新教材2023年高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4

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必修第4章 指数函数和对数函数

知 识 清 单

4.1指数

知识1 根式

1.n次方根

（1）定义

如果(1,)n

xann=N，那么x叫做a的n次方根.

（2）性质 ①任何实数都有奇次方根，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数，即对于

n

a，若n是奇数，则aR；

②非负实数有偶次方根，正数a

的偶次方根有两个，这两个数互为相反数，记为n

a，

即对于n

a，若n是偶数，则[0,)a+；

③负数没有偶次方根；

④0的任何次方根都是0

，记作00n

=.

2.根式的定义和性质

（1）定义

式子n

a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

（2）性质

()(1,)nn

aann=N；当n为正奇数时

，nn

aa=，当n为正偶数时，

,0

||

,0.nnaa

aa

aa

==



−

，

例1 有下列说法：

①31255−=

；

②16

的4

次方根是2

；

③4813=

；

④2

()||xyxy+=+

．

其中，正确的有 ．（填正确说法的序号） 2 / 30

解析 n

为奇数时，负数的n

次方根是负数，31255−=−

，故①错误；16

的4

次方根有两

个，为2

，

故②正确；4813=

，

故③错误；2

()xy+

是非负数，

故2

()||xyxy+=+

，

故④正确．

答案 ②④

知识2 分数指数幂

①正数的正分数指数幂：规定=(0,,,1)n

nm

maaamnn

N. ②正数的负分数指数幂：规定11

==(0,,,1)n

m

n

nm

maamnn

a

a−



N.

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.

例2 （多选）下列各式中既符合分数指数幂的定义值又相等的是（ ）

A.1

3(1)−

和2

6(1)−

B.4

33和

4

31

3−

C.1

22

和1

44

D.3

24−和3

1

2−







解析 对于A

，1

3(1)1−=−

，2

2

66(1)(1)1−=−=

，故A错误；对于B

，4

3

4

31

3

3−=

，故B正

确；对于C

，111

2

4424(2)2==

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不得分）

1.下列函数，在其定义域内，既是奇函数又是增函数的是--------------------------------------------（ ）

A. 12yx B. 2xy C. 3yx D. 2logyx

2.下列函数在其定义域内，既是减函数又是奇函数的是-----------------------------------------------（ ）

A. 12xy B. 2log2xy C. 2xy D.

2log2xy

3.下列关系式正确的是-----------------------------------------------------------------------------------------（ ）

A．013212log32 B。013212log32

C. 013212log32 D。01321log322

4.三个数30.7、3log0.7、0.73的大小关系是-------------------------------------------------------------（ ）

A. 30.730.73log0.7 B. 30.730.7log0.73

C. 30.73log0.70.73 D. 0.733log0.730.7

5.若ab，则----------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）

(名师选题)2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结全

面整理

单选题

1、若𝑥

1，

𝑥

2是二次函数𝑦=𝑥2

−5𝑥+6的两个零点，则1

𝑥

1+1

𝑥

2的值为（ ）

A．−1

2B．−1

3C．−1

6D．5

6

答案：D

分析：解方程可得𝑥

1=2,𝑥

2=3，代入运算即可得解.

由题意，令𝑥2

−5𝑥+6=0，解得𝑥=2或3，

不妨设𝑥

1=2,𝑥

2=3，代入可得1

𝑥

1+1

𝑥

2=1

2+1

3=5

6.

故选：D.

2、函数①𝑦=𝑎𝑥

；②𝑦=𝑏𝑥

；③𝑦=𝑐𝑥

；④𝑦=𝑑𝑥

的图象如图所示，a

，b

，c

，d

分别是下列四个数：5

4，

√3，1

3，1

2中的一个，则a

，b

，c

，d

的值分别是（ ）

A．5

4，

√

3，1

3，1

2B．

√

3，5

4，1

3，1

2

C．1

2，1

3，

√

3，5

4，D．1

3，1

2，5

4，

√

3，

答案：C

分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.

由题图，直线𝑥=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c

，d

，a

，b

，而

√

3>5

4>1

2>1

3.

故选：C．

3、已知函数𝑓(𝑥)={𝑥−2

,𝑥∈(−∞,0)

𝑙𝑛𝑥,𝑥∈(0,1)

−𝑥2

+4𝑥−3,𝑥∈[1,+∞)

，若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚恰有两个零点，则实数m

不可能

．．．是

（ ）

A．−1B．0C．1D．2

答案：D

解析：依题意画出函数图象，函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚的零点，转化为函数𝑦=𝑓(𝑥)与函数𝑦=𝑚的交点，数形结

合即可求出参数𝑚的取值范围；

解：因为𝑓(𝑥)={𝑥−2

,𝑥∈(−∞,0)

𝑙𝑛𝑥,𝑥∈(0,1)

−𝑥2

+4𝑥−3,𝑥∈[1,+∞)

，画出函数图象如下所示，

函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚的有两个零点，即方程𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚=0有两个实数根，即𝑓(𝑥)=𝑚，即函数𝑦=

(名师选题)2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点归纳总

结(精华版)

单选题

1、基本再生数R

0与世代间隔T

是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世

代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：𝐼(𝑡)=e𝑟𝑡

描述累计感

染病例数I

(t

)随时间t

(单位:天)的变化规律，指数增长率r

与R

0，T

近似满足R

0 =1+rT

.有学者基于已有数据估计

出R

0=3.28，T

=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）

A．1.2天B．1.8天

C．2.5天D．3.5天

答案：B

分析：根据题意可得𝐼(

𝑡)

=𝑒𝑟𝑡

=𝑒0.38𝑡

，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为

𝑡

1天，根据𝑒0.38(𝑡+𝑡

1)

=2𝑒0.38𝑡

，解得𝑡

1即可得结果.

因为𝑅

0=3.28，𝑇=6，𝑅

0=1+𝑟𝑇，所以𝑟=3.28−1

6=0.38，所以𝐼(

𝑡)

=𝑒𝑟𝑡

=𝑒0.38𝑡

，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为𝑡

1天，

则𝑒0.38(𝑡+𝑡

1)

=2𝑒0.38𝑡

，所以𝑒0.38𝑡

1=2，所以0.38𝑡

1=ln2，

所以𝑡

1=ln2

0.38≈0.69

0.38≈1.8天.

故选：B.

小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.

2、已知函数𝑓(𝑥)={𝑥−2

,𝑥∈(−∞,0)

𝑙𝑛𝑥,𝑥∈(0,1)

−𝑥2

+4𝑥−3,𝑥∈[1,+∞)

，若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚恰有两个零点，则实数m

不可能

．．．是

（ ）

A．−1B．0C．1D．2

答案：D

解析：依题意画出函数图象，函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑚的零点，转化为函数𝑦=𝑓(𝑥)与函数𝑦=𝑚的交点，数形结