高中数学新学案同步 必修2苏教版 第2章 平面解析几何初步 2.1.5

1.3.2空间几何体的体积学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球

的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．

知识点一柱体、锥体、台体的体积公式

1．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)．

2．锥体的体积公式V＝1

3Sh(S为底面面积，h为高)．

3．台体的体积公式V＝1

3(S′＋S′S＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高)．

4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V＝ShV＝1

3(S′＋S′S＋S)hV＝1

3Sh.

知识点二球的表面积和体积公式

1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．

2．球的体积公式V＝4

3πR3.

知识点三球体的截面的特点

1．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆．

2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问

题的主要途径．

1．锥体的体积等于底面面积与高之积．(×)

2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)

类型一柱体、锥体、台体的体积

例1(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B

1C

1的所有棱长均为1，且AA

1⊥底面ABC，则三

棱锥B1－ABC

1的体积为____________．

答案3

12

解析三棱锥B1－ABC

1的体积等于三棱锥A－B

1BC

1的体积，三棱锥A－B

1BC

1

的高为3

2，底面积为1

2，故其体积为1

3×1

2

×3

2

＝3

12.

(2)现有一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6

cm，高为20cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下

降________cm.

答案0.6

解析设杯里的水下降hcm，由题意知

π2022h＝1

3×20×π×32，解得h＝0.6cm.

反思与感悟(1)常见的求几何体体积的方法

①公式法：直接代入公式求解．

②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．

1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球学习目标1.认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

知识点一圆柱、圆锥、圆台的概念

思考数学中常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台是如何形成的？

答案将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边，垂直于底边的腰所在

的直线旋转一周后，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．

梳理将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．如图所示：

知识点二球

思考球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？

答案以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体．

梳理球的结构特征球定义相关概念图形及表示

球半圆绕着它的直径所在的

直线旋转一周所形成的曲

面叫做球面，球面围成的

几何体叫做球体，简称球球心：半圆的圆心，

半径：半圆的半径，

直径：半圆的直径如图可记作：球O知识点三旋转面与旋转体一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体．

1．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．(√)

2．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．(×)

3．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(×)

类型一旋转体的基本概念

例1判断下列各说法是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；

(2)一直角梯形绕下底所在的直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯

形；(4)在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球．

解(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错．直角梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体，如图所示．

第5课时线面垂直的综合应用学习目标1.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角.2.理解点

到平面的距离的概念，会求简单的点面距离.3.线面平行与垂直的有关定理的综合运用．

知识点一直线与平面所成的角

思考直线与平面所成的角是如何定义的？取值范围是什么？

答案平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成

的角．

规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，

我们说它们所成的角是0°的角．

直线与平面所成的角θ的取值范围是[0°，90°]．

梳理有关概念对应图形

斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，图中直

线PA

斜足斜线与平面的交点，图中点A

射影过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足A和垂

足O的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)，线段

OA就是斜线段PA在平面α内的射影

直线与平面

所成的角定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，图中为∠PAO，

规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或

在平面内，它们所成的角是0°的角

取值范围设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°

知识点二两种距离

1．点到平面的距离

从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．

2．直线和平面的距离

一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平

面的距离．

类型一与线面角有关的问题

例1已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB＝∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC

的平分线上．

证明如图所示，作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连结OE，OF，OA.

PE⊥AB，PF⊥AC

∠PAE＝∠PAF

PA＝PA

⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE＝AF.

⇒AB⊥平面PEO⇒AB⊥OE.

同理，AC⊥OF.

在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE＝AF，OA＝OA，

1.2.2空间两条直线的位置关系学习目标1.了解两条直线的三种位置关系.2.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线

是不是异面直线.3.理解公理4和等角定理，并会用公理4证明线线平行.4.理解异面直线所成的角的概念．

知识点一空间两条直线的位置关系

思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？

答案平行与相交．

教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.

梳理空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数

相交直线在同一平面内有且只有一个

平行直线在同一平面内没有

异面直线不同在任何一个平面内没有知识点二异面直线的判断

思考分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？

答案不一定，可能平行、相交或异面．

梳理判断异面直线的方法

方法内容

定义法不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线

定理法过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是

异面直线

反证法判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线知识点三平行公理(公理4)

思考在平面内有直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，该结论在空间中是否成立？

答案成立．

梳理平行公理

(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

(2)符号表示：a∥b

b∥c⇒a∥c.

知识点四等角定理及异面直线所成的角

思考1观察图象，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC

与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

答案从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.

思考2在平行六面体A1B

1C

1D

1—ABCD中，BC

1∥AD

1，则“直线BC

1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？

答案相等．

梳理(1)等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．