考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷20(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷201 (题后含答案及解析)

题型有：1.

1． 求下列极限：

正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续

2．

正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续

3． 设f(x)是三次多项式，且有求

正确答案：因为所以f(2a)=f(4a)=0，从而可知x一2a，x一4a为f(x)的因式，又因为f(x)为三次多项式，可令f(x)=b(x一2a)(x一4a)(x—c)． 于是 解得所以故 涉及知识点：函数、极限、连续

4． 计算不定积分

正确答案： 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用

5． 求

正确答案： 涉及知识点：高等数学部分

6． 确定常数a和b的值，使f(x)=x-(a+bex2)sinx当x→0时是x的5阶无穷小量．

正确答案：利用ex2=1+x2++o(x5)，sinx=x-+o(x6)，可得f(x)=x-[a+b+bx2+x4+o(x5)]+o(x6)]=(1-a-b)x+x5+o(x5)．不难看出当1-a-b=0与-b=0同时成立f(x)才能满足题设条件．由此可解得常数a=，并且得到f(x)=x5+o(x5)，f(x)是x的5阶无穷小(x→0)． 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用

7． 设g(x)=f(x)=∫0xg(t)dt． (1)证明：y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线， (2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及Oy轴围成图形的面积．

正确答案：显然，g(0)=1，而当x≠0时由“1∞”型极限得(2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为 涉及知识点：一元函数积分学

8． 设z=其中f，g均可微，求

正确答案： 涉及知识点：多元函数微分学

9． 设A-1＝，求(A*)-1．

考研数学二（填空题）模拟试卷152 (题后含答案及解析)

题型有：1.

1． 求一个正交变换，化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3为标准形．

正确答案：f=9y32 涉及知识点：行列式

2． 若a＞0，b＞0均为常数，则＝_______．

正确答案：； 涉及知识点：函数、极限、连续

3． 若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=

正确答案：n-m 涉及知识点：行列式

4． =______

正确答案：2

解析： 知识模块：函数、极限、连续

5． 已知A，B，C都是行列式值为2的3阶矩阵，则=___________?

正确答案：

解析：根据行列式按行(列)展开法则，得 知识模块：行列式

6． 设，其f(χ)可导且f′≠0，则＝_______．

正确答案：3 涉及知识点：一元函数微分学

7． 由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)一x及y=0所围成平面图形的面积为_______．

正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学

8． 已知向量组α1=(1，2，—1，1)T，α2=(2，0，t，0)T，α3=(0，—4，5，t)T线性无关，则t的取值为_________。

正确答案：(—∞，+∞)

解析：由于向量的个数与维数不一样，因此不能用行列式去分析，而要用齐次方程组只有零解，或矩阵的秩等于n来分析向量组的无关性。A=(α1，α2，α2)=由于对任意的t，R(A)=3恒成立，所以向量组α1，α2，α3必线性无关，因此t∈(—∞，+∞)。 知识模块：向量

9． 设曲线y=lnx与y=相切，则公共切线为______

正确答案：

解析：设当x=a时，两条曲线相切，由得a=e2．两条曲线的公共切线为y-lne2=

考研数学二（选择题）模拟试卷90 (题后含答案及解析)

题型有：1.

1． 设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3-t3)dt，则当x→0时，F(x)是g(x)的( )

A．低阶无穷小

B．高阶无穷小

C．等价无穷小

D．同阶但非等价无穷小

正确答案：D

解析：先改写其中，则。故选D。 知识模块：函数、极限、连续

2． 设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)=( )

A．ln3—1。

B．一ln3—1。

C．一ln2—1。

D．ln2—1。

正确答案：C

解析：函数h(x)=e1+g(x)两边同时对x求导，可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。在上面的等式中令x=1，结合已知条件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)，因此得g(1)=一ln2—1。故选C。 知识模块：一元函数微分学

3． 设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的—1倍加到第2列得C，记P=，则( )

A．C=P—1AP

B．C=PAP—1

C．C=PTAP

D．C=PAPT

正确答案：B

解析：由题意得所以(*)式可以表示为C=PAP—1，故选B。这两道题主要考查的是初等变换与初等矩阵的关系。考生需要注意的是：初等行变换就是左乘初等矩阵，初等列变换就是右乘初等矩阵。 知识模块：矩阵

4． 设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )

A．2．

B．一1．

C．．

D．一2

正确答案：D

解析：将题中等式两端同乘2，得由导数定义可知f’(1)=一2，故选

D． 知识模块：一元函数微分学

5． 对任意的x∈(一∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f’(0)=1，则f’(1)=( )

考研数学二（解答题）模拟试卷232 (题后含答案及解析)

题型有：1.

1． 设xn=ln(1+xn)，x1＞0，(Ⅰ)．求xn；(Ⅱ)求

正确答案：(Ⅰ)注意：x＞ln(1+x) (x＞0)，于是xn+1-xn=ln(1+xn)-xn＜0

(n=1，2，3，…){xn}↓有下界极限a=ln(1+a)．又a≥0时a＞In(1+a)，故a=0．(Ⅱ)原式 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

2． 设函数y=y(x)由参数方程确定，其中x(t)是初值问题的解，求。

正确答案：由一2te—x=0得exdx=2tdt，由条件x｜t=0得ex=1+t2，即x=ln(1+t2)。故有所以 涉及知识点：一元函数微分学

3． 计算下列定积分：(Ⅰ)(Ⅱ)∫02f(x-1)dx，其中f(x)=

正确答案：(Ⅰ)由于min为偶函数，在上的分界点为，所以(Ⅱ)由于分段函数f(x)的分界点为0，所以，令t=x-1后，有∫02f(x-1)dx=∫-11f(t)dt=∫-10+ln(1+x)｜01=-ln(1+e-x)｜-10+ln2=ln(1+e)． 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用

4． 设f(χ)＝，求f(χ)的间断点并判断其类型．

正确答案：f(χ)的间断点为χ＝kπ(k＝0，±1，…)及χ＝kπ＋(k＝0，±1，…)． 因为＝1，所以χ＝0为f(χ)的可去间断点； 因为＝∞，所以χ＝kπ(k＝±1，±2，…)为f(χ)的第二类间断点； 因为＝0，所以χ＝kπ＋(k＝0，±1，…)为f(χ)的可去间断点． 涉及知识点：函数、极限、连续

5． 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使

正确答案：利用泰勒公式将f(x)在x=a处展开，得同理 令②一①得得 令|f”(ξ)|=max{|f”(ξ1)|，|f”(ξ2)|}，则 故原命题得证． 涉及知识点：一元函数微分学