2019_2020学年高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则课后篇巩固提升新
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4.2.1 对数运算 4.2.2对数运算法则
课后篇巩固提升
夯实基础
1.若ln x-ln y=a,则ln(𝑥2)3-ln(𝑥2)3等于( )
A.𝑥2 B.a C.3𝑥2 D.3a
答案D
解析ln(𝑥2)3-ln(𝑥2)3=3(ln𝑥2-ln𝑥2)=3(lnx-ln2-lny+ln2)=3(lnx-lny)=3a.
2.已知a>0,a≠1,x>y>0,n∈N+,下列各式:
①(logax)n=nlogax;②logax=-loga1𝑥;③log𝑥𝑥log𝑥𝑥=loga𝑥𝑥;④√log𝑥𝑥𝑥=1𝑥logax;⑤1𝑥logax=loga√𝑥𝑥;⑥logax=log𝑥𝑥xn;⑦loga𝑥-𝑥𝑥+𝑥=-loga𝑥+𝑥𝑥-𝑥.
其中成立的有( )
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
答案B
解析其中②⑤⑥⑦正确.①式中nlogax=logaxn;③式中loga𝑥𝑥=logax-logay;④式中1𝑥logax=loga√x𝑥.
3.(多选)已知函数f(x)={log2𝑥,𝑥>0,3𝑥,𝑥≤0.若f(a)=13,则x的可能取值为( )
A.-1 B.√2 C.√23 D.2
答案AC
解析当a>0时,由log2a=13,得a=213=√23,故C正确;
当a≤0时,由3a=13,得a=-1,故A正确.
4.如果关于lg x的方程lg2x+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为lg x1,lg x2,那么x1x2的值为 ( )
A.lg 2·lg 3 B.lg 2+lg 3 C.16 D.-6
答案C
解析∵由已知,得
lgx1+lgx2=-(lg2+lg3)=-lg6=lg16,
又∵lgx1+lgx2=lg(x1x2),
∴lg(x1x2)=lg16.∴x1x2=16.
5.已知f(x5)=lg x,则f(2)等于( )
A.lg 2 B.lg 32
C.lg132 D.15lg 2
答案D
解析(方法一)令x5=2,则x=215,
∴f(2)=lg215=15lg2.
(方法二)令x5=t,则x=𝑥15,
∴原函数可转化为f(t)=lg𝑥15=15lgt,
即f(x)=15lgx,∴f(2)=15lg2.
6.若2a=3b=6,则1𝑥+1𝑥=( )
A.2 B.3 C.12 D.1
答案D
解析∵2a=3b=6,∴a=log26,b=log36.
∴1𝑥+1𝑥=1log26+1log36=log62+log63=1.
7.若3α=2,则log38-2log36用含a的代数式可表示为 ( )
A.a-2 B.3a-(1+a)2 C.5a-2 D.3a-a2
答案A
解析∵3a=2,∴a=log32,log38-2log36=3log32-2(log33+log32)=log32-2=a-2.
8.已知log32=a,则2log36+log30.5= .
答案a+2
解析原式=2log3(2×3)+log312
=2(log32+log33)-log32
=log32+2=a+2.
9.log56·log67·log78·log89·log910=
.
答案1lg5
解析原式=lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9=lg10lg5=1lg5.
10.若a=log43,则2a+2-a= ,1𝑥+1= .
答案4√33 log312
解析∵a=log43=log2√3,
∴2a+2-a=2log2√3+2-log2√3=√3+1√3=4√33.
∵1𝑥=log34,1=log33,
∴1𝑥+1=log34+log33=log312.
11.已知a,b,c为正数,且lg(ac)lg(bc)+1=0,则lg𝑥𝑥的取值范围是
.
答案(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析利用对数的运算性质转化为关于lgc的一元二次方程有解问题进行处理.
∵由题意,得(lga+lgc)(lgb+lgc)+1=0,
∴有(lgc)2+(lga+lgb)lgc+lgalgb+1=0. 设lgc=t,则t2+(lga+lgb)t+lgalgb+1=0,t∈R,则关于t的方程t2+(lga+lgb)t+lgalgb+1=0有根,∴Δ=(lga+lgb)2-4(lgalgb+1)≥0.
整理,得(lga-lgb)2≥4,
∴|lg𝑥𝑥|≥2.∴lg𝑥𝑥≥2或lg𝑥𝑥≤-2,
即lg𝑥𝑥的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).
12.计算:log28+lg11000+ln√𝑥23+21-12𝑥𝑥𝑥23+(lg 5)2+lg 2lg 50.
解原式=3-3+23+2÷212𝑥𝑥𝑥23+(lg5)2+lg2(lg5+1)
=23+2√33+(lg5)2+(1-lg5)(1+lg5)
=53+2√33.
能力提升
1.设a>0,a≠1,x,y满足logax+3logxa-logxy=3.
(1)用logax表示logay;
(2)当x取何值时logay取得最小值?
解(1)由题意得logax+3log𝑥𝑥−log𝑥𝑥log𝑥𝑥=3,
∴log𝑥𝑥log𝑥𝑥=logax+3log𝑥𝑥-3.
∴logay=(logax)2-3logax+3.
(2)设logax=t,t∈R,则有logay=t2-3t+3=(𝑥-32)2+34(t∈R),
∴当t=32时,logay取得最小值34,此时logax=32,x=𝑥32,即当x=𝑥32时,logay取得最小值34.
2.(1)已知5a=3,5b=4,求a,b,并用a,b表示log2512.
(2)求值:214 12-(√3-π)0+log313+712log74.
解(1)因为5a=3,5b=4,所以a=log53,b=log54.
所以log2512=log512log525=12(log53+log54)=𝑥+𝑥2. (2)原式=94 12-1+(-1)+2=32-1-1+2=32.
3.甲、乙两人解关于x的方程log2x+b+clogx2=0,甲写错了常数b,得到两个根14,18;乙写错了常数c得到两个根12,64.求这个方程真正的根.
解原方程可化为log2x+b+c·1log2𝑥=0,
即(log2x)2+blog2x+c=0.
因为甲写错了常数b得到两个根14,18,
所以c=log214·log218=6.
因为乙写错了常数c得到两个根12,64,
所以b=-(log212+log264)=-5.
故原方程为(log2x)2-5log2x+6=0.
解得log2x=2或log2x=3.
所以x=4或x=8,
即方程真正的根为4,8.
4.已知2y·logy4-2y-1=0,√log𝑥√5𝑥·log5x=-1,问是否存在一个正整数P,使P=√1𝑥-𝑥?
解∵2y·logy4-2y-1=0,∴2y(log𝑥4-12)=0.
又∵2y>0,∴logy4=12.∴y=16.
由√log𝑥√5𝑥·log5x=-1得√log𝑥√5𝑥=-logx5>0,
∴logx√5𝑥=(logx5)2.
∴12logx5x=(logx5)2.
∴2(logx5)2-logx5-1=0,
即(2logx5+1)(logx5-1)=0, ∴logx5=-12或logx5=1.
∵-logx5>0,∴logx5<0.
∴logx5=1(舍去).
∴logx5=-12,即𝑥-12=5.
∴x=125.∴1𝑥=25.
∴P=√1𝑥-𝑥=√25-16=√9=3.
即存在正整数P=3,使P=√1𝑥-𝑥.
