高考数学总复习第三章三角函数解三角形3.4函数y=Asinωx+φ的图象及简单三角函数模型的应用文市

1 4.4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，

x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相

2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：

1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像； x －φω －φω＋π2ω π－φω 3π2ω－φω 2π－φω

ωx＋φ

y＝Asin(ωx＋φ) 2 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；

3．由y＝Asin ωx的图像得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，需平移的单位数应为φω，而不是|φ|.

[试一试]

1．y＝2sin2x－π4的最小正周期、振幅、频率和初相分别为__________．

2．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2

则ω，φ的值分别是________．

3．设函数f(x)＝cos ωx (ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________．

4．设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2

①f(x)的图象过点(0，32)；

②f(x)在[π12，2π3]上是减函数；

③f(x)的一个对称中心是(5π12，0)；

④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝3sin ωx的图象．

考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

例1 设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω>0)的周期为π.

(1)求它的振幅、初相；

(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

1 2009~2013年高考真题备选题库

第3章 三角函数、解三角形

第4节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用

考点 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像

1．（2013山东，5分）函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为(

)

解析：本题考查函数的性质在分析判断函数图象中的综合运用，考查一般与特殊的数学思想方法，考查运算求解能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当00，而当x＝π时，y＝－π<0，据此排除选项A、B、C，正确选项为D.

答案：D

2．(2013福建，5分)将函数f(x)＝sin (2x＋θ)－π20)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P0，32，则φ的值可以是( )

A.5π3

B.5π6

C.π2 D.π6

解析：本题主要考查三角函数图像的变换及三角函数值求角等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．因为函数f(x)的图像过点P，所以θ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3；又函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝sin－φ＋π3，所以sinπ3－2φ＝32，所以φ可以为5π6.

答案：B

3．（2013新课标全国Ⅱ，5分）函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ

解析：本题主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用．将y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移π2个单位 2 后得到y＝cos2x－π2＋φ的图像，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin2x＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝5π6＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ

第三章 三角函数与解三角形

第1讲 弧度制与任意角的三角函数

1．tan25π6的值为( )

A．－33

B.33

C.3 D．－3

2．已知cosθ·tanθ<0，那么角θ是( )

A．第一或其次象限角

B．其次或第三象限角

C．第三或第四象限角

D．第一或第四象限角

3．已知角α终边上一点P(－4a,3a)(a<0)，则sinα的值为(

)

A.35 B．－35 C.45 D．－45

4．若角α的终边经过点P(1，m)，且tanα＝－2，则sinα＝( )

A.55 B．－55

C.2 55 D．－2 55

5．已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )

A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4

6．(2022年新课标Ⅰ)若tanα>0，则( )

A．sinα>0 B．cosα>0

C．sin2α>0 D．cos2α>0

7．已知两角α，β之差为1°，其和为1弧度，则α，β的大小分别为( )

A.π90和π180 B．28°和27°

C．0.505和0.495 D.180＋π360和180－π360

8．(2021年广东肇庆二模)若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝1225，则a＝( )

A．3

B．±3

C.163或3 D．－163或－3

9．(2021年广东惠州二模)集合α kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z

中的角所表示的范围(阴影部分)是( )

A B C D

10．推断下列各式的符号：

(1)tan125°·sin278°； (2)cos7π12tan23π12sin11π12.

第 1 页 共 6 页 第六节 函数y＝Asinx

知识梳理

一、三角函数图象的作法

1．几何法(利用三角函数线)．

2．描点法：五点作图法(正、余弦曲线)，三点二线作图法(正切曲线)．

(1)正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的图象的作图方法(用五点法)：先取横坐标分别为0，π2，π，3π2，2π的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．再将一个周期内的图象向左右平移2kπ(k∈N*)个单位长度，即得函数的整个图象．

(2)正切函数的图象：作正切曲线常用三点二线作图法．

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象：

1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象．

2．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．

3．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．

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图象与x轴的交点：正弦函数为________，k∈Z，余弦函数为________，k∈Z，正切函数为________ ，k∈Z.

答案：2.(2)(kπ，0) kπ＋π2，0 (kπ，0)

二、三角函数图象的对称轴与对称中心

正弦曲线y＝sin x的对称轴为x＝________(k∈Z)，对称中心为________(k∈Z)；

余弦曲线y＝cos x的对称轴为x＝________(k∈Z)；对称中心为________，(k∈Z)；

正切曲线y＝tan x的对称中心为________(k∈Z)．

其中，正弦函数与余弦函数在对称轴与曲线交点处有最大(小)值．

答案：kπ＋π2 (kπ，0) kπ kπ＋π2，0 kπ2，0

三、函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的画法

1．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图．