2019-2020学年北京交大附中高一(下)期末数学试卷(解析版)

2019-2020学年北京交大附中高一（下）期末数学试卷

一、选择题：（本大题共8小题，每题6分，共48分）

1．（6分）已知角α的终边经过点（3，﹣4），则cosα的值为（ ）

A．﹣ B． C．﹣ D．﹣

2．（6分）已知向量＝（t，1），＝（1，2）．若⊥，则实数t的值为（ ）

A．﹣2 B．2 C． D．

3．（6分）在△ABC中，若A＝，B＝，a＝2，则b＝（ ）

A． B． C． D．

4．（6分）已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若l∥m，m⊂α，则l∥α

C．若l∥α，l∥β，则α∥β D．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

5．（6分）函数f（x）＝sinπxcosπx的最小正周期为（ ）

A．1 B．2 C．π D．2π

6．（6分）已知，且，那么sinα＝（ ）

A． B． C． D．

7．（6分）函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（ ）

A． B．1 C． D．

8．（6分）已知直线a，b，平面α，β，α∩β＝b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分）

9．（5分）已知向量＝（1，2），＝（3，1），则向量，夹角的大小为

．

10．（5分）已知向量与的夹角为120°，且||＝||＝4，那么•（3+）的值为 ．

11．（5分）在平面直角坐标系中，角α的终边过点A（3，4），则tanα＝ ；将射线OA（O为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角β的终边，则sinβ＝

．

12．（5分）已知cos2α＝，则cos2（）﹣2cos2（π﹣α）的值为 ．

13．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）．若f（）﹣f（﹣）＝2，则函数f（x）的单调增区间为 ．

14．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜φ＜）图象如图，则φ的值为 ，ω的值为 ．

三、解答题（本大题满分42分）

15．（9分）函数f（x）＝2sin（2x﹣）．

（1）求函数f（x）的单调递增区间和最小正周期；

（2）请用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；

x

2x 0

y

（3）求函数f（x）在[，π]上的最大值和最小值，并指出相应的x的值．

16．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝7，AD＝3，BD＝5，BC＝8，∠DBC＝60°．

（1）求∠ADB的大小；

（2）求CD的长；

（3）求四边形ABCD的面积．

17．（11分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠ABD＝∠ABC＝∠DCB＝90°，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点，求证：

（1）AB⊥平面BCD；

（2）CD∥平面EFG；

（3）平面ACD⊥平面ABC；

（4）请在图中画出平面EFG截三棱锥A﹣BCD的截面，判断截面形状并说明你的理由；

（5）若AB＝CD＝4．求出第（4）问中的截面面积．

18．（9分）如图，已知正方形ABCD所在平面和平行四边形ACEF所在平面互相垂直，平面ECB⊥平面ABCD，AB＝，M是线段EF上的一点且AM∥平面BDE．

（1）求证：平面ABF∥平面CDE；

（2）求证：M是线段EF的中点；

（3）求证：EC⊥平面ABCD．

19．（5分）利用周期知识解答下列问题：

（Ⅰ）定义域为R的函数f（x）同时满足以下三条性质：

①存在x0∈R，使得f（x0）≠0；

②对于任意x∈R，有f（x+2）＝9f（x）；

③f（x）不是单调函数，但是它图象连续不断，

写出满足上述三个性质的一个函数f（x），则f（x）＝ ．（不必说明理由） （Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分．

（i）求f（x）＝sin2x+cos3x的最小正周期并说明理由．

（i）求证：g（x）＝sinx+cosπx不是周期函数．

2019-2020学年北京交大附中高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共8小题，每题6分，共48分）

1．【分析】由条件利用本任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．

【解答】解：∵角α的终边经过点（3，﹣4），

∴x＝3，y＝﹣4，r＝5，

则cosα＝＝，

故选：B．

2．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t的值．

【解答】解：∵向量，，若，则 ＝t+2＝0，

∴实数t＝﹣2，

故选：A．

3．【分析】直接利用正弦定理即可求解．

【解答】解：由正弦定理得：，

∴，

∴，

解得：b＝3，

故选：B．

4．【分析】对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，l∥α或l⊂α；对于C，α与β平行或相交；对于D，由面面垂直的判定定理得α⊥β．

【解答】解：三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，

对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；

对于B，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故B错误；

对于C，若l∥α，l∥β，则α与β平行或相交，故C错误；

对于D，若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．

故选：D．

5．【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求出它的最小正周期．

【解答】解：函数，故它的周期T＝＝1，

故选：A．

6．【分析】直接利用三角函数的定义的应用求出结果．

【解答】解：已知，且，

则：．

故选：B．

7．【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．

【解答】解：函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣）＝sin（x+）+cos（﹣x+）＝sin（x+）+sin（x+）

＝sin（x+）．

故选：A．

8．【分析】过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∴a'⊥b，由a⊥β可推出α⊥β，由α⊥β可推出a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件．

【解答】解：若α⊥β，

过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，

又a⊥β，∴a'⊥β，

又∵a'⊆α，∴α⊥β，

若α⊥β，

过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，

∵a⊥b，∴a'⊥b，

又∵α⊥β，α∩β＝b，

∴a'⊥β，∴a⊥β，

故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件，

故选：C．

二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分） 9．【分析】利用cos＜＞＝，能求出向量与的夹角．

【解答】解：∵平面向量＝（1，2），＝（3，1），

∴cos＜＞＝＝＝，

∴＜＞＝45°．

∴向量与的夹角45°．

故答案为：45°．

10．【分析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解．

【解答】解：•（3+）＝3•+＝3×4×4×cos120°+42＝﹣8．

故答案为：﹣8．

11．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得tanα、sinβ的值．

【解答】解：∵角α的终边过点A（3，4），则tanα＝，

将射线OA（O为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角β的终边，则sinβ＝sin（α+）＝cosα＝＝，

故答案为：；．

12．【分析】由cos2α＝求得cos2α的值，再化简并计算所求三角函数值．

【解答】解：由cos2α＝，得2cos2α﹣1＝，即cos2α＝；

所以cos2（）﹣2cos2（π﹣α）＝sin2α﹣2cos2α

＝1﹣3cos2α

＝1﹣3×

＝﹣1．

故答案为：﹣1．

13．【分析】由已知函数关系式可得函数周期为π，又由已知条件可得f（），f（﹣）取到最大值和最小值，进而可求出φ，继续利用函数单调性求出单调增区间．

【解答】解：因为函数f（x）＝sin（2x+φ），所以函数周期为π．

若f（）﹣f（﹣）＝2，则f（）＝sin（+φ）＝1，f（﹣）＝sin（﹣+φ）＝﹣1，

故+φ＝2kπ+，k∈z，且﹣+φ＝2kπ﹣，k∈z，即φ＝2kπ+，k∈z

故f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，

故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈z．

14．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据五点法作图求得ω，可得函数的解析式．

【解答】解：由函数图象过点（0，1），可得sinφ＝1，则sinφ＝，

又0＜φ＜，∴φ＝，

∴f（x）＝sin（ωx+）．

再根据五点法作图可得，ω+＝2π，∴ω＝．

故答案为：；．

三、解答题（本大题满分42分）

15．【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的单调递增区间和最小正周期；

（2）列表，描点、连线，画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；

（3）求出x∈[﹣，]时函数f（x）的最大值和最小值，以及对应x的值．

【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（2x﹣），

令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z；

解得﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z；

即﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；

所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；

最小正周期T＝＝π；