小学数学课程标准与教材分析

⼩学数学课程标准与教材分析

《⼩学数学课程标准与教材分析》

罗少成

本课程的主要内容：

《⼩学数学课程标准与教材分析》课程主要包括两个⽅⾯，⼀⽅⾯是介绍最新版2011版九年义务课程标准⼩学数学学段1-2学段的内容。⼀⽅⾯结合具体的教学内容，依据新课程标准，对于北师⼤版⼩学数学教材进⾏若⼲教学内容的教材分析及拓展。

⼀、2011⼩学数学课程标准简介

⼆、数学思想⽅法

⼀般认为，数学思想和数学⽅法是⼀组既有联系⼜有区别的概

念。

⾸先，数学思想和数学⽅法都与数学知识密切相关，两者都要以相关知识为载体，⼜反过来促进知识的深化以及知识向能⼒的转化；数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应⽤的过程中，是数学知识和⽅法在更⾼层次上的抽象与概括。

其次，数学思想和数学⽅法也具有不同的属性和功能：数学⽅法更多地被看成是解决数学问题或数学地解决问题的规则和程序，具有明确性、具体性、操作性和可仿效性；数学思想是对数学知识、⽅法、规律的⼀种本质认识，具有概括性和普遍性的特点。⽅法是体现相应思想的⼿段，思想则是对应⽅法的精神实质。

第三，数学思想和数学⽅法之间具有相对性。⼀⽅⾯，当⼈们使⽤“数学思想”这个词时，更多的是从知识价值的⾓度来说的，它联系着数学理论的本质；当⼈们使⽤“数学⽅法”这个词时，更多的是从解决问题策略的⾓度讲的，它联系着数学活动⾏为。另⼀⽅⾯，解决任何问题都需要⽅法，但如果解决众多不同问题时都使⽤相同的⽅法，那么这种⽅法也就常常被称为数学思想或数学思想⽅法。

数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。⽽数学⽅法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的⼿段。⼀般来说，前者给出了解决问题的⽅向，后者给出了解决问题的策略。但由于⼩学数学内容⽐较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和⽅法很难截然分开，更多的反映在联系⽅⾯，其本质往往是⼀致的。

（⼀）⼩学数学中蕴涵的数学思想⽅法

尽管数学思想⽅法的内容⼗分丰富，但就⼩学数学教学⽽⾔，我们所关注的应是与⼩学数学知识及其形成过程密切相关的⼀些数学思想⽅法，对学⽣发现和提出问题、分析和解决问题以及对他们后续学习能够产⽣积极影响的⼀些数学思想⽅法，学⽣在获得数学显性知识的同时能够形成初步的感知和直觉的⼀些数学思想⽅法。⼀般来说，作为⼩学数学教学内容的数学思想⽅法的选择，应该遵循以下原

则：⼩学⽣能够感悟和接受，具有合适的知识载体，与知识的学习能．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

够相互促

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．据此，我们．．．．进，对未来的学习和发展具有重要的指导作⽤。

认为，⼩学数学中蕴涵的数学思想⽅法主要包括：抽象、分类、归纳、

．．．．．．．．．

演绎、模型、随机、转化、数形结合、⽅程、函数、集合、对应．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，等

等。虽然这些数学思想⽅法并不都处于同⼀逻辑层⾯，但是，它们应该是⼩学⽣需要感悟、也是能够有所感悟的数学思想⽅法的主体，是组织⼩学数学教学活动时应该关注的重点。考虑到⽅程、函数、集合、对应等数学思想⽅法，近⼆三⼗年来的⼤纲⼀直有所强调，我们相对⽐较熟悉，⽽随机思想将在中篇的有关章节中具体展开，这⾥重点对抽象、分类、归纳、演绎、转化、数形结合和模型等思想作⼀些较为具体的说明。

⼀、抽象抽象通常是指⼈们在对客观事物的属性和特点进⾏分析、⽐较和综合的基础上，舍弃其⾮本质属性⽽抽取其本质属性的思维过程，是⼈们⽤来接近事物本质和形成概念的思维⽅法。

抽象性是数学最本质的特征之⼀。数学中的数、运算、概念、公式、

定理等等⽆⼀不是抽象的产物，就连最简单的数字1也是如此：⼀个⼈、⼀棵树、⼀幢建筑，去掉其中具体的质的内容，只留下“量”的外⾐，即可抽象出数量“l”，并⽤数字“1”把它表⽰出来。

抽象是数学活动中基本的思维⽅法，也是数学化活动的⼀般思想⽅法。作为⼀种数学思想⽅法的抽象，其要旨是：对有关数量关系和空间形式的直观背景材料进⾏去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及⾥的加⼯和提炼，以实现建⽴数学概念、构造数学模型、组织数学体系的⽬的。数学抽象的对象可以是某种现实原型，但更多的则是已经得到并且为⼈们熟知的⼀些数学概念或结构。也就是说，数学抽象是递进的，抽象的结果可以成为更⾼⼀级抽象的研究对象。例如，⾃然数是对⼀类等价集合元素个数抽象的结果，但在“摆⼀个三⾓形⽤3根⼩棒，摆a个三⾓形要⽤3a根⼩棒”。这个情境中，a则可以看成是任意⼀个⾃然数，显然，它⽐任何⼀个⾃然数都具有更⾼的抽象性。

就⼩学数学⽽⾔，抽象⽅法主要体现在数学概念、原理的形成过程

．．．．．．．．．．．．以

及解决实际问题

．．．．．．的过程中。对数学抽象⽅法的初步体会，不仅有助于培养学⽣的数学意识、数学眼光，⽽且有助于逐步提⾼他们的抽象思维⽔平以及分析和解决问题的能⼒。

⽐如，图1-1所⽰的例题中，单位“1”是对“⼀个物体”、“⼀个计量单位”、“⼀个整体”抽象的结果；“平均分成若⼲份”是对“平均分成4份”、“平均分成5份”、“平均分成3份”抽象的结果；“表⽰这样的⼀份或⼏份”则是对“表⽰这样的1份”、“表⽰这样的3份”、“表⽰这样的5份”抽象的结果。⽽上述抽象结论的综合就是所谓分数的意义了。通过这样的数学活动过程，学⽣所获得的就不仅是⼀个已由前⼈经抽象概括⽽形成的数学知识，⽽且还能体会到形成这个知识的数学抽象⽅法。

以上的例⼦是在概念认知过程中的⼀种抽象。其实，在数学学习中，符号化本⾝就是⼀种抽象。除了⽅程中使⽤抽象符号，在解答⼩学数学问题过程中，这种符号化的过程，也体现了抽象的过程。

⽐如下⾯的⼏个题⽬：

（1）⼀个圆柱侧⾯展开是⼀个正⽅形，如果它的底⾯积是15平

⽅厘⽶，那么这个圆柱的侧⾯积是多少平⽅厘⽶？

（2）把⼀个横截⾯是正⽅形的长⽅体⽊料切削成⼀个最⼤的圆柱体，此圆柱的表⾯积是32.97平⽅厘⽶，底⾯直径与⾼的⽐是是1：3，原长⽅体的表⾯积是多少平⽅厘⽶?

（3）有⼀个六位数，它的个位数字是6，如果将6移⾄第⼀位前⾯时，所得到的新的六位数是原数的4倍，那么这个六位数是多少？

（4）⼩丁在他1995年过了⽣⽇后，发现他当时的实际年龄是他出⽣年份的四个数字之和，⼩丁是________年出⽣的．(吉林省第⼋届⼩学数学邀请赛)

（5）在右⾯的竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，那么代表________．(2002年重庆市沙坪坝区⼩学数学竞赛)

在解答这⼏个问题的过程中，均要设法将已知条件以数学符号表⽰出来，这种以数学符号表达相关已知条件，并利⽤这种⽅法解题的过程，本质上是将实际问题抽象成数学问题，再加以解决。⽽⼩学⽣能够达到熟练应⽤此⽅法，需要在数学学习过程中教师逐步引导才可以，绝⾮⼀⽇之功。

再看下⾯两例，此问题的解决则是更⾼层次的⼀种抽象，即通过

对已知条件的分析，获得为我所⽤的结论。

（6）⼀只⼩狗遇到了⼀只豹⼦，撒腿就跑，豹⼦紧紧追赶，眼看就要抓住⼩狗的时候，⼩狗逃到了⼀个圆形池塘的旁边，连忙跳进⽔⾥，豹⼦扑了个空，豹⼦并不⽢⼼，它仅仅地盯着⼩狗，在池边跟着⼩狗跑动，准备在⼩狗游上岸时抓住它。已知豹⼦奔跑的速度是⼩狗游⽔速度的2.5倍，问⼩狗有没有办法在它游上岸时，不被豹⼦抓住？请说明理由。

（7）李明夫妇参加了⼀次聚会，同时出席的还有另外3对夫妇，⼀见⾯时⼤家互相握⼿，当然夫妇之间不握⼿，也没有⼈与同⼀个⼈握2次⼿，握⼿完毕后，李明统计了包括妻⼦在内7个⼈握⼿的次数，发现握⼿的次数互不相同，请问李明的妻⼦握了⼏次⼿?

⼆、分类的思想：

分类通常是指⼀种揭⽰概念外延的逻辑⽅法，也就是以⽐较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归⼊⼀类，不同性质的对象归⼊不同类别的过程。分类也称为划分。

当⼈们遇到⼀件事情不能按同⼀标准统⼀处理时，常常会把这件事情先分成⼏种不同的情形或种类，再制定不同情形或种类的处理规则或办法，然后分别加以解决。这个过程中所蕴涵的就是分类讨论(处理)思想，⽽基于这⼀思想所形成的数学⽅法就是分类讨论(处理)⽅法。显然，分类讨论⽅法是建⽴在分类这⼀基本逻辑⽅法基础之上的。

⽆论是作为逻辑⽅法的分类，还是作为数学思想⽅法的分类讨论，它们在数学学习以及解决数学问题的过程中都有⼗分⼴泛的应

⽤。实践表明，经历分类过程、应⽤分类⽅法有助于学⽣更好地建⽴认知结构，有助于他们全⾯地、合乎逻辑地进⾏思考。

我们可以通过下⾯的若⼲个问题，初步了解分类的思想在⼩学数学中的应⽤。

例题1⽤125块体积相等的⿊、⽩两种⼩正⽅体，⿊⽩

相间地拼成⼀个⼤正⽅体(如下图)。那么露在表⾯上的⿊⾊正

⽅体的个数是多少个?

例题2下图中有多少个带有“△”的长⽅形？

例题3正⽅形ABCD的⾯积为16平⽅厘⽶，求S阴影

注：例题3和下⾯的习题（1）中，既有分类的思想⽅法，也有转化的思想⽅法。

思考题

（1）图中⼤圆直径为20厘⽶，求S阴影

（2）已知右图中⼤正⽅形边长是6厘⽶,中间⼩正⽅形边长是4厘⽶.求阴影部分的⾯积.

（3）在下图中，包含“*”号的长⽅形和正⽅形共有多少个？

（4）1，2，3，4，5，6，7，8，9每个数字只⽤⼀次，同时写出两个含有因数9的三位数，使得它们的和尽可能地⼤？尽可能地⼩？

（5）三边均为整数，且最⼤边为2009的三⾓形共有多少个？A.1008016

B.1009020

C.1010025

D.2019045三、整体的思想：

对数学问题的观察和分析从宏观和⼤处着⼿，整体把握化零为整，往往不失为⼀种更便捷更省时的⽅法

例题1 ⾷堂运来⼀批⼤⽶，第⼀天吃了全部的41，第⼆天吃了余下的53，第三天吃了⼜余下的21，这时还剩下60千克．⾷堂共运来⼤⽶多少千克?

1，然后⽤⽔加满，⼜喝了⼀杯⽔例题2李林喝了⼀杯⽜奶的

6

1，再倒满⽔后⼜喝了半杯，⼜加满⽔，最后把⼀杯都喝了，李林的

3

喝的⽜奶多，还是⽔多？

思考题

（1）任意调换五位数12345的各位数上数字的位置，所得5位数中质数的个数是（）A 4；

B 8；

C 12；

D 0

（2）有⼀个六位数，它的个位数字是6，如果将6移⾄第⼀位前⾯时，所得的新的六位数是原数的4倍，那么这个六位数是多少？

（3）甲⼄两⼈相距100千⽶，两⼈同时出发，相向⽽⾏，甲每⼩时⾛6千⽶，⼄每⼩时⾛4千⽶；甲带的⼀只狗，同甲⼀起出发，每⼩时⾛10千⽶，碰到⼄时它往甲⽅向⾛，碰到甲时它⼜往⼄⽅向⾛，如此继续往返，这只狗⼀共⾛了多少千⽶？

（4）⼀个正⽅形的内部有1996个点，以正⽅形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成⼀些三⾓形．问：⼀共可以剪成多少个三⾓形？如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作⼀⼑，那么共需剪多少⼑？

四、不变量的思想

在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破⼝，往往问了就迎刃⽽解。1，中途⼜有2例题1某班—次集会，请假⼈数是出席⼈数的

4

4，那么这个班共有⼈请假离开，这样⼀来，请假⼈数是出席⼈数的

11

多少⼈？

例题2 有⼀个分数，分母加上1，则为52，分母减去2为94，这个分数是多少？

思考题

（1）教室⾥有若⼲学⽣，⾛了10名⼥⽣后，男⽣⼈数是⼥⽣的1.5倍，⼜⾛了10名⼥⽣后，男⽣⼈数是⼥⽣的4倍。求教室⾥原有学⽣多少名。

（2）甲的钱数是⼄钱数的4倍，若甲给⼄110元，则⼄的钱数是甲钱数的3倍，求甲、⼄原来各有多少元钱？

（3）甲⼄两车在⼀条长10千⽶的环形公路上从同⼀地点沿相反⽅向同时开出，甲车⾏4千⽶与⼄车相遇，相遇后两车速度各加10％继续前进，按此规律每次相遇后速度都增加10％，第三次相遇时甲车离出发点多少千⽶？

（4）⼀个酒精瓶，它的瓶⾝呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所⽰．它的容积为26.4π⽴⽅厘⽶．当瓶⼦正放时，瓶内的酒精