第2章控制系统的数学模型

第2章控制系统的数学模型

第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念

⼀. 系统模型

系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。

物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从⽽可以抛开系统的物理属性，⽤同⼀⽅法进⾏具有普遍意义的分析研究(信息⽅法)。

从动态性能看，在相同形式的输⼊作⽤下，数学模型相同⽽物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进⾏实验模拟的基础。

⼆. 系统数学模型1. 系统数学模型

系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。数学模型是描述系统输⼊、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭⽰了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。2. 系统数学模型的分类

数学模型⼜包括静态模型和动态模型。(1) 静态数学模型

静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数⽅程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。(2) 动态数学模型

描述变量各阶导数之间关系的微分⽅程。描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，⽽且与它过去的⼯作状态有关。微分⽅程或差分⽅程常⽤作动态数学模型。

动态模型在⼀定的条件下可以转换成静态模型。在控制理论或控制⼯程中，⼀般关⼼的是系统的动态特性，因此，往往需要采⽤动态数学模型。即，⼀般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。

三. 系统数学模型的形式

对于给定的同⼀动态系统，数学模型的表达不唯⼀。如微分⽅程、传递函数、状态⽅程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。对于线性系统，它们之间是等价的。但系统是否线性这⼀特性，不会随模型形式的不同⽽改变。线性与⾮线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。

经典控制理论采⽤的数学模型主要以传递函数为基础。⽽现代控制理论采⽤的数学模型主要以状态空间⽅程状态空间⽅程为基础。⽽以物理定律及实验规律为依据的微分⽅程微分⽅程⼜是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间⽅程的基础。

四. 系统数学模型的分类1. 按描述⽅法分类

数学模型的表达虽有多种形式，但按描述⽅法总体上可分为以下三种。(1) 外部描述法

外部描述法也称为输⼊输出描述法。它是将系统的输⼊与输出之间的关系⽤数学⽅式表达出来。如：微分⽅程、传递函数。(2) 内部描述法

内部描述法也称为状态空间描述法。它不仅可以描述系统的输⼊与输出之间的关系，还可以描述系统的内部特性。(3) 图形描述法

图形描述法即是⽤直观的⽅框图或信号流程图模型进⾏系统的描述。2. 按变量范围分类按变量的变化范围可分为以下三类。(1) 时间域

微分⽅程(⼀阶微分⽅程组)、差分⽅程、状态⽅程(2) 复数域

传递函数、结构图(3) 频率域

频率特性§2 建⽴系统数学模型的基本⽅法

⼀. 系统模型建⽴的基本⽅法

系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。建⽴系统数学模型的⽅法有分析法和实验辨识法两种。1. 解析法

依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律，经过数学推导，列写出相应的数学关系式，建⽴模型。解析法主要⽤于对系统结构及参数的认识都⽐较清楚的简单系统。2. 实验法

⼈为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并⽤适当的数学模型进⾏逼近。这种⽅法也称为系统辨识。实验法通常⽤于对系统结构和参数有所了解，⽽需进⼀步精化系统模型的情况。

对于复杂系统的建模往往是⼀个分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。

⼆. 系统微分⽅程模型的建⽴1. 系统微分⽅程模型

系统微分⽅程模型是最重要的⼀种模型。系统按其微分⽅程是否线性这⼀特性，可以分为线性系统和⾮线性系统。如果系统的运动状态能⽤线性微分⽅程表⽰，则此系统为线性系统。线性系统的⼀个最重要的特性就是满⾜叠加原理。线性系统⼜可分为线性定常系统和线性时变系统。线性定常系统是本课程中研究的重点。

设c(t)与r(t)分别为系统的输出量与输⼊量，n阶线性定常系统微分⽅程的⼀般形式为c(n)(t)+a1c(n-1)(t)+…+a n-1c(1)(t)+a nc(t)=b0r(m)(t)+b1r(m-1)(t)+…+r m-1r(1)(t)+b m r(t) (2.2.1) 则称该系统为时不变线性系统，也称定常线性系统。通常n>m，表明系统是稳定的，即系统的输⼊不会使输出发散。系数a1、…、a n和b0、b1、…、b m均为常数，不随时间⽽变化。

严格地说，很多物理系统是时变的，因为构成物理系统的材料、元件、部件的特性并⾮都是⾮常稳定的。它们的不稳定，会导致微分⽅程式系数的时变性。但是，在⼯程领域中，常常可以以⾜够的精确度认为常见的物理系统中的参数a1、…、a n和b0、b1、…、b m是时不变的，从⽽把⼀些时变线性系统当作时不变线性系统来处理。本课程主要分析讨论线性时不变系统。

2. 系统微分⽅程的确定

列写系统或元件微分⽅程的⼀般步骤为：(1) 分析系统⼯作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输⼊、输出量。根据需要可引⼊中间变量。

(2) 按照信号的传递顺序，从系统的输⼊端出发，根据有关定律，列写出各个环节的动态微分⽅程。

(3) 消除上述各⽅程式中的中间变量，最后得到只包含输⼊量与输出量的⽅程式。

(4) 将与输⼊有关的项写在微分⽅程的右边，与输出有关的项写在微分⽅程的左边，并且各阶导数项按降幂排列。

3. 系统微分⽅程的简化

在建模的过程中还要正确处理模型简化和模型精度的辨证关系，以建⽴简单且能满⾜要求的数学模型。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进

⾏折衷考虑。(1) 线性化 如果系统中包含⾮本质⾮线性的元件或环节，⽽⾮线性系统的分析和综合是⾮常复杂的，为研究系统⽅便，通常可将其进⾏线性化。线性化即是在⼀定条件下作某种近似或缩⼩系统⼯作范围，将⾮线性微分⽅程近似为线性微分⽅程进⾏处理。

⾮线性系统线性化的⽅法是将变量的⾮线性函数在系统某⼀⼯作点(或称平衡点)附近展开成泰勒级数，分解成这些变量在该⼯作点附近的微增量表达式，然后略去⾼于⼀阶增量的项，并将其写成增量坐标表⽰的微分⽅程。

对于实际系统⽽⾔，在⼀定条件下，采⽤线性化模型近似代替⾮线性模型进⾏处理，能够满⾜实际需要。

线性化⽅程的系数与平衡⼯作点的选择有关。线性化是有条件的，必须注意线性化⽅程适⽤的⼯作范围。某些典型的本质⾮线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进⾏线性化，只有当它们对系统影响很⼩时才能忽略不计，否则只能作为⾮线性问题处理。(2) 系统阶次 通常情况下，元件或系统微分⽅程的阶次等于元件或系统中所包含的独⽴储能元(惯性质量、弹性要素、电感、电容等)的个数；因为系统每增加⼀个独⽴储能元，其内部就多⼀层能量(信息)的交换。(3) 动态特性 必须注意，系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数，与系统的输⼊⽆关。

4. 确定系统微分⽅程常⽤定律

在列写微分⽅程的各步中，关键在于掌握组成系统的各个元件或环节所遵循的有关定律。对于机械类的读者，往往需要列写机械系统和电⽹络系统的微分⽅程，因此，有必要掌握如表2.2.1所⽰的常见元件的物理定律。

表2.2.1 常见元件的物理定律

系统类别 元件名称及代号

符号 所遵循的物理定律 机械系统(直线运动) 质量元件m

x m f 弹性元件k

f=k (x 2- x 1) 阻尼元件c

)(12x x c f 电⽹络系统 电容C

)(12v v C i 电感L

电阻R)(112v v R

i

三. 系统建模实例

例2.2.1 图2.2.1上由电阻R 、电感L 、电容C 组成的⽆源⽹络，试列写其以u i (t )为输⼊量，以为u o (t )输出量的⽹络微分⽅程。

解 设回路电流为i (t )，基尔霍夫电压定律可得回路⽅程为)()()(1)(t u t Ri dt t i C

dt t di L i 由消去中间变量i (t )，可得描述该⽆源⽹络输⼊输出关系的微分⽅程如下

)()()()(22t u t u dtt du RC dt t u d LC i o o o

图2.2.1 RLC 串联电路 图2.2.2 机械系统

例2.2.2 图2.2.2所⽰是⼀个由弹簧、质量物体和阻尼器所组成的机械系统。其中，K 为弹性系数，m 为物体的质量，f 为阻尼系数。

解 设外作⽤⼒F(t )为输⼊量，质量物体的位移y (t )为输出量。根据⽜顿第⼆定律F ＝ma 可知F (t )-F f (t )-F K (t )＝ma

其中：F f (t )为阻尼器的粘性阻⼒，它与物体运动的速度成正⽐；F K (t )为弹簧的弹性⼒，它与物体的位移成正⽐；α为物体的加速度。即F f (t )= f dt

t dy )(，F K (t )=K y (t )，α=22)(dt t y d 消除中间变量，将式⼦标准化即可得

)()()()(22t F t Ky dt

t dy f dt t y d m

§3 Laplace 变换及应⽤

⼀. Laplace 变换的定义

设实变量函数f (t )(t ≥0)在任⼀有限区间上分段连续，且存在⼀正实常数σ，使得0)(lim σt f e t t ，则函数f (t )的Laplace 变换存在，并定义为 F (s )=L [f (t )]=

0)(dt e t f st (2.3.1)

Laplace 变换将实变量函数f (t )变换为复变量函数F (s )。F (s )称为f (t )的象函数，f (t )称为F (s )的原函数。Laplace 变换简称为拉⽒变换，记为L 。

⼆. 常⽤Laplace 变换

常⽤Laplace 变换见表2.3.1所⽰。

表2.3.1 常⽤Laplace 变换

三. Laplace 变换基本法则1. 线性定理 叠加性 两个函数和的拉⽒变换等于每个函数的拉⽒变换的和，即

L [f 1(t )+f 2(t )]=L [f 1(t )]+L [f 2(t )]=F 1(s )+F 2(s ) (2.3.2)

齐次性 函数K 倍的拉⽒变换等于函数拉⽒变换的K 倍，即L [K f (t )]=K L [f (t )]=K F (s ) (2.3.3)

2. 微分定理

初始条件为0时，⼀个函数导数的拉⽒变换等于这个函数拉⽒变换与s 的导数幂次的积。即，如果初始条件为f (0)= f (1)(0)= f (2)(0)=…= f (n -1)(0)=0，则

L [f (k )(t )]=s k L [f (t )]= s k F (s ) (k =0,1,…,n ) (2.3.4)