中考数学二次函数平行四边形存在性问题例题
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二次函数平行四边形存在性问题例题
一.解答题(共9小题)
1 .如图，抛物线经过 A (-1, 0), B (5, 0), C (0,卷)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使PA+PC的值最小，求点P的 坐标；
(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N,使以A, C, M , N四点构成的四边形为平行四边形？若存在， 求点N的坐标； 若不存在，请说明理由.
2 .如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-3x-3与x轴交于点A, 与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A, C两点，且与x轴交于 另一点B (点B在点A右侧).
(1)求抛物线的解析式及点B坐标；
(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交 x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值；
(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点 P, 使以M,
F, B, P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出
点P的坐标；若不存在，试说明理由. 第2页/共34页
3 .已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线产V五十6与x轴、y 轴的交点分别为A、B两点，将/ OBA对折，使点O的对应点H落 在直线AB上，折痕交x轴于点C.
(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析 式；
(2)若(1)中抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使 得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存 在，说明理由；
(3)若把(1)中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于 F、N
(点F在点N的左侧)两点，交y轴于E点，则在此抛物线的 对称轴上是否存在一点 Q,使点Q到E、N两点的距离之差最大？若 存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
4 .已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线产3■五十6与x轴、y
轴的交点分别为A、B,将/ OBA对折，使点O的对应点H落在直 线AB上，折痕交x轴于点C.
(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析 式；
(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形 ODAP为平第3页/共34页
行四边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理 由；
(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T, Q为线段BT上一点, 直接写出|QA-QO|的取值范围.
5 .如图，RtAOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA 与x轴重合，/ OAB=90 , OA=4, AB=2 ,把RtAOAB绕点。逆时 针旋转90°,点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O, C, A三点.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在x轴上方的抛物线上有一动点 P,过点P作x轴的平行线交 抛物线于点M,分别过点巳点M作x轴的垂线，交x轴于E, F两 点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值， 并写出解答过程；如果没有，请说明理由.
(3)如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点 N,使。(原第4页/共34页
点)、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出
6 .如图，直线y= -~^x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线
y=ax2+(x+c经过B、C两点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当^ BEC面积 最大时，请求出点E的坐标和△ BEC面积的最大值？
(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M, 连接AM ,点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 巳 使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请 第5页/共34页
7 .如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于 A、B、C三点，其中B (4,
0)、C (-2, 0),连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有
一动点D,过D作DE，x轴，垂足为E,交AB于点F.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心， GD为半径作圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；
(3)过D点作直线DH // AC交AB于H,当^ DHF的面积最大时， 在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点 组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M、N两点的横坐标.
D
8.已知直线y=kx+b (k#0)过点F (0, 1),与抛物线yqx2相交
于B、C两点.I 和 邺
(1)如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；
(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴 的平行线，与抛物线交于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、 O、F为顶点的四边第6页/共34页
形为平行四边形？若存在，求出点 M的坐标；若
不存在，请说明理由；
(3)如图 2,设 B (m. n) (m<0),过点 E (0. - 1)的直线 l // x 轴，BR，l于R, CS，l于S,连接FR、FS.试判断△ RFS的形状， 并说明理由.
9.抛物线y=x2+bx+c经过A (0, 2), B (3, 2)两点，若两动点 D、 E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒 1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度.
(1)求抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D,使A、B、C、
D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点 D的坐标；若不 存在，说明理由；
(3)问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？ 第7页/共34页
2017年05月03日1587830199的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共9小题)
1. (2016被顺)如图，抛物线经过 A (- 1, 0), B (5, 0), C (0, 一)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使PA+PC的值最小，求点P的 坐标；
(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N,使以A,
C, M , N四点构成的四边形为平行四边形？若存在， 求点N的坐标；
【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c (a#0),
•••A (-1, 0), B (5, 0), C (0,2)三点在抛物线上，
r 息-b+c二 o
.25a+5b+c=。
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1
a=T
解得，b=-2 .
I 2
「•抛物线的解析式为：y=1x2 - 2x _; 2 2
・•・直线BC的解析式为y=1x -|, 当 x=2 时，y=1 -1-=
・•・P ⑵-Z)；
(3)存在.
如图2所示, (2) .•・抛物线的解析式为:
・•・其对称轴为直线
连接BC,如图1所示，
. B (5, 0), C (0,
・•・设直线BC的解析式为y=kx+b (k#0), x=--= 2a
r5k+b=第9页/共34页
国2
①当点N在x轴下方时，
••.抛物线的对称轴为直线x=2, C （0, --1）,
・•.Ni（4,-5）；
②当点N在x轴上方时， 如图，过点N2作N2D，x轴于点D,
在△ AN 2D 与 AMzCO 中，
rZN^=ZCM2Q
* AN2-Clfl2
ZAH2D=ZH2CO
AAN2D^AM2CO (ASA),
・•.N2D=OC=即N2点的纵坐标为
解得 x=2+/n或 x=2 — vn,
.. N2 （2+VR 今），N3 （2-VH,今.
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4, -|）, （2+/14,-|）或（2 第10页/共34
2. (2016升堰一模)如图，在平面直角坐标系中，直线 y=- 3x 3 与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A, C两 点，且与x轴交于另一点B (点B在点A右侧).
(1)求抛物线的解析式及点B坐标；
(2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x 轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值；
(3)试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点 P, 使以M,
F, B, P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 点P的坐标；若不存在，试说明理由.
【解答】解：(1)当y=0时，—3x―3=0, x= - 1
当 x=0 时，y= — 3, ・•.C (0, - 3), 「•A (―1, 0) 第11页/共34 ・二•：厂
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抛物线的解析式是：y=x2 -2x - 3.
当 y=0 时，x2- 2x- 3=0, 解得：xi=-1, X2=3 ・•.B (3, 0).
(2)由(1)知B (3, 0), C (0, -3)直线BC的解析式是：y=x —3,
设 M (x, x - 3) (0
• . ME= (x-3) - (x2-2x-3) = - x2+3x= - (x--) 2d;
2 4
.♦.当x=皂时，ME的最大值为9.
2 4
(3)答：不存在.
由(2)知ME取最大值时ME告E吟,-4)，M律，-序) 4 2 4 2 2
MF=工 BF=OB-OF且
设在抛物线x轴下方存在点巳使以P、M、F、B为顶点的四边形是 平行四边形,
贝U BP// MF, BF // PM.
「•Pi不在抛物线上.・・・Pi (0, -^)或 P2
(3, 当 Pi (0, -1)时，由1)知 y=x2-2x-3=-3^ |
