10 第2章 自动控制系统的数学模型
2.1 学习要点
1 控制系统数学模型的概念、描述形式与相互转换；
2 物理系统数学模型的编写方法和步骤；
3 非线性系统线性化的意义、适用性和具体方法；
4 系统方框图等效变换原则与应用；
5 信号流图等效变换与梅逊增益公式应。
2.2 思考与习题祥解
题2.1思考与总结下述问题。
（1）我们学习的动态物理系统的数学模型有哪些形式？
（2）非线性系统线性化的意义、适用性和具体方法。
（3）传递函数的意义、作用和性质；与微分方程模型相比，这种模型有何优点？
答：（1）自动控制系统的数学模型指的是描述系统运动特性的数学描述。
我们学习的动态物理系统的数学模型有微分方程、传递函数和频率特性等表达式描述形式，还有方框图和信号流图等图形化描述形式。
（2）实际系统中变量之间的关系都或多或少地具有某种非线性特性。由于求解非线性微分方程比较困难，因此提出了线性化问题。如果控制系统的工作状态是在工作点的一个小偏差范围内变化，就可以用一条过工作点的切线代替工作曲线在这个小偏差范围内的变化关系，这样，就把非线性特性线性化了。应用线性化的数学模型就可以简化系统分析和设计的过程，虽然这是一种近似的处理方法，但却很有实际意义。
只要这样做所造成的误差在允许范围内，不会对控制系统的分析和设计造成本质影响，就可以进行非线性系统线性化。
具体方法是：对任意函数，在某一点（工作点）处对函数进行泰勒级数展开，忽略二阶以上高次项，就可以得到线性化的函数关系。
（3）系统输入和输出在零初始条件下拉氏变换的比)(sG称为系统的传递函数。传递函数表示了系统输入输出之间的关系，是控制系统的一种数学模型，可以直接从微分方程导出。
传递函数只与系统结构与参数有关，与外部输入无关，传递函数反映了系统的结构特征和参数特性。由于传递函数是以复数s为变量，避免了许多求解微分方程的麻烦。因此，经典控制论中更常用传递函数这种数学模型形式对控制系统进行分析和设计。
1 第2章 连续控制系统的数学模型
2.1 控制系统数学模型的概念
控制理论分析、设计控制系统的第一步是建立实际系统的数学模型。
所谓数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的，都可以用微分方程加以描述。对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。
对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。
2.1.1 数学模型的类型
数学模型是对系统运动规律的定量描述，表现为各种形式的数学表达式，从而具有不同的类型。下面介绍几种主要类型。
1. 静态模型与动态模型
根据数学模型的功能不同，数学模型具有不同的类型。
描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模型，称为静态数学模型。静态数学模型一般是以代数方程表示的，数学表达式中的变量不依赖于时间，是输入输出之间的稳态关系。
描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。
2. 输入输出描述模型与内部描述模型
描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。
而状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，所以称为内部描述模型。内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传递关系，所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。
3. 连续时间模型与离散时间模型
根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号，数学模型分为连续时间模型 2 和离散时间模型，简称连续模型和离散模型。
连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等。
1 内 蒙 古 科 技 大 学 教 案
材 料 与 冶 金 学 院 李 振 亮
课程名称：《材料成型控制工程基础》 （第2章，共11章） 编写时间：2010年8月28日
授课章节 2过程控制系统的动态数学模型
2.1古典与现代控制理论研究方法2.2拉氏变换及反变换2.3传递函数
目的要求 本章内容属于古典控制理论的研究范畴。传递函数是古典控制理论中描述系统的主要数学模型，之所以讲这一章，目的是为下一章PID控制器做基础准备。
本章主要思路是：拉氏变换→传递函数→典型环节→PID控制。
重点难点 重点：传递函数定义、性质和等效变换等；典型环节
难点：拉氏变化的概念及性质。
2过程控制系统的动态数学模型
2.1古典与现代控制理论研究方法
2.1.1数学模型的概念
为研究控制系统的动态性质，必须把系统输出和输入变量之间在动态情况下的相互关系用数学方程的形式表示出来。描述系统动态性能的数学表达式叫系统的数学模型，求取这一数学表达式的过程叫建模。
注意：（1）描述同一系统的数学模型，有完整、复杂数学模型和简单、准确性较差的数学模型两类。建模中应在模型准确性和简化性之间折衷。不要盲目强调准确而过于复杂，也不要片面强调简化而使分析结果与实际出入太大。一般允许条件下，开始尽可能采用简化的线性、常系数、常微分方程形式的数学模型，如果有必要，再在上述简化基础上考虑忽略因素所引起的偏差，建立较完善﹑准确的数学模型。（2）过程控制系统数学模型有微分方程、传递函数、频率特性、状态方程等多种形式。
2.1.2按照系统的数学模型对过程系统分类
按照系统的数学模型可将过程控制系统分成如下几类：
（1）按照变量y(t)及其各阶导数的次数可将系统分为线性和非线性系统。
线性系统：系统的数学模型方程是线性的，如0kyycym,这种系统就叫线性系统，这种线性方程既可以是线性代数方程，线性差分方程，也可以是线性微分方程或线性偏微分方程。线性系统又可分为：
冯大鹏
第2章 控制系统的数学模型
§1 系统数学模型的基本概念
一. 系统模型
系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型
1. 系统数学模型
系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类
数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型
静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型
描述变量各阶导数之间关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式
对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。对于线性系统，它们之间是等价的。但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
