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3.1 导数
课堂导学
三点剖析
一、求函数的平均变化率
【例1】 求y =2x 2+1在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.
解析：当自变量从x 0到x 0+Δx 时函数的平均变化率为：
x x x x x x f x x f ∆+-+∆+=∆-∆+)
12()]1(2[)
()(2
0000
=4x 0+2Δx
温馨提示
求函数f (x )平均变化率的步骤：
(1)求函数值的增量Δf =f (x 2)-f (x 1)
(2)计算平均变化率1
212)
()(x x x f x f x f --=∆∆
二、利用导数的定义求导
【例2】 利用导数的定义求下列函数的导数.
(1)y =x 2+ax +b ;(2)y =.1
x
解析：Δy =(x +Δx )2+a (x +Δx )+b -x 2-ax -b
=(Δx )2+a (Δx )+2x Δx .
x x
x x a x x y ∆∆
+∆+∆=∆∆·2)()(2=Δx +a +2x .
y ′=0lim →∆x (Δx +a +2x )=2x +a .
(2)Δy =x x x 1
1-∆+
.
21,21·21
lim .
)(··1.
)(··2
3
230222--→∆-='-=-=∆∆∴∆++∆+-=∆∆∴∆++∆+∆
-=∆+∆+-=x y x x x x y x x x x x x x y
x x x x x x x
x x x x x x x 即
温馨提示
利用定义求导数分三步：①求Δy ;②求x y ∆∆;③求x y x ∆∆
→∆0lim .
三、利用导数求切线方程
【例3】 求函数y =4
1x 2在点P (2,1)处切线的方程. 思路分析：利用导数求切线方程的步骤：
①先求出函数y =f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0);
②根据直线方程的点斜式，得切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0).
解：欲求切线方程需先求过点P 的切线的斜率K =.lim 0x y x ∆∆→∆而Δy =41
(2+Δx )2-41×22=21×2Δx +41(Δx )2
, ∴1)41
221(lim lim 00=∆+⨯∆∆→∆→∆x x y x x
∴过点p 的切线方程为y -1=x -2.
即x -y -1=0.
温馨提示
f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)，即为在该点处的切线的斜率，这是导数的几何意义.
各个击破
类题演练1
求函数y =x 3-2,当x =2时，x y
∆∆的值.
解：Δy =(x +Δx )3-2-(x 3-2)
=(2+Δx )3-23
=(Δx )3+6(Δx )2+12Δx ∴x y
∆∆=(Δx )2+6Δx +12
变式提升1
自由落体运动方程为s =21
g t 2,计算从3 s 到3.1 s 内的平均速度.
解：Δt =3.1-3=0.1(s)
Δs =s (3.1)-s(3)=21
g×3.12-21g×32
=0.305g cm ∴1.0305.0
g
t s v =∆∆==3.05g(m /s)
类题演练2
求函数y =x 在x =1处的导数.
解析：Δy =111
1
1,11+∆+=∆-∆+=∆∆-∆+x x x x y
x
|21
|,21111lim 10='=+∆+=→∆x x y x
变式提升2
已知f (x )在x 0处可导，则h
h x f h x f h 2)()(lim 000--+→等于( ) A.21f ′(x 0)
B.f ′(x 0)
C.2f ′(x 0)
D.4f ′(x 0) 解析：转化成导数的定义.
).()]()([2
1])()(lim )()(lim [21])()()()([21lim 2)]()([)()(lim 2)
()(lim 0000000000000000000000x f x f x f h
x f h x f h x f h x f h
x f h x f h x f h x f h
x f h x f x f h x f h
h x f h x f h h h h h '='+'=---+-+=---+-+=----+=--+→→→→→ 答案：B
类题演练3
求曲线y =x x
-1上一点p (4,-47)处的切线方程. 解析：由导数的定义，求得
y ′=-.165)4(,3
2112-='∴-f x ∴所求切线的斜率为-
165. 所求切线方程为5x +16y +8=0
变式提升3
已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且直线l 与曲线C 相切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l
的方程及切点坐标.
解：∵直线l 过原点，则k =0
0x y (x 0≠0). 由点(x 0,y 0)在曲线c 上得y 0=x 3
0-3x 20+2x 0, ∴.230200
0+-=x x x y 由导数的定义，求得 y ′=3x 2-6x +2,
∴k =3x 2
0-6x 0+2.
又k =x 20-3x 0+2,∴3x 20-6x 0+2=0
x y =x 2
0-3x 0+2
整理得2x 2
0-3x 0=0.
∵x 0≠0,∴x 0=23.此时y 0=83-,k =-41
.
因此直线l 的方程为y =-41
x ,
切点坐标为(83
,23
-,).。
