中考二次函数中45度角的存在性问题

中考数学压轴题专题一：利用抛物线中的角度求点的坐标（原创）

二次函数中的角度问题通常要构造直角、相似、全等三角形把角度问题转化为边的问题，求抛物线中的点坐标方法一般采用两种方法，第一种是求线与线的交点，这时需要联立方程；第二种是几何法，过点做坐标轴的垂线，再利用三角函数或者是相似三角形去求解！

例1.抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．

解题思路：

1.利用∠BCO+2∠PCB＝90°和∠BCO+∠CBO＝90°推出∠CBO=2∠PCB

2.得出∠CMB=∠MCB得到BC=BM

3.求出M的坐标，进而求出直线CM的直线解析式

4.联立直线CM方程和抛物线方程，求交点坐标

例2.已知抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线点第三象限上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．且∠CPD＝45°，求点P的坐标；

解题思路：45度可以联想到等腰直角三角形

1.延长PC交x轴于点E，得出等腰直角三角形

2.求出E点坐标，进而求出直线CE的解析式

3.联立直线CE方程和抛物线方程，求交点坐标

例3.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；

解题思路

1.分情况讨论，分P在原点的左右侧进行讨论

2.P在原点右侧比较简单

3.P在原点左侧要结合P在原点右侧的情况，可以得出等腰△OGD，求出G点坐标

4.利用GD的直线直线方程或相似三角形求出P点坐标

例4.已知抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；

_ Q

_ G _ P_ O 二次函数与三角形的存在性问题

一、预备知识

1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（x1，y），Q（x2，y）

(1)线段对称轴是直线2x21xx

(2)AB两点之间距离公式：221221)()(yyxxPQ

中点公式：已知两点2211y,xQ,y,xP，则线段PQ的中点M为222121yy,xx。

2、两直线的解析式为11bxky与 22bxky

如果这两天两直线互相垂直，则有121kk

3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2

（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2

（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交

（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直

二、三角形的存在性问题探究：

三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形

（一）三角形的性质和判定：

1、等腰三角形

性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。

判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。

2、直角三角形

性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形

性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。

判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形

4、等边三角形

性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 总结：（1）已知A、B两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上

专题13 二次函数中角度、面积及平行四边形存在性问题

题型一、角度及平行四边形存在性问题

1. （2019·湖北咸宁中考）如图，在平面直角坐标系中，直线221xy与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线cbxxy221经过A,B两点且与x轴的负半轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标；

（3）已知E,F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B,O,E,F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）在122yx中，y=0时，x=4；x=0时，y=2，

即A(4,0)，B(0,2),

将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得：

8402bcc，解得：b=32，c=2，

即抛物线解析式为：213222yxx.

（2）如图，过点B作BE∥x轴交抛物线于点E，过D作DF⊥BE于F，

∴∠BAC=∠ABE， ∵∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABD=2∠ABE，

即∠DBE=∠BAC，

设点D的坐标为（x，213222xx），则BF=x，DF=21322xx，

∵tan∠DBE=DFBF, tan∠BAC=OBOA,

∴DFBF=OBOA，即2132224xxx，

解得：x=0（舍）或x=2，

即点D的坐标为：（2,3）.

（3）B（0,2）,O（0,0）

设E点坐标为（m，122m），F点坐标为（n，213222nn），

①若四边形BOEF是平行四边形，

则2113222222mnmnn，解得：22mn，

即E点坐标为（2，1）；

②若四边形BOFE是平行四边形时，

则2131222222mnnnm，解得：222222222222mmnn或，

第 1 页 共 10 页 中考数学总复习《二次函数中的角度问题存在性问题》专题训练-附答案

学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________

1．如图，抛物线与x轴相交于原点和点4,0A，在第一象限内与直线yx交于点B5,5，抛物线的顶点为C点．

(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

(2)点3,Mm在抛物线上，连接MOMB，，求MOB△的面积；

(3)抛物线上是否存在点D，使得DOBOBC？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2．综合与探究

如图，已知抛物线238yxbxc与x轴相交于4,0A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点0,3C，连接AC．

(1)求该抛物线的解析式及对称轴；

(2)若过点B的直线与抛物线相交于另一点D，当ABDBAC时，求直线的解析式；

(3)在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使23BDPABDSS△△，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

3．如图，抛物线2yaxbxc与x轴交于点A、B，与y轴交于点0,2C，2OCOA和1tan2ABC．直

第 2 页 共 10 页 线l：0ykxnk与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左边）．

(1)求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

(2)当直线lBC∥时，若MON△的面积被y轴分成的两个三角形的面积比为1:4时，求n的值；

(3)当0n时，试在抛物线上找一定点P，使得90MPN，求P点坐标以及点P到MN的最大距离．

4．如图①，抛物线2yaxbx的顶点为2,4D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接OD，P为x轴上的动点，当AOD与PDO互余时，求点P的坐标；

(3)如图①，点M，N都在抛物线上，点M位于第四象限，点N位于第二象限，连接MN分别交x轴，y轴于点E，F，连接OMON、，求证：若NOFMOE，则直线MN经过一定点．