解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等40分钟限时练(六)带答案人教版新高考分类汇编

高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0 C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0(汇编福建理）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 的值为 .3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．评卷人得分三、解答题4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222=-y x ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；（3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值. 【汇编高考真题上海理22】（4+6+6=16分）5．已知,A B 分别是直线33y x =和33y x =-上的两个动点，线段AB 的长为23是AB 的中点，点P 的轨迹为.C（1）求轨迹C 的方程；（2）过点(1,0)Q 任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与轨迹C 交于,M N 两点，与y 轴交于R 点。

若,,RM MQ RN NQ λμ==证明：λμ+为定值。

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高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．（汇编年高考浙江卷（文））如图F1.F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点（）A．B分别是C1.C2在第二.四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（）A． 2 B． 3 C．32D．622．1 ．（汇编年高考四川卷（文））从椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上一点P向x轴作（第9题图）垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 （ ）A ．24B ．12C ．22D ．323．(汇编江苏)抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1617B ．1615C ．87D ．04．（汇编安徽理数）5、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A 、2,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B 、5,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、6,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、()3,05．（汇编四川文数）(3)抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（ ） (A ) 1 (B )2 (C )4 (D )86．（汇编）已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )A ．53 B ．43 C ．54 D ．327．（汇编全国Ⅱ理9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(22)，B ．(25)，C ．(25)，D ．(25)，8．（汇编福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ．B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A A ．33 B ．32 C ．22 D ．23 9．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为A.2B.3C.4D. 510．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是____________第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11． 椭圆1422=+y x 的长轴长等于 ▲ . 12．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ．命题甲：“a MF MF 2||||21=-（a 为常数）”；命题乙：“ M 点轨迹是F 1、F 2为焦点的双曲线”．则甲是乙的 ▲ ．条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)13．椭圆()012222>>=+b a by a x ，直线l 过右焦点F 与椭圆相交于B A ,两点，倾斜角为3π，若FB AF 2=，则离心率为 . 14．抛物线24y x =上有两点A,B 分别在x 轴的上下两侧，F 为焦点，FA=2，FB=5，若在AOB 这段曲线上存在点P 使APB 面积最大，则此时点P 的坐标是15．若抛物线y 2=2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________。

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《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》
单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．（汇编福建理2）以抛物线24y x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为
( )
A ．22x +y +2x=0
B ．22x +y +x=0
C ．22x +y -x=0
D ．22
x +y -2x=0 第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分 二、填空题
2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12
，右焦点为F (c,0)，方程ax 2 －bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________．。

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专题限时集训(六) 直线与圆、抛物线 椭圆 双曲线1．[多选](2020·新高考全国卷Ⅰ)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线ACD [对于选项A ，∵m >n >0，∴0<1m <1n ，方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 21m ＋y 21n ＝1，∴该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于选项B ，∵m ＝n >0，∴方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 2＋y 2＝1n ，该方程表示半径为1n的圆，错误；对于选项C ，∵mn <0，∴该方程表示双曲线，令mx 2＋ny 2＝0⇒y ＝±－mnx ，正确；对于选项D ，∵m ＝0，n >0，∴方程mx 2＋ny 2＝1变形为ny 2＝1⇒y ＝±1n，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD ．] 2．(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55 B ．255 C ．355 D ．455B [因为圆与两坐标轴都相切，点(2，1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，所以(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5，所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x －y －3＝0的距离为|2×1－1－3|22＋(－1)2＝255或|2×5－5－3|22＋(－1)2＝255，故选B ．] 3．(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9C [法一：因为点A 到y 轴的距离为9，所以可设点A (9，y A )，所以y 2A ＝18p .又点A 到焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为12，所以⎝⎛⎭⎫9－p 22＋y 2A ＝12，所以⎝⎛⎭⎫9－p 22＋18p ＝122，即p 2＋36p －252＝0，解得p ＝－42(舍去)或p ＝6.故选C ．法二：根据抛物线的定义及题意得，点A 到C 的准线x ＝－p2的距离为12，因为点A 到y轴的距离为9，所以p2＝12－9＝3，解得p ＝6.故选C ．]4．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8C [设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5. ∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∴⎩⎨⎧16p2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.]5．(2020·全国卷Ⅰ)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0D [法一：由⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0 ①，得⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，所以圆心M (1，1)．如图，连接AM ，BM ，易知四边形P AMB 的面积为12|PM |·|AB |，欲使|PM |·|AB |最小，只需四边形P AMB 的面积最小，即只需△P AM 的面积最小．因为|AM |＝2，所以只需|P A |最小．又|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，所以只需直线2x ＋y ＋2＝0上的动点P 到M 的距离最小，其最小值为|2＋1＋2|5＝5，此时PM ⊥l ，易求出直线PM 的方程为x －2y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋2＝0，x －2y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以P (－1，0)．易知P ，A ，M ，B 四点共圆，所以以PM 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝⎝⎛⎭⎫522，即x 2＋y 2－y －1＝0 ②，由①②得，直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0，故选D ．法二：因为⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，所以圆心M (1，1)．连接AM ，BM ，易知四边形P AMB 的面积为12|PM |·|AB |，欲使|PM |·|AB |最小，只需四边形P AMB 的面积最小，即只需△P AM 的面积最小．因为|AM |＝2，所以只需|P A |最小．又|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，所以只需|PM |最小，此时PM ⊥l .因为PM ⊥AB ，所以l ∥AB ，所以k AB ＝－2，排除A ，C ．易求出直线PM 的方程为x －2y ＋1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋2＝0，x －2y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以P (－1，0)．因为点M 到直线x ＝－1的距离为2，所以直线x ＝－1过点P 且与⊙M 相切，所以A (－1，1)．因为点A (－1，1)在直线AB 上，故排除B ．故选D ．]6．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [法一：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1，2)，N (4，4)，易知F (1，0)，所以FM →＝(0，2)，FN →＝(3，4)，所以FM →·FN →＝8.故选D ．法二：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，得x 2－5x＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＞0，y 2＞0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D ．]7．(2020·全国卷Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2B [法一：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3，故选B ．法二：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以S △PF 1F 2＝b 2tan θ2＝3tan 45 °＝3(其中θ＝∠F 1PF 2)，故选B ．]8．(2020·全国卷Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12D [易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0＞0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程为y ＝12x ＋12.]9．(2016·全国卷Ⅰ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2A [法一：如图，因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝ 2.法二：如图，因为MF 1⊥x 轴，所以|MF 1|＝b 2a .在Rt △MF 1F 2中，由sin ∠MF 2F 1＝13得tan ∠MF 2F 1＝24. 所以|MF 1|2c ＝24，即b 22ac ＝24，即c 2－a 22ac ＝24，整理得c 2－22ac －a 2＝0， 两边同除以a 2得e 2－22e －1＝0. 解得e ＝2(负值舍去)．]10．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．4B [因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x －2)，y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝⎛⎭⎫32，32，所以|OM |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B ．]11．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ．5 A [如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c 24①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c ，所以|PQ |＝2a 2－⎝⎛⎭⎫a 2c 2.由|PQ |＝|OF |，得2a 2－⎝⎛⎭⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A ．]12．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32B [由题意知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x .因为D ，E 分别为直线x ＝a 与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D (a ，b )，E (a ，－b )，所以S △ODE ＝12×a ×|DE |＝12×a ×2b＝ab ＝8，所以c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16，当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，所以c ≥4，所以2c ≥8，所以C 的焦距的最小值为8，故选B ．]13．(2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34A [如图所示，由题意得A (－a ，0)，B (a ，0)，F (－c ，0)． 由PF ⊥x 轴得P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 设E (0，m )，又PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m (a －c )a. ①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a. ②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.故选A ．]14．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14D [由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，∴点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14，故选D ．] 15．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．32A [不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.] 16．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1B [由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，连接F 1A (图略)，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝a23a 2＝13，所以13＝1－2⎝⎛⎭⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B ．]17．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.2 [法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x消去x 得y 2＝4⎝⎛⎭⎫1k y ＋1，即y 2－4k y －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.由∠AMB ＝90°，得MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.法二：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.]18．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．2 [法一：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，如图．所以|OF 1|＝|OB |，所以∠BF 1O ＝∠F 1BO ，所以∠BOF 2＝2∠BF 1O .因为F 1A →＝AB →，所以点A 为F 1B 的中点，又点O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥BF 2，所以F 1B ⊥OA ，因为直线OA ，OB 为双曲线C 的两条渐近线，所以tan ∠BF 1O ＝a b ，tan ∠BOF 2＝ba .因为tan ∠BOF 2＝tan(2∠BF 1O )，所以b a ＝2×ab 1－⎝⎛⎭⎫a b 2，所以b 2＝3a 2，所以c 2－a 2＝3a 2，即2a ＝c ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2. 法二：因为F 1B →·F 2B →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，在Rt △F 1BF 2中，|OB |＝|OF 2|，所以∠OBF 2＝∠OF 2B ，又F 1A →＝AB →，所以A 为F 1B 的中点，所以OA ∥F 2B ，所以∠F 1OA ＝∠OF 2B ．又∠F 1OA ＝∠BOF 2，所以△OBF 2为等边三角形．由F 2(c ，0)可得B ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，因为点B 在直线y ＝b a x上，所以32c ＝b a ·c 2，所以ba ＝3，所以e ＝1＋b 2a2＝2.] 19．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为____________．(3，15) [不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝(x ＋4)2＋y 2＝64，x ＞0，y ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)． 一题多解：依题意得|F 1F 2|＝|F 1M |＝8，|F 2M |＝4，cos ∠MF 1F 2＝82＋82－422×8×8＝78，则tan ∠MF 1F 2＝157. 所以直线MF 1的方程为y －0＝157(x ＋4)． 设M (6cos θ，25sin θ)，因为M 点在直线MF 1上， 所以25sin θ＝157(6cos θ＋4)， 结合sin 2θ＋cos 2θ＝1且sin θ＞0，cos θ＞0得cos θ＝12，sin θ＝32，即M 点的坐标为(3，15)．]1．(2020·武汉部分学校质量检测)已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E的焦距为( )A ．4B ．5C ．8D ．10D [因为a ＝4，离心率e ＝c a ＝54，所以c ＝5，所以双曲线的焦距2c ＝10，选D ．]2．(2020·中山模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点、左顶点、左焦点分别为B ，A ，F ，中心为O ，其离心率为12，则S △ABF ∶S △BFO ＝( )A ．1∶1B ．1∶2C ．(2－3)∶2D ．3∶2A [由题意可知，S △ABF ＝12(a －c )·b ，S △BFO ＝12cb ，则S △ABF S △BFO＝12(a －c )b 12cb ＝a －cc ＝ac －1＝2－1＝1.故选A ．]3．(2020·惠州第一次调研)设双曲线的一条渐近线为直线y ＝2x ，且一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A ．54x 2－5y 2＝1B ．5y 2－54x 2＝1C ．5x 2－54y 2＝1D ．54y 2－5x 2＝1C [抛物线y 2＝4x 的焦点为点(1，0)，则双曲线的一个焦点为点(1，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝212＝a 2＋b 2，得⎩⎨⎧a 2＝15b 2＝45，所以所求方程为5x 2－54y 2＝1，选C ．]4．(2020·长沙模拟)过坐标原点O 作圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的两条切线，切点为A ，B ，直线AB 被圆截得的弦长为( )A ．265B ．465C ． 6D ．365B [设圆心为P ，由切线长定理可知|OA |＝|OB |，且OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，|OP |＝32＋42＝5，半径r ＝1，所以|OA |＝|OB |＝2 6.因为AB ⊥OP ，所以S 四边形OAPB ＝12|OP |·|AB |＝2S △OAP ，所以|AB |＝4S △OAP |OP |＝4×12×26×15＝465.选B ．] 5．(2020·太原模拟)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与椭圆E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A．2－1 B．5－12C．22D．2＋1A[不妨设椭圆E的焦点在x轴上，如图所示．∵△PF1F2为直角三角形，∴∠PF1F2＝90°，∴|PF1|＝|F1F2|＝2c，|PF2|＝22c，则|PF1|＋|PF2|＝2c＋22c＝2a，解得e＝ca＝2－1.故选A．]6．(2020·平顶山模拟)若倾斜角为60°的直线l与圆C：x2＋y2－6y＋3＝0交于M，N两点，且∠CMN＝30°，则直线l的方程为()A．3x－y＋3＋6＝0或3x－y＋3－6＝0B．3x－y＋2＋6＝0或3x－y＋2－6＝0C．3x－y＋6＝0或3x－y－6＝0D．3x－y＋1＋6＝0或3x－y＋1－6＝0A[依题意，圆C：x2＋(y－3)2＝6.设直线l：3x－y＋m＝0，由∠CMN＝30°，且圆的半径r＝6，得圆心C到直线l的距离d＝62＝|m－3|2，解得m＝3±6.故直线l的方程为3x－y＋3＋6＝0或3x－y＋3－6＝0.故选A．]7．(2020·郑州模拟)已知点A(－5，0)，B(－1，－3)，若圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是()A．(1，5) B．(1，5)C．(2，5) D．(2，5)B[由题意可得|AB|＝(－1＋5)2＋(－3－0)2＝5，根据△MAB和△NAB的面积均为5，可得两点M，N到直线AB的距离为2.由于直线AB 的方程为3x ＋4y ＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB 的距离为2，则有圆心(0，0)到直线AB 的距离|0＋0＋15|9＋16＝r ＋2，解得r ＝1； 若圆上只有三个点到直线AB 的距离为2，则有圆心(0，0)到直线AB 的距离|0＋0＋15|9＋16＝r －2，解得r ＝5.所以实数r 的取值范围是(1，5)．故选B ．]8．(2020·厦门模拟)如图，已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线x ＋y －2＝0相交于A ，B 两点，C 为圆上的一点，OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD →＝5DB →，则圆O 的半径r 为( )A ．11B ．103C ．10D ．23C [如图，过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OA ，OB ，则OE ＝2，由垂径定理得|AE |＝|EB |.设|DE |＝x ，则由3AD →＝5DB →可知|AE |＝4x ，由勾股定理得(4x )2＋2＝r 2，x 2＋2＝r 24，解得r ＝10.故选C ．]9．(2020·洛阳尖子生第一次联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，若sin ∠F 1PF 2＝154，则该双曲线的离心率等于( )A ． 6B ．2C ．6或2D ．3＋1或6C [∵P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，∴由双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|PF1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c . ∵sin ∠F 1PF 2＝154，∴cos ∠F 1PF 2＝±14. 当cos ∠F 1PF 2＝14时，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝16a 2，∴e ＝2；当cos ∠F 1PF 2＝－14时，得4c 2＝24a 2，∴e ＝ 6.综上可知e ＝2或e ＝6，故选C ．]10．(2020·合肥调研)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，斜率为k 的直线过焦点F 交C 于点A ，B ，AF →＝2FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．2 2B ．2 3C ．±2 2D ．±23C [法一：由题意知k ≠0，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，代入抛物线方程消去x ，得y 2－2pky －p 2＝0.不妨设A (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，B (x 2，y 2)，因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.又y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－22p ，x 2＝p4，所以k AB ＝－22p －0p 4－p 2＝2 2.根据对称性可得直线AB 的斜率为±22，故选C ．法二：如图，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为D ，E ，设直线AB 交准线于M ，由抛物线的定义知|AF |＝|AD |，|BF |＝|BE |，结合AF →＝2FB →，知|BE |＝12|AD |＝13|AB |，则BE 为△AMD的中位线，所以|AB |＝|BM |，所以|BE |＝13|BM |，所以|ME |＝|BM |2－|BE |2＝22|BE |，所以tan ∠MBE ＝|ME ||BE |＝22，即此时直线AB 的斜率为2 2.根据对称性可得直线AB 的斜率为±2 2.]11．(2020·临沂模拟)已知双曲线C ：x 216－y 2b 2＝1(b ＞0)，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2的直线l 交双曲线C 的左、右支分别于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．4B ．8C ．16D ．32C [如图，由双曲线可得a ＝4，设|AF 1|＝|BF 1|＝m ，由双曲线的定义可得|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝2a ＋m ，|BF 2|＝|BF 1|－2a ＝m －2a ，可得|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2a ＋m －(m －2a )＝4a ＝16.故选C ．]12．(2020·贵阳模拟)已知点F 1是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点，点F 2为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过F 2作抛物线C 的切线，设其中一个切点为A ，若点A 恰好在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．2－1B ．22－1C ．2＋1D ．6＋22C [由题意知F 1⎝⎛⎭⎫0，p 2，F 2⎝⎛⎭⎫0，－p 2，设直线F 2A 的方程为y ＝kx －p2，代入抛物线C ：x 2＝2py ，整理得x 2－2pkx ＋p 2＝0，∴Δ＝4k 2p 2－4p 2＝0，解得k ＝±1，不妨取A ⎝⎛⎭⎫p ，p2，则|AF 1|＝p ，|AF 2|＝p 2＋p 2＝2p .设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝(2－1)p ，2c ＝p ，∴双曲线的离心率e ＝c a ＝12－1＝2＋1.]13．(2020·德州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ABCD 面积的最小值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64C [焦点F 的坐标为(1，0)，所以可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x 并整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2.同理可得|CD |＝4＋4k 2. 所以四边形ACBD 的面积S ＝12|AB ||CD |＝12·4(k 2＋1)k 2·4(k 2＋1)＝8·(k 2＋1)2k2＝8⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋2≥32，当且仅当k ＝±1时取等号．故选C ．]14．[多选](2020·淄博模拟)已知一族双曲线E n ：x 2－y 2＝n 2 019(n ∈N *，且n ≤2 019)，设直线x ＝2与E n 在第一象限内的交点为A n ，点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n .记△A n B n C n 的面积为a n ，则下列说法正确的是( ) A ．双曲线的渐近线方程为y ＝±x B ．a n ＝n 2 019C ．数列{a n }为等差数列D ．a 1＋a 2＋…＋a 2 019＝5052ACD [因为双曲线的方程为x 2－y 2＝n2 019(n ∈N *，且n ≤2 019)，所以其渐近线方程为y＝±x ，设点A n (2，y n )，则4－y 2n ＝n2 019(n ∈N *，且n ≤2 019)． 记A n (2，y n )到两条渐近线的距离分别为d 1，d 2，则S △A n B n C n ＝12d 1d 2＝12×|2＋y n |2×|2－y n |2＝|4－y 2n |4＝n2 0194＝n 4×2 019，故a n ＝n 4×2 019，因此{a n }为等差数列，故a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝14×2 019×2 019＋14×2 019×2 019×2 0182＝5052.故选ACD ．]15．[多选](2020·聊城模拟)已知O 为坐标原点，过点P (a ，－1)作两条直线与抛物线C ：x 2＝4y 分别相切于点A ，B ，AB 的中点为M ，则下列结论中正确的是( )A ．直线AB 过定点(0，2) B ．直线PM 的斜率不存在C ．y 轴上存在一点N ，使得直线NA 与NB 始终关于y 轴对称D ．A ，B 两点到抛物线准线的距离的倒数之和为定值BCD [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，所以以A 为切点的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y －14x 21＝12x 1x －12x 21，得y ＝12x 1x －14x 21 ①. 同理可得以B 为切点的切线方程为y ＝12x 2x －14x 22②，将(a ，－1)分别代入①②，可得－1＝a 2x 1－y 1，－1＝a2x 2－y 2，所以直线AB 的方程为a2x －y ＋1＝0，所以直线AB 过定点(0，1)，故A 错误．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，a 2x －y ＋1＝0，可得x 2－2ax －4＝0，Δ＝4a 2＋16＞0， 则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－4，所以点M 的横坐标为x 1＋x 22＝a ，所以PM ⊥x 轴，故B 正确．设N (0，b )，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2. 由题意得x 1≠0，x 2≠0，所以k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝ax 1x 2＋(1－b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝2a (－b －1)－4.当b ＝－1时，有k 1＋k 2＝0，则直线NA 与直线NB 关于y 轴对称，故C 正确． 因为点A 到准线的距离为y 1＋1，点B 到准线的距离为y 2＋1，所以1y 1＋1＋1y 2＋1＝y 1＋y 2＋2(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2y 1y 2＋y 1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2(x 1x 2)216＋y 1＋y 2＋1＝1，故D 正确．] 16．[多选](2020·菏泽模拟)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线上一点，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，tan ∠PF 2F 1＝2，则下列结论正确的是( )A ．点P 在双曲线的右支上B ．点⎝⎛⎭⎫－32，3在双曲线的渐近线上 C ．双曲线的离心率为5D ．双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于4ABC [连接PF 1(图略)，由题意知|F 1F 2|＝2|OP |＝2c ，则PF 1⊥PF 2，因为tan ∠PF 2F 1＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2，因此|PF 1|＞|PF 2|，故点P 在双曲线的右支上，A 项正确；由于|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，所以(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，整理得c 2＝5a 2，则e ＝5，C 正确； 又e ＝c a＝1＋b 2a2＝5， 所以ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，易知点⎝⎛⎭⎫－32，3在双曲线的渐近线上，故B 项正确；由于b 2＝5，所以a 2＝54，所以双曲线的方程为4x 25－y 25＝1， 设M (x 0，y 0)为双曲线上任意一点，则点M 到渐近线y ＝2x 的距离d 1＝|2x 0－y 0|5，点M 到渐近线y ＝－2x 的距离d 2＝|2x 0＋y 0|5，因此d 1d 2＝|4x 20－y 20|5，又4x 205－y 205＝1，于是d 1d 2＝1，因此由基本不等式得d 1＋d 2≥2d 1d 2＝2，当且仅当d 1＝d 2时取等号，故双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于2.故D 项错误．故选ABC ．]17．[多选](2020·青岛模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴相交于点M ，经过M 且斜率为k 的直线l 与抛物线相交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，则下列结论正确的是( )A ．－1＜k ＜1B ．y 1y 2＝8x 1x 2C ．∠AFB 可能为直角D ．当k 2＝12时，△AFB 的面积为16CD [依题意知F (2，0)，M (－2，0)，直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.因为直线l 与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0，(4k 2－8)2－16k 4＞0，解得－1＜k ＜1且k ≠0，故A 选项错误；因为x 1x 2＝4k 2k2＝4，所以y 21y 22＝8x 1×8x 2＝64×4＝256， 由于y 1，y 2同号，所以y 1y 2＝16，于是y 1y 2＝4x 1x 2，故B 选项错误；由于F A →＝(x 1－2，y 1)，FB →＝(x 2－2，y 2)，所以F A →·FB →＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝4－2·8－4k 2k 2＋4＋16＝32－16k 2，当k 2＝12时，F A →·FB→＝0，∠AFB 为直角，故C 选项正确；△AFB 的面积S ＝S △MF A －S △MFB ＝12|MF |·|y 1－y 2|＝2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，当k 2＝12时，y 1＋y 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)＝k (x 1＋x 2＋4)＝16k ，因此S ＝2(16k )2－4×16＝16，故选项D 正确．]18．(2020·安徽示范高中名校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线PF 1恰好与圆F 2相切于点P ，则椭圆的离心率为________．3－1 [由题意可知PF 1⊥PF 2，且|PF 2|＝c ，所以|PF 1|＝3c ，根据椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即(3＋1)c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23＋1＝3－1.]19．[一题两空](2020·临沂模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，两条渐近线的夹角为60°，则渐近线方程为________，过点F 1作x 轴的垂线，交双曲线的左支于M ，N 两点，若△MNF 2的面积为43，则该双曲线的方程为________．y ＝±33x x 29－y 23＝1 [因为双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，a ＞b ＞0，所以b a ＝33①，则渐近线方程为y ＝±33x .易知F 1(－c ，0)，所以直线MN 的方程为x ＝－c ，代入双曲线的方程得y ＝±b 2a ，所以△MNF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|MN |＝12×2c ×2b 2a ＝2b 2ca ＝43 ②.又a 2＋b 2＝c 2 ③，所以由①②③得a ＝3，b ＝3，c ＝23，故该双曲线的方程为x 29－y 23＝1.]20．[一题两空](2020·滨州模拟)已知M (a ，4)是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，且位于第一象限，点M 到抛物线C 的焦点F 的距离为6，则a ＝________；若过点P (35，4)向抛物线C 作两条切线，切点分别为A ，B ，则|AF |·|BF |＝________.42 49 [由抛物线的定义得4＋p2＝6，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为x 2＝8y ，将(a ，4)代入，可得a ＝4 2.易知点P 不在抛物线上，设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．又y ′＝14x ，所以抛物线C 在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 14(x －x 1)，将(35，4)代入并结合x 21＝8y 1，得35x 1－4y 1－16＝0，同理得抛物线C 在点B 处的切线方程为35x 2－4y 2－16＝0，于是直线AB 的方程为35x －4y －16＝0.将35x －4y －16＝0代入x 2＝8y ，整理得2y 2－29y ＋32＝0，所以y 1＋y 2＝292，y 1y 2＝16，故|AF |·|BF |＝(y 1＋2)·(y 2＋2)＝y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋4＝49.]21．(2020·石家庄模拟)已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝________.8 [如图，由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.∵M 为EF 的中点， ∴点M 的横坐标为p 4.设直线EF 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k 2p ＋2pk 2，x 1x 2＝p 24∵x 1＝p4，∴x 2＝p .当x ＝p 时，y 2＝2p 2，∴N (p ，±2p )． ∵|NF |2＝⎝⎛⎭⎫p －p22＋(±2p )2， ∴144＝p 24＋2p 2，∴p 2＝64，∵p ＞0，∴p ＝8.]22．(2020·济南模拟)已知点A (0，1)，抛物线C ：y 2＝ax (a ＞0)的焦点为F ，连接F A ，与抛物线C 相交于点M ，延长F A ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶2，则实数a 的值为________．433[法一：依题意得抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过M 作抛物线的准线的垂线，垂足为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |.因为|FM |∶|MN |＝1∶2，所以|KN |∶|KM |＝3∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－3，所以－4a ＝－3，解得a ＝433.法二：因为A (0，1)，抛物线C ：y 2＝ax (a ＞0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4，所以AF 的方程为4x ＋ay －a ＝0，所以N ⎝⎛⎭⎫－a4，2. 因为|FM |∶|MN |＝1∶2，所以|FM |＝13|FN |，所以x M ＝a 12，y M ＝23.因为(x M ，y M )在抛物线上，所以49＝a 212，得a ＝433.]1．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两条渐近线的夹角为α，且cos α＝13，则C 的离心率为( )A ．52 B ．62 C ．72D ．2 B [∵a ＞b ＞0，∴渐近线y ＝b a x 的斜率小于1，∵两条渐近线的夹角为α，且cos α＝13，∴cos 2α2＝23，sin 2α2＝13，tan 2α2＝12，∴b 2a 2＝12，∴c 2－a 2a 2＝12，∴e 2＝32，e ＝62.故选B ．]2．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2＋(y －2)2＝2截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为( )A ． 3B ．2C ． 5D ．25B [设圆心到双曲线的渐近线的距离为d ，由弦长公式可得，22－d 2＝2，解得d ＝1，又双曲线C 的渐近线方程为bx ±ay ＝0，圆心坐标为(0，2)，故|0±2a |a 2＋b2＝1，即2ac ＝1，所以双曲线C 的离心率e ＝ca＝2.故选B ．]3．[多选]已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( )A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为3C ．曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点 D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点AC [因为渐近线方程为y ＝±33x ，所以可设双曲线方程为x 29－y 23＝λ，代入点(3，2)，得λ＝13，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，选项A 正确；该双曲线的离心率为23≠3，选项B不正确；双曲线的焦点为(±2，0)，曲线y ＝e x －2－1经过双曲线的焦点(2，0)，选项C 正确；把x ＝2y ＋1代入双曲线方程，得y 2－22y ＋2＝0，解得y ＝2，故直线x －2y －1＝0与曲线C 只有一个公共点，选项D 不正确．]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M .若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2xA [如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B ．因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上．所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a ，整理得b ＝2a .所以ba＝ 2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A ．]5．如果圆C 1：(x ＋m )2＋(y ＋m )2＝8上总存在到点(0，0)的距离为2的点，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－3，3)C ．(－3，－1]∪[1，3)D ．[－3，－1]∪[1，3]D [由题意知，圆C 1：(x ＋m )2＋(y ＋m )2＝8与圆C 2：x 2＋y 2＝2存在公共点，所以22－2≤(－m －0)2＋(－m －0)2≤22＋2，解得－3≤m ≤－1或1≤m ≤3.故选D ．]6．已知F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx 交双曲线C 于A ，B 两点．若∠AF 2B ＝2π3，S △AF 2B ＝23，则双曲线C 的虚轴长为( )A ．1B ．2C ．2 2D ．23C [设双曲线C 的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1(图略)，由对称性可知四边形AF 1BF 2是平行四边形，所以S △AF 1F 2＝23，∠F 1AF 2＝π3.设|AF 1|＝r 1，|AF 2|＝r 2，则4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3. 又|r 1－r 2|＝2a ，故r 1r 2＝4b 2.又S △AF 1F 2＝12r 1r 2sin π3＝23，所以b 2＝2，则该双曲线的虚轴长为2 2.故选C ．]7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，点A (4，3)，P 为抛物线上一点，且点P 不在直线AF 上，则当△P AF 周长取最小值时，线段PF 的长为( )A ．1B ．134C ．5D ．214B [如图，求△P AF 周长的最小值，即求|P A |＋|PF |的最小值．设点P 在准线上的投影为D ，根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |，因此|P A |＋|PF |的最小值，即|P A |＋|PD |的最小值，可得当D ，P ，A 三点共线时，|P A |＋|PD |最小，此时P ⎝⎛⎭⎫94，3，F (1，0)，线段PF 的长为94＋1＝134.故选B ．]8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆C 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤0，32 B ．⎣⎡⎭⎫32，1 C ．⎝⎛⎦⎤0，34 D ．⎣⎡⎭⎫34，1A [如图所示，设F ′为椭圆C 的左焦点，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴4＝|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ，∴a ＝2.不妨取M (0，b )，∵点M 到直线l 的距离不小于45，∴|－4b |32＋(－4)2≥45，解得b ≥1，∴e ＝c a＝1－b 2a2≤1－122＝32，即椭圆C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32.故选A ．] 9．双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作一条直线与双曲线E 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点．若F 1B →＝2F 1A →，|F 1F 2|＝2|OB |，则双曲线的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3C [如图所示，连接F 2B ．|F 1F 2|＝2|OB |，且O 为F 1F 2的中点，所以∠F 1BF 2＝90°.因为F 1B →＝2F 1A →，即|F 1B →|＝2|F 1A →|，所以A 为线段F 1B 的中点．又由于O 为F 1F 2的中点，所以OA ∥F 2B ，所以OA ⊥F 1B ，所以∠AOF 1＝∠AO B ． 又由直线OA 与OB 是双曲线的两条渐近线，则∠AOF 1＝∠BOF 2，所以∠BOF 2＝60°，则b a ＝tan ∠BOF 2＝3，所以双曲线的离心率e ＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.故选C ．]10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，实轴长为6，渐近线方程为y ＝±13x ，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆E ：x 2＋(y ＋6)2＝1上一点，则|MN |＋|MF 2|的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11B [由题意可得2a ＝6，即a ＝3，渐近线方程为y ＝±13x ，即有b a ＝13，即b ＝1，可得双曲线方程为x 29－y 2＝1，焦点为F 1(－10，0)，F 2，(10，0)．由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝6＋|MF 1|.由圆E ：x 2＋(y ＋6)2＝1可得圆心E (0，－6)，半径r ＝1，|MN |＋|MF 2|＝6＋|MN |＋|MF 1|. 如图，连接EF 1，交双曲线于M ，交圆于N ，可得|MN |＋|MF 1|取得最小值，且|EF 1|＝6＋10＝4，则|MN |＋|MF 2|的最小值为6＋4－1＝9.故选B ．]11．已知抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两点，若|MF |＋|NF |＝32，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为( )A ．32B ．34C ．58D ．54C [抛物线x 2＝12y 的焦点为⎝⎛⎭⎫0，18，准线为y ＝－18. 如图，过点M ，N ，P 分别作准线的垂线，则|MM ′|＝|MF |，|NN ′|＝|NF |，所以|MM ′|＋|NN ′|＝|MF |＋|NF |＝32，所以中位线|PP ′|＝|MM ′|＋|NN ′|2＝34，所以中点P 到x 轴的距离为|PP ′|－18＝34－18＝58.故选C ．]12．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )A ． 3B ． 2C ．233D ．2A [设椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，椭圆的长半轴长为a 1，椭圆的半焦距为c ，双曲线的实半轴长为a 2，|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，x ＞y .由椭圆、双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2a 1x －y ＝2a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 1＋a 2y ＝a 1－a 2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝x 2＋y 2－(2c )22xy＝cos 60°，∴2(a 21＋a 22)－4c 22(a 21－a 22)＝12，∴a 21＋3a 22＝4c 2. 又e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝1，∴c 2＝a 1a 2，∴a 21＋3a 22＝4a 1a 2，即(a 1－a 2)(a 1－3a 2)＝0，∴a 1＝3a 2，∴3a 22＝c 2，∴e 2＝c a 2＝ 3.故选A ．] 13.已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM →＝MN →，则|FN |＝( )A ．58B ．12C ．38D ．1A [法一：因为抛物线C ：y ＝2x 2，所以F ⎝⎛⎭⎫0，18，抛物线C 的准线方程为y ＝－18. 如图，过点M 作抛物线准线的垂线，交x 轴于点A ，交抛物线C 的准线于点B ，则MA ∥OF ，所以|MA ||OF |＝|MN ||FN |.因为2FM →＝MN →，所以|MA |＝23×18＝112，|MF |＝|MB |＝112＋18＝524，|FN |＝3|FM |＝58，故选A ．法二：因为抛物线y ＝2x 2，所以F ⎝⎛⎭⎫0，18. 设N (x 0，0)，则由2FM →＝MN →，可得M ⎝⎛⎭⎫13x 0，112，代入抛物线方程，得112＝2⎝⎛⎭⎫13x 02，解得x 20＝38，则|FN |＝|ON |2＋|OF |2＝38＋164＝58，故选A ．] 14．如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±22xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2xA [由题意可设|AB |＝3k ，则|BF 1|＝4k ，|AF 1|＝5k ，则易得BF 1⊥BF 2，由双曲线的定义可知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，则可得|AF 2|＝5k －2a ，|BF 2|＝8k －2a ，再根据双曲线的定义得|BF 2|－|BF 1|＝2a ，得k ＝a ，即|BF 1|＝4a ，|BF 2|＝6a ，|F 1F 2|＝2c ，在直角三角形BF 1F 2中，得16a 2＋36a 2＝4c 2＝4(a 2＋b 2)，则ba＝23，双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，故选A ．]15．[多选]已知双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为32，则下列说法正确的是( )A ．b 的值为3B ．C 的离心率为2C ．抛物线y 2＝8x 与C 有一个相同的焦点D ．C 的两条渐近线均与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1相交 ABC [双曲线x 2－y 2b 2＝1的一条渐近线的方程为bx ＋y ＝0，易知其虚轴的一个端点为(0，b )，由题意可得b b 2＋1＝32，得b ＝3，A 正确；又a ＝1，所以c ＝2，故离心率e ＝ca＝2，B 正确；抛物线焦点为(2，0)，故C 正确；双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，圆的圆心为(2，3)，半径为1，根据点到直线的距离可判断，渐近线y ＝3x 与圆相交，y ＝－3x 与圆相离，故D 错误，选ABC ．]16．[多选]抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，交抛物线C 的准线于D 点，若BD →＝2BF →，|F A |＝2，则( )A ．F (3，0)B ．直线AB 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32C ．点B 到准线的距离为6D ．△AOB (O 为坐标原点)的面积为33BCD [如图，不妨令点B 在第一象限，设点K 为准线与x 轴的交点，分别过点A ，B 作抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线的垂线，垂足分别为G ，E ，∵BD →＝2BF →，∴点F 为BD 的中点，又|BE |＝|FB |，∴|BE |＝12|BD |，∴在Rt △EBD 中，∠BDE ＝30°，∴|AD |＝2|AG |＝2|AF |＝2×2＝4，∴|DF |＝|AD |＋|F A |＝6，∴|BF |＝6，则点B 到准线的距离为6，故C 正确；∵|DF |＝6，∴|KF |＝3，∴p ＝3，则F ⎝⎛⎭⎫32，0，故A 错误；由∠BDE ＝30°，易得∠BFx ＝60°，所以直线AB 的方程为y ＝tan 60°·⎝⎛⎭⎫x －32＝3⎝⎛⎭⎫x －32，。

高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．(汇编四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．已知椭圆221:12x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为12,24+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.3．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错 评卷人得分三、解答题4．已知椭圆22221x y a b += ()0a b >>的右焦点为1(20)F ，，离心率为e .（1）若22e =，求椭圆的方程； （2）设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上；②设直线AB 的斜率为k ，若3k ≥，求e 的取值范围． 关键字：求椭圆方程；证明点在定圆上；求点的轨迹方程；5．如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ， 过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点. ⑴若AB BC λ=,求实数λ的值；[来源:Z|xx|] ⑵设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点，当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标. (江苏省苏州市汇编年1月高三调研) （本小题满分16分）6．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为22的圆C经过坐标原点O ，椭圆()222109x y a a +=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编年高考重庆卷（文））设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是zhangwlx （ ）A ．23(,2]3B ．23[,2)3C ．23(,)3+∞ D ．23[,)3+∞ 2．1 ．（汇编年高考江西卷（理））过点(2,0)引直线l 与曲线21y x =+相交于A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ） A ．y EB BC CD=++33B ．33-C ．33±D ．3-3．2 ．（汇编大纲理）已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点,点P 在C上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠= （ ）A ．14B ．35 C ．34D ．45答案C 【解析】4．（汇编全国卷1理数）(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为（ ）(A)32 (B)62(C) 3 (D) 65．（汇编浙江文数）（10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣=7a ,则该双曲线的渐近线方程为（ ）（A ）x ±3y=0 （B ）3x ±y=0（C ）x ±2y =0 （D ）2x ±y=06．（1992山东理10)圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( )(A) x 2+y 2－x －2y －41=0 (B) x 2+y 2+x －2y +1=0(C) x 2+y 2－x －2y +1=0 (D) x 2+y 2－x －2y +41= 7．（汇编江西理7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．1(0,]2 C ．2(0,)2D ．2[,1)2 8．（汇编全国11）过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ）A ．2aB ．a21 C ．4a D ．a4 9．（汇编江西文7）连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ） Ａ．12-+Ｂ．322-Ｃ．12+Ｄ．322+ 10．（汇编）已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） A. 2 B.332 C. 2 D.4 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题11．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于 .12．双曲线2214y x -=的渐进线被圆226210x y x y +--+=所截得的弦长为 ．13．过椭圆的左焦点F，且倾斜角为︒60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为14． 椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，PQ 是过左焦点F 且与x 轴不垂直的弦，若在左准线l 上存在点R ，使P QR ∆为正三角形，则椭圆离心率e 的取值范围是 ．15．若抛物线y 2=2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________。