2.用Doolittle 分解计算线性代数方程组 （LU 分解，求解）
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡201814513252321321x x x 例 已知线性方程组⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡564221261142321x x x ，用LU 分解求此线性方程组。 解：
设LU A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221261142，⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=101
00
1323121l l l L ，⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=332322
1312
11000u u u u u u U 则：
2
*2*4122641
214233322331322231312321222121131211=++=+==+=+====u l u l l u l l u l u l l u u u 得：2
30212342
1
1
42333231232221131211=
==
======u l l u u l u u u
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴23002340142,10210121001U L .,,b LUx b Ax LU A =∴==
设b Ly y Ux =∴=,
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=∴56410210121001321y y y Ly . 得⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=344y ⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=∴34423002340142321x x x Ux . 得⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=24121x
8. 用追赶法求解三对角线代数方程组 （：单位上三角矩阵：下三角矩阵分解
U L U L ）
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡201814513252321321x x x 解：设
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==100101,000
,231312
3333
3122
2111u u u U l l l l l l L U L A
9. 用迭代法求解线代数方程组
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡251113108481044410321x x x （1）分别写出Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代的计算式；
（2）对任意初值，迭代式是否收敛？为什么？
例 已知方程⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111122*********x x x 。 （1） 分别写出Jacobi 迭代法和G-S 迭代法的迭代式
（2） 判断Jacobi 迭代法和G-S 迭代法的收敛性
解：（1）原方程可化为：1
221
1
22321321321=++=++=-+x x x x x x x x x ，则J ：1
221
1
222113311
2
3211+--=+--=++-=+++k
k k k
k k k
k k x x x x x x x x x
:S G -1
221
1
221211133
11123211+--=+--=++-=++++++k k k k k k k
k k x x x x x x x x x ⇒ 1
2321223133
2123211-=-=++-=+++k k k
k k k
k k x x x x x x x x
（2）B （J ）：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----022101220 B （G ）：⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--200320220
收敛.10,002
2112
20|)(|321<=∴===⇒=-⇒=-ρλλλλ
λ
λλJ B E
发散.12.0,202
003202
2
0|)(|321>=∴===⇒=---⇒=-ρλλλλλλ
λG B E
10. 设线代数方程组
Ax=b, 分别讨论
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=12/12/12/112/12/12/11)2(321011101)1(A A
时，用Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代求解的收敛性。
11. 对于线代数方程组
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡286201140213)1(z y x
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡286102041312)2(γβα
讨论用Gauss-Seidel 迭代求解的收敛性，并说明Gauss-Seidel 迭代法的收敛情况可能因方程组中方程或未知元的改变而改变。
22. 方程012
3
=--x x 在5.10=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式，并建立对应的迭代公式如下： （1）211x x +
=，迭代格式：2111k
k x x +=+； （2）2
31x x +=，迭代格式：32
11k k x x +=+；
（3）1
1
2
-=
x x ，迭代格式：1
1
1-=+k k x x 。 试判别各种迭代格式在5.10=x 附近的收敛性，并估计收敛速度，选一种收敛格式，计算出具有四位有效数字的近似根。 解：设，则
，
，所以方程
在[1.4，
1.5]上有根。
(1)
，，，当时，，所以迭代
格式收敛。
(2)，
，，当时，
，所以迭代格式收敛。
(3)，，，当时，，
