2019届高三数学一轮复习：第30讲 等比数列及其前n项和

2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和课时跟踪检测理

[课 时 跟 踪 检 测]

[基 础 达 标]

1．已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为( )

A．10 B．20

C．100 D．200

解析：a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a24＋2a4a6＋a26＝(a4＋a6)2＝102＝100.

答案：C

2．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )

A.18 B．－18

C.578 D．558

解析：因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝18.所以a7＋a8＋a9＝18.

答案：A

3．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)的值是( )

A．－5 B．－15

C．5 D．15

解析：∵log3an＋1＝log3an＋1，∴an＋1＝3an.

∴数列{an}是公比q＝3的等比数列．

∵a5＋a7＋a9＝q3(a2＋a4＋a6)，

∴log13(a5＋a7＋a9)＝log13(9×33)＝log1335＝－5.

答案：A

4．(xx届太原一模)在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝52，则a1＝( )

A．2 B．4

C.2 D．22 解析：在等比数列{an}中，a2a4＝a23＝1，又a2＋a4＝52，数列{an}为递减数列，所以a2＝2，a4＝12，所以q2＝a4a2＝14，所以q＝12，a1＝a2q＝4.

答案：B

5．(xx届莱芜模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝bn＋1bn＝3，n∈N*，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 017＝( )

2021

第三节 等比数列及其前n项和

［最新考纲］ ［考情分析］ ［核心素养]

1.理解等比数列的概念。

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.了解等比数列与指数函数的关系。 等比数列的基本运算,等比数列的判断与证明,等比数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为5~12分. 1.数学运算

2.逻辑推理

‖知识梳理‖

1．等比数列的有关概念

(1)定义

①文字语言：从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!比都等于错误!同一个常数．

②符号语言：错误!错误!＝q（n∈N*，q为非零常数)．

（2）等比中项：如果a，G,b成等比数列，那么错误!G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝6ab． 2021

2．等比数列的有关公式

(1）通项公式：an＝错误!a1qn－1．

（2)前n项和公式

3．等比数列的性质

（1）通项公式的推广:an＝am·qn－m（m，n∈N＊）．

（2）对任意的正整数m,n，p，q，若m＋n＝p＋q，则错误!am·an＝错误!ap·aq．

特别地，若m＋n＝2p,则am·an＝a2p.

(3）若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm,S3m－S2m仍成等比数列，即（S2m－Sm)2＝13Sm（S3m－S2m）（m∈N＊，公比q≠1）．

(4）数列｛an｝是等比数列，则数列｛pan}(p≠0，p是常数)也是错误!等比数列．

(5)在等比数列{an｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k,an＋2k，an＋3k，…为等比数列,公比为错误!qk．

►常用结论

1．若｛an｝，｛bn}（项数相同)是等比数列，则{λan｝（λ≠0),错误!，{a2，n}，{an·bn｝,错误!仍是等比数列．

2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比2021

是原公比的k次幂．

高考第一轮复习——等差数列与等比数列

一、学习目标：

1. 了解数列的函数特性，理解等差数列与等比数列的概念。

2. 掌握等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式及其应用。

3. 掌握等差数列、等比数列的性质及其简单的应用。

4. 利用等差数列、等比数列的知识解决简单的实际问题。

二、重点、难点：

重点：

（1）等差数列、等比数列的概念、函数特性、通项公式、前n项和公式的简单应用；

（2）利用等差数列、等比数列的知识解决简单的实际问题。

难点：利用等差数列、等比数列的知识解决简单的实际问题。

三、考点分析：

数列是新课标高考的重点，考查的题型有选择题、填空题、综合题。选择题、填空题重点考查基础知识，综合题除考查数列的基础知识外还考查函数与方程、不等式等综合性的知识，综合题难度大，通过数列的综合性试题进一步考查学生用数学思想和方法处理问题的能力。

一、等差数列和等比数列的概念、有关公式及性质 等差数列 等比数列

定义 常数）为(}{1daaPAannn 为常数）为,0(}{1qqaaPGannn

通项公式 na=1a+（n－1）d=ka+（n－k）d=dn+1a－d knknnqaqaa11

求和公式 n)2da(n2dd2)1n(nna2)aa(nS121n1n

)1q(q1qaaq1)q1(a)1q(naSn1n11n

中项公式 A=2ba 推广：2na=mnmnaa abG2。推广：mnmnnaaa2

性质 1 若m+n=p+q则 qpnmaaaa 若m+n=p+q，则qpnmaaaa。

2 若}{nk成A·P（其中Nkn），则}{nka也成A·P。 若}{nk成等差数列 （其中Nkn），则}{nka成等比数列。

3 n2n3nn2nSS,SS,S 成等差数列。 n2n3nn2nSS,SS,S成等比数列（1q）。 4 )(11nmnmaanaadnmn

第30讲 等比数列及其前n项和

1．等比数列的有关概念

(1)定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)．

(2)等比中项

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇒G2＝ab．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q，q≠1.

3．等比数列的性质

已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)

(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r；

(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数．( )

(2)公比q是任意一个常数，它可以是任意实数．( )

(3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )

(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a(1－an)1－a.( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)×

(教材习题改编)等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6等于( )

A．27

B．36

C．812 D．54 解析：选C．由a3＝12，a4＝18，得a1q2＝12，a1q3＝18，解得a1＝163，q＝32，

所以a6＝a1q5＝163×325＝812.故选C．

(教材习题改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )