD θ=，503sin tan 3PE OE POE θ==∠()3100sin (50cos )3S f QR ED θθθθ==⋅=-2331cos 22500(sin 2)2500(sin 2)332θθθθ-=-=-⨯33332500(sin 22)2500sin(2)33363πθθθ⎡=+-=+-⎢⎥⎣⎦33sin(2)363πθ=+-，πθ0,3骣琪Î琪桫【小问2详解】由（1）可得，当sin(2)=16πθ+，即25003().63f πθθ=时，有最大值26.函数()()sin 22sin cos 1a x f x a x x +=+-.（1）若1a =，,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，求函数()f x 的值域；（2）当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，且()f x 有意义时，①若(){}0y y f x ∈=，求正数a 的取值范围；②当12a <<时，求()f x 的最小值N .【26题答案】【答案】（1）(,2-∞-（2）①2a ≥；②)21N a=【解析】【分析】（1）当1a =时，求得()sin 22sin cos 1x f x x x +=+-，令[)sin cos 1,1t x x =+∈-，令[)12,0m t =-∈-，()()22h m f x m m==++，利用双勾函数的单调性可得出函数()h m 在[)2,0-上的值域，即可得解；（2）①分析可知210a a --≤≤，可得出2a ≥，分1a=、1a≠化简函数()221at a p t at +-=-的函数解析式或求出函数()f x 的最小值，综合可得出正实数a 的取值范围；②令[]11,1n at a a =-∈---，则1n t a +=，可得出()()21122a a p t n n a n ϕ⎡⎤+-=++=⎢⎥⎣⎦，分析可得出101a a --<<<-<，利用双勾函数的基本性质结合比较法可求得N .【小问1详解】解：当1a=时，()sin cos 1f x x x =+-因为,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则,444x πππ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，令[)sin cos 1,14t x x x π⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭，则212sin cos 1sin 2t x x x =+=+，可得2sin 21x t =-，设()()211t g t f x t +==-，其中11t -≤<，令1m t =-，则()22111221m t m t m m+++==++-，令()22hm m m=++，其中20m -≤<，下面证明函数()h m在2,⎡-⎣上单调递增，在()上单调递减，任取1m 、[)22,0m ∈-且12m m <，则()()1212122222h m h m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()12121212121222m m m m m m m m m m m m ---=--=，当122m m -≤<<，则122m m >，此时()()12h m h m <，当120m m <<<，则1202m m <<，此时()()12h m h m >，所以，函数()h m在2,⎡-⎣上单调递增，在()上单调递减，则()(max 2hm h ==-，因此，函数()f x 在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的值域为(,2-∞-.【小问2详解】解：因为,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，则,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，令[]sin cos 1,14t x x x π⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭，设()()222211a a t at a a f x p t at at -⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭===--，①若(){}0y y f x ∈=，必有210aa--≤≤，因为0a >，则2a ≥，当1a =时，即当1a =时，则()110p t t t a=+==，可得1t =，合乎题意；当1a≠时，即当2a ≥且1a ≠时，则()min 0p t =，合乎题意.综上所述，2a ≥；②令[]11,1nat a a =-∈---，则1n t a+=，则()()22121122n a a a a a a p t n n n a n ϕ⎡⎤+-⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦==++=⎢⎥⎣⎦，令()()20qs x x q x=++>，下面证明函数()s x在(上单调递减，在)+∞上为增函数，任取1x、(2x ∈且12x x <，则120x x -<，120x x q <<，所以，()()()()()()121212121212121212220q x x x x x x q q qsx s x x x x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫-=++-++=--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，()()12sx s x >，故函数()s x在(上单调递减，同理可证函数()s x在)+∞上为增函数，在(,-∞上为增函数，在()上为减函数，因为12a <<，则()()2212121,2a a a +-=--+∈，且()()22121220a a a a a +---=->，所以，10a >->，又()22212120a aa a +----=-<，1a ∴--<，101a a ∴--<<<-<，由双勾函数的单调性可知，函数()n ϕ在1,a ⎡--⎣上为增函数，在()上为减函数，在(]0,1a -上为减函数，当[)1,0x a ∈--时，()((max 120n aϕϕ==-<，()2101a a ϕ-=>- ，()((22111a a a ϕϕ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦-(())())()21142214210111a a a a a a a a a a +------=≥=>---，由双勾函数性质可得()()min 21f x aϕ=-=，综上所述())min 21f x N a==-.【点睛】关键点点睛：在求解本题第二问第2小问中，要通过不断地换元，将问题转化为双勾函数的最值，结合比较法可得出结果.。