21三角函数解三角形k

十年高考真题（2011-2020）与模拟题（北京卷）专题05三角函数与解三角形本专题考查的知识点为：三角函数与解三角形，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三角函数的性质，正余弦定理解三角形，正余弦定理的实际应用，三角函数的实际应用，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以三角函数的性质，正余弦定理解三角形的方法为重点较佳.1．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A．3n(sin30°n +tan30°n)B．6n(sin30°n+tan30°n)C．3n(sin60°n +tan60°n)D．6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A 【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin 30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n +tan30°n).故选：A.2．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】解：由题意d=√12+m2=|√m2+1sin(θ+α)−2|√m2+1，tan α=1m =yx ，∴当sin （θ+α）＝﹣1时， d max ＝1√m 2+1≤3．∴d 的最大值为3． 故选：C ．3．【2016年北京理科07】将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P （π4，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则（ ） A ．t =12，s 的最小值为π6 B ．t =√32，s 的最小值为π6 C ．t =12，s 的最小值为π3D ．t =√32，s 的最小值为π3【答案】解：将x =π4代入得：t ＝sin π6=12，将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P 向左平移s 个单位，得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）＝cos2s =12， 则2s =±π3+2k π，k ∈Z ， 则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π6， 故选：A ．4．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2. 故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）.5．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ．【答案】解：∵f （x ）＝sin 2（2x ）， ∴f （x ）=−12cos(4x)+12， ∴f （x ）的周期T =π2，故答案为：π2．6．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．【答案】解：函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23，k ∈Z ，ω＞0 则ω的最小值为：23． 故答案为：23．7．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ ．【答案】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sin α＝sin β=13，cos α＝﹣cos β，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79 方法二：∵sin α=13，当α在第一象限时，cos α=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79：∵sin α=13，当α在第二象限时，cos α=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=2√23，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79，故答案为：−798．【2015年北京理科12】在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2AsinC = ． 【答案】解：∵△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴cos C =16+25−362×4×5=18，cos A =25+36−162×5×6=34∴sin C =3√78，sin A =√74， ∴sin2AsinC =2×√74×343√78=1．故答案为：1．9．【2014年北京理科14】设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f （2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ． 【答案】解：由f （π2）＝f （2π3），可知函数f （x ）的一条对称轴为x =π2+2π32=7π12，则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0）， 由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性， 则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T4⇒T ＝π． 故答案为：π．10．【2012年北京理科11】在△ABC 中，若a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14，则b ＝ ．【答案】解：由题意，∵a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14，∴b 2=22+(7−b)2−2×2×(7−b)×(−14) ∴b ＝4 故答案为：411．【2011年北京理科09】在△ABC 中．若b ＝5，∠B =π4，tan A ＝2，则sin A ＝ ；a ＝ ． 【答案】解：由tan A ＝2，得到cos 2A =11+tan 2A =15，由A ∈（0，π），得到sin A =√1−15=2√55， 根据正弦定理得：asinA =bsinB ，得到a =bsinA sinB=5×2√55√22=2√10．故答案为：2√55；2√10 12．【2020年北京卷17】在△ABC 中，a +b =11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sinC 和△ABC 的面积． 条件①：c =7,cosA =−17； 条件②：cosA =18,cosB =916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC =√32,S =6√3；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC =√74,S =15√74. 【解析】选择条件①（Ⅰ）∵c =7,cosA =−17，a +b =11∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ）∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =4√37由正弦定理得：a sinA =c sinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ）∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得：asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ）sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√74.13．【2019年北京理科15】在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)，∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：c sinC =b sinB，∴sinC =csinB b=5×√327=5√314， ∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C=√32×1114−(−12)×5√314=4√37． 14．【2018年北京理科15】在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B =−17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角， ∵cos B =−17，∴sin B =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得asinA =bsinB 得sin A =asinB b=7×4√378=√32， 则A =π3．（Ⅱ）由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即64＝49+c 2+2×7×c ×17， 即c 2+2c ﹣15＝0，得（c ﹣3）（c +5）＝0， 得c ＝3或c ＝﹣5（舍）， 则AC 边上的高h ＝c sin A ＝3×√32=3√32． 15．【2017年北京理科15】在△ABC 中，∠A ＝60°，c =37a ． （1）求sin C 的值；（2）若a ＝7，求△ABC 的面积． 【答案】解：（1）∠A ＝60°，c =37a ，由正弦定理可得sin C =37sin A =37×√32=3√314， （2）a ＝7，则c ＝3， ∴C ＜A ，∵sin 2C +cos 2C ＝1，又由（1）可得cos C =1314， ∴sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C =√32×1314+12×3√314=4√37， ∴S △ABC =12ac sin B =12×7×3×4√37=6√3．16．【2016年北京理科15】在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． （Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）求√2cos A +cos C 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． ∴a 2+c 2﹣b 2=√2ac ． ∴cos B =a 2+c 2−b 22ac=√2ac2ac=√22， ∴B =π4（Ⅱ）由（I ）得：C =3π4−A ，∴√2cos A +cos C =√2cos A +cos （3π4−A ）=√2cos A −√22cos A +√22sin A =√22cos A +√22sin A ＝sin （A +π4）．∵A ∈（0，3π4），∴A +π4∈（π4，π），故当A +π4=π2时，sin （A +π4）取最大值1， 即√2cos A +cos C 的最大值为1．17．【2015年北京理科15】已知函数f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2=√22sin x −√22（1﹣cos x ） ＝sin x cos π4+cos x sin π4−√22＝sin （x +π4）−√22， 则f （x ）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x ≤0，可得 −3π4≤x +π4≤π4，即有﹣1≤sin(x +π4)≤√22， 则当x =−3π4时，sin （x +π4）取得最小值﹣1， 则有f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1−√22． 18．【2014年北京理科15】如图，在△ABC 中，∠B =π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC =17． （1）求sin ∠BAD ； （2）求BD ，AC 的长．【答案】解：（1）在△ABC 中，∵cos ∠ADC =17，∴sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =√1−(17)2=√4849=4√37， 则sin ∠BAD ＝sin （∠ADC ﹣∠B ）＝sin ∠ADC •cos B ﹣cos ∠ADC •sin B =4√37×12−17×√32=3√314． （2）在△ABD 中，由正弦定理得BD =AB⋅sin∠BAD sin∠ADB=8×3√3144√37=3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos B ＝82+52﹣2×8×5×12=49， 即AC ＝7．19．【2014年北京理科18】已知函数f （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，π2] （1）求证：f （x ）≤0； （2）若a ＜sinx x＜b 对x ∈（0，π2）上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．【答案】解：（1）由f （x ）＝x cos x ﹣sin x 得 f ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ， 此在区间∈（0，π2）上f ′（x ）＝﹣x sin x ＜0， 所以f （x ）在区间∈[0，π2]上单调递减， 从而f （x ）≤f （0）＝0． （2）当x ＞0时，“sinx x＞a ”等价于“sin x ﹣ax ＞0”，“sinx x＜b ”等价于“sin x ﹣bx ＜0”令g （x ）＝sin x ﹣cx ，则g ′（x ）＝cos x ﹣c ， 当c ≤0时，g （x ）＞0对x ∈（0，π2）上恒成立，当c ≥1时，因为对任意x ∈（0，π2），g ′（x ）＝cos x ﹣c ＜0， 所以g （x ）在区间[0，π2]上单调递减，从而，g （x ）＜g （0）＝0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当0＜c ＜1时，存在唯一的x 0∈（0，π2）使得g ′（x 0）＝cos x 0﹣c ＝0，g （x ）与g ′（x ）在区间（0，π2）上的情况如下： x（0，x 0）x 0（x 0，π2）g′（x）+﹣g（x）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）＝0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当g(π2)=1−π2c≥0即0＜c≤2π综上所述当且仅当c≤2π时，g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，π2）恒成立，所以若a＜sinxx ＜b对x∈（0，π2）上恒成立，则a的最大值为2π，b的最小值为120．【2013年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求c的值．【答案】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a＝3，b=2√6，∠B＝2∠A，利用正弦定理可得asinA =bsinB，即3sinA=2√6sin2A=2√62sinAcosA．解得cos A=√63．（Ⅱ）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即9=(2√6)2+c2﹣2×2√6×c×√63，即c2﹣8c+15＝0．解方程求得c＝5，或c＝3．当c＝3时，此时a＝c＝3，根据∠B＝2∠A，可得B＝90°，A＝C＝45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2＝b2，故舍去．当c＝5时，求得cos B=a 2+c2−b22ac=13，cos A=b2+c2−a22bc=√63，∴cos2A＝2cos2A﹣1=13=cos B，∴B＝2A，满足条件．综上，c＝5．21．【2012年北京理科15】已知函数f（x）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．【答案】解：f(x)=(sinx−cosx)sin2xsinx =(sinx−cosx)2sinxcosxsinx=2(sinx−cosx)cosx＝sin2x﹣1﹣cos2x=√2sin（2x−π4）﹣1k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．（2）由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，原函数的单调递增区间为[kπ−π8，kπ)，k∈Z，(kπ，kπ+3π8]，k∈Z22．【2011年北京理科15】已知f（x）＝4cos x sin（x+π6）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．【答案】解：（Ⅰ）∵f(x)=4cosxsin(x+π6)−1，＝4cos x（√32sinx+12cosx）﹣1=√3sin2x+2cos2x﹣1=√3sin2x+cos2x＝2sin（2x+π6），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵−π6≤x≤π4，∴−π6≤2x+π6≤2π3，∴当2x+π6=π2，即x=π6时，f（x）取最大值2，当2x+π6=−π6时，即x=−π6时，f（x）取得最小值﹣1．1．sin75o cos30o−cos75o sin30o的值为（）A．1B．12C．√22D．√32【答案】C【解析】sin75o cos30o−cos75o sin30o2．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．152√3B．154√3C．12√3D．6√3【答案】D【解析】∵a＝7，c＝3，∠A＝60°，∴由正弦定理可得：sin C=c•sin Aa=3×√327=3√314，∵a＞c，C为锐角，∴cos C=√1−sin2C=1314，∴可得：s inB=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C＝=√32×1314+12×3√314=4√37，∴SΔABC=12ac sin B=12×7×3×4√37=6√3．故选D．3．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】函数y=2cos2x−1的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π【答案】B【解析】由题可知：y=2cos2x−1=cos2x所以最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π故选：B4．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x【答案】C【解析】A.y=x+2，值域为R，非奇非偶函数，排除；B.y=sinx，值域为[−1,1]，奇函数，排除；C.y=x−x3，值域为R，奇函数，满足；D.y=2x，值域为(0,+∞)，非奇非偶函数，排除；故选：C.5．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=12sinx B．y=sin12xC．y=cos(x+π4)D．y=12tanx【答案】D【解析】由函数y=12sinx的最小正周期为2π，故排除A；由函数y=sin12x的最小正周期为2π12=4π，故排除B；由函数y=cos(x+π4)的最小正周期为2π，故排除C；由正切函数的最小正周期的公式，可得函数y=12tanx的最小正周期为π，故D满足条件，故选：D.6．把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（）A．y=sin(2x−π3),x∈R B．y=sin(2x+π3),x∈RC．y=sin(12x−π6),x∈R D．y=sin(12x+π6),x∈R【答案】D 【解析】由题意将函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度可得到函数y=sin(x+π6)(x∈R)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(12x+π6),x∈R的图象.故选：D.7．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三）】在三角形ABC中,AB=1,AC=√2,∠C=π6,则∠B=（）A．π4B．π4或π2C．3π4D．π4或3π4【答案】D 【解析】由正弦定理得ABsinC =ACsinB∴1sinπ6=√2sinB,sinB=√22∴B=π4或B=3π4，选D.8．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=（）A．sin(2x+π6)B．sin(2x+2π3)C．cos2x D．−cos2x 【答案】C【解析】由题意g(x)=sin[2(x+π3)−π6]=sin(2x+π2)=cos2x.故选：C.9．【北京市西城外国语学校2019-2020学年高一第二学期诊断性测试】为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度【答案】D 【解析】sin(2x−π4)=sin2(x−π8)，据此可知，为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移π8个单位长度.本题选择D选项.10．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知△ABC，则“sinA=cosB”是“△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若sinA=cosB，则A+B=π2或A=B+π2，不能推出△ABC是直角三角形；若A=π2，则sinA≠cosB，所以△ABC是直角三角形不能推出sinA=cosB;所以“sinA=cosB”是“△ABC是直角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D.11．【北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是32，则b=（）A．1+√3B．1+√32C．2+√32D．2+√3【答案】A 【解析】由已知S=12acsinB=12acsin30°=14ac=32，ac=6，所以b2=a2+c2−2accos30°=(a+c)2−2ac−√3ac=4b2−6(2+√3)，解得b=√3+1．故选：A．12．【2020届北京市高考适应性测试】为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位【答案】D【解析】因为，所以为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象向右平移π6个单位；故选D．13．【北京市第四中学2019届高三高考调研】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=a(cosC+√33sinC )，a=2，c=2√63，则角C=()A．π3B．π6C．3π4D．π4【答案】D【解析】 ∵b =a (cosC +√33sinC)， ∴由正弦定理可得：sinB =sinAcosC +√33sinCsinA ，又∵sinB =sin (A +C )=sinAcosC +cosAsinC ， ∴可得：√33sinA =cosA ，可得：tanA =√3，∵A ∈(0,π)，∴A =π3，可得：sinA =√32， 又∵a =2，c =2√63， ∴由正弦定理可得：sinC =c ⋅sinA a=2√63×√322=√22，∵c <a ，C 为锐角，∴C =π4．故选：D ．14．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】若f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象如图，为了得g(x)=sin(2x −π3)的图象，则需将f(x)的图象（）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向左平移π3个单位【答案】B 【解析】由已知中函数f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象， 可得：A =1,T =4(7π12−π3)=π，即ω=2 即f (x )=sin(2x +φ)，将(7π12,−1)点代入得：7π6+φ=3π2+2kπ,k ∈Z 又由|φ|<π2∴φ=π3∴f(x)=sin(2x +π3)，即f(x)=sin(2x +π3)=sin2(x +π6)g(x)=sin(2x −π3)=sin2(x −π6)所以将函数f (x )的图象向右平移π6−(−π6)=π3个单位得到函数g(x)=sin(2x −π3)的图象， 故选：B15．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】在△ABC 中，若a =7，b =8，cosB =−17，则∠A 的大小为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C 【解析】cosB =−17，B ∈(π2,π)，故sinB =√1−cos 2B =4√37，根据正弦定理：a sinA =bsinB ，故sinA =7×4√378=√32，A ∈(0,π2)，故A =π3.故选：C.16．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)．若关于x 的方程f(x)=1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令t =ωx +π6，∵x ∈[0 ， π]，∴π6≤ωx +π6≤ωπ+π6， ∵y =sint 的图象如图所示，∵关于x的方程f(x)=1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，∴y=sint=1在[π6,ωπ+π6]上有且仅有两个不相等的实根，∴5π2≤ωπ+π6≤17π4⇒52≤ω≤4912，∴ω的最大整数值为4，故选：B.17．【2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试】为了得到函数y=sin(2x−π3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位【答案】A 【解析】根据函数平移变换,由y=sin2x变换为y=sin(2x−π3)=sin2(x−π6),只需将y=sin2x的图象向右平移π6个单位，即可得到y=sin(2x−π3)的图像，故选A.18．【2019届北京市十一学校高考前适应性练习】在ΔABC中，A=60°，B=75°，BC=10，则AB= A．5√2B．10√2C．5√6D．10√63【答案】D【解析】由内角和定理知C=180°−(60°+75°)=45°，所以ABsinC =BCsinA，即AB=BCsinCsinA =10×sin45°sin60°=10√63，故选D.19．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin(2x+π4)B．y=2sin(2x+π3)C．y=2sin(2x−π4)D．y=2sin(2x−π3)【答案】D【解析】函数y=2sin(2x+π6)的周期为π，将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y=2sin[2(x−π4)+π6)]=2sin(2x−π3)，故选D.20．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12(ω>0，x∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的最大值是()A．512B．56C．1112D．32【答案】C 【解析】f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12=√32sinωx+12cosωx=sin(ωx+π6),令f(x)=0,ωx+π6=kπ(k∈Z),x=kπω−π6ω(k∈Z)，函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，{kπω−π6ω≤π(k+1)πω−π6ω≥2π解得k−16≤ω≤k+12−112(k∈Z)，ω>0,∴k=0,0<ω≤512，k=1,56<ω≤1112ω的最大值是1112.故选:C.21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3.已知f(π6)=0.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值.【答案】(Ⅰ)ω=2.(Ⅱ)−32.【解析】（Ⅰ）因为f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，所以f(x)=√32sinωx−12cosωx−cosωx=√32sinωx−32cosωx=√3(12sinωx−√32cosωx)=√3(sinωx−π3)由题设知f(π6)=0，所以ωπ6−π3=kπ，k∈Z.故ω=6k+2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=√3sin(2x−π3)所以g(x)=√3sin(x+π4−π3)=√3sin(x−π12).因为x∈[−π4,3π4]，所以x−π12∈[−π3,2π3]，当x−π12=−π3，即x=−π4时，g(x)取得最小值−32.22．【北京市人大附中2019届高考信息卷（二）】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋√3asinC－b－c＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cosB ＝17，AD ＝√1292，求△ABC 的面积． 【答案】（1）A ＝60°；（2）10√3【解析】(1)acosC ＋√3asinC －b －c ＝0，由正弦定理得sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sinB ＋sinC ，即sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sin(A ＋C)＋sinC ，又sinC≠0，所以化简得√3sinA －cosA ＝1，所以sin(A －30°)＝12.在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°.(2)在△ABC 中，因为cosB ＝17，所以sinB ＝4√37. 所以sinC ＝sin(A ＋B)＝√32×17＋12×4√37＝5√314. 由正弦定理得，a c =sinA sin C =75. 设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BDcosB，即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x×12×7x×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，故S △ABC ＝12acsinB ＝10√3.23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b =2√3，c =3，cosB =−13．（1）求sinC 的值；（2）求ΔABC 的面积．【答案】（1）√63；（2）√2 【解析】（1）在ΔABC 中，cosB =−13，∴sinB =√1−cos 2B =√1−(13)2=2√23， ∵b =2√3，c =3，由正弦定理bsinB =csinC得√32√23=3sinC，∴sinC=√63．（2）由余弦定理b2=a2+c2−2accosB得12=a2+9−2×3a×(−13)，∴a2+2a−3=0，解得a=1或a=−3（舍）∴SΔABC=12acsinB=12×1×3×2√23=√2．24．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=90°，已知AD=√3，BD=√6.（1）求sin∠ABD的值；（2）若CD=2，且CD>BC，求BC的长.【答案】（1）√64（2）BC=1【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理，得ADsin∠ABD =BDsin∠A，因为∠A=60°，AD=√3，BD=√6，所以sin∠ABD=ADBD ×sin∠A=2×√32=√64；（2）由（1）可知，sin∠ABD=√64，因为∠ABC=90°，所以cos∠CBD=cos(90°−∠ABD)=sin∠ABD=√64，在△BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcos∠CBD，因为CD=2，BD=√6，所以4=BC2+6−2BC×√6×√64，即BC2−3BC+2=0，解得BC=1或BC=2，又CD >BC ，则BC =1.25．【北京市西城区第八中学2019-2020学年高三上学期期中】ΔABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且cosA =13． (1)求sin 2B+C 2+cos2A 的值；(2)若a =√3，求△ABC 面积的最大值．【答案】（1）−19；（2）3√24 【解析】(1)sin 2B +C 2+cos 2A =sin 2π−A 2+2cos 2A −1 =cos 2A +2cos 2A −1=1+cos A +2cos 2A −1 =1+132+2×19−1=−19； (2)由cos A =13，可得sin A =√1−19=2√23， 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bc cos A =b 2+c 2−23bc ≥2bc −23bc =43bc ，即有bc ≤34a 2=94，当且仅当b =c =32，取得等号．则△ABC 面积为12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24． 即有b =c =32时，△ABC 的面积取得最大值3√24． 26．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】在ΔABC 中，c =1，A =2π3，且ΔABC 的面积为√32． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且，求sin∠ADB 的值． 从①AD =1，②∠CAD =π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】（1）a =√7；（2）选①，sin∠ADB =√217；选②，sin∠ADB =2√77． 【解析】（1）由于c =1，A =2π3，S ΔABC =12bcsinA ， 所以b =2，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，解得a =√7．（2）①当AD =1时，在ΔABC 中，由正弦定理b sinB =BC sin∠BAC ，即2sinB =√7√32，所以sinB =√217． 因为AD =AB =1，所以∠ADB =∠B ．所以sin∠ADB =sinB ，即sin∠ADB =√217． ②当∠CAD =30°时，在ΔABC 中，由余弦定理知，cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =2√7×1=2√77． 因为A =120°，所以∠DAB =90°，所以∠B +∠ADB =π2，所以sin∠ADB =cosB ， 即sin∠ADB =2√77． 27．【2020届北京市房山区高三第一次模拟】在△ABC 中，a =√2，c =√10，________.（补充条件） （1）求△ABC 的面积；（2）求sin （A +B ）.从①b ＝4，②cosB =−√55，③sinA =√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】详见解析【解析】选择①（1）在△ABC 中，因为a =√2，c =√10，b ＝4，由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =√2)22√10)22×2×4=√22， 因为C ∈（0，π），所以sinC =√1−cos 2C =√22， 所以S =12absinC =12×√2×4×√22=2. （2）在△ABC 中，A +B ＝π﹣C.所以sin(A +B)=sinC =√22.选择②（1）因为cosB =−√55，B ∈（0，π），所以sinB =√1−cos 2B =2√55，因为a =√2，c =√10，所以S =12acsinB =12×√2×√10×2√55=2.（2）因为a =√2，c =√10，cosB =−√55， 由b 2＝a 2+c 2﹣2accosB ，得b 2=(√2)2+(√10)2−2×√2×√10×(−√55)=16， 解得b ＝4，由b sinB =c sinC ，解得sinC =√22， 在△ABC 中，A +B ＝π﹣C ，sin(A +B)=sinC =√22. 选择③依题意，A 为锐角，由sinA =√1010，得cosA =√1−sin 2A =3√1010， 在△ABC 中，因为a =√2，c =√10，cosA =3√1010， 由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，得(√2)2=b 2+(√10)2−2×√10×3√1010b ， 解得b ＝2或b ＝4，（1）当b ＝2时，S =12bcsinA =12×2×√10×√1010=1.当b ＝4时，S =12bcsinA =12×4×√10×√1010=2. （2）由a =√2，c =√10，sinA =√1010，a sinA =c sinC ，得sinC =√22， 在△ABC 中，A +B ＝π﹣C ，sin(A +B)=sinC =√22. 28．【2020届北京市海淀区高三一模】已知函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x .(I)求f (0)的值；(II)从①ω1=1,ω2=2；②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.【答案】(I)0；(II)①ω1=1,ω2=2时f(x)min =−√2+1，T =π；②ω1=1,ω2=1时f(x)min =−1，T =2π.【解析】(I)f(0)=2cos 20+sin0=2；(II)①ω1=1,ω2=2，由题意得f(x)=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=√2sin(2x+π4)+1，∴T=π，∵x∈[−π2,π6]，∴2x+π4∈[−3π4,7π12]，故−√22≤sin(2x+π4)≤1，所以当x=−π2时，f(x)取最小值−1.②ω1=1,ω2=1，f(x)=2cos2x+sinx=−2sin2x+sinx+2，∵x∈[−π2,π6]，令sinx=t，∴t∈[−1,12],f(t)=−2t2+t+2，∴当t=−1时，函数取得最小值为f(−1)=−1.∵f(x)=2cos2x+sinx，∴f(x+2π)=2cos2(x+2π)+sin(x+2π)=2cos2x+sinx，∴T=2π29．【北京市第十三中学2020届高三下学期开学测试】已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①A=π3；②cosB=−23；③a=7；④b=3．（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）△ABC同时满足①，③，④．理由见解析；（Ⅱ）6√3．【解析】（Ⅰ）△ABC同时满足①，③，④．理由如下：若△ABC同时满足①，②．因为cosB=−23<−12，且B∈(0,π)，所以B>23π．所以A+B>π，矛盾．所以△ABC只能同时满足③，④．所以a>b，所以A>B，故△ABC不满足②．故△ABC满足①，③，④．（Ⅱ）因为a2=b2+c2−2bccosA，所以72=32+c2−2×3×c×12．解得c=8，或c=−5（舍）．所以△ABC的面积S=12bcsinA=6√3．30．【2020届北京市石景山区高三4月统一测试】已知锐角△ABC，同时满足下列四个条件中的三个：①A=π3②a=13③c=15④sinC=13（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）求△ABC的面积.【答案】（1）△ABC同时满足①，②，③，理由见解析.（2）30√3【解析】（1）△ABC同时满足①，②，③.理由如下：若△ABC同时满足①，④，则在锐角△ABC中，sinC=13<12，所以0<C<π6又因为A=π3，所以π3<A+C<π2所以B>π2，这与△ABC是锐角三角形矛盾，所以△ABC不能同时满足①，④，所以△ABC同时满足②，③.因为c>a所以C>A若满足④.则A<C<π6，则B>π2，这与△ABC是锐角三角形矛盾.故△ABC不满足④.故△ABC满足①，②，③.（2）因为a2=b2+c2−2bccosA，所以132=b2+152−2×b×15×12.解得b=8或b=7.当b=7时，cosC=72+132−1522×7×13<0所以C为钝角，与题意不符合，所以b=8.所以△ABC的面积S=12bcsinA=30√3.。

专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案部分 2019年1.解：（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==． 因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，1sin 2sin 2C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 60C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=． 2.解析：由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-， 因为6b =，2a c =，π3B =，所以222π36(2)4cos 3c c c =+-，所以212c =，21sin sin 2ABC S ac B c B ===△3.解析（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=．由180A B C ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒． （2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===．由于ABC △为锐角三角形，故090A ︒<<︒，090C ︒<<︒，由（1）知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<ABC S <<△． 因此，ABC △面积的取值范围是,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．4.解析 设()2AD AB A AO C λλ==+u u u u r u u u u u r u u u rr ，1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB ACμμμμμμ-=+=+=+-=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11()24AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，13EC AC AE AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r221322AB AB AC AC -+⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r ， 因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以221322AB AC =u u ur u u u r ，所以223AB AC=u u u r u u u r，所以AB AC =. 5.解析 （1）由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 6.解析：在直角三角形ABC 中，4AB =，3BC =，5AC =，4sin 5C =， 在BCD △中，sin sin BD BC C BDC=∠，可得122BD =；135CBD C ∠=-o ，224372sin sin(135)(cos sin )225510CBD C C C ⎛⎫∠=-=+=⨯+=⎪⎝⎭o ， 所以()72cos cos 90sin ABD CBD CBD ∠=-∠=∠=o.7.解析：（I ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 因为2b c =+，所以()222123232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.解得5c =， 所以7b =.（II ）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==在ABC △中，B ∠是钝角，所以C ∠为锐角.所以11cos 14C ==. 所以()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 8.解析（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =.由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B a a +-+-===-⋅⋅.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故πππ71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭.2010-2018年1．A 【解析】因为213cos 2cos121255=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理， 得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，所以=AB A ．2．C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin 24a b c ab C +-=，所以222sin cos 2a b c C C ab +-==，所以在ABC ∆中，4C π=．故选C ． 3．A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+，即2sin cos sin cos B C A C =，所以2sin sin B A =，即2b a =，选A ． 4．A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.5．C 【解析】设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得1sin 34a c π==，则a =．在△ABC 中，由余弦定理可得222222295322b ac c c c c =+-=+-=，则b =．由余弦定理，可得22222259cos 2c c c b c a A bc +-+-===C ． 6．B 【解析】11sin 22AB BC B ⋅⋅=，∴sin 2B =，所以45B =o 或135B =o． 当45B =o时，1AC ==，此时1,AB AC BC ===90A =o 与“钝角三角形”矛盾；当135B =o时，AC ==．7．A 【解析】因为A B C π++=，由1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+得1sin 2sin 2sin 22A B C ++=， 即1sin[()()]sin[()()]sin 22A B A B A B A B C ++-++--+=， 整理得1sin sin sin 8A B C =， 又111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===，因此322222211sin sin sin 864S a b c A B C a b c ==，由12S ≤≤ 得222311264a b c ≤≤，即8abc ≤≤C 、D 不一定成立．又0b c a +>>，因此()8bc b c bc a +>⋅≥，即()8bc b c +>，选项A 一定成立．又0a b c +>>，因此()8ab a b +>，显然不能得出()ab a b +>B 不一定成立．综上所述，选A ．8．C 【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①，由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②．所以由①②得6ab =，所以1sin 23ABC S ab π∆==9．C 【解析】∵tan15tan(6045)2=-=o o o∴60tan 6060tan151)BC =-=o o．10．D 【解析】225cos 10A -=，1cos 5A =，由余弦定理解得5b =． 11．A 【解析】边换角后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6B π=．12．C 【解析】由余弦定理可得AC =sin 10A =． 13．B 【解析】∵cos cos sin bC c B a A +=，∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，∴2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =，∴sin 1A =，∴△ABC 是直角三角形．14．B 【解析】由正弦定理得：sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔=15．D 【解析】由正弦定理，得22sin sin sin cos A B B A A +=，即22sin (sin cos )B A A A ⋅+=，sin B A =，∴sin sin b B a A== 16．D 【解析】设AB c =，则AD c =，BD =，BC =ΔABD 中，由余弦定理得2222413cos 23c c c A c +-==，则sin 3A =，在ΔABC 中，由正弦定理得sin sin 3c BC C A ==，解得sin C =．17．A 【解析】因为120C ∠=o，c =，所以2222cos c a b ab C =+-，222122()2a ab ab =+--所以22,0,aba b ab a b a b a b-=-=>>+ 因为0,0a b >>，所以0aba b a b-=>+，所以a b >．故选A ．18．9【解析】因为120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，所以60ABD CBD ∠=∠=o，由三角形的面积公式可得111sin120sin 60sin 60222ac a c =+o o o ， 化简得ac a c =+，又0a >，0c >，所以111a c+=，则1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=+++=≥， 当且仅当2c a =时取等号，故4a c +的最小值为9． 19．7；3【解析】因为a =2b =，60A =o，所以由正弦定理得2sin sin 7b AB a⨯===．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2230c c --=，所以3c =．202222224241cos 22424AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，由22sin cos 1ABC ABC ∠+∠=所以sin4ABC∠===，1sin2BDCS BD BC DBC∆=⨯⨯∠11sin()sin22BD BC ABC BD BC ABCπ=⨯⨯-∠=⨯⨯∠1222=⨯⨯=．C因为BD BC=，所以D BCD∠=∠，所以2ABC D BCD D∠=∠+∠=∠，cos cos24ABCBDC∠∠====．21．2【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以61611sin602S=⨯⨯⨯⨯=o．22．2113【解析】∵4cos5A=，5cos13C=，所以3sin5A=，12sin13C=，所以()63sin sin sin cos cos sin65B AC A C A C=+=+=，由正弦定理得：sin sinb aB A=解得2113b=．23．1 【解析】由1sin2B=得6Bπ=或56π，因为6Cπ=，所以56Bπ≠，所以6Bπ=，于是23Aπ=．有正弦定理，得21sin32bπ=，所以1b=．24．7【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin A =，(0,)2A π∈，所以3A π=． 由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =． 25．【解析】如图作PBC ∆，使75∠=∠=oB C ，2BC =，作出直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点（不与端点重合），且使75∠=oBAD ，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形，过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在PBC ∆中，可求得BP =QBC ∆中，可求得BQ =，所以AB 的取值范围为．26．1【解析】∵2223cos 24b c a A bc +-==， 而sin 22sin cos 243cos 21sin sin 64A A A a A C C c ⨯==⨯=⨯⨯=． 27．8 【解析】 因为0A π<<，所以sin A ==又1sin 28ABC S bc A ∆===24bc ∴=， 解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩，得6b =，4c =，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．28．ο30=∠BAC ，ο105=∠ABC ，在ABC ∆中，由ο180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以ο45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得οο30sin 45sin 600BC=， 即2300=BC m ，在BCD Rt ∆中，因为ο30=∠CBD ，2300=BC ， 所以230030tan CDBC CD ==ο，所以6100=CD m ．29．150【解析】在三角形ABC 中，AC =，在三角形MAC 中，sin 60sin 45MA AC=o o，解得MA =在三角形MNA sin 60==o ，故150MN =． 30．2【解析】由b B c C b 2cos cos =+得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，sin 2sin A B =，∴2a b =，故2ab=． 31．π32【解析】3sin 5sin A B =， π32212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ，所以π32．32sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•，2223BD ∴==33．①②③【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<．34．4【解析】根据余弦定理可得2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-，解得b =4． 35． 在ABC ∆中，根据sin sin sin AB AC BCC B A==，得sin sin 2sin sin ACAB C C C B=⋅==，同理2sin BC A =， 因此22sin 4sin AB BC C A +=+22sin 4sin()3C C π=+-4sin )C C C ϕ=+=+．36【解析】根据sin sin AB ACC B=得5sin sin 7AB C B AC ===11cos 14C ==， 所以sin sin[()]sin cos cos sin A B C B C B C π=-+=+111142-= 37．4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性．当A =B 或a =b 时满足题意，此时有：1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，tan22C =，1tan tan tan 2A B C===，tan tan tan tan C CA B+= 4． （方法二）226cos 6cos b aC ab C a b a b+=⇒=+， 2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=tan tan sin cos sin sin cos sin sin()tan tan cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B A B C A B C A B +++=⋅=⋅21sin cos sin sin C C A B =⋅．由正弦定理，得：上式22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅．38．6π【解析】由sin cos 2B B +=得12sin cos 2B B +=，即sin 21B =， 因02B π<<，所以2,24B B ππ==.又因为2,2,a b ==由正弦定理得22sin sin 4A π=，解得1sin 2A =，而,a b <则04A B π<<=,故6a π=． 39．【解析】(1)在ABC ∆中，∵1cos 7B =-，∴(,)2B ππ∈，∴243sin 1cos B B =-=． 由正弦定理得sin sin a b A B=⇒7sin 43A =，∴3sin A =． ∵(,)2B ππ∈，∴(0,)2A π∈，∴π3A ∠=．(2)在ABC ∆中，∵sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=31143()2727⨯-+⨯=3314． 如图所示，在ABC ∆中，∵sin hC BC=，∴sin h BC C =⋅=33337⨯=， ∴AC 边上的高为33．40．【解析】(1)在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠． 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==．(2)由题设及(1)知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=． 所以5BC =．41．【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得3B π=．(2)在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =a c <，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214-⨯= 42．【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =． 故2sin sin 3B C =．（2）由题设及（1）得121cos()cos cos sin sin 632B C B C B C +=-=-=-所以2π3B C +=，故π3A =． 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =．由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=．故ABC △的周长为343．【解析】（1）由已知得tan A =，所以23A π=． 在ABC ∆中，由余弦定理得222844cos 3c c π=+-，即2+224=0c c -．解得6c =-（舍去），4c = （2）有题设可得2CAD π∠=，所以6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=．故ABD ∆面积与ACD ∆面积的比值为1sin26112AB AD AC AD π⋅⋅=⋅． 又ABC ∆的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=ABD ∆44．【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =． （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABCS ∆=，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．45．【解析】（Ⅰ）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =． 由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin a B A b ==.所以，bsin A的值为13. （Ⅱ）由（Ⅰ）及a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A A +=+=． 46．【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ==． （Ⅱ）因为37c a a =<，所以60C A ∠<∠=o，由7a =，所以3737c =⨯=．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯， 解得8b =或5b =-（舍）．所以△ABC的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=47．【解析】(Ⅰ)由tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+，所以C B C sin sin sin +=2，由正弦定理，得c b a 2=+．（Ⅱ）由abc ab b a ab c b a C 22222222--+=-+=)(cos22233311112222()2c c a b ab =--=-=+…．所以C cos 的最小值为12．48．【解析】（I ）证明：由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可知 原式可以化解为cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C+==∵A 和B 为三角形内角 , ∴sin sin 0A B ≠则，两边同时乘以sin sin A B ，可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B += 由和角公式可知，()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-= 原式得证。

三角函数解三角形两角和与差的正弦余弦和正切公式课件xx年xx月xx日CATALOGUE目录•三角函数的定义•三角函数的基本性质•三角形中的边角关系•两角和与差的正弦余弦和正切公式•解直角三角形的方法•实例讲解01三角函数的定义1正弦函数23正弦函数是三角函数的一种，记作sin(x)，定义域为所有实数，值域为[-1,1]。

定义正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是以原点为圆心，以1为半径的圆上的一部分。

图像正弦函数是周期函数，最小正周期为2π。

性质余弦函数是三角函数的一种，记作cos(x)，定义域为所有实数，值域为[-1,1]。

余弦函数定义余弦函数的图像也称为余弦曲线，它是由一系列的水平和垂直线段组成的。

图像余弦函数是周期函数，最小正周期为2π。

性质图像正切函数的图像也称为正切曲线，它是由一系列的斜线组成的。

定义正切函数是三角函数的一种，记作tan(x)，定义域为所有不等于π/2+kπ(k∈Z)的实数，值域为所有实数。

性质正切函数是奇函数，图像关于原点对称。

正切函数02三角函数的基本性质正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即$f(x+2\pi)=f(x)$和$g(x+2\pi)=g(x)$。

正切函数的周期是π，即$h(x+π)=h(x)$。

周期性1 2 3正弦函数的振幅是1，即$f(x) \in [-1,1]$。

余弦函数的振幅也是1，即$g(x) \in [-1,1]$。

正切函数的振幅需要特别注意，它的振幅不是1，而是没有限制的，即$h(x) \in \mathbf{R}$。

正弦函数和余弦函数的相位可以用正负号来表示，例如$f(x)=sin\omega x$和$g(x)=cos\omega x$，其中$\omega >0$。

正切函数的相位需要特别注意，它没有固定的相位，也就是说$h(x)$中不存在相位的概念。

正弦函数和余弦函数的初相都是一个常数，例如$f(0)=A$和$g(0)=B$。

正切函数的初相需要特别注意，它没有固定的初相，也就是说$h(x)$中不存在初相的概念。

第九章 三角函数、三角恒等变换与解三角§9.1三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式【高考考点】（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式.【知识点梳理】1、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z2、角度制与弧度制的互化（1）1弧度角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角； （2）弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭（3）弧长及扇形面积公式： 22121,...R lR S R l αα==⋅=扇形其中扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l 。

（4）特殊角的角度与弧度（请完成表格）（5）特殊角的三角函数值：3、任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α=r y 余弦cos α=r x 正切：tan α=xy1弧度LR(2)各函数在不同象限的符号：正弦 余弦 正切4.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α （在利用已知角的某一三角函数值求另外三角函数值时，还可用解直角三角形得出结论，但一定要注意函数值的取值符号。

） 5.诱导公式： 记忆口诀：把a k ±2π的三角函数化为a 的三角函数 概括为：奇变偶不变，符号看象限。

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=， ()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()t a n t a nπαα+=． ()()3sin sin αα-=-， ()c o s c o s αα-=， ()t a n t a n αα-=-． ()()4sin sin παα-=， ()cos cos παα-=-， ()t a n t a n παα-=-． ()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭; ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．【课前预习】1. _____240sin =o _____390cos =o=π34tan_________ 2.一扇形圆心角为,120o半径为1，则圆心角所对的弧长为:_______3．已知角α的终边经过点P (2，－3)，则：sin sin α=_______,cos α=________tan α=________【典型例题】【例1】cos300︒=（ ）yx xy O — + — +y O — + + —+ + — _ xA. B.-12 C.12 D.【解析】()1cos300cos 36060cos 602︒=︒-︒=︒=【例2】若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= .【解析】由已知，θ在第三象限，∴3cos 5θ===-.【例3】求函数y ＝|tan |tan cos |cos ||sin |sin x xx x x x ++的值域. 【解析】对x 进行分类讨论得出函数值。

cos α－ 专题四 三角函数、解三角形考点 1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式＝4，则64 48 16 A.25B.25C.1D.2532cos 2α＋2sin 2α 1＋4tan α 641.A tan α＝4，则 cos α＋2sin 2α＝ cos 2α＋sin 2α ＝ 1＋tan 2α ＝25.⎛ 3π⎫ π⎝10⎭ sin ⎝α－5⎭ A.1B.2C.3D.4⎛ 3π⎫⎛π3π⎫ ⎛π⎫cos ⎝α－10⎭ sin ⎝2＋α－10⎭ sin ⎝α＋5⎭ 2.C [ ⎛ π⎫ ＝ ⎛ π⎫ ＝⎛ π⎫ sin ⎝α－5⎭ sin ⎝α－5⎭ tan αsin ⎝α－5⎭ π ππ ＋1 sin αcos ＋cos αsin tan 5 2＋1 ＝π π＝tan α ＝ ＝3.]－12－1 5 5 π tan 53.﹣方法一：∵角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，∴sin α=sin β=，cos α=﹣cos β，∴cos（α﹣β）=cos αcos β+sin αsin β=﹣cos 2α+sin 2α=2sin 2α﹣1= ﹣1=﹣ 方法二：∵sin α=，当 α 在第一象限时，cos α= ，∵α，β 角的终边关于 y 轴对称，∴β 在第二象限时，sin β=sin α= ，cos β=﹣cos α=﹣ ，∴cos（α﹣β）=cos αcos β+sin αsin β=﹣ × + × =﹣：∵sinα= ，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于 y 轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣× + × =﹣综上所述cos（α﹣β）=﹣，故答案为：﹣令 cosx=t 且t∈[0，1]，则f（t）=﹣t2+ + =﹣（t﹣）2+1，当t= 时，f（t）max=1，即 f（x）的最大值为 1.考点2 三角函数的图象与性质1．（2018 全国Ⅱ，10）若f(x) = cos x− sin x在[−a, a]是减函数，则a的最大值是()A．π4B．π2C．3π4D．π1.A 因为f(x) = cos x− sin x = √2cos(x + π)，所以由0 + 2kπ≤ x + π≤ π+ 2kπ,(k ∈ Z)得4 4−π + 2kπ ≤ x≤ 3π + 2kπ,(k ∈ Z) ，因此[−a, a] ⊂ [− π , 3π] ∴ −a < a, −a≥ − π , a≤ 3π ∴ 0 <4 4 4 4 4 4a≤ π，从而a的最大值为π，选 A.4 42．（2018 天津，6）将函数y = sin(2x + π)的图象向右平移π个单位长度，所得图象对应的5 10函数( )3π 5π [ A. ω= ，φ= B. ω= ，φ=﹣ C. ω=，φ=﹣D. ω=，φ=A ．在区间[3π , 5π]上单调递增B ．在区间[3π, π]上单调递减444C ．在区间[5π , 3π]上单调递增D ．在区间[3π, 2π]上单调递减4222. A 由函数图象平移变换的性质可知：将y = sin (2x + π)的图象向右平移π510个单位长度之后的解析式为：y = sin [2 (x − π) + π] = sin2x .则函数的单调递增区间满足：2kπ − π≤2x ≤ 2kπ + π(k ∈ Z )， 即10 5π2π(k ∈ Z )，令k = 1可得一个单调递增区间为：kπ − 2 4 ≤ x ≤ kπ +4[ , ].函数的单调递减区间满足：2kπ + π ≤ 2x ≤ 2kπ +3π (k ∈ Z )，即kπ + π≤ x ≤ kπ +2243π(k ∈ Z )，令k = 1可得一个单调递减区间为： 5π , 7π].本题选择 A 选项.444f （）=0，且 f （x ）的最小正周期大于 2π，则（ ）3. A由 f （x ）的最小正周期大于 2π，得 ，又 f （）=2，f （）=0， 得，∴T=3π，则 ，即． ∴f （x ）=2sin （ωx +φ）=2sin （ x+φ），由 f （ ）= ，得 sin （φ+）=1．∴φ+=，k ∈Z ． 取 k=0，得 φ= ＜π．∴，φ=．故选 A ．A. 把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C 2B. 把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C 2C. 把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C 2D. 把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C 24. D把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 y=cos2x 图象，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到函数 y=cos2（x ﹣）=cos （2x ﹣）=sin（2x+ ）的图象，即曲线 C 2 ， 故选 D ．A 、f （x ）的一个周期为﹣2πB 、y=f （x ）的图象关于直线 x= 对称C 、f （x+π）的一个零点为 x=D 、f （x ）在（，π）单调递减5. DA ．函数的周期为 2kπ，当 k=﹣1 时，周期 T=﹣2π，故 A 正确，B ．当 x=时，cos （x+ ）=cos （+）=cos=cos3π=﹣1 为最小值，此时 y=f（x ）的图象关于直线 x= 对称，故 B 正确，C 当 x=时，f （+π）=cos （+π+）=cos=0，则 f （x+π）的一个零点为 x=，故 C 正确， D ．当 ＜x ＜π 时，＜x+＜，此时余弦函数不是单调函数，故 D 错误，故选 D.A.与 b 有关，且与 c 有关B.与 b 有关，但与 c 无关C.与 b 无关，且与 c 无关D.与 b 无关，但与 c 有关6.B [因为 f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c cos 2x b sin x ＋c 1＝－ 2 ＋ ＋2，其中当 b ＝0 时，f (x ) cos 2x c 1 f (x )的周期为 π；b ≠0 时，f (x )的周期为 2π.即 f (x )的周＝－ 2 ＋ ＋2， 期与 b 有关但与 c 无关，故选 B.]的 点 ( )A. π⎝ －3 ⎭π向左平行移动3个单位长度B.向右平行移动3个单位长度C. π π向左平行移动6个单位长度 D.向右平行移动6个单位长度⎛2x π⎫ ⎡ ⎛ π⎫⎤π 7.D[由题可知,y ＝sin ⎝ －3⎭＝sin ⎣2⎝x －6⎭⎦,则只需把 y ＝sin 2x 的图象向右平移6个单位，选 D.⎛2x π⎫⎛π ⎫点 P ′. 若 P ′ 位 于 函 数 y ＝sin 2x 的 图 象 上 ， 则 ( ) A.t ＝2，s 的最小值为6B.t ＝ 2 ，s 的最小值为6C.t ＝2，s 的最小值为3D.t ＝ 2 ，s 的最小值为3⎛π ⎫ ⎛ π⎫ ⎛ π π⎫π 1 8.A[点 P ⎝4，t ⎭在函数 y ＝sin ⎝2x －3⎭图象上，则 t ＝sin ⎝2×4－3⎭＝sin 6＝2.又由题意得 y ＝sin ⎡2（x ＋s π⎤＝sin 2x ，故 s π⎣ ）－3⎦π ＝6＋k π，k ∈Z ，所以 s 的最小值为6.]⎝ ⎛ π 5π⎫2⎭＝－4为 ＝4为＝f (x )图象的对称轴，且 f (x )在⎝18，36⎭上单调，则 ω 的最大值为( )A.11B.9C.7D.5 π π π ⎛ π⎫ T π9.B [因为 x ＝－4为 f (x )的零点，x ＝4为 f (x )的图象的对称轴，所以4－⎝－4⎭＝4＋kT ，即2＝4k ＋14k ＋1 2π*⎛ π 5π⎫5π π πT 2π≤2＝2ω，即 ω≤12，由此得 ω 的最大值为 9，故选 B.]称轴为( )π的图象向左平移12个单位长度，则平移后图象的对A.x k π π k π π k π π k π π ＝ 2 －6(k ∈Z )B.x ＝ 2 ＋6(k ∈Z )C.x ＝ 2 －12(k ∈Z )D.x ＝ 2 ＋12(k ∈Z )1 π3 π1 π 3 π3410.B [由题意将函数 y ＝2sin 2x π的图象向左平移12个单位长度后得到函数的解析式为 y ＝⎛2x π⎫π π k π π 2sin ⎝ ＋6⎭，由 2x ＋6＝k π＋2得函数的对称轴为 x ＝ 2 ＋6(k ∈Z )，故选 B.]⎛4x π⎫A. π π向左平移12个单位B.向右平移12个单位C. ππ向左平移3个单位D.向右平移3个单位⎛4x π⎫ ⎡ ⎛ π ⎫⎤11.B[∵y ＝sin ⎝ －3⎭＝sin ⎣4⎝x －12⎭⎦，⎛4x π⎫π ∴要得到 y ＝sin ⎝ －3⎭的图象，只需将函数 y ＝sin 4x 的图象向右平移12个单位.]⎝2⎭图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2 的 x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π，则 φ＝( )5π π π π A.12 B.3 C.4 D.6⎛0 π⎫ 12.D[易知 g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝ ，2⎭，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2 及正弦函数的有界性知，⎧⎪sin 2x 1＝－1， ①⎨⎧⎪sin 2x 1＝1，或②⎨ ⎪⎩sin （2x 2－2φ）＝1 ⎧x 1＝－π＋k 1π，⎪⎩sin （2x 2－2φ）＝－1，由①知⎨ π(k 1，k 2∈Z )，⎩k 2＝4＋φ＋k 2π ⎪π⎪ π ⎛ π⎫ ∴|x 1－x 2|min ＝⎪2＋φ＋（k 2－k 1）π⎪min ＝3，由 φ∈⎝0，2⎭，π 2π π ∴2＋φ＝ 3 ，∴φ＝6，同理由②得 φ π故选 D.]＝6.⎛2x π⎫⎛ π⎫A. y ＝cos ⎝ ＋2⎭B. y ＝sin ⎝2x ＋2⎭C. y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x⎛2x π⎫13. A [A 选 项：y ＝cos ⎝ ＋2⎭＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选 A.] ⎛π⎫＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.1014. C [由题干图易得 y min ＝k －3＝2，则 k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.]⎛k π 13⎫ ⎛1 3⎫ A.⎝ －4，k π＋4⎭，k ∈ZB.⎝2k π－4，2k π＋4⎭，k ∈Z⎛k 13⎫ ⎛ 13⎫ C.⎝ －4，k ＋4⎭，k ∈Z D.⎝2k －4，2k ＋4⎭，k ∈Z15.D [T 5 1 1，∴T ＝2.由选项知 D 正确.]由图象知2＝4－4＝当 x 2π ＝ 3 时，函数 f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f (2)<f (－2)<f (0)B.f (0)<f (2)<f (－2)C.f (－2)<f (0)<f (2)D.f (2)<f (0)<f (－2)16.A 由于 f (x )的最小正周期为 π,∴ω＝2,即 f (x )＝A sin(2x ＋φ),又当 x 2π ,2x ＋φ 4πφπ 11ππ ⎛2x ＝ 3 时 π⎫ ＝ 3 ＋＝2k π－2，∴φ＝2k π－ 6 ，又 φ>0，∴φmin ＝6，故 f (x )＝A sin ⎝ ＋6⎭.1 ⎛4 π⎫ ⎛ π⎫ ⎛13π ⎫于是 f (0)＝2A ，f (2)＝A sin ⎝ ＋6⎭，f (－2)＝A sin ⎝－4＋6⎭＝A sin ⎝ 6 －4⎭， π 5π π 7π π⎛4 π⎫ 又∵－2< 6 －4<6<4－ 6 <2，其中 f (2)＝A sin ⎝ ＋6⎭ ⎡ ⎛4 π⎫⎤ ⎛5π ⎫ ⎛13π ⎫ ＝A sin ⎣π－⎝ ＋6⎭⎦＝A sin ⎝ 6 －4⎭，f (－2)＝A sin ⎝ 6 －4⎭) π ( ＝A sin ⎡π－⎛13π－4⎫⎤＝A sin ⎛4－7π⎫.⎣ ⎝ 6 ⎭⎦ ⎝ 6 ⎭ ⎛ π π⎫又 f (x )在⎝－2，2⎭单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选 A.π ⎛3x π⎫图象向右平移12个单位后，可得到 y ＝ 2cos ⎝ －4⎭的图象，故选 C.]17．（2018 全国Ⅲ，15）函数f (x ) = cos (3x + π 在[0 ， π]的零点个数为．617.3 ∵ 0 ≤ x ≤ π,∴ π 6≤ 3x + π 6≤ 19π 6.由题可知3x + π 6= π 2，3x + π6= 3π 2，或3x + π6= 5π2,解得x = π , 4π,或7π,故有 3 个零点.9 9918．（2018 江苏，7）已知函数y = sin(2x + φ)(− π < φ < π)的图象关于直线x = π对称，则223φ的值是．18.− . 由题意可得sin 2π + φ) = ±1，所以2π + φ = π+ k π，φ = − π+ k π(k ∈ Z )，因为63326− π < φ < π，所以k = 0, φ = − π.22619．（2018 北京，11）设函数 f （x ）=cos(ωx − π)(ω > 0)，若f (x ) ≤ f (π)对任意的实数 x64都成立，则 ω 的最小值为．19. 因为f (x ) ≤ f ( )对任意的实数 x 都成立，所以f ( )取最大值，所以 ω − = 2k π(k ∈ 2 π π π π34 44 6Z )， ∴ ω = 8k + 2(k ∈ Z )，因为ω > 0，所以当k = 0时，ω 取最小值为2.3320.7 [在区间[0，3π]上分别作出 y ＝sin 2x 和 y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有 7 个交点.]2π⎛x π⎫⎛π⎫2π21. 3 [y＝sin x－3cos x＝2sin⎝－3⎭，y＝sin x＋3cos x＝2sin⎝x＋3⎭，因此至少向右平移3个单位长度得到.]⎡3 7 ⎤ 1－cos 2x 1 2 ⎛ π⎫ 322.π ⎣8π＋kπ，8π＋kπ⎦(k∈Z) [f(x)＝ 2 ＋2sin 2x＋1＝sin⎝2x－4⎭＋2，∴T 2πππ3π3π7π＝2 ＝π，由2＋2kπ≤2x－4≤ 2 ＋2kπ，k∈Z，解得：8 ＋kπ≤x≤ 8 ＋kπ，k∈Z，∴单调递⎡3π7π⎤减区间是⎣8 ＋kπ，8 ＋kπ⎦，k∈Z.]23．（2018 江苏，17）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40 米，点P到MN的距离为50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚II内的地块形状为△ CDP，要求A, B均在线段MN上，C, D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△ CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚II内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4: 3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．23.（1）连结PO 并延长交MN 于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O 作OE⊥BC 于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP 的面积为1×2×40cos θ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．2过N 作GN⊥MN，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=1，θ0∈（0，π）．4 6当θ∈[θ0，π）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，2所以sinθ 的取值范围是[1，1）．4答：矩形ABCD 的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ 的取值范围是[1，1）．4（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800 （4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600 （cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π）．2设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π），2则f′(θ) = cos2θ− sin2θ− sinθ= −(2sin2θ + sinθ− 1) = −(2sinθ− 1)(sinθ + 1)．令f′(θ)=0，得θ=π，6当θ∈（θ0，π）时，f′(θ)>0，所以f（θ）为增函数；6当θ∈（π，π）时，f′(θ)<0，所以f（θ）为减函数，6 2因此，当θ=π时，f（θ）取到最大值．6答：当θ=π时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．6g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变) π，再将所得到的图象向右平移2个单位长度. (1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f(x)＋g(x)＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β.①求实数m 的取值范围；2m2②证明：cos(α－β)＝5 －1.24.解法一(1)将g(x)＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变)得到yπ⎛x π⎫＝2cos x 的图象，再将y＝2cos x 的图象向右平移2个单位长度后得到y＝2cos⎝－2⎭的图象，故f(x)＝2sin x.＋cos x＝＝从而函数f(x)＝2sin x 图象的对称轴方程为x＝kππ∈Z).＋2(k(2)①f(x)＋g(x)＝2sin x＋cos x＝5⎛2 sin x 1 ⎫＝5sin(x＋φ)⎝ 5 5 ⎭⎛其中sin φ 1 ，cos φ 2 ⎫.⎝ 5 5⎭依题意，sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪m ⎪＜1，故m 的取值范围是(－5，5).⎪5⎪②证明因为α，β是方程5sin(x＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。

2022年高三备考【新题型】——三角函数与解三角形青岛青奥教育——见识新情况，扩展宽思路一、解答题1．如图，在四边形ABCD中，CD =BC =cos 14CBD ∠=-.（1）求BDC ∠； （2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值. 【答案】（1）6π；（2）12 【分析】（1）在BCD △中，利用正弦定理可求得结果；（2）在BCD △中，由余弦定理可求得4BD =，在ABD △中，3A π∠=，设,AB x AD y ==，由余弦定理得22161cos 22x y A xy -+==，即2216x y xy -+=，利用基本不等式求得()max x y +，进而求出 ABD △周长的最大值. 【详解】（1）在BCD △中，cos CBD ∠=sin 14CBD ∠∴== 利用正弦定理得：sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，sin 1sin 2BC CBDBDC CD⋅∠∴∠===又CBD ∠为钝角，BDC ∴∠为锐角，6BDC π∴∠=（2）在BCD △中，由余弦定理得2222cos2BC BD CD CBD BC BD ∠+===⋅-解得：4BD =或5BD =-（舍去） 在ABD △中，3A π∠=，设,AB x AD y ==由余弦定理得22222161cos 222AB AD D x y A AB B AD xy -+=⋅-+==，即2216x y xy -+= 整理得：()2163x y xy +-=，又0,0x y >>利用基本不等式得：()()2231346x y x y xy +=≤-+，即()2416x y +≤，即()264x y +≤，当且仅当4x y ==时，等号成立，即()max 8x y +=，所以()max 8412AB AD BD ++=+= 所以 ABD △周长的最大值为12 【点睛】方法点睛：本题考查利用正余弦定理解三角形，及利用基本不等式求三角形周长的最值，利用条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.2．已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）是否同时存在实数a 和正整数n ，使得函数()()g x f x a =-在[]0,x n π∈上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a 和n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）⎡⎣；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用三角恒等变换得出()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的值域求解；（2）由题意可知，函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点，然后对实数a 的取值进行分类讨论，考查实数a 在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.【详解】（1）()cos 12(sin cos )cos 14f x x x x x x π⎛⎫=+-=+⋅- ⎪⎝⎭22sin cos 2cos 1sin 2cos 224x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，20,42x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴[]sin 20,14x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()f x ⎡∈⎣. （2）假设同时存在实数a 和正整数n 满足条件，函数()()g x f x a =-在[]0,x n π∈上恰有2021个零点，即函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点. 当[]0,x π∈时，92,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，作出函数()f x 在区间[]0,π上的图象如下图所示：①当a >a <()y f x =与直线y a =在[]0,n π上无交点，②当a =a =()y f x =与直线y a =在[]0,π上有一个交点，此时要使函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点， 则2021n =；③当1a <<或1a <<时，函数()y f x =与直线y a =在[]0,π上有两个交点，此时函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上有偶数个交点，不符合题意； ④当1a =时，函数()y f x =与直线y a =在[]0,π上有三个交点，此时要使函数()y f x =与直线y a =在[]0,n π上恰有2021个交点，则1010n =；综上所述，存在实数a 和n 满足题设条件：a =2021n =；a =2021n =；1a =时，1010n =.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数()y f x =与直线y a =的图象在区间[]0,π上的图象的交点个数，结合周期性求解.3．如图是一“T ”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m m （从拐角处，即图中A ，B 处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．（1）在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数； （2）若从南面漂来一根长为7m 的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．【答案】（1）4sin cos l θθ=+π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；（2）这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠，理由详见解析． 【分析】（1）计算sin PA θ=，4cos QA θ=，得到函数解析式.（2）设4()sin cos f θθθ=+，求导得到单调区间，计算函数的最小值7>，得到答案.【详解】 （1）PA =，4cos QA θ=，所以l PA QA =+，即4cos l θ=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．（2）设4()sin cos f θθθ=+，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由)332222cos 4sin ()sin cos sin cos f θθθθθθθθθ-'=-+=， 令()0f θ'=，得0tan 2θ=， 且当()00,θθ∈，()0f θ'<；当0π,2θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f θ'>， 所以()f θ在()00,θ上单调递减；在0π,2θ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以当0θθ=时，()f θ取得极小值，即为最小值．当0tan θ=sin θ=，0cos θ=所以min 0()()4f f θθ===即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为．因为7>，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠． 【点睛】本题考查了三角函数的应用，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P ，Q 是以AB 为直径的上半圆弧上两点（点P 在Q 的右侧），点O 为半圆的圆心，已知2AB =，BOP θ∠=，POQ α∠=.（1）若点P 的横坐标为45，点Q 的纵坐标为12，求cos α的值； （2）若1PQ =，求AQ BP ⋅的取值范围.【答案】（1（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）计算3sin 5θ=，4cos 5θ=，()1sin 2αθ+=，()cos 2αθ+=-，利用和差公式计算得到答案. （2）3πα=，故()cos ,sin P θθ，cos ,sin 33Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1sin 62AQ BP πθ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】（1）根据题意：3sin 5θ=，4cos 5θ=，()1sin 2αθ+=，()sin sin αθθ+<，故,2παθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()cos αθ+=故()()()cos cos cos cos sin sin ααθθαθθαθθ=+-=+++=. （2）1OP OQ PQ ===，故3πα=，故()cos ,sin P θθ，cos ,sin 33Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ()10B ,，()1,0A -，故()cos 1,sin cos 1,sin 33AQ BP ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1cos 1cos 1sin sin sin 3362πππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5,666πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故11sin 0,622πθ⎛⎫⎡⎤+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题考查了三角恒等变换，向量的数量积，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5．如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池ABCD 内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形APQ ，其中P 位于边CB 上，Q 位于边CD 上，已知20AB =米，6PAQ π∠=，设PAB θ∠=，记()ABCD fPAQ θ=∆正方形面积面积，当()f θ越大，则污水净化效果越好.（1）求()f θ关于的函数解析式，并求定义域； （2）求()fθ最大值，并指出等号成立条件？【答案】(1)()=4cos cos()3f πθθθ-，()124;(2) =6πθ时,()fθ最大值是3【分析】（1）在ABP △中求AP ,在ADQ △中求AQ ,再求出PAQ ∆面积得解. （2要求()f θ最大值，恒等转化成sin()A x k 型利用三角函数性质可得解.【详解】（1）在ABP △中,PAB θ∠=, 20AB =∴ 20=coscos ABAP ; 在ADQ △中3DAQ πθ∠=-,∴20=cos()cos()33AD AQ1100sin 26cos cos()3PAQ S AP AQ ππθθ∆=⋅=-()400=4cos cos()1003cos cos()3f πθθθπθθ=--由题知04πθ<<，且034∴124ππθ<<()=4cos cos()3f πθθθ∴-，()124（2）()=4cos cos()=2sin(2)136f ππθθθθ-++124ππθ<< ，22363∴ 当2=62ππθ+时，即=6πθ时()f θ最大值是3【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A x k 或cos()A x k 的形式；（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.6．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180︒而成，如图2.已知圆O 的半径为10cm ，设BAO θ∠=，02πθ<<，圆锥的侧面积为2cm S （S 圆锥的侧面积RI π=（R -底面圆半径，I -母线长））（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大.求S 取得最大值时腰AB 的长度【答案】（1）2400sin cos S πθθ=，（02πθ<<）；（2 【分析】（1）根据题意，设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，分析可得220cos AB AE θ==，sin 20sin cos BD AB θθθ==，由圆锥的侧面积公式可得S 的表达式，即可得答案；（2）由（1）可得S 的表达式可得231400sin cos 400(sin sin )2S πθθπθθ==-，设3()=-f x x x ，(01)x <<，求导求出其在区间(0,1)上的最大值，求出x 的值，即可得当sin θ=，即cos θ=时，侧面积S 取得最大值，计算即可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ， 在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， 在ABD ∆中，sin 20sin cos BD AB θθθ=⋅=，所以21220sin cos 20cos 400sin cos 2S πθθθπθθ=⨯⨯⨯=，（02πθ<<）. （2）由（1）得：()231400sin cos 400sin sin 2S πθθπθθ==-，设()3f x x x =-，（01x <<），则()213f x x '=-，令()2130f x x '=-=，可得x =当0,3x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 在区间0,3⎛⎝⎭上单调递增，当,13x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 在区间3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在3x =时取得极大值，也是最大值；所以当sin θ=，即cos θ=时，侧面积S 取得最大值，此时等腰三角形的腰长20cos AB θ==答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为cm 3.【点睛】本题考查导数的实际应用，利用导数求函数的单调性、极值和最值，还涉及圆锥的侧面积公式和三角函数的恒等变形，关键是求出S 的表达式．7．已知函数()cos f x x x =，()sin g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求证:()()f x g x ≤； （2）若()ax g x bx <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【分析】（1）构建函数()cos sin h x x x x =-，通过导数研究函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性并计算最值，可得结果. （2）构造函数()sin M x x cx =-，通过分类讨论的方法，0c ≤，1c ≥和01c <<，利用导数判断函数()M x 的单调性，并计算最值比较，可得结果.【详解】（1）由()()()cos sin h x f x g x x x x =-=- 所以()'cos sin cos sin h x x x x x x x =--=-. 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'sin 0h x x x =-≤, 所以()h x 在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.从而()()00h x h ≤=,()()f x g x ≤.（2）当0x >时,“()ax g x <”等价于“sin 0x ax ->” “()g x bx <”等价于“sin 0x bx -<”. 令()sin M x x cx =-,则()'cos M x x c =-,当0c ≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时, 因为对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()'cos 0M x x c =-<, 所以()M x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 从而()()00M x M <=对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立. 当01c <<时, 存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'cos 0M x x c =-=. ()M x 与()'M x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下:因为()M x 在区间[]00,x 上是增函数, 所以()()000M x M >=.进一步,“()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立” 当且仅当1022M c ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,即20c π<≤, 综上所述： 当且仅当2c π≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立; 当且仅当1c ≥时,()0M x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立. 所以，若()ax g x bx <<对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立, 则a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.8．如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .设AOB θ∠=.（1）当56πθ=，求四边形OACB 的面积； （2）当θ为何值时，线段OC 最长并求最长值.【答案】（12）当23πθ=时，OC 的最大值为3【分析】（1）利用余弦定理求出AB ，分别求出OAB ABC ∆∆，的面积即可；（2）根据余弦定理，正弦定理用θ表示出,sin ,cos AB OAB OAB ，利用余弦定理得出OC 关于θ的函数，根据三角恒等变换求出最值. 【详解】解：（1）在OAB ∆中，由余弦定理得2222cos AB OA OB OA OB θ=+-⋅514212cos 6π=+-⨯⨯5=+于是四边形OACB 的面积为21sin 2AOB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+111222=⨯⨯⨯+=（2）在OAB ∆中，由余弦定理得2222cos AB OA OB OA OB θ=+-⋅14212cos 54cos θθ=+-⨯⨯⨯=-，∴AB =∴AC =在OAB ∆中，由正弦定理得sin sin AB OBOABθ=∠， 即sin sinOB OAB AB θ∠==又OB OA <，所以OAB ∠为锐角，∴cosOAB ∠==∴cos cos cos cos sin sin 333OAC OAB OAB OAB πππ⎛⎫∠=∠+=∠-∠ ⎪⎝⎭=-在OAC ∆中，由余弦定理得：2222cos OC OA AC OA CA OAC =+-⋅∠454cos 22θ⎛⎫=+--⨯52cos 54sin 6πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭.∵(0,)θπ∈， ∴当23πθ=时，OC 的最大值为3. 【点睛】本题考查了解三角形和三角函数的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.9．已知向量()2cos ,1a x =，()3sin cos ,1b x x =+-，函数()f x a b =⋅.（1）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值； （2）若函数()y fx ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，求正数ω的取值范围.【答案】（1（2）104ω<≤ 【分析】（1）利用数量积公式结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，由()065f x =，结合026x π+的范围以及平方关系得出0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，由002266x x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=结合两角差的余弦公式求解即可；（2）由整体法结合正弦函数的单调性得出该函数的单调增区间，则区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭应该包含在()y f x ω=的一个增区间内，根据包含关系列出不等式组，求解即可得出正数ω的取值范围. 【详解】（1）())2cos cos 12cos 22sin 26f x a b xx x x x x π⎛⎫=⋅=+-=+=+ ⎪⎝⎭因为()065f x =，所以062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0272366x πππ≤+≤所以04cos 265x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭.所以00001cos 2cos 2cos 2sin 2662626x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525⎛⎫=-+⨯=⎪⎝⎭（2）()2sin 26y f x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 令222262k x k ππππωπ-≤+≤+，k Z ∈得36k k x ππππωωωω-≤≤+，k Z ∈ 因为函数()y fx ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数所以存在0k Z ∈，使得002,,3336k k ππππππωωωω⎛⎫⎛⎫⊆-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以有0033263k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即0031614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩ 因为0>ω，所以016k >- 又因为2123322πππω-≤⨯，所以302ω<≤，则03312k ≤+，所以056k ≤从而有01566k -<≤，所以00k =，所以104ω<≤. 【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的余弦公式化简求值以及根据正弦型函数的单调性求参数范围，属于较难题.10．已知向量()()sin ,cos 3a x x ωωω=>，()cos ,sin 2b πϕϕϕ⎛⎫=<⎪⎝⎭，函数()5f x a b π=⋅+满足2445f x f x πππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且在区间2,189ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，又不等式()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立.（1）求函数()f x 的解析式； （2）若函数()20205y f x x ππ=--+在区间[](),0m m m ->的零点为123100,,,,x x x x ，求()10011ii x f x =+⎡⎤⎣⎦∑的值.【答案】（1）()sin(5)+45f x x+ππ=；（2）15π.【分析】(1)根据()5f x a b π=⋅+利用向量数量积公式与正弦的和角公式化简,再根据题意可得()f x 的对称轴与对称中心等.同时利用()f x 在区间2()189ππ，上单调求出关于周期的不等式,继而求得解析式.(2)将题意转换为函数()y f x =的图象与1+520y x ππ=+的图象在区间[,]m m -上有100个交点.再利用函数的对称点分析求解即可. 【详解】（1）()sin cos cos sin sin()555f x a b x x x πππωϕωϕωϕ=⋅+=++=++因为()()044f +x f x ππ-+--=,所以(0)4π-，是函数()f x 的一个对称中心, 由()()4f x f π≤,得4x π=为函数()f x 的一条对称轴,所以()4424k T T ,k ππ--=+∈Z ,即(21)22k ,k ,ππω+=∈Z 所以21=k ,k ω+∈Z . 又因为函数()f x 在区间2()189ππ，上单调,所以2=91862T ππππω-=≤, 即6ω≤,又3ω>,所以5ω=. 又因为542+k ,k Z ,ππϕπ⨯=+∈所以34k ,k Z ,πϕπ=-∈又2,πϕ≤所以4πϕ=. 所以()sin(5)+45f x x+ππ=.（2）由题意,方程1()+520f x x ππ=+在区间[,]m m -上有100个实根,即函数()y f x =的图象与1+520y x ππ=+的图象在区间[,]m m -上有100个交点.由5=,,4x+k k ππ∈Z 得,520k x k ππ=-∈Z , 所以(,)205ππ-为函数()y f x =的图象的一个对称中心.易知(,)205ππ-也是函数1+520y x ππ=+的图象的对称中心,所以()y f x =与1+520y x ππ=+的图象交点成对出现,且每一对均关于点(,)205ππ-对称, 所以1231002()50520x x x x ππ++++=⨯-⨯=-.123100()()()()250205f x f x f x f x ππ++++=⨯⨯=,所以1001[+()]i i i x f x =∑=123100123100+++++()()()()=15x x x x f x f x f x f x π++++.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质综合运用,需要根据条件得出三角函数的对称轴、对称点以及周期范围等信息,进而列出参数的不等式进行求解.同时也考查了三角函数的对称点的求和应用.属于难题.11．如图，已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，点,A B 分别是()f x 的图象与y 轴、x 轴的交点，,C D 分别是()f x 的图象上横坐标为3π、2π的两点，//CD x 轴，,,A B D 三点共线.（1）求,ωϕ的值；（2）若关于x的方程()3f x k x =+在区间,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个实根，求实数k 的取值范围. 【答案】(1) 3ω=,=4πϕ;(2)12k -<≤-【分析】(1)结合AB BD =及中点坐标可求B ，根据点C 与点D 对称性求出对称轴512x π=，然后可求()f x 的最小正周期T ，进而可求ω，再由点B 代入解析式求出ϕ；(2)由(1)可知,()3f x k x =+,可求得sin 33cos 344k x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()cos 3,,4123g x x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,结合y k =与()g x 的图象即可求出k 的取值范围.【详解】根据题意,点A 与点D 关于点B 对称,则点B 的横坐标为0+2=24ππ,又点C 与点D 关于直线532212x πππ+==对称,f x 的最小正周期T 满足541246T πππ=-=，解得23T π=，即3ω=, 由五点法做图可知,3+=4πϕπ⨯,且0ϕπ<<, =4πϕ∴;由(1)知，函数()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,由()3f x k x =+得sin 334x k x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭, sin 33cos 344k x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()cos 3,,4123g x x x πππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 画出()g x 在,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的函数图象,如图所示; 根据题意, y k =与()g x 恰有两个交点，实数k 应满足1k -<≤. 【点睛】本题考查三角函数的图象性质及其应用,同时考查了数形结合的思想和计算求解的能力,难度较难. 12．如图，已知点O 为直线l 外一点，直线l 上依次排列着A ，B ，C ，D 四点，满足：（1）∠AOC 为锐角，BOC COD ∠=∠； （2）2tan tan tan AOB AOD AOC ∠⋅∠=∠ （3）112tan tan tan AOC BOC AOB+=∠∠∠.（Ⅰ）求∠AOC 的值；（Ⅱ）若1AB BC ==，求CD 的值. 【答案】（Ⅰ）4π（Ⅱ）2 【分析】（1））设AOC α∠=，BOC COD β∠=∠=，得到2tan()tan()tan αβαβα-+=，化简得到答案.（2）根据正弦定理得到(2)sin()sin()CD CD αβαβ+-=+，将tan 1α=和1tan 3β=代入计算得到答案.【详解】（1）设AOC α∠=，BOC COD β∠=∠=.由2tan tan tan AOB AOD AOC ∠⋅∠=∠，得2tan()tan()tan αβαβα-+=，即22222tan tan tan 1tan tan αβααβ-=-， 所以2tan 1α=，4πα=.（2）在OCD 中，由角平分线定理得CD ODBC OB=， 在OAD ∆中，由正弦定理得2sin sin()sin()OD AD CDA αβαβ+==++， 在OAB ∆中，由正弦定理得1sin sin()sin()OB AB A αβαβ==--， 两式相除得(2)sin()sin()OD CD OB αβαβ+-=+.即(2)sin()sin()CD CD αβαβ+-=+. 将tan 1α=代入112tan tan tan AOC BOC AOB+=∠∠∠得1tan 3β=.将tan 1α=和1tan 3β=代入(2)sin()sin()CD CD αβαβ+-=+. 解得2CD =. 【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.13．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),a M b O =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM 的伴随函数.（1）设函数3())sin 2g x x x ππ⎛⎫=+--⎪⎝⎭，试求()g x 的伴随向量OM ；（2）记向量(1,ON =的伴随函数为()f x ，求当()85f x =且,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x 的值； （3）由（1）中函数()g x 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移23π个单位长度得到()h x 的图象，已知()2,3A -，()2,6B ，问在()y h x =的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）OM (=-（2（3）存在，()0,2P 【分析】(1)利用三角函数诱导公式化简函数得()cos g x x x =+，根据题意写出伴随向量； (2)根据题意求出函数()f x ，再由()85f x =及,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭求出sin()3x π+及cos()3x π+，由sin sin 33x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦展开代入相应值即可得解；(3) 根据三角函数图像变换规则求出()h x 的解析式，设1,2cos 2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由AP BP ⊥得0AP BP ⋅=列出方程求出满足条件的点P 的坐标即可. 【详解】（1）∵3()sin )2g x x x ππ⎛⎫=--++⎪⎝⎭∴()cos cos g x x x x x =-=+∴()g x 的伴随向量OM (=-（2）向量(1,ON =的伴随函数为()sin f x x x =，()8sin 2sin()35f x x x x π=+=+=，4sin()35x π∴+=,(0,)3632x x ππππ⎛⎫∈-∴+∈ ⎪⎝⎭，，3cos()35x π∴+=14sin sin sin cos 33232310x x x x ππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）由（1）知：()cos 2sin 6g x x x x π⎛⎫=+=--⎪⎝⎭将函数()g x 的图像（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数12sin 26y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭再把整个图像向右平移23π个单位长得到()h x 的图像，得到 1211()2sin 2sin 2cos 236222h x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设1,2cos2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，∵(2,3),(2,6)A B - ∴12,2cos32AP x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，12,2cos 62BP x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭又∵AP BP ⊥，∴0AP BP ⋅=∴11(2)(2)2cos32cos 6022x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221144cos 18cos 18022x x x -+-+= ∴2219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（*） ∵122cos22x -≤≤，∴131952cos 2222x -≤-≤- ∴225191692cos 4224x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭ 又∵2252544x -≤∴当且仅当0x =时，2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭和2254x -同时等于254，这时（*）式成立∴在()y h x =的图像上存在点()0,2P ，使得AP BP ⊥. 【点睛】本题主要考查平面向量坐标形式与三角函数的综合应用，涉及三角函数诱导公式，三角恒等变换，求三角函数图像变换后的解析式，向量垂直的数量积关系，属于中档题.14．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+， （1）求证：2B C =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ac的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）(1,2) 【分析】（1）由22b c ac =+，联立2222cos b a c ac B =+-⋅，得2cos a c c B =+⋅，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案； （2）利用正弦定理和2B C =，得2cos 21aC c=+，再确定角C 的范围，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）锐角ABC ∆中，22b c ac =+，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅，2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+，即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+， sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，可得：sin()sin B C C -=，∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去）， 2B C ∴=.（2）2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C++====+=+A B C π++=，,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=， 022C π∴<<，04C π<<.再根据32C π<，可得6C π<，64C ππ∴<<，(1,2)ac∴∈ 【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题.15．如图，半径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中AB BE <，设AOB θ∠=．（1）将十字形的面积S 表示为θ的函数； （2）求十字形的面积S 的最大值．【答案】（1）28sin cos4sin 222S θθθ=-（2）max 2S =．【分析】（1）由题意，根据三角函数和圆的半径表达2sin 2AB θ=，2cos2BE θ=，再计算十字形的面积；（2）由（1）中十字形的面积28sin cos4sin 222S θθθ=-，根据三角恒等变换，化简函数解析式，即可求解最大值. 【详解】解：（1）由题意，2sin2AB θ=，2cos2BE θ=，因为AB BE <，所以0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．所以222sin 2cos 2sin 222S θθθ⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即28sincos4sin 222S θθθ=-，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （2）由（1）得：4sin 2cos 2S θθ=+-1)2tan 2θϕϕ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭所以max 2S =． 答：（1）28sincos4sin 222S θθθ=-；（2）max 2S =． 【点睛】本题考查（1）三角函数在几何图形中的应用；（2）三角恒等变换求最值问题；考察计算能力，实际操作能力，综合性较强，有一定难度.16．如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（直角EFG ∆，E 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化的效果越好.设计要求管道的接口E 是AB 的中点，F ，G 分别落在AD ，BC 上，且20AB m =，AD =，设GEB θ∠=.（1）当θ为何值时，EFG ∆的面积S 最小，并求出最小值；（2）试将污水管道的长度l 表示成θ的函数，并写出定义域； （3）当θ为何值时，污水净化的效果最好，并求此时管道l 的长度. 【答案】（1）4πθ=，100（2）10sin 10cos 10,,sin cos 63l θθππθθθ++⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦（3）当θ取6π或3π时效果最好，此时()20l m =. 【分析】(1)利用三角函数定义表示出EG 和FE 的长度,利用三角形的面积公式和二倍角的正弦公式可求得面积的最小值;(2)根据(1)中的表示出EG 和FE 的长度,利用勾股定理可得长度FG.三边之和可得污水管道的长度l. (3)根据(2)中的关系式利用三角函数公式化简,利用三角函数的有界限可得l 的最大值,即污水净化效果最好. 【详解】(1)由题意,,90GEB GEF θ︒∠=∠=.则90AEF θ︒∠=-, E 是AB 的中点,20AB mAD ==,()101010cos sin cos 90EG EF θθθ︒∴===-，, 所以11101010022cos sin sin 2EFG S EG EF θθθ∆=⨯⨯=⨯⨯=,当sin 21,4πθθ==时, EFG ∆的面积S 最小，最小值为100EFGS =,所以当4πθ=时，EFG ∆的面积S 最小，最小值为100;(2)由(1)得10cos sin FG θθ==,则101010sin cos sin cos l θθθθ=++, 其中当G 与点C 重合时，3πθ=，当F 与点D 重合时，6πθ=，所以63ππθ≤≤,所以污水管道的长度l 表示成θ的函数为10(sin cos )10sin cos l θθθθ++=，其定义域为,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦;(3)由(2)可知则10(sin cos )10,sin cos 63l θθππθθθ⎛⎫++⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,令sin cos 4t πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,57,41212πππθ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 可得sin 4πθ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,则:t ∈⎣ 又21sin cos 2t θθ-=,且1t ≠那么:22101020(1)201112t t l t t t ++===---当12t =时,长度l取得最大值为20,此时:4t πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,即5412ππθ+=或712π,6πθ∴=或3π, 故得6πθ=或3π时,污水净化效果最好,此时管道的长度为()20m ;【点睛】本题考查运用三角函数解决生活实际问题中的最值问题,关键在于设合理的角度,将所求的问题转化为此角的三角函数,属于中档题.17．定义在R 上的函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤≤ ⎪⎝⎭，若已知其在()0,7x π∈内只取到一个最大值和一个最小值，且当x π=时函数取得最大值为3；当6x π=，函数取得最小值为3-． （1）求出此函数的解析式；（2）若将函数()f x 的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的13得到函数()g x ，再将函数()g x 的图像向左平移()000ϕϕ>个单位得到函数()h x ，已知函数()lg ()g x y eh x =+的最大值为e ，求满足条件的0ϕ的最小值；（3）是否存在实数m，满足不等式()()sinsin A A ϕϕ>若存在，求出m 的范围（或值），若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()133sin 510f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）10π；（3）存在，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用最大值和最小值确定A 和T ，进而得到ω；利用()3f π=可求得ϕ的取值，进而得到所求函数解析式；（2）由图象平移和伸缩变换原则得到()(),g x h x ，由xy e =与函数lg y x =的单调性可知只有当()1g x =，()1h x =同时取得时，函数取最大值，由此可得到010k ϕπ=，根据00ϕ>得到最终结果；（3）由偶次根式被开方数大于等于零可确定m 的范围，进而得到两角整体所处范围，根据函数单调性可. 【详解】 （1）()()max 3f x f π==，()()min 63f x f π==-3A ∴=，()22610T ππππω==⨯-= 15ω∴=()3sin 35f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭252k ππϕπ∴+=+，k Z ∈解得：3210k πϕπ=+，k Z ∈，又02πϕ≤≤ 310πϕ∴= ()133sin 510f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（2）由题意知：()13sin 510g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()0131sin 5105h x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 函数xy e =与函数lg y x =均为单调增函数，且()11g x -≤≤，()01h x <≤∴当且仅当()13sin 1510g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭与()0131sin 15105h x x πϕ⎛⎫=++=⎪⎝⎭同时取得才有函数的最大值为e由()13sin 1510g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得：1321025x k πππ+=+，k Z ∈ 又()0131sin 15105h x x πϕ⎛⎫=++=⎪⎝⎭ 01cos 15ϕ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭010k ϕπ∴=，k Z ∈又00ϕ> 0ϕ∴的最小值为10π（3）m 满足2223040m m m ⎧-++≥⎨-+≥⎩，解得：12m -≤≤ ()2223144m m m -+=--++≤ 02∴≤≤同理02≤≤15ω=，310πϕ=323,10510ππϕ⎡⎤∈+⎢⎣∴⎥⎦，323,10510ππϕ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦由（1）知函数在[]4,ππ-上递增若有()()sinsin A A ϕϕ>>，即12m >成立即可∴存在1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使()()sin sin A A ϕϕ>成立【点睛】本题考查三角函数与函数部分知识的综合应用问题，涉及到根据函数性质求解函数解析式、三角函数的平移和伸缩变换、根据函数最值求解参数值、利用单调性求解函数不等式的问题；本题综合性较强，属于较难题.18．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，最低点距离地面 10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1) 经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H (t )=A sin(ωt +φ)+B 其中A >0,ω> 0)，求摩天轮转动一周的解析式 H (t )；(2) 问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为 30 米？(3) 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 h 米，求 h 的最大值. 【答案】(1)()40cos 50(030)15H t t t π=-+≤≤;(2)答案见解析;(3)h 的最大值为40米【分析】(1)设()sin()H t A t B ωϕ=++,根据最高点和最低点可得A 与B ,由周期求ϕ值,即得函数解析式;(2)高度为30米,代入解析式求出t ;(3)分析出相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为3036,甲,乙中间相隔5个座舱,则时间间隔5分钟,由此列出两人距离地面的高度差h 关于t 的函数关系式,利用三角函数的性质求出最大值. 【详解】(1)由题意可设()sin()(0,0,0)H t A t B A B ωϕω=++>>≥,摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,9010A B A B +=⎧⎨-+=⎩,得40,50A B ==. 又函数周期为30,23015ππω==, ()40sin()5015H t t πϕ=++(030t ≤≤),又0t =时,()10H t =,所以1040sin(0)5015πϕ=⨯++,即sin 1ϕ=-,ϕ可取2π-, 所以()40sin()5040cos 50(030)15215H t t t t πππ=-+=-+≤≤ (2) ()40cos 503015H t t π=-+=,1cos 152t π=解得5t =,所以游客甲坐上摩天轮5分钟后，距离地面的高度恰好为30米;(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为3036,游客甲,乙中间相隔5个座舱, 则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱,若甲在摩天轮上坐了t (530t ≤≤)分钟,则游客乙在摩天轮上坐了5t -分钟,所以高度差为: 40cos 50[40cos(5)50]1515140[coscos(5)]40[cos cos ]151521521540cos()153h t t t t t t t ππππππππ=-+---+=---=--=-+ 当153t πππ+=即10t =时,h 取得最大值40.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求解析式,以及三角函数性质的实际应用,属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查数学知识,解决这类问题的关键是将实际问题转化为数学模型进行解答. 19．如图，一个角形海湾,2AOB AOB θ∠=（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =.（1）求方案一中养殖区的面积1S ；（2）求方案二中养殖区的最大面积（用l θ，表示）；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．【答案】（1）21,0,42l S πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭；（2）224tan l S θ=；（3）应选择方案一． 【分析】（1）设此扇形所在的圆的半径为r ，则2l r θ=⋅，可得2lr θ=．利用扇形面积计算公式可得1S ． （2）设OC x =，OD y =，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：2222cos 222cos 2l x y xy xy xy θθ=+-≥-，可得：224l xy sin θ≤，即可得出． （3）由于12tan S S θθ=，令()tan f θθθ=-，求导，可得()f θ在(0,)2π上单调递增．即可得出结论． 【详解】（1）设OP r =，则2l r θ=⋅，即2lr θ=，所以 211,0,242l S lr πθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭．（2）设,OC a OD b ==．由余弦定理，得2222cos 2l a b ab θ=+-，所以22cos2l ab ab θ≥-．所以22(1cos 2)l ab θ≤-，当且仅当a b =时等号成立．所以221sin 2sin 224(1cos 2)4tan OCDl l S ab θθθθ∆=≤=-，即224tan l S θ=．（3）221114(tan ),0,2S S l πθθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭， 令()tan f θθθ=-，则22sin sin ()1cos cos f θθθθθ''⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'>，所以()f θ在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增． 所以，当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，总有()(0)0f f θ>=，即21110S S ->，即12S S >． 答：为使养殖区面积最大，应选择方案一．【点睛】本题考查扇形的面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查函数与方程思想、分类讨论思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，注意利用基本不等式求最值时，记得验证等号成立的条件． 20．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+-2sin sin A B =.（1）求C ；（2）若D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1CD =，CAB MBD DMB ∠=∠=∠.求AM ．【答案】(1) 90C =；(2)2【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，利用余弦定理即可求解；（2）设=CAB MBD DMB θ∠=∠=∠，将三角形中其余角用θ表示出来，结合1CD =，表示边长，即可解出.【详解】（1）由(sin sin sin )(sin sin sin )A B C A B C ++⋅+-2sin sin A B =，得()222a b c ab +-=，即222+=a b c∴90C =；（2）令CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=，则在AMB ∆中，902,180MBA BMA θθ∠=-∠=-由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM AB θθ=--， 即cos 2sin AB AM θθ⋅= 在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ∠=∠=由正切定义：tan 2AC θ= 在ACB ∆中，90,ACB BAC θ∠=∠= 由正切定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==， ∴tan 2cos 2cos 2sin AM θθθθ⋅== 【点睛】此题考查正余弦定理在解三角形中的应用，其中不乏对平面几何知识中角的关系的考查，综合应用能力要求较高.。