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21-第二章第一节(概率统计)

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概率统计基础知识--简略版

概率统计基础知识--简略版

（a）A-B
（b）A-B（ A B ）
事件运算性质：
—— 交换律：A B B A ，A B B A —— 结合律 A B C A B C 运算相同：
A B C A B C
—— 分配律 A B C A B A C 运算不同：
事件H=“两次抽到的结果一致” ={(0,0), (1,1)} 若这批产品10000件中合格品与不合格品各占一半，且产品分布均匀随机，则 • P（A）=？ • P（B）=？ • P（C）=？ • P（H）=？ 若批产品总数10000件中不合格品有2000件，结果会怎样呢？
2016/4/16 中级概率1 19
在一个随机现象中有两个事件A与B，若 事件A与B没有相同的样本点，则称A与B互不 相容。
可推广到三个或更多个事件间的互不相容
—— 相等：A=B即AB且B A 两个随机事件A与B，若样本A与B含有相同的 样本点，则称事件A与B相等。
投掷骰子2次：A={（x，y）：x + y =奇数} B={（x，y）：x与y的奇偶性不同} 则： A=B= (1,2),(1,4),(1,6),(2.1),(2,3),(2,5) (3,2),(3,4),(3,6)…
2016/4/16
中级概率1
25
三、概率的性质及其运算法则 概率的性质：（可由概率的定义看出）
—— 性质1：对任意事件A，有0≤P(A)≤1；
—— 性质2： P ( A) 1 P ( A)
—— 性质3：若AB 则P（A-B）=P（A）-P（B）
三、概率的性质及其运算法则 概率的性质：（可由概率的定义看出） —— 性质4：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

第二版 工程数学-概率统计简明教程-第二章-事件的概率

第二版 工程数学-概率统计简明教程-第二章-事件的概率

加法定理的推广
P(AU BU C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
A
B
C
加法定理的推广
对任意 n 个事件 A1, A2 ,L , An ，有
n
n
U P( Ak ) P(Ak )
P( Ai Aj ) L
盒子中，其球在盒子的分布总数为 (r 1)n j ，因而有利于 B 的样
本点数为

n j

(r

1)n
j
.最后得到
PB


n j

(r

1)n

j
rn
.
古典概率的计算：生日问题
某班有30 个同学，求他们生日“无重复”的概率。 （一年按365天计算，并设人在一年内任一天出生是等可能的）
例3 女士品茶问题. 一味常饮牛奶加茶的女士称：她能从一 杯冲好的饮料中分辨出先放茶还是先放牛奶。并且她在10次 实验中都能正确的辨别出来，问该女士的说法是否可信？ 解 假定该女士的说法不可信，她是蒙对的，
则每次蒙对的概率是0.5，于是10次都能蒙对的概率
这是小概率事件,一般在一次试验中不会发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立, 从而推断接待时间是有规定的.
第二步 计算事件包含的样本数
第一次取次品有30种可能，第二次次品29种，A有m＝30 ×29
第一次取次品有30种可能，第二次正品70种，B有m＝30 ×70
P( A)

m n

30 29 100 100

0.088.
P(B) 1300017000＝0.21.

概率论与数理统计答案 第二章1-2节

概率论与数理统计答案 第二章1-2节
第二章 随机变量及其分布
关键词： 随机变量 离散型随机变量、分布律 连续型随机变量、概率密度 概率分布函数 重伯努利实验、二项分布、泊松分布 均匀分布、正态分布、指数分布 随机变量的函数的分布
1
§1 随机变量
定义
2 3
例1: 将一枚硬币抛掷3次. 关心3次抛掷中, 出现 H的总次数 以X记三次抛掷中出现H的总数, 则对样本空间 S={e}中的每一个样本点e, X都有一个值与之对 应, 即有
1) P { X = k} = C3k p k (1 − p )3− k , k = 0,1, 2,3 (
( 2)
P { X = 2} = C32 p 2 (1 − p)
21
泊松分布(Poisson分布)
若随机变量X的概率分布律为 e− λ λ k
P { X = k} = k! ， = 0,1, 2, ⋅⋅⋅, λ > 0 k
互不影响
例如： 1.独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面， P (出现正面 ) = 1 2 2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验 只有两个结果：A , A , P ( A ) = 1 6
12
定义随机变量X表示n重伯努利试验中事件A发生的次 数, 我们来求它的分布律. X所有可能取的值为0,1,2,...,n. 由于各次试验是相互独立的, 因此事件A在指定的 k(0≤k≤n)次试验中发生, 在其它n−k次试验中A不发生 的概率为
13
设A在n重伯努利试验中发生X次，则
k P பைடு நூலகம் X = k} = Cn p k (1 − p ) n − k ， = 0，⋅⋅⋅，n k 1，
⎛n⎞ k Cn = ⎜ ⎟ 表示n中 ⎜k ⎟ ⎝ ⎠ 任选k的组合数目

概率统计教学资料-1-2节第2章随机变量及其分布

概率统计教学资料-1-2节第2章随机变量及其分布

因此事件A在n次试验中发生k次的概率为
n
P (X k ) C n kp k q n k ,k 0 ,1 , ,n
C
k n
p
k
q
n k C n 0 p 0 q n C n 1 p q n 1 C n n p n q 0 1
.
k 0
2019/11/18
13
二项分布（Binomial distribution）
k! n
nn
li(1 m )n k li(1 m )nli(1 m ) k
n nln in C lnm in k m p (1kqn nn )k nn ( k )k !ee n ,k0,1,2,
2019/11/18
将 样 本 空 间 与 实 数 值 之 间 建 立 一 种 对 应 关 系 ， 以 便 利 用 数 学
分 析 的 方 法 对 随 机 试 验 的 结 果 进 行 深 入 广 泛 的 研 究 和 讨 论 .
2019/11/18
4
1. 随机变量的定义
定义: 设随机试验E的样本空间为 S {e}, 若对于每 一个样本点 eS, 变量X 都有唯一确定实数与之对应, 则X是定义在 S上的单值实函数, 即 XX(e), 称
辆汽车通过的概率.
解： 由题意知
P(X0)0e0.2, 则1.61.
0! 而 P ( X 1 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1 )
10.21 e 1 0 .2 1 .6 0 1 .2
1!
0.478.
2019/11/18
19
P ( X 2 ) P ( A ) P ( A B ) P ( B |A ) 0 . 7 0 . 8 5 0 . 6

第二章 随机事件与概率

第二章 随机事件与概率

古典概率
1、古典概型（等可能性概型）
（1）试验结果只有有限个； （2）每个结果出现的可能性相同。 如抛一颗骰子，出现的结果为{1点，2点…，6点} 共有6个结果，每个结果出现的可能性都是1/6， 因此这个试验就是古典概型.
2、概率的古典定义 若互斥完备群由有限的n个基本事件构成， 而事件A包含m个基本事件，则事件A发生的概率为
（一）条件概率
已知事件A发生的条件下， 事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
【例13 】 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋 中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，已 知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率
设A：第一次取到红球, B：第二次取到红球
P ( B | A) 1
2、对立事件加法 证： A A Φ, A A Ω
P ( A) 1 P ( A).
【例12】 20片药片中,有黄连素15片,穿心莲5片, 随机抽取3片, 求其中至少有1片穿心莲的概率。 解：设 Ai = {任取3片中有i片穿心莲}，i=0,1,2,3
B={3片中至少有1片穿心莲} 3 0 C15C5 P( B) 1 P( A0 ) 1 3 1 0.3991 0.6009 C20 3、一般加法 A,B任意,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
【例11】 20片药片中,有黄连素15片,穿心莲5 片, 随机抽取3片, 求其中至少有2片穿心莲的 概率。 解：设 Ai ={任取3片中有i片穿心莲}，i=0,1,2,3
B={3片中至少有2片穿心莲} 则 B A2 A3 ，故 P ( B) P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 ) 1 2 0 3 C15 C5 C15 C5 0.1404 3 3 C 20 C 20

概率论与数理统计第2章ppt课件

概率论与数理统计第2章ppt课件

1 3x
0
1
2
3X
处的离跳散跃型高随度机恰变为量P{的X=分x布i}.函数为跳跃函数，在xi
§4. 连续型随机变量的概率密度
1. 定义：对于随机变量X的分布函F(x)， 如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F(x)xf(t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率 密度函数。简称密度函数。
精选课件
21
例4. 3个人抓阄数。
解：X的概率分布: P{X=1}=1/3
P{X=2}=2/3×1/2=1/3
P{X=3}=2/3×1/2×1/1=1/3
X的分布函数:
Y
0 x <1
1
1/3 1 x <2
2/ 3
F(x)=
2/3 2 x <3 1/ 3
则：P{X=k} Cnk pnkqnnk 其中：qn=1－pn
(令＝μV; pn=μ△V＝μV/n= /n)：
考虑当 n ＋时
P{X=k} =nl imCnkpnkqnnk
limn! ()k(1)nk
nl n i m k1 k !!n(nn (n n k1)) !n (n n kn 1)k((11 n))kn
k
k!
k=0、1、2、3、……
n
Poissn定理：n为正整数，pn=/n， >0。 则对任一非负整数k有：
nl im Cnkpnkqnnk
k
k!
其中：＝ npn.
例3. 某人打靶命中率为0.001, 重复射击 5000次，求至少命中2次的概率。
解：设X为至命中次数。
P(X2) =1－P(X<2) =1－P(X=0)－P(X=1)

概率统计基础知识


X P
x1 p1
x2 p2
… …
xn pn
11
[例]掷两颗骰子，其样本空间为：
（1，1） （1，2） （1，3)
(1，4) (1，5)
(1，6)
（2，1） （2，2） （2，3)
Ω＝
(2，4) (2，5)
(2，6)
(3，1） （3，2） （3，3） （3，4 （3，5） （3，6） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4 （4，5） （4，6）
2 2 2
= 1.91
σ(X) = 1.91
1/2
= 1.41
19
四 常用分布
（一）常用的离散分布
1、二项分布 二项分布可用来描述由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件： 重复进行n次随机试验 n次试验相互独立，即一次试验结果不对其它试验结果产生影响
每次试验结果仅有两个可能结果
每次试验成功的概率为p，失败的概率为1－p 概率函数为：
∫b
σ ＝ σ（X） ＝ [Var(X)]
[x- E（X）] p(x)dx
2
若X是连续分布
方差的量纲是X的量纲的平方，为使表示分布散步大小的量纲与X的量纲相同，常对方差开平方， 记它的平方根为σ，并称它为X的标准差：
1/2
由于σ与X的量纲相同，在实际使用中更常使用标准差σ来表示分布散步大小，但它的计算通常 是要通过现计算方差，然后开方获得。
6
[例] 1 历史上抛硬币试验中正面出现频率
试验者 德●摩根 蒲丰 皮尔逊 皮儿孙 微尼
抛的次数n 2048 4040 12000 24000 30000
出现正面次数k 1061 2048 6019 12012 14994

概率论与数理统计--第二章PPT课件

由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x) pk xk x
分布函数F(x)在x xk , 其跳跃值为pk P{X
对k 所1,有2,满足处x有k 跳 x跃的，k求和。
xk }
第26页/共57页
第四节 连续型随机变量及其概率密度
定义 对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非 负函数f (x)，使对于任意实数有
售量服从参数为 10的泊松分布．为了以95%以上的
概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商 品多少件？ 解 设商店每月销售该种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 PX n 0.95
由X服附从录的泊1松0的分泊布松表分知布k，140 1则k0！k有e1k0n01k00！k.9e1160 6
可以用泊松分布作近似，即
n
k
pk
1
p
nk
np k
k!
enp , k
0,1, 2,
.
例 4 为保证设备正常工作，需要配备一些维修工.如果各台设备
发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 0.01.
试求在以下情况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率.
(1) 一名维修工负责 20 台设备.
于是PX I P(B) Pw X (w) I.
随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个 结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一 定的概率.
按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两 类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离 散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此， 本章主要研究离散型及连续型随机变量.
x
x
4. F(x 0) F(x) 即F(x)是右连续的
第23页/共57页

概率论与数理统计第二章

26
4. 条件概率的计算
1) 用定义计算:
P( A | B) P( AB) , P(B)
P(B)>0
2)从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}
掷骰子
P(A|B）= 1 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
在缩减样本空间 中A所含样本点
个数
27
例8 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
实际上,这个假定并不完 全成立，有关问题的实际概 率比表中给出的还要大 .
当人数超过23时，打赌 说至少有两人同生日是有利 的.
18
例3 某城市的电话号码由5个数字组成，每个 数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求 电话号码由五个不同数字组成的概率.
解：
a

A150 105
=0.3024
问：
b
P( A) =1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.
这个概率随着球迷人数的增加而迅速增加.
17
人数 至少有两人同
生日的概率
20
0.411
21
0.444
22
0.476
23
0.507
24
0.538
30
0.706
40
0.891
50
0.970
60
0.994
所有这些概率都是在假 定一个人的生日在 365天的 任何一天是等可能的前提下 计算出来的.
25
3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;

概率统计 第二章 随机变量及其分布


引入适当的随机变量描述下列事件： 例1：引入适当的随机变量描述下列事件： 个球随机地放入三个格子中， ①将3个球随机地放入三个格子中，事件 A={有 个空格} B={有 个空格} A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球 全有球} C={全有球}。 进行5次试验， D={试验成功一次 试验成功一次} ②进行5次试验，事件 D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次 试验至少成功一次} G={至多成功 至多成功3 F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次}
例2
xi ∈( a ,b )
∑
P( X = xi )
设随机变量X的分布律为 设随机变量X
0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
试求: 试求:
P( X ≤ 4), P (2 ≤ X ≤ 5), P ( X ≠ 3)
0.72 0.7
F ( x) = P{ X ≤ x} =
k : xk ≤ x
∑p
k
离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数 分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的 可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应 可能取值点 跳跃高度对应随机变量取对应 值的概率;反之 反之,如果某随机变量的分布函数 值的概率 反之 如果某随机变量的分布函数 是阶梯函数,则该随机变量必为离散型 则该随机变量必为离散型. 是阶梯函数 则该随机变量必为离散型
X
x
易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a) ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝ －
P( X > a) = 1 − F (a)
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个一一列举出来, 如“取到次品的个数”,
“收到的呼叫次数”等.
(2) 连续型随机变量: 例如, “电视机 的寿命”、实际问题中常遇到的“测量误差” 等. 思考题 随机变量怎样分类呢？
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2.1.5 内容小结
本次课, 我们介绍了随机变量概念和指
示函数的定义，由此，可以用高等数学的知
识来研究随机事件；讲解了随机变量与普通
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记为
1, A, IA(ω)=X(ω)= 0, A,
或者IA=
1, A发生, 0, A不发生.
讲评 (1) 指示函数建立了随机事件A 与随机变量IA之间的联系. 利用随机变量来 研究随机事件时常用指示函数IA. (2) 熟练掌握随机事件A及其指示函数 IA 之间的对应关系.
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例2.1.1 在记录某电话传呼台一小时 内收到的呼叫次数中, 设X表示“一小 时内传呼台收到的呼叫次数”, 则X可能的 取值为0,1,2,…. 随机事件{呼叫次数超过20 次}, 就可以表示为 {X>20, X∈N+}. 相应概率可表示为 P{X>20，X∈N+}.
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随机变量概念的产生是概率论
发展史上的重大事件. 引入随机变
量后, 对随机现象统计规律的研究,
就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机
变量及其取值规律的研究, 因此可以广泛地 利用高等数学、线性代数等数学工具.
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下页
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随机变量通常研究两类:
(1) 离散型随机变量: 所有取值可以逐
(2) X 随试验结果的不同而取不同的值 , 因而在试验之前只知道它可能取值的范围, 而不能预先肯定它将取哪个值. 普通函数的 取值是确定的.
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(3) 由于试验结果的出现具有一定的 概率, 于是这种实值函数取每个值和 每个确定范围内的值也有一定的概率. 随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊 字母ξ,η等表示; 而表示随机变量所取的值 时, 一般采用小写字母x , y , z等.有了随机变 量, 随机试验中的各种事件，就可以通过随 机变量的关系式表达出来.
联系方式：zhengone@
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例2.1.4 设随机试验E的样本空 间为Ω. A是样本空间Ω的任一子集, 即是试验E的任一随机事件. 定义随 机变量
1, A, X(ω)= 0, A,
或者 IA=
1, A发生, 0, A不发生.
通常称上述随机变量X=X(ω)或IA为随 机事件A的指示函数, 又称为随机事件A的 示性函数.
1 P{X=1}= . 2
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2.1.4 提出概念
定义 设随机试验的样本空间为
Ω={ω}. X=X(ω)是定义在样本空间Ω上的实
值单值函数. 称X=X(ω)为随机变量.
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讲评 这种随机变量与在高等数学中 大家接触到的函数一样吗？
(1) X的定义域是样本空间, 自变量是样
本点,而普通函数定义域为实数集.
函数的区别，简介了随机事件和随机变量的 关系.
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2.1.6 习题布置
习题2.1 1、2.
参考文献与联系方式
[1] 郑一,王玉敏,冯宝成. 概率论与数理统计. 大连理 工大学出版社，2015年8月. [2] 郑一,戚云松,王玉敏. 概率论与数理统计学习指 导书. 大连理工大学出版社，2015年8月. [3] 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 概率论与数理统计教 案 作业与试卷. 大连理工大学出版社，2015年8 月. [4] 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实验 教材. 中国科学技术出版社， 2007年7月.
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量的概念
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量的概念
内容简介:为了充分利用数学工具研究事件 及其概率,引入了随机变量这一基本概念.任何 事件A都可以通过随机变量X来描述, 因此,研 究事件及其概率问题就转化为研究随机变量的 概率分布问题.
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2.1.1 提出问题
例2.1.2 记录炮弹的弹着点到靶心的
距离. 把这个距离用X表示. 则事件
{到靶心距离在0.5米到3米之间}可以表示为 {0.5≤X≤3}. 相应概率可表
(2) 在有些试验中, 试验结果看来与 数值无关, 但我们可以引进一个变量来 表示它的各种结果. 也就是说, 把试验结果
1. 随机试验的结果有统计规律性，怎 样来研究它的规律性呢？ 2. 随机事件和随机变量之间怎样建立 它们的关系？
2.1.2 预备知识
1.随机事件及其运算； 2.函数，分段函数.
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2.1.3 分析问题
在实际问题中, 随机试验的结果可以
用数量来表示, 由此就产生了随机变量的概念.
(1) 有些试验结果本身与数值有关:
数量化. 正如裁判员在运动场上不叫运动员
的名字而叫号码一样, 二者建立了一种对应
关系, 这种对应关系在数学上理解为定义了
一种实值函数.
例2.1.3掷一枚硬币, 设样本空间 Ω={正面,反面}.
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定义
1, 正面， X =X(ω)= 0， 反面.
于是事件{掷硬币出现正面}, 就表示为{X =1}. 因此,