江苏省淮阴中学高一数学第一阶段测试训练题

江苏省淮阴中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2log 11,0,1,3,5A x x B =>=-，.则A B = （）A ．{}1,3B ．{}3,5C ．{}1,0,1,3-D ．{}1,0,1,3,5-2．下列各角中，与角3π4-终边相同的的角为（）A ．3π4B ．5π4C ．9π4D ．π4-3．已知某扇形的周长是4cm ，面积为21cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A ．12B ．π2C ．1D ．24．已知0.316a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.216b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c<<5．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数()4e 1xf x x =-的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．6．已知幂函数()341my m m x =-+的图象与坐标轴没有公共点，则实数m 的取值为（）A ．2B ．-2C ．0或-2D ．0或27．设,R x y ∈，则“1xy x y +=+”的充要条件为（）A ．,x y 至少有一个为1B ．,x y 都为1C ．,x y 都不为1D ．222x y +=8．已知函数()()ln e 1xf x a =+-，若对于任意120x x <<，都有()()121211f x f x x x +-+<-成立，则实数a 的取值范围（）A ．()1,∞+B ．(),1∞-C ．[)1e,1-D ．()1e,1-二、多选题9．下列命题中为真命题的是（）A ．命题:p x ∀∈R ，有21x x +>，则p 的否定：0x ∃∈R ，有2001x x +≤B ．若0x >，则()22lg lg x x =C ．当0ac >时，则x ∃∈R ，使得20ax bx c +-=成立D ．函数()f x 的定义域为[]3,1-，则函数()1y f x =-的定义域为[]1,210．已知函数()22xf x =-，且()(),f a f b a b =<，则（）A ．224a b +=B ．2a b +<C ．1b <D ．()()20,8bf a ⋅∈11．已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数,x y 满足：()()()1f x y f x f y +=+-，当0x <时，()1f x >，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．()f x 为R 上的增函数C ．()1f x -为奇函数D ．若()()262f a f a -+>，则a 的取值范围为()32-,三、填空题12．函数()122x f x a -=+（0a >且1a ≠），的图象恒过定点A ，则点A 的坐标．13．已知函数()()212log 23f x x x =-++，则()f x 的单调减区间为.14．已知函数()(),f x g x 分别为R 上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x +=，若对于任意[]10,1x ∈，任意[]20,1x ∈，使得()()12f x ag x ≥成立，则a 的取值范围为．四、解答题15．（1）已知角α的终边经过()3,P y --，且4sin 5α=-，求三角函数cos ,tan αα的值；（2）计算：()132ln3125lg 5lg 20lg 2e 8⎛⎫⋅+++ ⎪⎝⎭．16．设函数()f x =A ，函数()()()2lg 2g x x a a x ⎡⎤=---⎣⎦定义域为B ．(1)若12a =，求A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．17．设函数()()21f x x a x a=-++(1)若1a =，当1x >时，求()31f x y x +=-的最小值；(2)求关于x 的不等式()210x a x a -++<解集；(3)若()22f b =且,0a b >，求12a b+的最小值．18．设函数()()22,R f x ax a x =+∈，函数()1g x x x=+，(1)讨论函数()f x 的奇偶性，并证明；(2)当1a =时，用定义证明函数()f x 在[)1,+∞上单调性；(3)当1a =时，对于任意[]1,2x ∈，都有()22m g x x x ≥-恒成立，求m 的取值范围．19．俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合I 上的函数()f x ，以及函数()(),g x kx b k b R =+∈，切比雪夫将函数()(),y f x g x x I =-∈的最大值称为()(),f x g x 的“偏差”．(1)函数()[]()()20,1,1f x x x g x x =∈=--，求()(),f x g x 的“偏差”；(2)函数()[]()()()111,2,10f x x g x kx k x=+∈=+>，若()(),f x g x 的“偏差”为2，求k 的值；(3)函数()[]()()20,32f x x x x g x x b =-∈=+，若()(),f x g x 的“偏差”取最小值，求b 的值，并求出“偏差”的最小值．。

江苏省淮阴中学2014-2015学年第一学期期中考试高一数学试卷2．函数f (x )=21x 的定义域是 。

3．已知幂函数y =f (x )的图象经过点(2,16)，则函数f (x )的解析式是 。

4．满足(31)x >39的实数x 的取值范围为 。

5．若方程x 2－px +8=0的解集为M ，方程x 2－qx +p =0的解集为N ，且M ∩N={1}，则p +q = 。

6．若函数f (x )=x 2+2x +3的单调递增区间是 。

7．设函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>≤+12112x xx x ，则f (f (3))= 。

8．设a =log 0.60.9，b =ln0.9，c =20.9，则a 、b 、c 由小到大的顺序是 。

9．函数y =a x +1+1(a >0且a ≠1)的图象必经过定点 。

10．函数f (x )=log 2(3x +1)的值域为 。

11．若方程log 2x =7－x 的根x 0∈(n ,n +1)，则整数n = 。

12．f (x )是定义在R 上的奇函数，且单调递减，若f (2－a )+f (4－a )<0，则a 的取值范围为 。

13．关于x 的方程|x 2－1|－a =0有三个不相等的实数解，则实数a 的值是 。

14．下列说法中：①若f (x )=ax 2+(2a +b )x +2 (其中x ∈[2a －1,a +4])是偶函数，则实数b =2；②f (x )表示－2x +2与－2x 2+4x +2中的较小者，则函数f (x )的最大值为1；③若函数f (x )=|2x +a |的单调递增区间是[3,+∞)，则a =－6；④已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的x 、y ∈R 都满足f (x ·y )=x ·f (y )+y ·f (x )，则f (x )是奇函数.其中正确说法的序号是 (注：把你认为是正确的序号都填上)。

2008年江苏省淮安市淮阴中学高一分班考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 2．（5分）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y=5下方的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个4．（5分）一船向正北方向匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度应该是（）A．10海里/小时B．10海里/小时C．5海里/小时 D．5海里/小时5．（5分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（）A．B．C．D．6．（5分）在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A 与C重合，如果设折痕为EF，那么重叠部分△AEF的面积等于（）A ．B ．C ．D ．7．（5分）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（）A．500元B．600元C．700元D．800元8．（5分）如下图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线l：x=t（0≤t≤2）截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象只可能是t大于等于0小于等于1时，函数为Y=3根号x方除以2 图线不应为直线（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共50分）9．（5分）设A、B两点的坐标分别为（1，1）和（4，3），P点是x轴上的点，则PA+PB的最小值是．10．（5分）对于自变量x为实数的函数f（x），若存在x0满足f（x0）=x0，则称x0是函数f（x）的一个不动点．若函数f（x）=x2+ax+1没有不动点，则实数a的取值范围是．11．（5分）对正实数a，b作定义，若4*x=44，则x的值是．12．（5分）正比例函数与反比例函数图象都经过点（2，b）（b＞0），在第一象限内正比例函数图象在反比例函数图象下方的自变量x的取值范围是．13．（5分）化简的结果是．14．（5分）已知m、n为大于1的正整数，对m n作如下的“分裂”：分解为m个连续奇数的和．如52的“分裂”中最大的数是9．若在m3的“分裂”中最小的数是211，则m=．15．（5分）如图：水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的表面积（球的表面积公式S=4πR2），用锐角∠BAC=60°的直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=1m，则球的表面积等于．16．（5分）如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD=5：3，则k=．17．（5分）如图，直角坐标系中直线AB交x轴，y轴于点A（4，0）与B（0，﹣3），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过秒后动圆与直线AB相切．18．（5分）已知直线l1：x﹣y+2=0；l2：x+y﹣4=0，两条直线的交点为A，点B 在l1上，点C在l2上，且，当B，C变化时，求过A，B，C三点的动圆形成的区域的面积大小为．三、解答题．（19题10分，23题14分，其余每题12分，共60分）19．（10分）如图1，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F．（1）求证：AE•AB=AF•AC；（2）如果将图1中的直线BC向上平移与圆O相交得图2，或向下平移得图3，此时，AE•AB=AF•AC是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由．20．（12分）行驶中的汽车，在刹车时由于惯性的作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（米）与汽车车速v（千米/小时）满足下列关系式（n为自然数），我们做过两次刹车试验，有关数据如图所示，其中6＜s1＜8，14＜s2＜17．（1）求n的值；（2）要使刹车距离不超过12.6米，则行驶的最大速度应为多少？21．（12分）如图，已知△ABC中，AB=a，点D在AB边上移动（点D不与A、B=S，S△DEC=S1．重合），DE∥BC，交AC于E，连接CD．设S△ABC（1）当D为AB中点时，求S1：S的值；（2）若，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）是否存在点D，使得成立？若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，f（x）=x的两实根为α、β．（1）若|α﹣β|=1，求a、b满足的关系式；（2）若a、b均为负整数，且|α﹣β|=1，求f（x）解析式；（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．23．（14分）已知y=m2+m+4，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）（1）求a、b、c的值；（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2008证明你的结论．2008年江苏省淮安市淮阴中学高一分班考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选：C．【点评】该题考查了用表格的方式求函数的值的范围．2．（5分）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y=5下方的概率为（）A．B．C．D．【分析】列举出所有情况，看点P在直线x+y=5下方的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解共36种情况，点P在直线x+y=5下方的情况数有6种，所求的概率为．故选：A．【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．3．（5分）在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个【分析】在正方形四边上任意取点E、F、G、H，若能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．【解答】解：无穷多个．如图正方形ABCD：AH=DG=CF=BE，HD=CG=FB=EA，∠A=∠B=∠C=∠D，有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，则EH=HG=GF=FE，另外很容易得四个角均为90°则四边形EHGF为正方形．故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定与性质，难度适中，利用三角形全等的判定证明EH=HG=GF=FE．4．（5分）一船向正北方向匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度应该是（）A．10海里/小时B．10海里/小时C．5海里/小时 D．5海里/小时【分析】要求速度，需找DC的距离．首先求得线段BD=AB=10，然后解直角三角形求得线段DC，然后除以时间即可得到速度．【解答】解：根据题意得：AB=10，∠ADC=75°，∠BDC=60°，DC⊥AC，∴∠DBC=30°，∠BDA=∠A=15°，∴BD=AB=10，∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC=BD×sin∠DBC=10×=5，∵从C到D行驶了半小时，∴速度为5÷=10海里/小时故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学生对方向角的掌握和正确的运用，比较简单．5．（5分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（）A．B．C．D．【分析】该几何体的俯视图为一个圆，正视图以及左视图都是三角形，故可判断该几何体为圆锥．由已知三角形的边长为1，易得底面半径以及母线长，可求出侧面积．【解答】解：由图片中的三视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且其底面圆半径为，母线长为1，因此它的侧面积=π××1=．故选D．【点评】本题要先判断出几何体的形状，然后根据该几何体侧面积的计算方法进行计算．本题要注意圆锥侧面积的计算方式是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长．6．（5分）在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A 与C重合，如果设折痕为EF，那么重叠部分△AEF的面积等于（）A．B．C．D．【分析】要求重叠部分△AEF的面积，选择AF作为底，高就等于AB的长；而由折叠可知∠AEF=∠CEF，由平行得∠CEF=∠AFE，代换后，可知AE=AF，问题转化为在Rt△ABE中求AE．【解答】解：设AE=x，由折叠可知，EC=x，BE=4﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即32+（4﹣x）2=x2，解得：x=；由折叠可知∠AEF=∠CEF，由AD∥BC得∠CEF=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，即AE=AF=；=×AF×AB=××3=．故选D．∴S△AEF【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．7．（5分）张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（）A．500元B．600元C．700元D．800元【分析】认真分析表格，弄清返购物券的标准与使用购物券的条件，从而确定最佳方案．【解答】解：∵买化妆品不返购物券，∴先购买鞋，利用所得购物券再买衣服，需要现金（280+220）元，得到200购物券，利用购物券，现金100元，购买化妆品即可．张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为：280+220+100=600元．故选：B．【点评】此题为实际应用题，与生活比较接近，此类题目更能激发学生的学习兴趣．也是中考中的热点题型．8．（5分）如下图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线l：x=t（0≤t≤2）截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象只可能是t大于等于0小于等于1时，函数为Y=3根号x方除以2 图线不应为直线（）A．B．C．D．【分析】等边△AOB中，l∥y轴，所以很容易求得∠OCB=30°；进而证明OD=t，CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【解答】解：①∵l∥y轴，△AOB为等边三角形，∴∠OCB=30°，∴OD=t，CD=t；=×OD×CD∴S△OCD=t2（0≤t≤1），即S=t2（0≤t≤1）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，1]、开口向上的二次函数图象；②∵l∥y轴，△AOB为等边三角形∴∠CBD=30°，∴BD=2﹣t，CD=（2﹣t）；=×BD×CD∴S△BCD=（2﹣t）2（0≤t≤1），即S=﹣（2﹣t）2（0≤t≤1）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[1，2]、开口向下的二次函数图象；故选：C．【点评】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征．二、填空题（每小题5分，共50分）9．（5分）设A、B两点的坐标分别为（1，1）和（4，3），P点是x轴上的点，则PA+PB的最小值是5．【分析】先画出图形，由两点之间线段最短可知，作出A点对称点，当P点在线段AB上时PA+PB的值最小，即PA+PB=A′B，利用勾股定理求解即可．【解答】解：作点A关于x轴的对称点A'，则A′坐标为（1，﹣1），连接A′B交x轴于一点，此点就是点P，此时PA+PB最小，作BE⊥y于一点E，延长A′A交BE于一点M，∵PB=PA′，∴PA+PB=BA′，∵A、B两点的坐标分别为（1，1）和（4，3），A′坐标为（1，﹣1），∴BM=4﹣1=3，MA′=1+3=4，∴BA′===5．∴PA+PB的最小值是5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了线路最短问题，解答此题的关键是画出图形，利用数形结合及勾股定理求解．10．（5分）对于自变量x为实数的函数f（x），若存在x0满足f（x0）=x0，则称x0是函数f（x）的一个不动点．若函数f（x）=x2+ax+1没有不动点，则实数a的取值范围是﹣1＜a＜3．【分析】不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根．二次函数f（x）=x2+ax+1没有不动点，是指方程x=x2+ax+1无实根．即方程x=x2+ax+1无实根，然后根据根的判别式△＜0解答即可．【解答】解：根据题意，得x=x2+ax+1无实数根，即x2+（a﹣1）x+1=0无实数根，∴△=（a﹣1）2﹣4＜0，解得：﹣1＜a＜3；故答案是：﹣1＜a＜3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．11．（5分）对正实数a，b作定义，若4*x=44，则x的值是36．【分析】根据对a、b的新定义，可把4*x=44，变形为﹣4+x=44，再设=a，代入求解即可．【解答】解：∵，∴原方程变形为：﹣4+x=44，整理得，x+2﹣48=0，设=a，则a2+2a﹣48=0，解得a=6或﹣8，∵≥0，∴a=6，∴x=36．故答案为：36．【点评】本题是一道新定义的题目，考查了无理方程，以及一元二次方程的解法，难度不大．12．（5分）正比例函数与反比例函数图象都经过点（2，b）（b＞0），在第一象限内正比例函数图象在反比例函数图象下方的自变量x的取值范围是0＜x＜2．【分析】用待定系数法先求出正比例函数与反比例函数解析式，再根据反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质求出自变量x的取值范围．【解答】解：正比例函数与反比例函数图象都经过点（2，b），即正比例函数为y=，反比例函数为y=．当正比例函数图象在反比例函数图象下方时，即＜（x≠0），解得0＜x＜2或x＜﹣2．∵在第一象限内，∴解得0＜x＜2．故答案为0＜x＜2．【点评】本题考查了反比例函数的图象性质正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．（1）反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．（2）正比例函数y=kx的图象性质：图象是一条直线，一定经过坐标轴的原点．当k＞0时，图象经过一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．13．（5分）化简的结果是6x﹣6或﹣4．【分析】首先观察代数式，根据二次根式有意义的条件，则5﹣3x≥0，即x≤．再根据二次根式的性质，即=|a|和（）2=a（a≥0），进行化简计算．【解答】解：根据题意，得5﹣3x≥0，即x≤，则3x≤5．∴原式=﹣（5﹣3x），当1≤3x≤5，原式=3x﹣1﹣5+3x=6x﹣6；当3x＜1时，则原式=1﹣3x﹣5+3x=﹣4．故答案为：6x﹣6或﹣4．【点评】此题考查了二次根式的性质．14．（5分）已知m、n为大于1的正整数，对m n作如下的“分裂”：分解为m个连续奇数的和．如52的“分裂”中最大的数是9．若在m3的“分裂”中最小的数是211，则m=15．【分析】根据对m n作如下的“分裂”：分解为m个连续奇数的和．如52的“分裂”中最大的数是9．不难发现：在m2中所分解的最大的数是2m﹣1；在m3中，所分解的最小数是m2﹣m+1，若m3的“分裂”中最小数是211，则m2﹣m+1=211，从而求出m．【解答】解：根据已知，若m3的“分裂”中最小数是211，则m2﹣m+1=211，解得：m=15或m=﹣14（舍去），故答案为：15．【点评】此题首先要根据所提供的数据具体发现规律，然后根据发现的规律求解．规律为：在m2中所分解的最大的数是2m﹣1；在m3中，所分解的最小数是m2﹣m+1．15．（5分）如图：水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的表面积（球的表面积公式S=4πR2），用锐角∠BAC=60°的直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=1m，则球的表面积等于12π．【分析】连接OA，由AP与AD为圆O的切线，根据切线性质得到∠OPA与∠ODA 都为直角，由∠BAC=60°，根据平角定义得到∠PAD为120°，再根据切线长定理得到∠OAP等于∠PAD的一半，得出∠OAP=60°，在直角三角形OAP中，根据锐角三角函数定义得出OP=APtan60°，进而求出OP的长，即为半径R，代入球的表面积公式即可求出．【解答】解：连接OA，∵AB与AD都为圆O的切线，∴∠OPA=90°，∠ODA=90°，∵∠BAC=60°，∴∠PAD=120°，∵PA、AD都是⊙O的切线，∴∠OAP=∠PAD=60°，在Rt△OPA中，PA=1cm，tan60°=，则OP=APtan60°=cm，即⊙O的半径R为cm．则球的表面积S=4πR2=4π•=12π．故答案为：12π【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，以及锐角三角函数，见了有切线，圆心切点连，构造直角三角形解决问题，其中切线长定理为：经过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且此点与圆心地连线平分两切线的夹角，灵活运用此定理是本题的突破点．16．（5分）如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD=5：3，则k=12．【分析】先找到点的坐标，然后再利用矩形面积公式计算，确定k的值．【解答】解：由题意，设点D的坐标为（x D，y D），则点B的坐标为（x D，y D），矩形OABC的面积=|x D×y D|=，∵图象在第一象限，∴k=x D•y D=12．故答案为：12．【点评】本题考查了反比例函数与几何图形的结合，综合性较强，同学们应重点掌握．17．（5分）如图，直角坐标系中直线AB交x轴，y轴于点A（4，0）与B（0，﹣3），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过或秒后动圆与直线AB相切．【分析】在直角三角形OAB中，OA=4，OB=3，由勾股定理得AB=5，设⊙P经过x秒后与直线AB相切，过P点作AB的垂线，垂足为Q，PQ=1；（1）当⊙P在直线AB的左边与直线AB相切时，AP=4﹣x，根据△APQ∽△ABO 中的成比例线段求解；（2）当⊙P在直线AB的右边与直线AB相切时，AP=x﹣4，根据△APQ∽△ABO 中的成比例线段求解．【解答】解：∵OA=4，OB=3，∴AB=5，设⊙P经过x秒后与直线AB相切，过P点作AB的垂线，垂足为Q，则PQ=1；（1）当⊙P在直线AB的左边与直线AB相切时，AP=4﹣x，由△APQ∽△ABO得，=，即=，解得x=；（2）当⊙P在直线AB的右边与直线AB相切时，AP=x﹣4；由△APQ∽△ABO得，=，即=，解得x=．故填或．【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．18．（5分）已知直线l1：x﹣y+2=0；l2：x+y﹣4=0，两条直线的交点为A，点B 在l1上，点C在l2上，且，当B，C变化时，求过A，B，C三点的动圆形成的区域的面积大小为8π．【分析】由题意可知当A与B或C重合时，所成的圆最大，它包括了所有的圆，所以求出半径为2时圆的面积即为动圆所形成的区域的面积．【解答】解：当A与B或C重合时，此时圆的面积最大，此时圆的半径r=BC=2，所以此时圆的面积S=πr2=π（2）2=8π，则过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为8π．故答案为8π．【点评】本题考查了一次函数与动点问题，有一定难度．学生作此题时应注意：过A、B、C三点的动圆所形成的区域面积，不是过A、B、C三点的圆的面积．而是将所有圆的面积（只能算不重合的部分）即半径为BC最大圆的面积．此题是一道易错题．三、解答题．（19题10分，23题14分，其余每题12分，共60分）19．（10分）如图1，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F．（1）求证：AE•AB=AF•AC；（2）如果将图1中的直线BC向上平移与圆O相交得图2，或向下平移得图3，此时，AE•AB=AF•AC是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由．【分析】（1）可通过构建相似三角形来求证．连接DE、DF，通过证三角形AED、ADB和三角形AFD、ADC相似，得出AE、AB以及AF、AC和AD之间的关系，通过AD这个中间值来得出所求的比例关系．（2）依然成立，因为这要能证得（1）中的两个三角形相似，就能得出（1）中的结论，BC上上平移的过程中，两个三角形相似的条件（一个公共角，一组直角）没有改变，因此仍相似，所以（1）中的结论仍成立．【解答】（1）证明：如图1，连接DE．∵AD是圆O的直径，∴∠AED=90°．又∵BC切圆O于点D，∴AD⊥BC，∠ADB=90°．在Rt△AED和Rt△ADB中，∠EAD=∠DAB，∴Rt△AED∽Rt△ADB．∴，即AE•AB=AD2同理连接DF，可证Rt△AFD∽Rt△ADC，AF•AC=AD2∴AE•AB=AF•AC．（2）解：AE•AB=AF•AC仍然成立．证明：如图2，连接DE，因为BC在上下平移时始终与AD垂直，设垂足为D'，则∠AD′B=90°∵AD是圆O的直径，∴∠AED=90°又∵∠D′AB=∠EAD，∠AED=∠AD′B，∴Rt△AD′B∽Rt△AED∴AE•AB=AD′•AD同理AF•AC=AD′•AD∴AE•AB=AF•AC同理可证，当直线BC向下平移与圆O相离如图3时，AE•AB=AF•AC仍然成立．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，通过构建相似三角形得出与所求相关的线段间的比例是解题的关键．20．（12分）行驶中的汽车，在刹车时由于惯性的作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（米）与汽车车速v（千米/小时）满足下列关系式（n为自然数），我们做过两次刹车试验，有关数据如图所示，其中6＜s1＜8，14＜s2＜17．（1）求n的值；（2）要使刹车距离不超过12.6米，则行驶的最大速度应为多少？【分析】（1）根据6＜s1＜8，14＜s2＜17，将不等式代入关系式解不等式组即可；（2）利用要使刹车距离不超过12.6米，即可得出s≤12.6，解不等式求出v即可．【解答】解：（1）依题意有，由①得：5＜n＜10，由②得：，∴n=6；（2）s=+≤12.6，v2+24v﹣5040≤0，（v+84）（v﹣60）≤0，∴0≤v≤60．∴行驶的最大速度应为每小时60千米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及不等式组的解法等知识，注意（v+84）（v﹣60）≤0，需结合实际分析得出v的取值范围是解题关键．21．（12分）如图，已知△ABC中，AB=a，点D在AB边上移动（点D不与A、B=S，S△DEC=S1．重合），DE∥BC，交AC于E，连接CD．设S△ABC（1）当D为AB中点时，求S1：S的值；（2）若，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）是否存在点D，使得成立？若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，DE：BC=1：2，而高线的比也是1：2，则三角形的面积的比就可以求出；（2）根据相似三角形的性质，可以得到底边DE、BC以及高线之间的关系，就可以求出面积的比；（3）使得成立，可以转化为函数值y的大小关系．【解答】解：过A作AM⊥BC，交DE于点N，设AD=x，根据DE∥BC，可以得到===，则DE=•BC，AN=•AM；（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，可得AN=MN，=S=•AM•BC，则DE=BC，AN=AM，而S△ABC∴S=S1=•DE•MN=•AN•DE，△DEC∴S1：S的值是1：4；（2）作AM⊥BC，垂足为M，交DE于N点，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===，∴=．=（•MN•DE）：（•AM•BC）=•=•=即y=，0＜x＜a，（3）不存在点D，使得S1＞S成立．理由：假设存在点D使得S1＞S成立，那么即y＞，∴＞，整理得，＜0，∵（x﹣）2≥0，∴x不存在．即不存在点D使得S1＞S．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，以及三角形的面积的计算方法．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，f（x）=x的两实根为α、β．（1）若|α﹣β|=1，求a、b满足的关系式；（2）若a、b均为负整数，且|α﹣β|=1，求f（x）解析式；（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．【分析】（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，b表示两根α，β，根据|α﹣β|=1，可求出a、b满足的关系式．（2）根据（1）求出的结果和a、b均为负整数，且|α﹣β|=1，可求出a，b，从而求出f（x）解析式．（3）因为关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，用a和b表示出（x1+1）（x2+1），讨论a，b的关系可比较（x1+1）（x2+1）与7的大小的结论．【解答】解：（1）∵f（x）=x，∴ax2+4x+b=x，α=，β=．∵|α﹣β|=1，∴=|a|，∴a2+4ab﹣9=0；（2）∵a、b均为负整数，a2+4ab﹣9=0，∴a（a+4b）=9，解得a=﹣1，b=﹣2．∴f（x）=﹣x2+4x﹣2．（3）∵关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，∴ax2+4x+b=0∴x1x2=，x1+x2=﹣．∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1．﹣+1﹣7=，∵a＜0，当b＞6a+4时，（x1+1）（x2+1）＜7．当b=6a+4时，（x1+1）（x2+1）=7．当b＜6a+4时，（x1+1）（x2+1）＞7．【点评】本题考查二次函数的综合运用，考查了确定函数式，方程与函数的关系，以及求一元二次方程的求根公式的应用．23．（14分）已知y=m2+m+4，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）（1）求a、b、c的值；（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2008证明你的结论．【分析】设m2+m+4=k2（k为非负整数），则有m2+m+4﹣k2=0，由m为整数知其△为完全平方数，即1﹣4（4﹣k2）=p2（p为非负整数），（2k+p）（2k﹣p）=15，显然2k+p＞2k﹣p，再分别求出a、b、c的值即可．【解答】解：（1）设m2+m+4=k2（k为非负整数），则有m2+m+4﹣k2=0，由m为整数知其△为完全平方数，即1﹣4（4﹣k2）=p2（p为非负整数），（2k+p）（2k﹣p）=15，显然2k+p＞2k﹣p，所以或，解得p=7或p=1，所以m=，得m1=3，m2=﹣4，m3=0，m4=﹣1，所以a=3，b=﹣4，c=﹣1．（2）三个数，任意两个求其和，再除以，同求其差，再除以，剩下的一个数不变，经过两次这样的操作就又变成原来的三个数了，即（）2+（）2+p2=m2+n2+p2，而32+（﹣4）2+（﹣1）2≠2008．所以，对a、b、c进行若干次操作后，不能使所得三个数的平方和等于2008．【点评】本题考查了对完全平方数的理解，拓展应用是解此题的关键，要打破思维常规进行分析．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作江苏省淮阴中学高一第一次阶段性测试数 学命题人：蒋行彪 审校人：朱益民 2006-3一、选择题（每小题5分，共60分）1、若α是第四象限角，则πα+是第几象限角 （ ） A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角2、已知6πα=，角β的终边与α的终边关于直线y x =对称，则角β的集合是（ ）A 、{}3πββ=B 、5{2k ,k Z}6πββπ=+∈ C 、7{2k ,k Z}6πββπ=+∈ D 、{2k ,k Z}3πββπ=+∈ 3、要得到曲线y cos 2x =，只需把y cos(2x+)2π= （ ）A 、向右平移2πB 、向左平移2πC 、向右平移4πD 、向左平移4π4、若α为锐角（单位为弧度），则,sin ,tan ααα的大小关系为 （ ） A 、sin tan ααα>> B 、sin tan ααα>>C 、tan >sin ααα>D 、tan sin ααα>> 5、若(cos )cos 2,(sin)12f x x f π==则 ( )A 、12 B 、1-2C 、32D 、32-6、下列各命题中，真命题是 （ ） A 、若a b >，则a b > B 、若a b =，则a b =或a b =-C 、若a //b ，b //c ，则a //cD 、长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量 7、若a b =，且a 与b 不共线时，a b +与a b -的关系是 （ ） A 、平行 B 、垂直 C 、相交但不垂直 D 、相等8、已知122a e e =+，12b 2e e =-，则向量a 2b +与2a b - （ ） A 、一定共线 B 、一定不共线 C 、仅当12e e 与共线时共线 D 、仅当12e e =时共线 9、点M 是△A BC 的重心，O 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，则MA MB MC ++等于 （ ） A 、6ME B 、6MF - C 、0 D 、6MO10、已知1sin()sin()25πθπθ++-=，(0,)θπ∈，则cos sin θθ-的值为 （ ） A 、57 B 、57± C 、75- D 、75±11、函数y cos x =-(0x 16)<<的值域是 （ ） A 、[-1，0] B 、[0，1] C 、[-1，1] D 、（-1，1] 12、已知函数y sin(2x )6π=-，以下说法正确的是 （ ）A 、函数图像的周期是4πB 、函数图像的一条对称轴方程是x 3π=C 、函数在25[,]36ππ上为减函数 D 、函数为偶函数 二、填空题（每小题5分，共20分）13、若4cos 32cos x m x+=+，则m 的取值范围是14、已知函数()lg(32sin )lg sin f x x x =-+ (0)x π<<，则()f x 的定义域为15、已知函数2sin(2)33y x π=-++（5(0,)6x π∈）的增区间为16、函数()y f x =是以4为周期的奇函数，且(1)1f -=，则sin((5))2f ππ+=三、解答题（17---21题，共5小题，计70分）17、（本题满分15分）已知tan 3x =（32x ππ<<），求下列各式的值。

江苏省淮阴中学高一数学第一阶段测试训练题〔三角函数图象和性质、向量线性运算〕〔必修4〕〔附答案〕一、选择题：1．、假设α是三角形的内角，且21sin =α，那么α等于 〔 〕A ．30B ． 30或150C ．60D ． 120或602．角α的终边过点P 〔4a ,－3a 〕〔a <0〕,那么2sin α＋cos α的值是 〔 〕 A ．25 B ．－25C ．0D ．与a 的取值有关3．假设θ是第三象限角，且02cos <θ，那么2θ是 〔 〕A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是〔 〕A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=Ca 与b 共线，那么以下说法正确的选项是 ( )〔A 〕a 与b 必須在同一条直线上 〔B 〕a 和b 平行，且方向必須一样 〔C 〕a 与b 平行，且方向必须相反 〔D 〕a 与b 平行6．假设3x 2-〔x a -〕=0，那么x 等于 ( ) 〔A 〕2a 〔B 〕a 2- 〔C 〕52a 〔D 〕52-a 7．α为第二象限角，P(x, 5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，那么x 值为( ) A ． 3 B ．± 3 C ．－ 3 D ．－ 28．cot(α－4π)·cos(α＋π)·sin 2(α－3π)tan(π＋α)·cos 3(－α－π)的结果是( )A ．1B ．0C ．－1D ．129．设sin123°＝a ，那么tan123°＝( ) A ．1－a 2aB ．a 1－a 2C ．1－a 21－a 2D ．a 1－a 2 a 2－110．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A ．1sin0.5B ．sin0.5C ．2sin0.5D ．11．先将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，所得图象的解析式是( )A ．y ＝sin(－2x ＋π3)B ．y ＝sin(－2x ―π3)C ．y ＝sin(－2x ＋2π3)D ．y ＝sin(－2x ―2π3)12．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)在一个周期上的图象为上图所示．那么函数的解析式是( )A ．y ＝2sin(x 2－2π3)B ．y ＝2sin(x 2＋4π3)C ．y ＝2sin(x 2＋2π3)D ．y ＝2sin(x 2－π3)13．以下函数中，周期为π，且在(0,π2)上单调递增的是( ) A ．y ＝tan|x| B ．y ＝|sinx| C. y ＝|cotx|D ．y ＝|cosx|14．假设α满足sin α－2cos αsin α＋3cos α＝2，那么sin α·cos α的值等于( )A ．865B ．－865C ．±865D ．以上都不对15、设函数()3sin()24f x x ππ=+，假设存在这样的实数12,x x ，对任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，那么12x x -的最小值为〔 〕A 、1/2B 、1C 、2D 、416．在△OAB 中，设OA =a ，OB =b ，又向量OP =p ，假设p =||||b b a a t +〔t ∈R 〕，那么点P 在 〔 〕A ．∠AOB 的平分线所在直线上 B ．线段AB 的中垂线上C ．AB 边所在直线上D ．AB 边的中线上 二、填空题：17．sin θ－cos θ＝12，那么sin 3θ－cos 3θ＝＿＿＿＿＿．18．函数y ＝|sinx|sinx ＋cosx |cosx|＋|tanx|tanx ＋cotx|cotx|的值域为＿＿＿＿＿＿．19．函数y ＝sin(π4－2x)的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿20、函数=-=++=)5(,7)5(,1sin )(f f x b ax x f 则若 三、解答题：x21．扇形的周长为L ，问当扇形的圆心角α和半径R 各取何值时，扇形面积最大？22．向量a =21e －32e ，b =21e ＋32e ，其中1e 、2e 不共线，向量c =21e －92e ，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa ＋μb 与c 共线？23．函数y ＝3sin3x ．(1)作出函数在x ∈[π6,5π6]上的图象．(2)求(1)中函数的图象与直线y ＝3所围成的封闭图形的面积(3)求f(x)的最小正周期；(4)求f(x)的单调区间；(5)求f(x)图象的对称轴，对称中心．24.设两非零向量e 1和e 2不共线，如果AB =e 1+e 2，BC =2e 1+8e 2，CD =3〔e 1-e 2〕①求证：A 、B 、D 三点共线 ②试确定k ，使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线？25、某海滨浴场的海浪高度y 〔米〕是时间(024,t t ≤≤单位：小时〕的函数，记作()y f t =，经过长期观察，()y f t =曲线可以近似的看成cos y A t b ω=+的图象 （1） 试根据以上数据，求出函数()y f t =的近似表达式；（2） 按照规定，当海浪高度不低于1米时才可以对冲浪爱好者开放。

江苏省淮阴中学高一数学第一阶段测试卷 新课标（三角函数图象和性质、向量线性运算）（必修4）一、选择题：1．、若α是三角形的内角，且21sin =α，则α等于 （ ）A ．30B ． 30或150C ．60D ． 120或602．已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是 （ ） A ．25 B ．－25C ．0D ．与a 的取值有关3．若θ是第三象限角，且02cos <θ，则2θ是 （ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C 5.若非零向量a 与b 共线，则以下说法正确的是 ( )（A ）a 与b 必須在同一条直线上 （B ）a 和b 平行，且方向必須相同 （C ）a 与b 平行，且方向必须相反 （D ）a 与b 平行 6．若3x 2-（x a -）=0，则x 等于 ( ) （A ）2a （B ）a 2- （C ）52a （D ）52-a 7．α为第二象限角，P(x, 5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 值为( ) A ． 3 B ．± 3 C ．－ 3 D ．－ 28．cot(α－4π)·cos(α＋π)·sin 2(α－3π)tan(π＋α)·cos 3(－α－π)的结果是( ) A ．1B ．0C ．－1D ．129．设sin123°＝a ，则tan123°＝( ) A ．1－a2aB ．a 1－a2C ．1－a 21－a2D ．a 1－a 2a 2－110．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为( ) A ．1sin0.5B ．sin0.5C ．2sin0.5D ．tan0.511．先将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，所得图象的解析式是( ) A ．y ＝sin(－2x ＋π3)B ．y ＝sin(－2x ―π3)－4π32π38π3xyo －22C ．y ＝sin(－2x ＋2π3)D ．y ＝sin(－2x ―2π3)12．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)在一个周期上的图象为上图所示．则函数的解析式是( )A ．y ＝2sin(x 2－2π3)B ．y ＝2sin(x 2＋4π3)C ．y ＝2sin(x 2＋2π3)D ．y ＝2sin(x 2－π3)13．下列函数中，周期为π，且在(0, π2)上单调递增的是( )A ．y ＝tan|x|B ．y ＝|sinx| C. y ＝|cotx|D ．y ＝|cosx|14．若α满足sin α－2cos αsin α＋3cos α＝2，则sin α·cos α的值等于( )A ．865B ．－865C ．±865D ．以上都不对15、设函数()3sin()24f x x ππ=+，若存在这样的实数12,x x ，对任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ）A 、1/2B 、1C 、2D 、416．在△OAB 中，设OA =a ，OB =b ，又向量OP =p ，若p =||||(b a t +（t ∈R ），则点P在 （ ）A ．∠AOB 的平分线所在直线上 B ．线段AB 的中垂线上C ．AB 边所在直线上D ．AB 边的中线上 二、填空题：17．已知sin θ－cos θ＝12，则sin 3θ－cos 3θ＝＿＿＿＿＿．18．函数y ＝|sinx|sinx ＋cosx |cosx|＋|tanx|tanx ＋cotx|cotx|的值域为＿＿＿＿＿＿．19．函数y ＝sin(π4－2x)的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿20、函数=-=++=)5(,7)5(,1sin )(f f x b ax x f 则若三、解答题：21．已知扇形的周长为L ，问当扇形的圆心角α和半径R 各取何值时，扇形面积最大？22．已知向量a =21e －32e ，b =21e ＋32e ，其中1e 、2e 不共线，向量c =21e －92e ，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa ＋μb 与c 共线？23．已知函数y ＝3sin3x ．(1)作出函数在x ∈[π6,5π6]上的图象．(2)求(1)中函数的图象与直线y ＝3所围成的封闭图形的面积(3)求f(x)的最小正周期；(4)求f(x)的单调区间；(5)求f(x)图象的对称轴，对称中心．24.设两非零向量e 1和e 2不共线，如果AB =e 1+e 2，BC =2e 1+8e 2，CD =3（e 1-e 2）①求证：A 、B 、D 三点共线 ②试确定k ，使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线？25、已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间(024,t t ≤≤单位：小时）的函数，记作()y f t =，下面是夏季某一天各时的海浪高度近似数据： t （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （米）1.51.00.51.01.51.00.51.01.5经过长期观察，()y f t =曲线可以近似的看成cos y A t b ω=+的图象 （1） 试根据以上数据，求出函数()y f t =的近似表达式；（2） 按照规定，当海浪高度不低于1米时才可以对冲浪爱好者开放。

江苏省淮阴中学2022-2023学年度第一学期期末考试高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1．若5sin 13α=-且a 为第三象限角，则tan α的值等于（）A ．125B ．125-C ．512D ．512-2．已知集合{}220A x x x =-=，则下列选项中说法不正确的是（）A ．A ∅⊆B ．2A-∈C ．{}0,2A⊆D ．{}3A y y ⊆≤3．任意[]1,1x ∈-，使得不等式212x x m -+≥恒成立.则实数m 取值范围是（）A ．14m ≥B ．14m ≤C ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．2m ≤4．在下列区间中，函数()e 43xf x x -=+-的零点所在的区间可能为（）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭5．已知1sin cos 6αα⋅=-，ππ44α-<<，则sin cos αα+的值等于（）A B ．C ．D 6．将函数2sin()3y x π=+的图象向左平移()0m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．23π7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为（）A ． 1.510B ．1.5C ．lg1.5D ． 1.510-8．若函数()f x 满足()()111f x f x +=+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-上，方程()()3f x k x =+有两个实数解，则实数k 的取值范围为是（）A ．3k <--B ．3k <-+C ．104k <≤D ．13k -≤<二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．已知函数()2f x x =的值域为[]0,4，则函数()f x 定义域可能为（）A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]2,0-D ．{}1,1-10．已知实数a ，b ，c ，满足1e ln ab c==，则下列关系式中可能成立的是（）A ．b c a =>B ．c a b =>C ．b c a >>D ．c b a>>11．徳国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于()f x 下列说法正确的是（）A ．()f x 的值城为[]0,1B ．R x ∀∈，()()1f f x =.C ．()f x 为偶函数D ．()f x 为周期函数12．记函数()()()cos 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()2f T =，在区间[]0,1恰有三个零点，则关于()f x 下列说法正确的是（）A ．()f x 在[]0,1上有且仅有1个最大值点B ．()f x 在[]0,1上有且仅有2个最小值点C ．()f x 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．ω的取值范围为7π10π,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数()20.4log 34y x x =-++的值域是________.14．若,a b 都是正数，且1ab =，则2+a b 的最小值是______.15．已知函数()24,43,x mf x x x x m ≥⎧=⎨+-<⎩，若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．16．设I M 表示函数()242f x x x =-+在闭区间I 上的最大值.若正实数．．．a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则正实数a 的取值范围是______.四、本小题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于,A B 两点，且OA OB ⊥.(1)若点A 的横坐标为35，求2sin cos αβ的值；(2)求()()πsin πcos 23πcos πsin 2αββα⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值.18．已知某公司生产的一新款手机的年固定成本为350万元，设该公司一年内共生产这种手机x 万部并全部销售完，且每万部的销售收入为600万元，生产这种手机每年需另投入成本()R x 万元，且当040x <<.时，()()1010R x x x =+，当40x ≥时，()400006016550R x x x=+-.（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式（年利润=年销售收入-年成本）（2）年产量为多少万部时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？19．已知函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω>与函数()()cos 2g x x θ=+有相同的对称中心.(1)求ω，θ的值；(2)若函数()g x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求出函数()g x 的单调区间.20．已知函数()()()()12log 2121R x x f x a a +=---∈.(1)当1a =时，求()f x 的定义域；(2)当23log ,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x x =有两解，求实数a 的范围.21．已知函数()122x x a h x a=+，0a >且1a ≠.(1)若2a =，令()()()221h x kg x h x +=+，若对一切实数x ，不等式()2g x <恒成立，求实数k 的取值范围；(2)若()()*44N 2n nh n n -+<∈，试确定a 的取值范围.22．对于定义域为I 的函数()y f x =，区间I D ⊆。

江苏省淮安市高一上学期数学第一学段考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·镇原期中) 设U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则下列结论中正确的是（）A . A⊆BB . A∩B＝{2}C . A∪B＝{1，2，3，4，5}D . A∩（）＝{1}2. （2分） (2019高一上·龙江期中) 函数的定义域为（）A . (－5，＋∞)B . ［－5，＋∞C . (－5，0)D . (－2，0)3. （2分）已知全集U=R，集合A={x|x<-2或x>3}，B={x|x2-3x-40}，则集合（）A .B .C .D .4. （2分）已知集合则下列结论正确的是（）A .B .C .D .5. （2分）已知函数,函数,则函数的零点的个数为A . 2B . 3C . 4D . 56. （2分） (2016·新课标I卷文) 函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·鹤岗期末) 已知不等式的解集为 ,则不等式的解集为（）A .B .C .D .8. （2分）已知是R上的减函数，则a的范围是（）A . （0，1）B .C .D .9. （2分）若方程在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·潮阳期中) 二次函数f（x）的二次项系数为正数，且对任意项x∈R都有f（x）=f（4﹣x）成立，若f（1﹣2x2）＜f（1+2x﹣x2），则x的取值范围是（）A . x＞2B . x＜﹣2或0＜x＜2C . ﹣2＜x＜0D . x＜﹣2或x＞011. （2分） (2016高一下·内江期末) 若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A . 一定是锐角三角形B . 一定是直角三角形C . 一定是钝角三角形D . 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形12. （2分）已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2018·鞍山模拟) 已知函数，若，则 ________．14. （1分）若全集U=R，集合M={x|x2﹣x≥0}，则集合∁UM=________15. （2分） (2015高二下·湖州期中) 设全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜4}，B={y|y=x+1，x∈A}，则A∩B=________；（∁UA）∩（∁UB）=________．16. （1分）已知函数f（x）= ，若函数y=f（x）﹣m有2个零点，则实数m的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高一上·东海期中) 已知集合A={x||x﹣a|＜4}，B={x|x2﹣4x﹣5＞0}．（1）若a=1，求A∩B；（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．18. （15分） (2019高一上·汤原月考) 定义在R上的函数满足对任意的 ,都有, , 且在R上具有单调性.（1）求和 ;（2）判断函数的奇偶性,并证明你的结论;（3）求不等式 (2)+ 的解集.19. （5分） (2015高一下·金华期中) 已知全集为R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|1＜x＜3}，求A∩B；A∪B；∁RA．20. （15分） (2018高一上·台州月考) 设函数是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若，试判断函数单调性,并求使不等式恒成立时t 的取值范围；（3）若，且在上的最小值为-2，求实数m的值．21. （10分）(2018·普陀模拟) 某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通号线线路示意图如图所示.已知是东西方向主干道边两个景点，是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心均为，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，线路段上的任意一点到的距离都相等，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，以为原点建立平面直角坐标系 .（1）求轨道交通号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路段上需建一站点到景点的距离最近，问如何设置站点的位置？22. （10分） (2018高三上·三明模拟) 已知函数（其中，为常数，为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）设曲线在处的切线为，当时，求直线在轴上截距的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一上学期期中数学试题一、单选题 1．2sin3π=（ ）A ．12B ．2C ．D ．12-【答案】B【解析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得结果. 【详解】2sin()sin()sin 3332ππππ=-==， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式和特殊角的三角函数值，属于基础题目.2．下列函数中，在[)0,+∞上为单调递增函数的是（ ） A ．21y x =-+ B ．224y x x =-+ C ．1y x=D ．()2log 1y x =+【答案】D【解析】结合函数的图象及性质和单调递增函数的定义进行逐项排除即可. 【详解】对于A 项：函数21y x =-+，因为20-<，故此函数在R 上为单调递减函数，所以不正确；对于B 项：函数224y x x =-+的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为1x =，所以此函数在(1,)+∞上为单调递增函数，在(0,1]上为单调递减函数，所以不正确； 对于C 项：函数1y x=为反比例函数，其图象是双曲线，在(0,)+∞和(,0)-∞上均为减函数，所以不正确；对于D 项：2log (1)y x =+在定义域(1,)-+∞上单调递增，所以在[0,)+∞上单调递增，所以正确； 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关基本初等函数结合图象判断其单调性问题，熟练掌握各类型函数的图象及性质是求解该题的关键，属于基础题目.3．如图，点P 从()1,0出发，沿单位圆按顺时针方向运动3π弧长到达Q 点，则Q 点坐标为（ ）A ．13,2⎛ ⎝⎭B ．12,2⎛ ⎝⎭C ．132⎛ ⎝⎭D ．23⎝⎭【答案】A【解析】由题意推出QOx ∠的大小，然后求出Q 点的坐标，得到结果. 【详解】点P 从()1,0出发，沿单位圆按顺时针方向运动3π弧长到达Q 点， 所以3QOx π∠=-，所以(cos(),sin())33Q ππ--， 即Q 点坐标为13(,)22-， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关单位圆上点的坐标的求解问题，涉及到的知识点有弧长公式，注意转动的方向，明确角的大小之后，点的坐标显而易见，属于基础题目. 4．已知0.5log 6a =，6log 5b =，20.3c -=，则a ，b ，c 的大小为（ ） A ．b a c << B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a b c <<【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性，分别与0,1比较即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.50.5log 6log 10<=，6660log 1log 5log 61=<<=， 200.30.31->=，a b c <<，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，利用中介值0和1比较大小，属于简单题目. 5．已知5sin 13α=，α是第二象限角，则cos α为（ ） A ．1213B ．1213-C ．513-D ．1213或1213-【答案】B【解析】由已知和同角三角函数基本关系可求得cos α的值. 【详解】 因为5sin 13α=，α是第二象限角，所以12cos 13α===-， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，属于基础题目.6．设函数f (x )＝21,1,2,1,x x x x⎧+≤⎪⎨>⎪⎩则f (f (3))＝( )A ．15B ．3C ．23D ．139【答案】D 【解析】【详解】()231,33f >∴=Q ,22213((3))()()1339f f f ==+=,故选D.7．函数()2log sin f x x =的定义域为（ ） A ．()(2,2]2k k k Z πππ+∈ B ．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,22k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D ．(),2k k k Z πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】根据函数的解析式，列出自变量所满足的不等式组cos 0sin 0x x ≥⎧⎨>⎩，即可求解得结果. 【详解】根据题意可得cos 0sin 0x x ≥⎧⎨>⎩，所以222k x k πππ<≤+，k Z ∈，所以函数()2log sin f x x =的定义域为()(2,2]2k k k Z πππ+∈，故选：A. 【点睛】该题考查的是有关函数定义域的求解问题，在解题的过程中，注意式子的约束条件，属于简单题目.8．已知扇形的周长为8，面积是4，则扇形的圆心角为（ ） A ．2 B ．12C ．1D ．1或12【答案】A【解析】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，由面积公式和周长可得到关于l 和r 的方程组，求出l 和r ，由弧度的定义求α即可得结果. 【详解】根据题意可得： 1(82)42S r r =-=， 即2440r r -+=，解得2r =，4l =，所以2lrα==， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关扇形的问题，涉及到的知识点有扇形的周长、弧长和面积公式，求扇形所对的圆心角，属于基础题目.9．己知方程24x x +=的根在区间(),1k k +内()k Z ∈，则k =（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．4【答案】B【解析】令()24xf x x =+-，则()f x 在区间(,1)()k k k Z +∈上单调递增，方程240x x +-=的实数根即为函数()f x 的零点，根据()f x 在(1,2)上有唯一零点，可得k 的值. 【详解】令()24xf x x =+-，则()f x 在区间(,1)()k k k Z +∈上单调递增，由于(1)21410f =+-=-<，(2)42420f =+-=>， 所以(1)(2)0f f ⋅<，()f x 在(1,2)上有唯一零点， 因为方程240x x +-=的实数根即为()f x 的零点， 且()f x 在(,1)()k k k Z +∈上有唯一零点， 所以1k =， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关根据函数在某一区间上存在零点求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有函数零点存在性定理，属于基础题目.10．已知函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】由已知中函数()y f x =在[0,2]上单调递增，且函数(2)f x +是偶函数，我们可得函数()y f x =在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数()y f x =满足(2)(2)f x f x -=+，由此比较75(),(1),()22f f f 的大小，得到结果.【详解】因为函数()y f x =在[0,2]上单调递增，且函数(2)f x +是偶函数， 所以函数()y f x =在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数()y f x =满足(2)(2)f x f x -=+， 即(1)(3)f f =，因为75()(3)()22f f f <<，所以75()(1)()22f f f <<，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关函数值比较大小的问题，涉及到的知识点有偶函数的定义，函数图象对称性的应用，利用单调性比较函数值的大小，属于简单题目. 11．已知函数)01y a a =>≠,在区间10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+?B ．(]1,4C ．()1,4D ．()2,+?【答案】B【解析】根据题意，设t =ty a =，结合函数的定义域以及复合函数的单调性判断方法分析可得11202a a >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，可求得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】根据题意，函数y =设t =ty a =，又因为0a >，则t =若函数2axy a-=（0a >且1a ≠）在区间1[0,)2上是x 的减函数，则必有11202a a >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得14a <≤， 所以a 的取值范围为(1,4]， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关根据函数在给定区间上的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有复合函数单调性法则以及定义域优先原则，属于中档题目. 12．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.二、填空题13．已知函数()()log 21101a y x a a =-+>≠,的图象过定点A ，若点A 也在函数()2x f x b =+的图象上，则()2log 3f =________.【答案】2【解析】先利用函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数()2xf x b =+中求出b ，最后即可求出相应的函数值2(log 3)f ，得到结果. 【详解】因为函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点(1,1)， 将1,1x y ==代入()2xf x b =+，得121b +=，所以1b =-，所以()21xf x =-， 则2log 32(log 3)21312f =-=-=，故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题，点在函数图象上的条件，已知函数解析式求函数值，属于简单题目. 14．已知函数()f x 为偶函数，当0x >时，()121x f x =+，则当0x <时，()f x =________.【答案】212xx+. 【解析】根据题意，设0x <，则0x ->，由函数在0x >时的解析式可得()f x -的解析式，又由函数为偶函数，可得()()f x f x =-，即可得答案. 【详解】根据题意，设0x <，则0x ->，所以12()2112xx xf x --==++，又由函数()y f x =是偶函数，则2()()12xxf x f x =-=+， 所以当0x <时，2()12xxf x =+， 故答案为：212xx+. 【点睛】该题考查的是有关偶函数在某个区间上的解析式的问题，涉及到的知识点有偶函数的定义，属于简单题目.15．已知函数()22xxf x -=-，若不等式()()230f x ax a f -++>对任意实数[]2,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】(,6)-∞.【解析】由函数解析式可得函数()f x 为定义域上的增函数且为奇函数，把不等式2()(3)0f x ax a f -++>对任意实数[2,3]x ∈恒成立，转化为230x ax a -++>在[2,3]x ∈恒成立，之后转化求得结果.【详解】1()2222x x x x f x -=-=-， 因为2xy =与12xy =-均为实数集上的增函数， 所以函数()f x 为实数集上的增函数， 又()22()xx f x f x --=-=-，所以()f x 为实数集上的奇函数，由不等式2()(3)0f x ax a f -++>对任意实数[2,3]x ∈恒成立，得2()(3)(3)f x ax a f f -+>-=-对任意实数[2,3]x ∈恒成立，则23x ax a -+>-，即2(1)3x a x -<+在[2,3]x ∈时恒成立，得223(1)2(1)44(1)2111x x x a x x x x +-+-+<==-++---，因为函数4(1)21u x x =-++-在[2,3]上单调递减， 所以4(1)21u x x =-++-的最小值为2226++=， 所以6a <，所以a 的取值范围是(,6)-∞， 故答案为：(,6)-∞. 【点睛】该题考查的是有关根据恒成立问题求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有函数的奇偶性，函数的单调性，有关恒成立问题的转化，对勾函数的最值，属于较难题目. 16．已知a R ∈，函数()223f x x x a a =--+在区间[]0,3上的最大值是4，则a 的取值为________. 【答案】12. 【解析】先将函数解析式中的二次式进行配方，结合二次函数图象以及绝对值的意义，得出函数()f x 在[0,3]上的最大值可能取的位置有1,3x x ==这两个，依次分析求解，再验证是否满足条件，最后得出结果. 【详解】因为22()23(1)13f x x x a a x a a =--+=---+， 结合二次函数的图象以及绝对值的意义，可以得到函数()f x 在[0,3]上的最大值可能取的位置有1,3x x ==这两个， 当(1)f 为最大值时，有(1)134f a a =++=，解得34a =， 当34a =时，279()(1)44f x x =--+，此时799(3)44442f =-+=>，不满足条件， 当(3)f 为最大值时，有(3)334f a a =-+=，解得12a =， 当12a =时，233()(1)22f x x =--+，此时(1)3,(3)4f f ==，满足条件，所以a 的值为12， 故答案为：12. 【点睛】该题考查的是有关根据函数在某个区间上的最大值确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有二次函数图象，绝对值的意义，性质，属于较难题目.三、解答题17．（1）已知13x x -+=，求2233x x x x--++； （2）计算：2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++ 【答案】（1）718；（2）1.【解析】（1）直接利用完全平方公式得出1222()2x x x x --+=++，进而得出结果，直接应用立方和公式得出33122()(1)x xx x x x ---+=+-+，求得结果；（2）直接应用对数的运算法则，求得结果. 【详解】（1）因为13x x -+=，所以1222()29x x x x --+=++=，所以227x x -+=，33122()(1)3(71)18x x x x x x ---+=+-+=⨯-=，所以2233718x x x x --+=+； （2）2lg 2lg3lg 4lg3lg(34)lg121111lg 0.6lg 2lg(100.62)lg121lg 0.36lg823++⨯====++⨯⨯++. 【点睛】该题考查的是有关式子求值问题，涉及到的知识点有完全平方公式，立方和公式，对数的运算法则，属于基础题目.18．已知全集U =R，集合{112x A x -=<<，1,22xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭（1）求A B U ，()R C A B ⋂；（2）已知集合{}121C x x a a =-<-<-，若A C ⋂=∅，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}|04A B x x =<≤U ，3()|12R C A B x x x ⎧⎫=≤≥⎨⎬⎩⎭I 或； （2）5(,0][,)4-∞+∞U .【解析】（1）解指数不等式求得集合A ，求函数值域求得集合B ，从而可以求得,A B A B ⋃⋂，进而得到()R C A B I ；（2）分C =∅，C ≠∅两种情况，结合A C ⋂=∅进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为112x -<<1012222x -<<，所以1012x <-<，解得312x <<，所以3|12A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， 因为1(),22x y x =≥-，所以210()2y -<≤，所以04y <≤，所以{}|04B y y =<≤， 所以{}|04A B x x =<≤U ，3|12A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭， 3()|12R C A B x x x ⎧⎫=≤≥⎨⎬⎩⎭I 或； （2）由121x a a -<-<-得211a x a -<<+， 当C =∅时，211a a -≥+，解得2a ≥，当C ≠∅时，若A C ⋂=∅，则有2113212a a a -<+⎧⎪⎨-≥⎪⎩或21111a a a -<+⎧⎨+≤⎩， 解得524a ≤<或0a ≤， 所以满足A C ⋂=∅时，a 的取值范围是5(,0][,)4-∞+∞U . 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合交集、补集的概念和运算，考查根据集合的交集为空集求参数的取值范围，考查指数不等式和指数函数值域的求法，属于基础题目.19．已知1sin cos 5αα+=-，()0,απ∈，分别求下列各式的值： （1）tan α； （2）22sin cos 3sin sin cos 2cos αααααα-+【答案】（1）34-；（2）1271-. 【解析】（1）利用同角三角函数基本关系式、三角函数值与角所在象限之间的关系即可得出结果；（2）利用“弦化切”及其同角三角函数基本关系式即可得出结果. 【详解】（1）因为1sin cos 5αα+=-， 所以21(sin cos )12sin cos 25αααα+=+=， 所以12sin cos 025αα=-<， 又因为(0,)απ∈，所以sin 0,cos 0αα><，所以7sin cos 5αα-====， 可求得34sin ,cos 55αα==-， 所以3tan 4α=-. （2）222sin cos tan 123sin sin cos 2cos 3tan tan 271ααααααααα==--+-+. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有同角的正、余弦和、差、积知一求二，同角三角函数关系式，已知切求关于弦的分式齐次式的值，属于简单题目. 20．已知函数()f x 对任意实数x ，y R ∈，满足条件()()()2f x f y f x y +=++，()13f =且当0x >时，()2f x >.（1）求证：()f x 是R 上的递增函数； （2）解不等式()()2log log 33a a f x f x +-≥；【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）直接设12x x <，根据0x >时，()2f x >，得到221121111()[()]()()22()2()f x f x x x f x x f x f x f x =-+=-+->+-=，即可得到结论；（2）根据已知条件，将不等式2(log )(log 3)3a a f x f x +-≥转化为2(log log 3)1a a f x x +-≥，根据条件求得()11f -=，利用函数的单调性列出不等式，对a 的范围进行讨论求得不等式的解. 【详解】（1）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->， 因为0x >时，()2f x >，所以21()2f x x ->，所以221121111()[()]()()22()2()f x f x x x f x x f x f x f x =-+=-+->+-=， 即12()()f x f x <，所以，函数()f x 为R 上的单调增函数.（2）由2(log )(log 3)3a a f x f x +-≥可得22(log log 3)3a a f x x ++-≥， 即2(log log 3)1a a f x x +-≥，因为()()()2f x f y f x y +=++，所以(0)(0)(0)2f f f +=+，所以(0)2f =，因为(1)3f =，所以(1)(1)(0)2f f f +-=+，所以()11f -=，所以2(log log 3)1a a f x x +-≥即为2(log log 3)(1)a a f x x f +-≥-，因为函数()f x 为单调增函数，所以不等式可以转化为2log log 31a a x x +-≥-，即(log 2)(log 1)0a a x x +-≥， 解得log 2a x ≤-或log 1a x ≥， 所以当1a >时，解得210x a<≤或x a ≥， 当01a <<时，解得0x a <≤或21x a ≥， 所以当1a >时，不等式的解集为21(0,][,)a a+∞U ，当01a <<时，不等式的解集为21(0,][,)a a+∞U .【点睛】该题考查的是有关抽象函数的问题，涉及到的知识点有根据条件，利用函数单调性的定义证明抽象函数的单调性，利用函数的单调性求解不等式，属于难题.21．已知奇函数()()41012xf x a a a a=->≠+,. （1）求函数()f x 的值域；（2）判断函数()f x 的单调性，并给出证明；（3）若函数()()12xy m mf x =+-在区间(]2,log 3x ∈-∞上有两个不同的零点，求m 的取值范围.【答案】（1）(1,1)-；（2）见解析；（3）16(,]25---. 【解析】（1）根据当0x =有意义的奇函数图象过坐标原点，(0)0f =，求得参数的值，利用不等式的性质求函数的值域，得到结果； （2）应用定义判断并证明函数的单调性；（3）利用函数零点的个数，对式子进行化简，转化为对应方程有两个不等实根，考虑函数图象的走向，求得结果. 【详解】（1）因为函数()()410,12xf x a a a a =->≠+为奇函数，且定义域为R ， 所以有(0)0f =，即4102a -=+，解得2a =， 所以()421122221x x f x =-=-⋅++，因为20x >，所以211x +>，20221x<<+， 所以22021x -<-<+，211121x -<-<+， 所以函数()f x 的值域为(1,1)-； （2）()f x 为R 上的增函数，证明如下： 任取12,x x R ∈，且12x x <，则121221()()112121x x f x f x -=--+++12212111222121(21)(21)x x x x x x -=-=++++，因为12x x <，所以1212210,210,220x x x x +>+>-<，所以1221220(21)(21)x x x x -<++， 所以12()()f x f x <，所以函数()f x 为R 上的增函数；（3）函数()()12xy m mf x =+-在区间(]2,log 3x ∈-∞上有两个不同的零点，即2(1)2(1)021xxm m +--=+在(]2,log 3x ∈-∞上有两个不同的实数根， 整理得22(21)2112141x x x xxm +-=-=--++， 设2(0,3]xt =∈，所以21()1,(0,3]1t m t t t -=--∈+， 则当1t ≠时，22111()11121(1)2(1)2(1)21t t m t t t t t t --=--=--=--+-+-+-++-， 综合考虑可得()m t在1]上单调递减，在1,3]上单调递增， 且(0)0m =，1)m =，6(3)5m =-，要使函数有两个零点，可以得到m的取值范围是16(]25--. 【点睛】该题考查的是有关函数的综合问题，涉及到的知识点有根据奇函数求参数的值，求函数的值域，应用定义判断和证明函数的单调性，根据函数零点的个数求参数的取值范围，属于难题.22．已知函数()4af x x x=+-，()g x x b =-，()22h x x bx =+ （1）当2a =时，求函数()()y f x g x =+的单调递增与单调递减区间（直接写结果）； （2）当[]3,4a ∈时，函数()f x 在区间[]1,m 上的最大值为()f m ，试求实数m 的取值范围；（3）若不等式()()()()1212h x h x g x g x -<-对任意1x ，[]()2120,2x x x ∈<恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）增区间为(,1),(1,)-∞-+∞，减区间为(1,0),(0,1)-； （2）[4,)+∞； （3）1[,)4+∞.【解析】（1）将题中所给的a 的值代入解析式，利用对勾函数的性质写出函数的单调增区间和减区间即可；（2）解不等式()(1)f m f ≥即可得结果；（3）将题中所给的式子进行变形，将问题转化为()()()F x h x g x =-在[0,2]上单调递增，结合分段函数的解析式和二次函数图象的对称轴，分类讨论得到结果. 【详解】（1）当2a =时，21()()42()4y f x g x x x b x b x x=+=+-+-=+--， 所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞， 单调减区间为(1,0)-和(0,1)； （2）因为[3,4]a ∈，且函数()y f x =在上单调递减，在)+∞上单调递增， 又因为()f x 在[1,]m 上的最大值为()f m ，所以()(1)f m f ≥， 即414am a m+-≥+-，整理得2(1)0m a m a -++≥， 所以(1)()0m m a --≥，所以max m a ≥，即4m ≥， 所以m 的取值范围是[4,)+∞；（3）由1212()()()()h x h x g x g x -<-对任意1212,[0,2]()x x x x ∈<恒成立， 即1122()()()()h x g x h x g x -<-，令()()()F x h x g x =-，等价于()F x 在[0,2]上单调递增，而222(21),()()()2(21),x b x b x bF x h x g x x bx x b x b x b x b⎧++-<=-=+--=⎨+-+≥⎩，分以下三种情况来讨论： （i ）当12b b ≤--时，即14b ≤-时， 结合函数图象可得102b -+≤，解得12b ≥，矛盾，无解； （ii ）1122b b b --<<-+时，即1144b -<<时， 函数()F x 图象的走向为减、增、减、增，但是中间增区间的长度不足1， 要想使函数()F x 在[0,2]上单调递增，只能1+02b -≤，解得12b ≥，矛盾，无解；（iii ）12b b ≥-+，即14b ≥， 此时，函数()F x 在1[,)2b --+∞上单调递增，要想使函数()F x 在[0,2]上单调递增， 所以需要102b --≤，解得12b ≥-，所以14b ≥， 综上，满足条件的b 的取值范围是1[,)4+∞.【点睛】该题考查的是有关函数的综合题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，根据函数在某个区间上的最值确定参数的取值范围，根据分段函数在某个区间上的单调性确定参数的取值范围，属于难题.。