3.2.1双曲线及其标准方程
教学设计
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第二节《双曲线》。以下是本节的课时安排：
第三章 圆锥曲线的方程
课时内容 3.2.1双曲线及其标准方程 3.2.2双曲线的简单几何性质
所在位置 教材第118页 教材第121页
新教材
内容
分析 双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义，感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何性质做好铺垫。 通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。
核心素养培养 通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对双曲线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。 通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线 双曲线的标准方程、几何性质
学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养．
2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.
重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程
难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题
（一）新知导入
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
（二）双曲线及其标准方程
知识点一 双曲线的定义
【探究1】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？
高二数学双曲线笔记
下面是关于高二数学双曲线的一些笔记：
一、双曲线的定义和特点：
1. 双曲线是平面上的一类曲线，其定义是两个焦点之间的距离差等于常数的点的轨迹。
2. 双曲线有两支，分别称为右支和左支。
3. 双曲线的直线称为渐近线，右支的渐近线与x轴夹角为正，左支的渐近线与x轴夹角为负。
二、双曲线的标准方程：
1. 右支的标准方程：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 ，其中(h, k)为中心点坐标，a为椭圆的横轴长度的一半，b为椭圆的纵轴长度的一半。
2. 左支的标准方程：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = -1。
三、双曲线的基本性质：
1. 焦点：双曲线的两个焦点的坐标为(h ± c, k)，其中c为双曲线的离心率，离心率e的计算公式为e = c/a。
2. 焦距：焦点与对应渐近线的距离称为焦距，焦距的计算公式为2a。
3. 长轴和短轴：右支的长轴长度为2a，短轴长度为2b；左支的长轴长度为-2a，短轴长度为2b。
4. 集中在中心点附近：双曲线的曲线在中心点附近最为集中。
四、双曲线的图形与方程的关系：
1. 由方程可以确定双曲线的中心点、长轴、短轴、焦点等参数。
2. 由图形可以确定双曲线的形状、方程的参数等。
以上是关于高二数学双曲线的一些基本笔记。要理解和掌握更深入的知识，建议阅读相关教材、参考书籍，并进行大量的练习和实践。
学科教师辅导讲义
年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：
课 题 双曲线的标准方程及性质（一）
教学目的 1、理解双曲线的定义，掌握两种类型的双曲线的标准方程；
2、会通过方程来研究双曲线的几何性质；
3、掌握双曲线的机会性质及其简单的应用。
教学内容
【知识梳理】
1、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：
①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是双曲线；
若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。
②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。
2、双曲线的方程及几何性质
标准方程 )0b,0a(1byax2222 )0b,0a(1bxay2222
图形
焦点 F1（-c，0），F2（c，0） F1（0，-c），F2（0，c）
顶点 A1（a，0），A2（-a，0） A1（0，a），A2（0，-a）
对称轴 实轴2a，虚轴2b，实轴在x轴上，c2=a2+b2 实轴2a，虚轴2b，实轴在y轴上，c2=a2+b2
渐近线方程 0,0byaxbyax 0,0aybxaybx
3、椭圆与双曲线的定义、标准方程有什么区别和联系？
名 称 椭 圆 双 曲 线
图 象 xOy
xOy
定 义
平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆。即aMFMF221
当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，
1
双曲线标准方程的推导
把平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值等于常数（小于12FF）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M时，双曲线即为点集P122MMFMFa
分析：当│M𝐹1│>│M𝐹2│时，│M𝐹1│-│M𝐹2│=2a (M在双曲线右支上)
当│M𝐹1│<│M𝐹2│时，│M𝐹1│-│M𝐹2│= -2a (M在双曲线左支上)
设动点M的坐标为（x,y）
双曲线标准方程的推导：
当│M𝐹1│-│M𝐹2│=2a时，有：
√(𝑥+𝑐)2+𝑦2-√(𝑥−𝑐)2+𝑦2=2a (移项)
⇒√(𝑥+𝑐)2+𝑦2=2a+√(𝑥−𝑐)2+𝑦2 （两边平方） 2
⇒(𝑥+𝑐)2+𝑦2=4𝑎2+4a√(𝑥−𝑐)2+𝑦2+(𝑥−𝑐)2+𝑦2 (展开)
⇒𝑥2+2cx+𝑐2+𝑦2=4𝑎2+4a√(𝑥−𝑐)2+𝑦2+𝑥2-2cx+𝑐2+𝑦2(移项)
⇒𝑥2−𝑥2+2cx+2cx +𝑐2−𝑐2+𝑦2-𝑦2=4𝑎2+4a√(𝑥−𝑐)2+𝑦2（合并同类项）
⇒4cx=4𝑎2+4a√(𝑥−𝑐)2+𝑦2（两边除以4）
⇒cx=𝑎2+a√(𝑥−𝑐)2+𝑦2（移项）
⇒cx-𝑎2=a√(𝑥−𝑐)2+𝑦2（两边平方）
⇒𝑐2𝑥2-2𝑎2cx+𝑎4=𝑎2[(𝑥−𝑐)2+𝑦2](展开)
⇒𝑐2𝑥2-2𝑎2cx+𝑎4=𝑎2[𝑥2-2 cx+𝑐2+𝑦2] (展开)
⇒𝑐2𝑥2-2𝑎2cx+𝑎4=𝑎2𝑥2-2𝑎2 cx+𝑎2𝑐2+𝑎2𝑦2（移项）
⇒-2𝑎2cx+2𝑎2cx+𝑐2𝑥2-𝑎2𝑥2-𝑎2𝑦2=𝑎2𝑐2-𝑎4（合并同类项）
⇒𝑐2𝑥2-𝑎2𝑥2-𝑎2𝑦2=𝑎2𝑐2-𝑎4（按x,y顺序提取公因式）
