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复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。
2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。
3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。
10125212131i i i i i +-=+-=-。
4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。
5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。
6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。
7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。
8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。
1224(4)2i i -==±。
9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。
11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。
1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。
二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。
（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换试卷一、填空题（每空3分，共30分）1. 设z = x+iy，则| z|=_√(x^2)+y^{2}。
2. 复数z = 3 - 4i的共轭复数¯z=_3 + 4i。
3. 函数f(z)=(1)/(z)在z = 1处的泰勒展开式为∑_n = 0^∞(- 1)^n(z - 1)^n，收敛半径R=_1。
4. 设C为正向圆周| z|=2，则∫_C(dz)/(z - 1)=_2π i。
5. 拉普拉斯变换L[sin at]=_(a)/(s^2)+a^{2}（s>0）。
6. 已知F(s)=(1)/(s(s + 1))，其拉普拉斯逆变换f(t)=_1 - e^-t（t≥slant0）。
7. 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则u与v满足柯西 - 黎曼方程(∂ u)/(∂ x)=_(∂ v)/(∂ y)，(∂ u)/(∂ y)=-_(∂ v)/(∂ x)。
二、选择题（每题4分，共20分）1. 下列复数中，位于第三象限的是（）A. - 1 + iB. 1 - iC. -1 - iD. 1 + i2. 函数f(z)=(1)/(z^2)+1的奇点是（）A. z = i和z=-iB. z = 0C. z = 1和z=-1D. 无奇点。
3. 设C是从z_1=0到z_2=1 + i的直线段，则∫_C(x - iy)dz=（）A. (1)/(2)(1 + i)B. (1)/(2)(1 - i)C. (1 + i)D. (1 - i)4. 拉普拉斯变换L[t^n]=（）（n为正整数，s>0）A. (n!)/(s^n)B. (n)/(s^n)C. (n!)/(s^n+1)D. (n)/(s^n+1)5. 若F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，则L[f'(t)]=（）（s满足一定条件）A. sF(s)B. F(s)-f(0)C. sF(s)-f(0)D. F(s)三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数f(z)=(z)/((z - 1)(z - 2))在1<| z|<2内的洛朗级数展开式。
答案：一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1sin )44--+i ππ2、1,1-+--i i3、2104+-=v u4、4+k e ππ5、12+i二、计算与解答题（本大题共8小题，每小题9分，总计72分）1.223e ()d ()==-⎰f z z ξξξξξ， 当(1)||3,>z 22023e e ()()d =2[]'|()==-=-⎰z f z i z ξξξξξξπξξ 220222e ()e 212|2()=----==-z z i i z z ξξξξππξ (2)0||3,<<z 122222e e ()()d d -=+-⎰⎰C C z f z z ξξξξξξξξ2222221e e 21222----=+=z z z z i i i z z z πππ(3)0=z ，22033e 2()d (e )''|42!=====⎰i f z i ξξξξπξπξ 2、2()()(,)=++f z x y iv x y φ，由于2(,)()=+u x y x y φ为调和函数，故=-xx yy u u ，即''()2=-y φ，212()=-++y y C y C φ.由C-R 方程，12=,2==-+=-x y y x u x v u y C v 从而得到 132=++v xy C x C . 由于(0)'(0)0==f f ，得1230===C C C . 因此2222()(,)2,()2=-==-+=，y y v x y xy f z x y xyi z φ. 3、将函数21()-=z f z z在将01=z 处展开成泰勒级数，并指出收敛半径. 收敛半径1=R ，即|1|1-<z2101111()(1)()'(1)()'11(1)((1)(1))'(1)(1)∞∞+==-==--=--+-=----=--∑∑n n n nn n z f z z z z z z z z n z4、333241111()cos (1)2!4!2!4!==-+-=-+-z f z z z z z z z z11Re [(),0]4!24==s f z5、扩充复平面内函数3e ()(1e )=-zz f z z 的奇点为,0∞和使10,1,12,0,1,2,-=====±±z z e e z Ln i k k π当220,11(1)(1)2!2!2!=-=-+++=---=---z z z z k e z z z故0=z 是()f z 的四级极点.设()1,(2)0,'(2)0=-=≠z g z e g k i g k i ππ2,1,2,==±±z i k k π是一级极点.又lim 2→∞=∞k k i π，故∞不是孤立奇点.6、841d (2)(5)=--⎰z z z z812Re [(),]2(Re [(),5]Re [(),])===-+∞∑k k i s f z z i s f z s f z ππ851Re [(),5]lim(5)(),Re [(052→=-=∞-），]＝z s f z z f z s f z 所以，原式8152-＝-2iπ7、ℱ0000[()cos ]()cos ()2-+∞+∞---∞-∞+=⋅=⋅⎰⎰i t i t iwtiwte ef t t f t t edt f t e dt ωωωω00()()0011()()[()()]22+∞---+-∞=⋅+⋅=-++⎰i t i tf t e f t e dt F F ωωωωωωωωℱ0000[()cos ]()cos cos |1+∞--=-∞===⎰i t i t t f t t t te dt te ωωωδωω8、两边Laplace 变换得 2()(4)(1)=++sY s s s求逆变换得 4441()c o s s in 171717-=-++t y t e t t 三1、由卷积定理L a t t af t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰0d )(L ss aF t f 1)(]1*)([⋅=3、由C-R 方程 得 '()0=+=-=x x y y f z u iv v iu ，得0====x x y y u v v u ，从而12,==u c v c ，故()f z 在D 内恒为常数.。
复变函数与积分变换(专升本)阶段性作业1总分：100分得分：0分一、填空题1. |z-i|=|z-1|的图形是___(1)___ .(6分)(1). 参考答案: 线段i到1的垂直平分线二、判断题1. 若存在，则在处解析。
(6分)正确错误参考答案：错误解题思路：2. 解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。
(6分)正确错误参考答案：正确解题思路：3. 若和的偏导数连续，则可导。
(6分)正确错误参考答案：错误解题思路：4. 若是的奇点，则在处不可导。
(6分)正确错误参考答案：错误解题思路：三、单选题1. (cos+isin)3= 。
(5分)(A) cos(3)+isin(3)(B) cos(C) cos(3)+3isin(3)(D) cos参考答案：A2. 设z=x+iy，则下列函数为解析函数的是。
(6分)(A) f（z）=x2-y2+i2xy(B) f（z）=x-iy(C) f（z）=x+i2y(D) f（z）=2x+iy参考答案：A3. 在复平面上方程|z-1|+|z+1|=4表示。
(5分)(A) 直线(B) 圆周(C) 椭圆周(D) 抛物线参考答案：C4. 设，则的零点个数为。
(5分)(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3参考答案：C5. 关于函数，以下哪个说法是错误的。
(5分)(A) 它是有界函数(B) 它是周期函数(C) 它仅有实零点(D) 它是解析函数参考答案：A6. 。
(6分)(A)(B)(C)(D)参考答案：C7. arg。
(5分)(A) -(B) -+2,(k=0,±1,±2)(C)(D) +2,(k=0,±1,±2)参考答案：C8. ln(-4-3i)= 。
(6分)(A) ln5+i(-π+arctg)(B) ln5+i(π+arctg)(C) ln5+i(-π+arctg)(D) ln5+i(π+arctg)参考答案：A9. 2sini= 。
[试题分类]:复变函数与积分变换[题型]:单选[分数]:2分1.复数 3 – 2i的虚部为（）。
A. 3B.– 2iC.– 2D.–i[答案]:C2.算式(3 – 2i) – (–1 + i) 的值等于（）。
A. 4 –iB. 4 – 3iC. 2 –iD. 2 – 3i[答案]:B3.算式(–1 + i)2的值等于（）。
A. –2iB. 2 – 2iC. 2D. 2i[答案]:A4.算式的值等于（）A.B.C.D.[答案]:D5.已知z1和z2 是两个复数，以下关于共轭复数运算的式子（）是正确的。
A.B.C.D.[答案]:A6.方程组的解为（）。
A.B.C.D.[答案]:B7. 复数的三角表示式为（）。
A.B.C.D.[答案]:D8.复数z的主辐角在（）上不连续。
A. 负实轴B. 正实轴C. 原点及负实轴D. 原点及正实轴[答案]:C9. 复数的三角表示式为（）。
A.B.C.D.[答案]:D10. 的值等于（）。
A.8iB.–8iC. 8D.–8[答案]:B11. 圆周方程的复数形式为（）。
A.B.C.D.[答案]:A12.复数的模等于（）。
A.13B.49C.7D.[答案]:C13.复数6 – 8i的模等于（）。
A. 10B.–10C.D. 100[答案]:A14.复数2 + 3i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:B15.复数–4 + 6i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:D16.复数–1 – 2i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:B17.复数 1 – 2i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:C18.以下式子中，不正确的是（）。
（注：Re表示实部，Im表示虚部）A.2i > 0B.| 2i | > 1C.Re (2i) = 0D.Re (2i) < Im (2i)[答案]:A19.以下（）不是方程的根。
A.B.C. 2D. –2[答案]:C20. 以下复数中只有（）是方程的根。
复变函数与积分变换试题本试题分两部分，第一部分为选择题，1页至3页，第二部分为非选择题，4页至8页，共8页；选择题40分，非选择题60分，满分100分，考试时间150分钟。
第一部分 选择题一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1． 复数i 258-2516z =的辐角为（ ）A ． arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 212．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ ）A ． 圆B ．直线C ．椭圆D ．双曲线 3．复数)5,-isin 5-3(cos z ππ=的三角表示式为（ ）A ．)54isin ,543(cos -ππ＋B ．)54isin ,543(cos ππ－C ．)54isin ,543(cos ππ＋D ．)54isin ,543(cos -ππ－4．设z=cosi ，则（ ）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π 5．复数i3e+对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw 等于（ ）A ．4π－B ． 1,0,k ,42k ±=ππ－ C ．4πD ． 1,0,k ,42k ±=+ππ7．函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03argz 0<<<z π＜映射成W 平面上的区域（ ） A ．4||,032argz 0<<<w π＜ B ．4||,03argz 0<<<w π＜C ． 2||,032argz 0<<<w π＜D ．2||,03argz 0<<<w π＜8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-c n a z z f 1)()(等于（ ）A ．)()!1(2)1(a f n in ++π B ．)(!2a f n i π C ．)(2)(a if n π D ．)(!2)(a f n in π9．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-c n i z dz1)(等于（ ）A ． 1B ．2πiC ．0D ．iπ21 10．设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰c z dz||等于（ ）A ．0B ．2πiC ．2πD ．－2π 11．设函数f(z)=⎰zd e 0ζζζ，则f （z ）等于（ ）A ．1++zze ze B ．1-+zze ze C ．1-+-zze ze D ．1+-zze ze 12．设积分路线C 是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周，则⎰+c 2dz z 1z 等于（ ）A ．i 2π+B ．i -2πC ．i -2-πD ．i 2-π+13．幂级数∑∞=1n 1-n n!z 的收敛区域为（ ）A ．+∞<<|z |0B ．+∞<|z |C ．-1|z |0<<D ．1|z |<14．3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的（ ）A ． 一阶极点B ．可去奇点C ．一阶零点D ．本性奇点 15．z=-1是函数41)(z zcot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 16．幂极数∑∞=+1n nz (2n)!1)!n （的收敛半径为（ ） A ． 0 B ．1 C ．2 D ．＋∞ 17．设Q （z ）在点z=0处解析，1)-z(z Q(z)f(z)=,则Res[f(z),0]等于（ ）A ． Q （0）B ．－Q （0）C ．Q ′（0）D ．－Q ′（0） 18．下列积分中，积分值不为零的是（ ）A ．2|1-z C 3)dz,2z (z c3=++⎰为正向圆周｜其中B ．5|zC dz,e cz =⎰为正向圆周｜其中C ．1|z C dz,sinz zc =⎰为正向圆周｜其中 D ．2|z C dz,1-z cosz c =⎰为正向圆周｜其中19．映射2z z w 2+=下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ）A ．21|1z |>+B ．21|1z |<+C ．21|z |>D ．21|z |<20．下列映射中，把角形域4argz 0π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）A ．1-z 1z w 44+=B ．1z 1z w 44＋－=C ．i z i z w 44＋－=D ．i-z iz w 44+=第二部分 非选择题（共60分）二、填空题（本大题共10空，每空2分，共30分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
错填或不填均无分。
21．复数484z +=i 的模|z|＝_____________________。
22．设100i)(1z +=，则Imz ＝______________________。
23．设z=i2e+，则argz ＝____________________________。
24．f （z ）的可导处为_______________________________。
25．方程Inz=i 3π的解为_________________________。
26．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰+c )dz z z1(=___________________________。
27．设C 为正向圆周|z －i|=21,则积分⎰c 2zdz i)-z(z e π=___________________。
28．设C 为正向圆周|ζ |=2，⎰=c d z -3sinf(z)ζζπ，其中|z|<2，则f ′(1)=___________________。
29．幂极数∑∞=1n nnz nn!的收敛半径为________________________。
30．函数f(z)=]1)(z 11z 1[1z15+++++在点z=0处的留数为__________________。
三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31．求22y -2x y x u +=的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1。
32．计算积分⎰+=c dz |z |zz I 的值，其中C 为正向圆周|z|=2。
33．试求函数f(z)=ζζd e z-2⎰在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。
34．计算积分⎰+=c 22zdz 3i)(z i)-(z e I π的值，其中C 为正向圆周|z-1|=3。
四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。
每题10分，共20分） 35．利用留数求积分dx 910x x cosxI 240++⎰∞+＝的值。
36．设Z 平面上的区域为2|i -z |,2|i z |D <>+：，试求下列保角映射（1）(z)f w 11=把D 映射成W 1平面上的角形域ππ43argw 4D 11<＜：； （2）)(w f w 121=把D 1映射成W2平面上的第一象限2argw 0D 22π<＜：;（3）w=f 3(w 2)把D 2映射成W 平面的上半平面：Imw>0; （4）w=f(z)把D 映射成G 。
37．积分变换（1）设=)F(ω,a 是一个实数，证明（2）利用拉氏变换解常微分方程初值问题：{1,y '-2y;y'-1.(0)y'0,y(0)=+==复变函数与积分变换试题参考答案及评分标准一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)1．B 2．D 3．C 4．A 5．A 6．B 7．A 8．D 9．C 10．A 11．D 12．C 13．B 14．B 15．C 16．D 17．B 18．D 19．A 20．C 二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）21.8 22．0 23．1 24．z=0 25．),3i (121z +=或3ie π26．4πi 27．－2π(π+i) 28．i,33π或3cos3i 2πππ⋅29．E 30．6三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31．解1：2y -2x yu2y 2x x u =∂∂+=∂∂， ，由C －R 条件，有yu-x v ,x x y v ∂∂=∂∂∂∂=∂∂， ⎰⎰++=+=∂∂=∴(x)y 2xy 2y)dy (2x dy xvv 2ϕ。
（2分） 再由yu-2y -2x (x )'2y x u ∂∂=+=+=∂∂ϕ， 得-2x (x)'=ϕ，于是C -x (x )2+=ϕ，C x -y 2x y v 22++=∴。
（4分）由1,v(0,0)=得1C ＝。
故1x -y 2x y v 22++= （5分） 解2： C dy yvdx x v y)v(x y )(x,(0,0) +∂∂+∂∂=⎰⎰+++=y)(x,(0,0)C2y)dy (2x 2x)dx -(2y（2分）C y 2x y -x 22+++= (4分)以下同解1。
32．解1：⎰⎰⎰+⋅==+c- c )d isin 2i(cos 2cos 2Rezdz 21dz |z |z z ππθθθθ (3分)i 4)d cos2(14i 0πθθπ=+=⎰。
（5分）解2：⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+c 20 i i -i d 2ie 22e 22e dz |z |z |z |z πθθθθ (3分)i 40)2i(2ππ=+＝。
（5分）33．解：因为∑∑∞=∞=+∞<===0n 2nn 0n n 2z -)z (| z n!(-1)n!)(-z e(z)' f 2｜，（2分）所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得∑⎰∞=++∞<+==0n 12n n z)z (| 12n z n!(-1))d (' f (z) f ｜ζζ (5分)34．解：因在C 内22z3i)(z i)-(z e f(z)+=π有二阶级点z=I ，所以 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→c2i z f(z)i)-(z dz d lim 1!i 2f(z)dz π （2分） i)2(-116ππ+=。
（5分）四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。
