三次函数与四次函数的认知及其应用解读

三次函数与四次函数的认知及其应用

俗话说：时势造英雄. 同样，知识的背景与考纲的制约，造就出三次函数以及四次函数的显赫地位. “何须浅碧深红色，自是花中第一流”：当今高考的导数试题，特别是文科高考导数试题，三次函数自然是无可争议的“当家花旦”，四次函数也逐渐走上前台，并且呈现出与三次函数一争天下的态势. 注意到现行教材中三次函数与四次函数理论的空缺，本文试对上述两函数的图象与性质作以探究与梳理，希望对教与学有所帮助.

一、三次函数的图象与极值 设 )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f . 则 c bx ax x f ++='23)(2

令方程 a b x f 1240)(21-=∆='的判别式，则三次函数的图象与性质当分为三种情形：.00,0111<∆=∆>∆与

此时，注意到“一般存在于特殊之中”，故而考虑循着从特殊到一般的辩证途径去认知三次函数的图象与性质.

特殊：考察下列函数的图象的特征与函数的极值. (1) 443

1)(3

+-=

x x x f （方程0)(='x f 的判别式01>∆情形）； (2) 2)(3+=x x f （方程0)(='x f 的判别式01=∆情形）； (3) x x x f 2)(3+= （方程0)(='x f 的判别式01<∆情形）.

品悟上述函数的共性：(I)它们的图象呈“N ”字形（01>∆时的常态情形更为

形象）；

(II)一次方程0)(=''x f 有实根,o x 并且在点o x 两侧)(x f '' 的符号相反.

由此猜想“一般”，从而认知 1、三次函数的图象

(1)当三次项系数0>a 时，三次函数的图象呈“N ”字形； 当三次项系数0

(2)令方程)(x f ''=0的实根为,o x 则点o x 为三次函数的对称中心与拐点.（证明从

略）.

2、三次函数的极值 (1)三次函数极值的存在性 对于二次方程 0)(='x f 的判别式1∆ (i) )(01x f ⇔

>∆有极大值与极小值.

令方程0)(='x f 的两个实根为2121x x x x <且、，

则当0>a 时，函数图象左“峰”右“谷”：为极小点为极大点21,x x ； 当0

≤∆无极值.

其中，当)(,0x f a 时>在R 上单调递增； 当)(,0x f a 时<在R 上单调递减. (2)三次函数的极值与相应三次方程的实根 (i)三次方程0)(=x f 有一个实根α与两个虚根0)()(<⋅⇔x f x f 极小值极大值.

(ii)三次方程0)(=x f 有二相等实根α

2)()(α-⇔x x f 具有因式三次函数

轴相切处与的图象在点三次函数x x f α)(⇔.

此时，三次方程0)(=x f 有二相等实根 或极小值极大值0)()(=⋅⇔

x f x f

0)(0)(='=ααf f 且.

(iii)三次函数0)(=x f 有一个实根α与两个共轮虚根0)()(=⋅⇔x f x f 极小值极大值 或)(x f 单调且0)(≠'αf . 范例：

1、(07·津). 设函数R a R x a x x x f ∈∈--=其中),()()(2. (1)当a=1时，求曲线)(x f y =在点())2(,2(f 处的切线方程； (2)当a ≠0时，求函数)(x f 的极值；

(3) 当a>3时，证明：存在],0,1[-∈k 使得不等式()()x k f x k f 22cos cos -≥-对任意R x ∈恒成立.

分析：幸会三次函数问题，关于三次函数的认知立即浮上脑海：图象已然在胸，只待展示过程. 在这里，这一特殊的三次函数)(x f 的图象为常态“倒N ”字形，经过原点，并且在点a 处与x 轴相切. 当a>0时，

其图象形如

于是，)(x f 的单调性及其极值系列一片清明. 解：(1)当a=1时，x x x x x x f -+-=--=2322)1()( ∴143)(2-+-='x x x f ∴5)2(,2)2(-='-=f f

∴曲线)(x f y =在点2=x 处的切线方程为),2(52--=+x y 即 .085=-+y x

(2)当x a ax x a x x x f a 22322)()(,0-+-=--=≠时 ))(3(43)(22a x a x a ax x x f ---=-+-=' 令.3

0)(a x a x x f ==

='或

得

以下为比较a a

与3的大小而讨论.

(i)若)(,,0x f x a a

a '<>变化时当则的变化情况如下表：

∴3)(a x x f =

当时取得极小值327

4

)3(a a f -=； 当a x =时取得极大值.0)(=a f (ii)若.3

,0a

a a <

<则 同理可得 )(x f 的极小值;0)(=a f

)(x f 的极大值.274

)3(3a a f -=

(3)证：注意到13

3>⇔>a a

令 x k u x k u 2221cos ,cos -=-=，

则当1,1]0,1[21≤≤-∈u u k 时 ①

又由(1)知当]1,()3

,()(0-∞⊃-∞>a

x f a 在时上递减，

∴欲使不等式 R x x k f x k f ∈-≥-对任意)cos ()cos (22成立， 只要 21u u ≤ 对任意R x ∈成立

只要 )(c o s c o s 22R x x x k k ∈-≥-恒成立 ② 又令 )(cos cos )(2R x x x x g ∈-=

则②等价于 )(max 2x g k k ≥- ③

而且24

1

)211()(),(41)21(cos )(2max 2=---=∈--=x g R x x x g 故

∴由③得 22≥-k k

由此解得 21≥-≤k k 或 ④ 注意到这里],0,1[-∈k 于是由④得1-=k .

因此可知，在区间[-1，0]上存在1-=k ，使得)cos ()cos (22x k f x k f -≥-对任意

R x ∈恒成立.

点评：对于(3)，为利用)(x f 的单调性“脱去”所给不等式中的函数符号“f ”，往往循着“从内向外”的顺序走向深入：首先了解内层函数21,u u 的取值范围，再而锁定所要“立足”的单调区间，进而利用)(x f 在相应区间上的单调性脱去“f ”. 于是，化生为熟或化繁为简的意图得以实现.

2、（08·徽）已知函数 ).(1)1(2

33)(2

3R a x a x x a x f ∈+++-=

(1)已知函数的值求处取得极值在a x x f ,1)(=；

(2)已知不等式01)(2>+-->'a a x x x f 对任意成立，求实数x 的取值范围. 解：(1) )1(3)(2++-='a x ax x f

由题设得 ,0)1(3,0)1(=++-='a a f 即 ∴1=a .

(2)由题设知 01)(2>+-->'a a x x x f 对任意成立 002)2(22>>--+⇔a x x x a 对任意成立.

02

222>++>⇔a x x

x a 对任意成立 （分离参数） ①