中考数学二次函数之角度问题

试卷第1页，共8页2023年九年级数学下册中考数学专题训练：角度问题（二次函数综合）

一、解答题

1．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y

＝x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为4

9

A，连接AC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝45°时，求点E的横坐标；

(3)点M从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点N从点C出发沿线段CA由C向A运动，M，N的运动速

度都是每秒1个单位长度，当N点到达A点时，M，N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使M，N

运动过程中的某些时刻t，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理

由．

2．已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），点D是该抛物线在第四象限上的一个点，

连接 AD、AC、CD，CD 交x轴于E．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）当S△DAE=S△ACD时，求点 D的坐标；1

4

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得△PAD中的一个角等于2∠BAD?若存在，直接写出点P 的

坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图1，直线y=ax²+4ax+c与x轴交于点A（-6，0）和点B，与y轴交于点C，且OC=3OB试卷第2页，共8

页(1)直接写出抛物线的解析式及直线AC的解析式；

(2)抛物线的顶点为D，F为抛物线在第四象限的一点，直线AF解析式为，求∠CAF-∠CAD

的度数．1

2

3yx

(3)如图2，若点P是抛物线上的一个动点，作PQ⊥y轴垂足为点Q，直线PQ交直线AC于E，再过点E作x轴的

垂线垂足为R，线段QR最短时，点P的坐标及QR的最短长度．

4．已知顶点为A(2，一1)的抛物线与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，点C坐标(1，O)；

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)连接AB、BD、DA，求cos∠ABD的大小；

中考专题训练——二次函数与角度问题

1．已知二次函数232yaxbx（0a）的图象经过A（1，0）、B（−3，0）两点，顶点为点C．

(1)求二次函数的解析式；

(2)如二次函数232yaxbx的图象与y轴交于点G，抛物线上是否存在点Q，使得∠QAB=∠ABG，若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由；

(3)经过点B并且与直线AC平行的直线BD与二次函数232yaxbx图象的另一交点为D，DE∠AC，垂足为E，DFy轴交直线AC于点F，点M是线段BC之间一动点，FN∠FM交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为△NFH的外心，求点M从点B运动到点C的过程中，P点经过的路线长．

2．在平面直角坐标系中，抛物线l：2220yxmxmm与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且3OCON

(1)求m的值；

(2)设点G是抛物线在第三象限内的动点，若GBCACO，求点G的坐标；

(3)将抛物线222yxmxm向上平移3个单位，得到抛物线l，设点P、Q是抛物线l上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线=2y于点P、Q，设P、Q的横坐标分别为Px、Qx，且4PQxx，求证：直线PQ经过定点．

3．已知二次函数y＝x2十（k﹣2）x﹣2k．

(1)当此二次函数的图像与x轴只有一个交点时，求该二次函数的解析式；

(2)当k＞0时，直线y＝kx2交抛物线于A，B两点（点A在点B的左侧），点P在线段AB上，过点P做PM垂直x轴于点M，交抛物线于点N．

∠求PN的最大值（用含k的代数式表示）；

∠若抛物线与x轴交于E，F两点，点E在点F的左侧．在直线y＝kx+2上是否存在唯一一点Q，使得∠EQO＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

初三——二次函数归类复习

一、二次函数与面积

面积的求法：①公式法：S=1/2*底*高 ②分割法/拼凑法

1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？

x y

O M

E

N

A

图五 O x y

D C

图四 x y

O D C

E B

图六 P

x y

O A B

D

图二 E

x y

O A B

C 图一 x y

O A B

图三

2、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C， D为抛物线的顶点，连接BD，CD，

（1）求四边形BOCD的面积.

（2）求△BCD的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）

3、已知抛物线4212xxy与x轴交与A、C两点，与y轴交与点B，

（1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴；

（2）求四边形ABMC的面积.

4、已二次函数322xxy与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P.

（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；

（2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；

（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得ABCNABSS,

若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N，使得ABCNABSS，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.

A

xy

B O

C

变式一图 C

P x O A B y

变式二：在双曲线3yx上是否存在点N，使得ABCNABSS，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由.

5、抛物线322xxy与x轴交与A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C，若点E为第二象限抛物线上一动点， 点E运动到什么位置时，△EBC的面积最大,并求出此时点E的坐标和△EBC的最大面积．

二次函数角度问题

（角相等，45°角，二倍角）

【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解

抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．

（1）如图1，若P(1，－3)、B(4，0)，

① 求该抛物线的解析式；

② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；

【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax2+c，得3016caca，解得51651ca，

∴抛物线的解析式为y=51x2−516；

②如图1，

当点D在OP左侧时，

由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，

∴D与P关于y轴对称，且P(1，−3)，

∴D(−1，−3)；

当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G.

作PH⊥OB于点H，则OH=1，PH=3.

∵∠DPO=∠POB，

∴PG=OG.

设OG=x，则PG=x，HG=x−1.

在Rt△PGH中，由x2=(x−1)2+32，得x=5.

∴点G(5，0).

∴直线PG的解析式为y=43x−415， 解方程组51651415432xyxy得31yx或1627411yx.

∵P(1，−3)，

∴D(411，−1627).

∴点D的坐标为(−1，−3)或(411，−1627).

【经典例题变式】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于C(0，2)，连接AC、BC.

(1)求抛物线解析式；

(2)BC的垂直平分线交抛物线于D. E两点，求直线DE的解析式；

(3)若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标。

【解析】（1）由题意，得：204160ccbacba解得：22521cba．