高二数学060双曲线及其标准方程

3.2.1双曲线及其标准方程

教学设计

本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第二节《双曲线》。以下是本节的课时安排：

第三章 圆锥曲线的方程

课时内容 3.2.1双曲线及其标准方程 3.2.2双曲线的简单几何性质

所在位置 教材第118页 教材第121页

新教材

内容

分析 双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义，感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何性质做好铺垫。 通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。

核心素养培养 通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对双曲线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。 通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。

教学主线 双曲线的标准方程、几何性质

学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养．

2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.

重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程

难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题

（一）新知导入

双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。

（二）双曲线及其标准方程

知识点一 双曲线的定义

【探究1】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？

3.1.1 椭圆及其标准方程

基 础 练

巩固新知 夯实基础

1．已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的( )

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

2．已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m的值为( )

A．9 B．4 C．3 D．2

3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F (3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为( )

A.x245＋y236＝1 B.x236＋y227＝1

C.x227＋y218＝1 D.x218＋y29＝1

4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )

A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线

5．设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则∶F1PF2的面积等于

( )

A．5 B．4 C．3 D．1

6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．

7．已知经过椭圆x225＋y216＝1右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为左焦点，则∶ABF1的周长为________．

8．求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；

(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.

科技创新与应用Ｉ　２０１３年第１期　科教纵横　中职数学双曲线及其标准方程教学分析　柳宾瑞　（抚顺市技师学院，辽宁抚顺１１３１２３）　摘要：中职数学教育随着中职招生规模的不断扩大正在面临着前所未有的困惑和挑战，势在必行的中职数学教育改革是任重　道远的，其中数学双曲线及其标准方程的教学分析是中职数学教学中非常重要的一部分。本篇文章针对中职数学教育的现状以　及如何提高数学教学进行了分析和探讨，尤其突出了中职数学双曲线及其标准方程的教学分析。　关键词：中职数学；双曲线；标准方程；现状　中职数学课程不但能够培养学生的思维能力和严谨踏实的治　学精神，而且能够提供给学生在学习专业知识时所需的必要的基础　知识，由此可知，在中职学校课程体系中，数学教学占有着特殊的重　要地位。而双曲线及其标准方程的学习时其中的一个重点以及难　点，必须得到高度的重视，中职教育综合素质能否得到提高和数学　学习的好坏有着直接的关系。但是现阶段的中职数学教学过程中出　现教师教学进度缓慢，教学效果低下和学生学习数学兴趣低，数学　成绩不理想的状况。　１中职学校数学教学现状分析　１．１教学内容脱离实际　目前，我国中职学校数学课程所采用的教材大多是由以前老的　高中数学教材删减而来，所以这些并没有真正符合中职学生实际情　况的教材依旧存在着诸多的问题。对于中职学生来说，这些教材上　的知识理论性太强、内容太多并且难度较深，不适合目前的学习，学　习起来也比较费劲和吃力。另外，中职学校文化课的授课时间大幅　压缩，对于一些必须学习部分内容的数学难以进行教学。　１．２中职学校数学教学观念不能与时俱进　决定一所学校的教学的质量的关键的一个因素就是学校的教　学观念，中职学校数学目前的教学观念不能与时俱进是现如今制约　中职学校数学教学最为重要的因素之一。一些较为传统的数学教学　的理念，例如，以教师课堂以及肯本为中心的理念在师生们心中仍　然是根深蒂固的。但是真正应该贯彻实施的教学理念是以学生为中　心，并且将能力放在本位，但是在实际的中职学校教学的过程中这　一理念却并没能落实到位。许多数学老师只是简单地认为中职学生　因为基础太差，对教学中存在的矛盾并没有作过多的探讨和研究，　因此对于一些非专业的学科，根本就不会认真的去进行授课和讲　解。　２中职学校数学教学水平的加强　２．１不断改进教学方法，制造学习动机　当今的时代应该追求的教学方法是多样化的，对于那些一味的　把知识灌入学生脑中，根本不理会学生们是否理解和昕匿的教学方　法是要坚决的杜绝的，既呆板又沉闷的课堂气氛应该尽可能的避　免。老师在上课的过程中可以通过各种方法来引起学生的注意和激　发他们的听课兴趣，可以讲述一些数学研究史上的故事或者是趣　闻，或者也可以引入一些典故等达到将学生对数学的学习兴趣培养　起来。　与此同时，对于数学教材应该按照中职学校的培养目标进行一　些改进，对于一些只有较强的理论性却没有任何实际意义的概念应　该删除，教材所涉及的知识的深度也应该能够做到合理的把握，删　除一些应该删减的数学纯理论内容，对应用的部分进行适当的增　加，在每一部分内容的后面将理论知识和实际的问题的应用很好的　结合起来。这样能够让学生深刻的认识到生活中数学是无处不在　的，它的应用是非常的广泛的，让学生充分的理解学好数学的重要　的意义所在，最终可以使学生学习数学的动力增加，促进了他们对　于学习数学的主动和积极性，能够让他们学好数学，以后就能为专　业更好的进行服务。　２．２让学生感受到所学知识能服务于生活　对于学习来说，其中接触、综合分析、实际参与是重要的三大要　素，数学学习过程中所遇到的理论知识的学习和实际生活中对数学　的应用可以使封闭的在书本文化中所积累的过程转变为自我发展　过程，这种自我发展的过程是开放的、活生生的并且还是与社会生　活紧密联系的。数学服务于生活最为主要的手段就是通过操作与实　践来得到实践的，这一点学生们在学习数学并将他们不断应用到生　活的过程中就可以得到深刻的体会。通过这种方式，不仅仅能够让　学生将所学到的知识不断的温习和巩固，同时还可以将学生对数学　学习的积极性更好的调动起来，达到培养学生的动手操作能力和实　－２５８——　践能力的最终目的。　２．３改革数学考试的方式，注重应用能力考核　作为测试学生学习水平及勤奋程度，考试是必不可少的一种手　段，但是考试的方式应该进行改革，在今后的考试测试中要更加注　重应用能力的考核。过去，数学课用来评定学生学习成绩的优劣的　评定仅仅局限于一张试卷中进行演算、论证，往往忽略了对数学的　应用能力的考察。除通过笔试检验一些必须掌握的基础理论，还增　加了数学能力测试，考察其实际运用能力。考试采用闭卷试、开卷　试、大作业等综合形式，通过有目的地加强对学生动手能力、实际运　用能力的培养，使学生数学学习中自觉形成理论联系实际的优良学　风。　３中职数学双曲线及其标准方程的教学分析和目标　双曲线是数学学习中继线学习之后的圆锥曲线中第二学习的　曲线，因为在椭圆曲线的学习过程中已经积累了一定的基础和方　法，所以可以通过类比的学习方法的应用来进行双曲线及其标准方　程的学习。但是在求双曲线的方程的过程中还有许多需要注意的地　方，这就需要学生分析问题的能力有一个更高的提升以及更为严密　认真的学习态度。因为学生在原先的数学学习中已经具备了一定的　类比转化及分析问题的能力，在心里上也对于接受别人的意见和建　议也具备了较大承受和辨证的能力，所以教师地在中职数学双曲线　及其标注方程的教学过程中应该起到点拨引领的做利用，将学生的　主体作用发挥出来。　根据教学要求及学生现有的认知水平，通过类比推理，探索知　识的方法和学习的过程要让他们掌握双曲线的定义，掌握双曲线的　标准方程及其推导方法，理解怎样的双曲线其方程为标准方程，双　曲线的标准方程所表示的曲线，其图形有什么特征，并能根据双曲　线的标准方程确定焦点的位置。与此同时，还应该使学生在情感态　度与价值观上有所收获，认识到比较法是认识事物，掌握其实质的　一种有效的方法；发现数学美体验成功后的喜悦。对于如何分清双　曲线标准方程的两种形式的重点难点问题上，要让学生对概念有一　个清晰的认识，然后通过不断地进行练习最终能够掌握完全。　本着以人为本的教学理念及师生之间的团结合作，通过学生的　自主探索，求出双曲线的标准方程，提高学生分析问题及严密推理　能力，使学生成为课堂的教学原则，并且体会到学习数学的乐趣。对　于中职数学双曲线的教学目标应该及时的确定及并且有很好的依　据，双曲线是继椭圆后的有一个曲线，两者在研究方法与研究内容　上类似，但是性质上差别很大这就养成学生在学习时必须辨证的考　虑问题。养成学生对知识用于探索精神，学生亲自体会双曲线标准　方程的获得过程，这样学生的动手实践能力得到了提高，有体会到　了学习数学的乐趣。　４结语　广大教师共同的一个追求就是能够将中职学校数学的课堂教　学质量提升上去，中职学校的数学教学模式在素质教育理念指导下　以及发挥学生主体作用的前提下不断进行改革，以力争达到提高教　学实效的目的。中职学校的数学教师应该对数学教材进行认真的研　究，勇于实践，不断探索出好的教学方法，真正培养学生良好的问题　意识。使学生对于问题的分析和解决的能力得到很大程度上的一个　提高，为将来走上工作岗位发挥自己的聪明才智奠定最为坚实的基　础，为国家的经济建设贡献出自己的力量。　参考文献　【１】郭宇，李素艳．关于中职数学教学的几点思考ｌ　Ｊ１．辽宁教育行政学　院学报．２ＯＬＯ（Ｏ２）．　［２】贺良宝．提高中职数学教学效果的方法及策略［Ｊ］．知识经济．２０１０　（０６）．　『３１高红．中职数学教学现状分析与对策探讨［Ｊ］．中国校外教育．２０１０　ｆｏ９）．

第1页 / 总共19页 高二《双曲线及其标准方程》(第二课时)导学设计

双曲线及其标准方程(第二课时)导学设计

一、教学目标:⑴知识与技能目标:进一步了解双曲线的定义及其标准方程,能根据条件求双曲线的标准方程,会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题.⑵过程与方法目标:通过一题多变的训练,体会双曲线定义及标准方程的运用, 掌握定义法(用双曲线的定义)和待定系数法求曲线的方程⑶情感态度与价值观目标:让学生在学习过程中感受体验数学是活的,数学是有用的,通过变式训练培养学生的学习兴趣及锻炼学生的思维,提高思维的严谨性与灵活性. 使学生认识到一切事物“变”是绝对的，而“不变”是相对的，从“变”中认识“不变”，以“不变”应“万变”. 二、教学重点、难点重点：用双曲线的定义及其标准方程求曲线的方程;难点：双曲线定义的运用，用双曲线的标准方程处理简单的实际问题.三、教学方法启发式教学法、师生共同讨论法四、教学过程设计i.一句话引入师：上一节，我们学习了双曲线定义及推导出了双曲线的标准方程，这一节，我们一起来体会这些知识的应用.ⅱ.新课讲授例1.已知两定点 ,动点p满足 , 求动点p的轨迹方程.解：∵ >6,∴由双曲线的定义可知，点p的轨迹是一条双曲线,且焦点为∴可设所求方程为： 2 19 (a>0,b>0).∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.所以点p的轨迹方程为 .(说明：例1目的在于让学生熟悉双曲线的定义与标准方程的形式及解题规范的训练.)(思考1)若题目改为:(变题①) 已知两定点 ,动点p满足 , 求动点p的轨迹方程. (思考2)若题目改为:(变题②)已知两定点 ,动点p满足 , 求动点p的轨迹方程.例2.已知a,b两地相距800m,在a地听到炮弹爆炸声比在b地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析:首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及在a地听到炮弹爆炸声比在b地晚2s，可知a地与爆炸点的距离比b地与爆炸点的距离远680m.因为|ab|>680m,所以爆炸点的轨迹是以a、b为焦点的在靠近b处的双曲线的一支上.解:如图，建立直角坐标系xoy，使a、b两点在x轴上，并且点o与线段ab的中点重合.设爆炸点p的坐标为（x,y），则即2a=680,a=340.又