北师大版八年级下册数学期末几何压轴题专练(含答案)

八下数学期末复习专题 几何压轴题专练

1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，△DAE＝△BAC，连接CE.设△BAC＝α，△DCE＝β.

（1）求证：△DAB△△EAC.

（2）当点D在线段BC上运动时，

①α＝50°，则β＝ °.

②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明.

（3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明.

2．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4.

（1）如图1，当△DAG＝30°时，求BE的长；

（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；

（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长.

3．如图

（1）如图1，在□ABCD中，AE平分△BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于 cm。

（2）如图2，在□ABCD中，若AE，BE分别是△DAB，△CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则▱ABCD的周长为 。

（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是△DAB，△CBA的平分线。求证：DF=EC

（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为 。

4．已知,在 ▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中, 𝐴𝐵⊥𝐵𝐷 , 𝐴𝐵＝𝐵𝐷 , 𝐸 为射线 𝐵𝐶 上一点,连接 𝐴𝐸 交 𝐵𝐷

于点 𝐹 ．

（1）如图1,若点 𝐸 与点 𝐶 重合,且 𝐴𝐹=√5 ,求 𝐴𝐵 的长;

（2）如图2,当点 𝐸 在 𝐵𝐶 边上时,过点 𝐷 作 𝐷𝐺⊥𝐴𝐸 于 𝐺 ,延长 𝐷𝐺 交 𝐵𝐶 于

𝐻 ,连接 𝐹𝐻 ．求证: 𝐴𝐹=𝐷𝐻+𝐹𝐻 ;

（3）如图3,当点 𝐸 在射线 𝐵𝐶 上运动时,过点 𝐷 作 𝐷𝐺⊥𝐴𝐸 于 𝐺 , 𝑀 为 𝐴𝐺

的中点,点 𝑁 在 𝐵𝐶 边上且 𝐵𝑁=1 ,已知 𝐴𝐵=5√2 ,请直接写出 𝑀𝑁 的最小值．

5．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝a，BC＝b，a＞b，点P是边AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．

（1）若PQ△AB，由折叠性质可得△BPC＝ °；

（2）若a＝8，b＝6，且PQ△AB，求C到AB的距离及BP的长；

（3）连接BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式．

6．如图，在平行四边形ABCD中，AB△AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度 𝛼(0°<𝛼≤90°) ，分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.

（1）如图1，在旋转的过程中，写出线段AF与EC的数量关系，并证明；

（2）如图2，当旋转至 90° 时，判断四边形ABEF的形状，并说明理由；

（3）若AB＝1，BC＝ √5 ，求当 𝛼 等于多少度时，BF＝DF？

7．在 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶 中， ∠𝐴𝐵𝐶=90° ， 𝐵𝐴=𝐵𝐶=4 ，将 △𝐴𝐵𝐶 绕点 𝐶 顺时针旋转得到 △𝐴1𝐵1𝐶 ，其中点 𝐴 ， 𝐵 的对应点分别为点 𝐴1 ， 𝐵1 .连接 𝐴𝐴1 ， 𝐵𝐵1 交于点 𝐷 .

（1）如图1，当点 𝐴1 落在 𝐵𝐶 的延长线上时，求线段 𝐴𝐵1 的长；

（2）如图2，当 △𝐴𝐵𝐶 旋转到任意位置时，求证：点 𝐷 为线段 𝐴𝐴1 中点；

（3）若 △𝐴1𝐵1𝐶 从图1的位置绕点 𝐶 继续顺时针旋转 𝛼 （ 0°<𝛼≤90° ），当直线 𝐴𝐵 与直线 𝐴1𝐵1 相交构成的4个角中最小角为 30° 时，求 𝛼 的值.

8．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝2，BD△AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．

（1）求证BF＝AE；

（2）如图②，若F点恰好落在AC，求OF的长；

（3）如图③，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF的面积.

9．如图

（1）如图①，在 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶 中， 𝐴𝐵＝𝐴𝐶 ， 𝐷 为 𝐵𝐶 边上一点(不与点 𝐵，𝐶 重合)，将线段 𝐴𝐷 绕点 𝐴 逆时针旋转 90° 得到 𝐴𝐸 ，连接 𝐸𝐶 ，证明线段 𝐵𝐶 ，

𝐷𝐶，𝐸𝐶 之间满足的等量关系;

（2）如图②，在 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶 与 𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸 中， 𝐴𝐵＝𝐴𝐶，𝐴𝐷＝𝐴𝐸， 将 △𝐴𝐷𝐸 绕点 𝐴 旋转，使点 𝐷 落在 𝐵𝐶 边上，探索线段 𝐴𝐷，𝐵𝐷，𝐶𝐷 之间满足的等量关系，并证明结论;

（3）如图③，在四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， ∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐴𝐶𝐵＝∠𝐴𝐷𝐶＝45° 若

𝐵𝐷＝12，𝐶𝐷＝4， 求 𝐴𝐷 的长.

10．把△ABC绕着点A逆时针旋转 𝛼 ，得到△ADE.

（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若 𝛼=60° ，求△ABC的度数；

（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分△BCE；

（3）如图3，连接CD，如果DE=DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出△F的度数（用含 𝛼 的式子表示）.

11．如图1，在平面直角坐标系中 . 直线 𝑦=−12𝑥+3 与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转 90∘ 得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作 𝐷𝐸⊥𝑥 轴于点E．

（1）求证： △𝐵𝑂𝐶 △ △𝐶𝐸𝐷 ；

（2）如图2，将 △𝐵𝐶𝐷 沿x轴正方向平移得 △𝐵′𝐶′𝐷′ ，当直线 𝐵′𝐶′ 经过点D时，求点D的坐标及 △𝐵𝐶𝐷 平移的距离；

（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上 . 是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．

12．在等边三角形 𝐴𝐵𝐶 中， 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 于 𝐷 ， 𝐴𝐵=2 ．

（1）如图①，点 𝐸 为 𝐴𝐷 的中点，则点 𝐸 到 𝐴𝐵 的距离为 ；

（2）如图②，点 𝑀 为 𝐴𝐷 上一动点，求 12𝐴𝑀+𝑀𝐶 的最小值． （3）（问题解决）

如图③， 𝐴，𝐵 两地相距 600𝑘𝑚 ， 𝐴𝐶 是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点 𝐵 到 𝐴𝐶 的距离为 360𝑘𝑚 ．今计划在铁路线 𝐴𝐶 上修一个中转站 𝑀 ，再在 𝐵𝑀 间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由 𝐴 到 𝑀 再通过公路由 𝑀 到 𝐵 的总运费达到最小值，中转站

𝑀 应修在使 𝐴𝑀= （千米）处．

13．已知Rt△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE△AE，过点B作BD△AE，交AE的延长线于D．

（1）如图1，求证BD=AE；

（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求△EDH的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG△FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，△EHB=△BHG，求线段EH的长．

14．阅读下面材料，并解决问题：

（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求△APB的度数．

为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′△△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出△APB＝ ；

（2）基本运用

请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，△ABC中，△CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且△EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；

（3）能力提升

如图③，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且△AOC＝△COB＝△BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．

15．在 △𝐴𝐵𝐶 和 △𝐴𝐷𝐸 中， ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸=90° ，且 𝐴𝐵=𝐴𝐶 ， 𝐴𝐷=𝐴𝐸 .

（1）如图1，如果点D在BC上，且 𝐵𝐷=4 ， 𝐶𝐷=3 ，求DE的长；

（2）如图2，AD与BC相交于点N，点D在BC下方，连接BD，且 𝐴𝐷⊥𝐵𝐷 ，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，点M是CA延长线上一点，且 𝐶𝑀=𝐴𝐹 ，求证： 𝐶𝐹=𝐴𝑁+𝑀𝑁 ；

（3）如图3，若 𝐴𝐷=𝐴𝐵 ， △𝐴𝐷𝐸 绕着点A旋转，取DE中点M，连接BM，取BM中点N，连接AN，点F为BC中点，连接DN，若DN恰好经过点F，请直接写出 𝐷𝐹:𝐷𝑁:𝐴𝑁 的值.

16．如图1，△ABC是直角三角形，△ACB＝90°，点D在AC上，DE△AB于E，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF.

（1）EF和CF的数量关系为 ；

（2）如图2，若△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上时，小明通过作△ABC和△ADE斜边上的中线CM和EN，再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的数量关系，请写出此时EF和CF的数量关系 ；

（3）若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时，EF和CF的数量关系是什么？写出你的猜想，并给予证明.