开封市初中数学方程与不等式之分式方程技巧及练习题附解析
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开封市初中数学方程与不等式之分式方程技巧及练习题附解析
一、选择题
1．已知关于x的分式方程13222mxxx有解,则m应满足的条件是（ ）
A．1 2mm且 B．2m C．1m或2m D．1m或2m
【答案】A
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x的值，进一步求出m的取值即可.
【详解】
13222mxxx，
去分母得，1-（3-mx）=2(x-2)
整理得，（m-2）x=-2
∵分式方程13222mxxx有解，
∴m-2≠0，即m≠2，
∴22xm
∵分式方程13222mxxx有解，
∴x-2≠0，即x≠2，
∴222m，解得，m≠1，
所以，m的取值为：1 m且2m
故选：A.
【点睛】
此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.
2．若关于x的分式方程2xx﹣12mx=3的解为正整数，且关于y的不等式组2()522126myyy至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m的取值之和为（ ）
A．1 B．0 C．5 D．6
【答案】A
【解析】 【分析】
先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m的值，最后求和即可．
【详解】
解：化简不等式组为25632ymyy，
解得：﹣2＜y≤52m，
∵不等式组至多有六个整数解，
∴52m≤4，
∴m≤3，
将分式方程的两边同时乘以x﹣2，得
x+m﹣1=3（x﹣2），
解得：x=52m，
∵分式方程的解为正整数，
∴m+5是2的倍数，
∵m≤3，
∴m=﹣3或m=﹣1或m=1或m=3，
∵x≠2，
∴52m≠2，
∴m≠﹣1，
∴m=﹣3或m=1或m=3，
∴符合条件的所有整数m的取值之和为1，
故选：A．
【点睛】
本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．
3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（ ）
A．90606xx B．90606xx C．90606xx D．90606xx
【答案】A
【解析】
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，由题意得：90606xx．故选A．
4．若关于x的分式方程233xmxx有增根，则m的值是（ ）
A．1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分式方程的增根的定义得出x-3=0，再进行判断即可．
【详解】
去分母得：x-2=m，
∴x=2+m
∵分式方程233xmxx有增根，
∴x-3=0，
∴x= 3，
∴2+m=3，
所以m=1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了对分式方程的增根的定义的理解和运用，能根据题意得出方程x-3=0是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
5．“母亲节”当天，某花店主打“康乃馨花束”，上午销售额为3000元，下午因市场需求量增大，店家将该花束单价提高30元，且下午比上午多售出40束，销售额为7200元，设该花束上午单价为每束x元，则可列方程为（ ）
A．300072004030xx B．720030004030xx
C．720030004030xx D．300072004030xx
【答案】C
【解析】
【分析】
设该花束上午单价为每束x元，则下午单价为每束（x+30）元，根据数量=总价÷单价，结合下午比上午多售出40束，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
设该花束上午单价为每束x元，则下午单价为每束(x+30)元，依题意，得：720030004030xx 故选：C
【点睛】
本题考查了列分式方程解决实际问题，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量．
6．方程22111xxxx的解是（ ）
A．x＝12 B．x＝15
C．x＝14 D．x＝14
【答案】B
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：去分母得：2x2+2x＝2x2﹣3x+1，
解得：x＝15，
经检验x＝15是分式方程的解，
故选B．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
7．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别一点MN、为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P. 若点P的坐标为11,423aa，则a的值为( )
A．1a B．7a C．1a D．13a
【答案】D 【解析】
【分析】
根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得11=423aa，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a的数量关系．
【详解】
根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，
则P点横纵坐标的和为0，
故11+423aa=0，
解得：a=13.
故答案选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.
8．为有效落实党中央“精准扶贫”战略决策，某市对农村实施“户户通”修路计划，已知该市计划在某村修路5000m，在修了1000m后，由于引入新技术，工作效率提高到原来的1.2倍，结果提前5天完成了任务.若设原来每天修路 mx，则可列方程为( )
A．50004000100051.2xxx B．50001000400051.2xxx
C．50004000100051.2xxx D．50001000400051.2xxx
【答案】D
【解析】
【分析】
本题依题意可知等量关系为原计划工作时间-实际工作时间=5，根据等量关系列出方程即可.
【详解】
设原来每天修路xm，引入新技术后每天修路1.2xm，实际工作天数为（100040001.2xx），原计划工作天数为5000x天，根据题意得，
50001000400051.2xxx，
故选D.
【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．
9．已知关于x的分式方程12111mxx的解是正数，则m的取值范围是( )
A．m＜4且m≠3 B．m＜4 C．m≤4且m≠3 D．m＞5且m≠6
【答案】A
【解析】
【详解】
方程两边同时乘以x-1得，
1-m-（x-1）+2=0，
解得x=4-m．
∵x为正数，
∴4-m＞0，解得m＜4．
∵x≠1，
∴4-m≠1，即m≠3．
∴m的取值范围是m＜4且m≠3．
故选A．
10．已知关于x的分式方程22124xmxxx无解，则m的值为（ ）
A．0 B．0或-8 C．-8或-4 D．0或-8或-4
【答案】D
【解析】
【分析】
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】
解：分式方程去分母得：（x−2）2−mx＝（x＋2）（x−2），
整理得：（4＋m）x＝8，
当m＝−4时整式方程无解；
当x＝−2时原方程分母为0，此时m＝−8；
当x＝2时原方程分母为0，此时m＝0，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无解；分式方程产生增根；是需要识记的内容．
11．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．606030(125%)xx B．606030(125%)xx
C．60(125%)6030xx D．6060(125%)30xx
【答案】C
【解析】
分析：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
详解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x万平方米，
依题意得：606030125%xx，即60125%6030xx．
故选C．
点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
12．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x天，则可列方程为（ ）.
A．900900213xx B．900900213xx
C．900900213xx D．900900213xx
【答案】A
【解析】
【分析】
设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.
【详解】
设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍，
∴900900213xx，
故选：A.
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.
