矩阵理论

考点1：过渡矩阵、向量在基下的坐标

1、 3中的两组基：

α1=（1，0，-1）T，α2=（2，1，1）T，α3=（1，1，1）T，

ß1=（0，1，1）T，ß 2=（-1，1，0）T，ß 3=（1，2，1）T

求从基α1，α2，α3到ß1，ß 2，ß 3的过渡矩阵，并求向量α=α1+2α2-3α3在基ß1，ß 2，ß 3下的坐标。

解：（1）设从基α1，α2，α3到基ß1，ß 2，ß 3的过度矩阵为P，则

（α1，α2，α3）=（ß1，ß 2，ß 3）P，即：

0 -1 1

1

2 1 1 2 1 -1 0 -1 1

1 1 2 = 0 1 1 P ，故P= 0 1 1 1 1 2

-1 0 1 -1 1 1 -1 1 1 1 0 1

0 1 -1 0 -1 1 0 1 1

= 1 -2 1 1 1 2 = -1 -3 -2

-1 3 -1 1 0 1 2 4 4

（2）因为α=α1+2α2-3α3，可写成α=（α1，α2，α3，）321 ，所以α在基α1，α2，α3 下的坐标为（1,2，-3）T ，由坐标变换公式得其在基ß1，ß 2，ß 3下的坐标为3213211Cyyy=1/2217

考点2：线性变换在基下的坐标

1、(P33 题18) 已知3中的线性变换T在基ε1=（-1，1，1）T，ε2=（1，0，-1）T，ε3=（0，1，1）T下的矩阵是121011101，求T在基e1=（1，0，0）T，e2=（0，1，0）T，e3=（0，0，1）T下的矩阵。

山东大学

硕士学位论文

矩阵理论的历史研究

姓名：董可荣

申请学位级别：硕士

专业：基础数学

指导教师：包芳勋

20070830山东人学硕ｔ‘学位论文

摘要

矩阵是数学中重要的基本概念，是代数学的重要研究对象之一，也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具。本文在前人工作的基础上，以矩

阵理论时俺ｌ发展的先后顺序和矩阵思想的形成过程为线索，对矩阵的历史发

展进行了全面的分析与研究。主要成果如下：

一、详细阐述了矩阵的萌芽过程及其孕育的数学思想。矩阵的思想萌芽历史悠久，我国古代解线性方程组用的是筹算，算筹的排列即为矩阵最早的雏形。矩阵在中国古代的萌芽，孕育了丰富的数学思想与方法，推动了中国

社会政治和经济的发展，奠定了中国传统数学在世界数学发展史上的地位。但那时矩阵概念仅是用来作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，因

而没有将它作为一个独立的概念加以研究。二、详细探讨了矩阵的早期发展以及重要数学家的矩阵理论。探讨了矩

阵早期发展的社会和文化背景，指出众多数学家在二次型、微分方程以及行

列式等方面的工作孕育了矩阵的思想，并重点论述了西尔维斯特关于矩阵理论的早期研究工作。矩阵的理论起源，可追溯到１８世纪，见于著作则是在１９

世纪。西尔维斯特最先使用矩阵一词，引进了与矩阵有关的一些基本概念，给出了矩阵的一些重要结论与著名定理，为矩阵理论的发展做出了重要的贡

献。

三、详细考察了矩阵理论的创立与矩阵思想的形成过程。介绍了凯莱、西尔维斯特与弗罗伯纽斯等人的矩阵理论。阐述了矩阵理论对数学发展的影响。矩阵从零散的知识发展为系统的理论体系，众多的数学家做了大量的工

作。凯莱作为矩阵理论的创立者，首先脱离行列式与方程组对矩阵本身进行研究。西尔维斯特同凯莱等人一起发展了行列式和矩阵的理论，共同奠定了

不变量的理论基础。弗罗伯纽斯等人在矩阵论的发展史上做出了不可磨灭的贡献。四、考察了矩阵的后期发展及应用。阐述了矩阵的现代理论以及在各个

领域中的广泛应用。凯莱把超复数视为矩阵的思想在１９世纪末至２０世纪初

矩阵理论

通过学习矩阵理论这门课，发现在这个大数据的时代，矩阵理论是这个时代的基础学科，也是计算机飞速发展的引擎，它的重要性令我咂舌。一下内容是我对矩阵理论这门课程的总结和描述。

本门课程主要包含以下几部分内容：线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题。

一 线性方程组

对*mn矩阵A施行一次初等行变换(初等行变换)，相当于在A的左边(右边)乘以相应的m阶(n阶)初等矩阵。

由于现代计算机处理的数据越来越多，运行的任务越来越大，因此，对矩阵的处理复杂度就是我们关注的重点。

对行列式的拉普拉斯变换是将一个n阶行列式的计算转化为n个1n阶行列式的计算，但是它的计算时间是!n级。所以拉普拉斯展开定理在理论上非常重要，但在计算上一般仅用于低阶或特殊的行列式。

判断一个算法的优劣，有很多标准，包括时间复杂度和空间复杂度，显然，时间复杂度越小，说明算法效率越高，因此算法也越有价值；而空间复杂度越小，说明算法越好。但主要考虑时间复杂度，因为人生苦短嘛哈哈。

对于一些常用的()fn，成立下列重要关系：

23(1)(log)()(log)()()(2)(3)(!)()nnnOOnOnOnnOnOnOOOnOn

LU分解就是致力于对降低对方程组求解的复杂度。LU分解就是在可以的情况下，将矩阵A分解成单位下三角矩阵和一个上三角的乘积。这样的话，对Axb求解，可以转化为对Lyb求解，然后对Uxy求解。但是，不是每一个矩阵都可以这样分解，是要满足一定的要求的，这个要求就是矩阵A的顺序主子式均不为零。

但是不满足这个条件的矩阵就不能分解了吗？当然不是啦！加入一个方阵A不是顺序主子式不全为零的时候，但是通过行变换，可以满足要求，这样就得了下面这个定理。

如果存在置换矩阵P、单位下三角矩阵L与上三角矩阵U，使得方阵A满足PALU，称作带置换的LU分解。 在计算机处理数据的过程中，由于其精度的问题，可能会出现大数吃掉小数的情况，这就是小主元带来的误差危害，因此在消去的过程中，可以通过选主元技术，以避免方大数据误差。

矩阵理论知识点整理

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3 三、矩阵的若方标准型及分解

-矩阵及其标准型 定理1 -矩阵A可逆的充分必要条件是行列式A是非零常数

引理2 -矩阵A=nmija的左上角元素11a不为0，并且A中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与A等价的nmijbB使得0b11且11b的次数小于11a的次数。

引理3 任何非零的-矩阵A=nmija等价于对角阵0...0.....d21rddr21d,....d,d是首项系数为1的多项式，且1......3,2,,1,/d1ridii

引理4 等价的-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子

推论5 -矩阵的施密斯标准型是唯一的 由施密斯标准型可以得到行列式因子

推论6 两个-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子

推论7 -矩阵A可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积

推论8 两个BAm与矩阵的n等价当且仅当存在一个m阶的可逆-矩阵P和一个n阶的-矩阵Q使得QAPB

推论9 两个-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩