控制工程_3系统数学模型

控制工程数学模型

控制⼯程数学模型

1 控制系统的数学模型

数学模型是描述系统输⼊量、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，揭⽰了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数⽅程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。

动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分⽅程，描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。微分⽅程或差分⽅程常⽤作动态数学模型。

对于给定动态系统，数学模型表达不唯⼀。⼯程上常⽤的有：微分⽅程，传递函数和状态⽅程。不过对于线性系统，它们之间是等价的。

2 建⽴数学模型的⽅法

1. 解析法

依据系统及元件各变量之间所遵循的物理规律写出相应的数学关系式，建⽴模型。2. 实验法

⼈为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并⽤适当的数学模型进⾏逼近，这种⽅法也称为系统辨识。

3 数学模型的形式

1. 时间域微分⽅程差分⽅程状态⽅程（⼀阶微分⽅程组）2. 复数域传递函数结构图3. 频率域

频率域

4 建⽴数学模型的⼀般步骤

⽤解析法列写系统或元件微分⽅程的⼀般步骤是：1. 分析系统⼯作原理和信号传递变换过程，确定系统和各元件的输⼊、输出量。2. 从系统输⼊端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量所遵循的物理学定律，依次列写各元件、部件的动态微分⽅程。3. 消去中间变量，得到⼀个描述元件或系统输⼊、输出变量之间关系的微分⽅程。4. 写成标准化形式。与输⼊有关项放在等式右侧，与输出有关项放在等式左侧，且各阶导数项按降幂排列。

5 控制系统微分⽅程的列写

5.1 机械系统

在机械系统中，有些构件惯性和刚度较⼤，有些构件惯性较⼩、柔度较⼤。

我们将前者的弹性忽略视其为质量块，将后者的惯性忽略视其为⽆质量弹簧。

这样，机械系统便可以抽象为质量-弹簧-阻尼系统。1. 质量

2. 弹簧

3. 阻尼

5.1.1 机械平移系统列出各元件的动态微分⽅程：

控制系统的数学模型

第2章控制系统的数学模型

2.1 引言

控制系统的数学模型，是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的，都可以用微分方程加以描述。对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。

建立控制系统的数学模型，一般采用解析法和实验法两种。解析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理规律或化学规律（例如，电学中有克希荷夫定律、力学中有牛顿定律、热力学中有热力学定律等）分别列写相应的运动方程。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。近些年来，系统辨识已发展成一门独立的学科分支。本章主要采用解析法建立系统的数学模型。

数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立及应用。

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第二章控制系统的数学模型

2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？

答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。从不同的角度，可以对数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统部状态变量描述的数学模型称为状态空间模型；等等。

2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？

答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。

机理分析法是通过对系统部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。

实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。

如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。这是介于上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。

2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？

答主要步骤有：

⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。

⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要因素。

⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律的原始微分方程式（或方程式组）。

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