2020-2021学年高一数学课时同步练习 第14课 均值不等式

均值不等式一、复习巩固1．下列不等式正确的是（）A．a＋错误!≥2B．(－a）＋（－错误!）≤－2C．a2＋错误!≥2D．（－a)2＋（－错误!）2≤－2答案:C2．已知m＝a＋错误!＋1(a〉0），n∈{x|0〈n＜3}，则m,n之间的大小关系是()A．m〉n B．m〈nC．m＝n D．m≤n解析：因为a〉0,所以m＝a＋错误!＋1≥2错误!＋1＝3,当且仅当a ＝1时等号成立．所以m〉n.答案：A3．已知0<x〈1，则x(3－3x）取得最大值时x的值为(）A。

错误! B.错误!C.错误!D.错误!解析:由x（3－3x)＝错误!×3x(3－3x）≤错误!×错误!＝错误!，当且仅当3x＝3－3x,即x＝12时等号成立．答案：B4．已知y＝x＋错误!－2(x<0），则y有()A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－4 D．最小值为－4答案:C5．下列不等式中正确的是(）A．a＋错误!≥4B．a2＋b2≥4abC。

错误!≥错误!D．x2＋错误!≥2错误!解析:a<0，则a＋错误!≥4不成立，故A错；a＝1,b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则错误!<错误!，故C错；由均值不等式可知D项正确．答案：D6．给出下列条件：①ab〉0；②ab<0;③a〉0,b〉0；④a<0，b 〈0,其中能使错误!＋错误!≥2成立的条件有（)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：当错误!，错误!均为正数时，错误!＋错误!≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．答案：C7．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a〈b），其全程的平均时速为v,则(）A．a〈v〈错误!B．v＝错误!C。

错误!<v<错误!D．v＝错误!解析：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a〈b，∴v＝错误!＝错误!＝错误!〈错误!＝错误!。

又v－a＝错误!－a＝错误!>错误!＝0,∴v〉a。

2.2.4 均值不等式及其应用A 级：“四基”巩固训练一、选择题 1．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x >2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5 D ．x ＝－5答案 C解析 由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)．故选C. 2．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b＞2abD.b a ＋ab≥2答案 D解析 根据条件，当a ，b 均小于0时，B ，C 不成立； 当a ＝b 时，A 不成立； 因为ab ＞0，所以b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，故D 成立． 3．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则下列各式恒成立的是( ) A.1ab≥8 B.1a ＋1b≥4C.ab ≥12D.1a 2＋b 2≤12答案 B解析 ∵当a ，b ∈(0，＋∞)时，a ＋b ≥2ab ，又a ＋b ＝1，∴2ab ≤1，即ab ≤12.∴ab ≤14.∴1ab≥4.故A ，C 不正确．对于D ，∵a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ，当a ，b ∈(0，＋∞)时，由ab ≤14可得a 2＋b 2＝1－2ab ≥12.所以1a 2＋b 2≤2.故D 不正确． 对于B ，∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋b a ＋ab＋1≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选B.4．已知y ＝x ＋1x－2(x ＜0)，则y 有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4答案 C解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0. ∴x ＋1x－2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2 ≤－2－x1－x－2＝－4. 当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时取等号．故选C.5．若对于任意x >1，x 2＋3x －1≥a 恒成立，则a 的最大值是( )A ．4B ．6C ．8D ．10答案 B解析 ∵x >1，∴x 2＋3x －1＝x －2＋x －＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋2≥2x －4x －1＋2＝6， 当且仅当x －1＝4x －1， 即x ＝3时，“＝”成立，所以a ≤6.故选B. 二、填空题 6．已知a ＞b ＞c ，则a －b b －c 与a －c2的大小关系是________．答案a －bb －c ≤a －c2解析 ∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0. ∴a －c2＝a －b ＋b －c2≥a －b b －c ，当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a＋c 时取等号．7．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．答案 83解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝3， ∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b )×13＝4＋4b a ＋a b 3 ≥43＋234b a ·a b ＝83， 当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝32，b ＝34时取等号，∴2a ＋1b 的最小值为83. 故答案为83.8．函数y ＝2x 2＋5x ＋7x ＋1(x ＞－1)的最小值为________．答案 42＋1解析 由题意知，函数y ＝2x 2＋5x ＋7x ＋1＝2(x ＋1)＋4x ＋1＋1.∵x ＞－1，∴x ＋1＞0， ∴y ＝2(x ＋1)＋4x ＋1＋1≥2x ＋4x ＋1＋1＝42＋1，当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时等号成立．故函数的最小值为42＋1.三、解答题9．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c . 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ac b ≥2abc 2ab ＝2c ，ac b ＋abc ≥2a 2bcbc＝2a ， bc a ＋ab c≥2ab 2cac＝2b . 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立， ∴bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c .10．(1)已知正数a ，b 满足a ＋4b ＝4，求1a ＋1b的最小值；(2)求y ＝k 2＋2k 2＋6的最大值．解 (1)因为a ，b ＞0，且a ＋4b ＝4，所以1a ＋1b ＝14(a ＋4b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋a b ＋4b a ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ·4b a ＝94，当且仅当a ＝2b ＝43时取等号，所以1a ＋1b 的最小值为94.(2)令t ＝2＋k 2(t ≥2)， 则y ＝tt 2＋4＝1t ＋4t≤12t ·4t＝14， 当且仅当t ＝2，即k ＝±2时，取得等号． 故y 的最大值为14.B 级：“四能”提升训练1．已知a ，b ，x ，y ＞0，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解 x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ayx时取等号． 故x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18，① 又a ＋b ＝10，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.2．设a >b >c ，且1a －b ＋1b －c ≥m a －c恒成立，求m 的取值范围． 解 由a >b >c ，知a －b >0，b －c >0，a －c >0. 因此，原不等式等价于a －c a －b ＋a －cb －c≥m . 要使原不等式恒成立，只需a －c a －b ＋a －cb －c的最小值不小于m 即可． 因为a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c≥2＋2b －c a －b ×a －b b －c＝4，当且仅当b －c a －b ＝a －bb －c，即2b ＝a ＋c 时，等号成立． 所以m ≤4，即m ∈(－∞，4]．。

第01讲一均值不等式知识图谱-不等关系与不等式-不等式的性质-均值不等式作差法比较两数（式）大小其他i去比较两数（式庆小应用不等式表示不等关系不等式的性质利用性质证明不等式利用性质求取值范围常用特殊不等式均值不等式用均值不等式解决实际问题第01讲—均值不等式错题回顾不等关系与不等式知识融不等关系1.不等号在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的.我们用数学符号“/＞气“＜”、十连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有不等号的式子，叫做不等式.不等式“渤'应读作“Q小于等声”.其含义是指或者Q寸，等价于"。

不大于即若Q"或口=力之中有一个正确，则正确.同理类似定义.2.实数比较大小的依据和方法（1）任何实数的平方不小于零，即a置oadO.（2）a—力＞0=Q＞，jQ-5=0=a=5ja-，vO=tz＜，・比较两数（式）大小第一步：作差（或作商）第二步：变形（常采用配方、因式分解等变形手段，将“差”化为“积”）第三步：定号，确定大小关系三点剖析一.方法点拨1.Q—力a-b=Qga=bj Q一力<°=&<力•等价符合血勺左边反|映。

勺是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序，合起来就是实数的运算性质与大小顺序之间的关系.这是不等式这一章内容的理论基础.2.在比较大小时，强调三种变形方法：平方作差法，因式分解法和配方法.（1）平方作差法：如果直接比较两个代数式或数（均大于零）的大小，不如比较这两个数或式的平方容易，可变通改为比较两个平方的大小，平方的大小比较出来了，原来两个数或式的大小也就确定了.（2）因式分解法：将两个代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，然后判断符号；（3）配方法：将两个代数式的差进行配方转化为凡个非负实数之代数和，然后判断正负・3.作商法：主要用于那些能够判断出恒正的数，作商后主要与1比较，所以，作商后必须易于变成能与1比较大小的式子，此种方法主要适用于那些含有幕指数的数或式子大小的比较.例如，比较血'与'枷亍大小就可以使用作商法.题瞄井题模一作差法比较两数（式）大小例L1、设M=x\N=x-L则V与押的大小关系为（）A、M>NB、M=NC、M<ND、与％有关例1.2、若xQ<°，试谜（亍+即〜）与（亍或）（2）的大小例1.3、设xwR比较1+X与If的大小.题模二其他法比较两数（式）大小例2.1、设a>0,b>0且"6试比较与亢”的大小.例2.2、设">£则石二I-5^4与7^4-^G T5的大小关系是题模三应用不等式表示不等关系例3.1、某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就会相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为*元,怎么用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？例3.2、求证：当一个圆与一个正方形的面积相等时，这个园的周长比正方形的周长小.随堂练习随练1.1、设t=a+2b,S=a+b2+l,则S与t的大小关系是（）A、t>SB、t>St<S D、t<S随练1.2、设实数a，b，c满足方+。

2．2.4 均值不等式及其应用第1课时 均值不等式[课程目标] 1.探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义；2.会用均值不等式及其变形形式解决证明不等式、比较大小、求取值范围等问题；3.掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．知识点一 均值不等式[填一填](1)如果a ，b 都是正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．此结论通常称为均值不等式，也称为基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，我们称a ＋b2为a ，b 的算术平均值，称ab 为a ，b 的几何平均值．因而，均值不等式可叙述为：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．[答一答]1．如何证明均值不等式？提示：因为a >0，b >0，所以a ＋b 2－ab ＝a ＋b －2ab 2＝(a －b )22≥0，即a ＋b2≥ab .当且仅当a ＝b ，即a ＝b 时，等号成立． 2．从几何角度如何解释均值不等式？ 提示：以长为a ＋b 的线段为直径作圆，在直线AB 上取点C ，使AC ＝a ，CB ＝b .过点C 作垂直于直线AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，如图，连接BD ′，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么CD 2＝AC ·CB ，得CD ＝ab .这个圆的半径为a ＋b 2，显然，它大于或等于CD ，即a ＋b2≥ab .当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．知识点二 均值不等式的应用[填一填]设x ，y 都为正数，则有如下关系：(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .[答一答]3．如何证明“和定积最大，积定和最小”？ 提示：(1)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y2≥xy .又x ＋y ＝s ，∴xy ≤(x ＋y 2)2＝s 24，当且仅当x ＝y 时，取等号．故若x ＋y ＝s ，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24.(2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y2≥xy ，当且仅当x ＝y 时，等号成立．又xy ＝p ，∴x ＋y ≥2p .故若xy ＝p ，当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .类型一 均值不等式应用的条件 [例1] 下列不等式的证明过程正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·a b＝2 B ．若x ，y ∈R ，则⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2|x |·4|y |C ．若x 为负实数，则x ＋4x ≥－2x ·4x＝－4 D ．若x ≠0，则x 2＋1x2≥2x 2·1x2＝2 [解析] 因a ，b ∈R ，故当a ，b 异号时，b a 与ab 均负，故直接用均值不等式是错误的，则A 选项错误；若x ，y ∈R ，⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2|x |·4|y |，没有条件xy >0，不成立，所以B 选项错误；C 选项中，在x <0时，4x <0，故不能直接用均值不等式，正确书写为：x ＋4x＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋⎝⎛⎭⎫－4x ≤－2(－x )·⎝⎛⎭⎫－4x ＝－4，故C 选项错误；故选D. [答案] D在应用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0，若条件不满足时，则应拼凑出条件，即问题一端出现“和式”，另一端出现“积式”，便于运用均值不等式.[变式训练1] 已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式a 2＋b 2≥2ab 的使用条件是a ，b ∈R .对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误； 对于D ，因为ab >0，所以b a >0，ab >0.所以b a ＋ab≥2b a ·a b ，即b a ＋ab≥2成立． 类型二 用均值不等式证明不等式 [例2] 已知a 、b 、c 是正实数， 求证：bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .[证明] ∵a 、b 、c 是正实数， ∴bc a ＋ac b ≥2bc a ·ac b ＝2c (当且仅当bc a ＝acb ，即a ＝b 时，取等号)； ac b ＋ab c ≥2ac b ·ab c ＝2a (当且仅当ac b ＝abc ，即b ＝c 时，取等号)； ab c ＋bc a≥2ab c ·bc a ＝2b (当且仅当bc a ＝abc，即a ＝c 时，取等号)； 上面3个不等式相加得2·bc a ＋2·ac b ＋2·abc ≥2a ＋2b ＋2c (当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号)．∴bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立.2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加(乘)得结论.[变式训练2] 已知a >0，b >0，c >0，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc .证明：因为a >0，b >0，c >0， 故a 2b 2＋b 2c 2≥2a 2b 2·b 2c 2＝2ab 2c ， b 2c 2＋c 2a 2≥2b 2c 2·c 2a 2＝2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2c 2a 2·a 2b 2＝2a 2bc . 将上述三式相加，得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2abc (a ＋b ＋c )， 又a ＋b ＋c >0，故a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .[例3] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.[证明] 方法一：∵a >0，b >0，c >0， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.即1a ＋1b ＋1c≥9(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 方法二：∵a >0，b >0，c >0， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c ) ＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c ＋1＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.∴1a ＋1b ＋1c ≥9(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“a ＋b ＋c ＝1”下，1的代换一般有两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到.[变式训练3] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0， 同理1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8 (当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．类型三 利用均值不等式求最值 [例4] (1)已知0<x <13，则x (1－3x )的最大值为( )A.112 B ．1 C.19D ．12(2)已知x >0，y >0，且满足2x ＋8y＝1，则x ＋y 的最小值为________．[解析] (1)因为0<x <13，所以1－3x >0，所以x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(1－3x )22＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立，所以x ＝16时，x (1－3x )取得最大值112. (2)∵x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋8y ＝2＋8＋2y x ＋8x y ，x >0，y >0，∴2y x >0，8x y>0，x ＋y ≥10＋216＝18，当且仅当2y x ＝8x y 时等号成立，即y 2＝4x 2，∴y ＝2x .又2x ＋8y ＝1，∴x ＝6，y ＝12，∴当x ＝6，y ＝12时，x ＋y 有最小值18.[答案] (1)A (2)18求和式的最小值时应使积为定值，求积式的最大值时应使和为定值(适当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)，不要忽略等号成立的条件.[变式训练4] (1)已知x >－3，则x ＋1x ＋3的最小值为－1.解析：因为x >－3，所以x ＋3>0，则x ＋1x ＋3＝x ＋3＋1x ＋3－3≥2(x ＋3)·1x ＋3－3＝－1，当且仅当x ＋3＝1x ＋3，即x ＝－2时等号成立，所以x ＋1x ＋3有最小值，最小值为－1.(2)设a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则1a ＋1b的最小值为2.解析：因为a ＋b ＝2，所以12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ，因为a >0，b >0，故b a >0，a b >0，所以1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫2＋2b a ·a b ＝2⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝1时等号成立，所以1a ＋1b的最小值为2.1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( B ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0解析：a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴a ＝1时，等号成立． 2．已知x <0，则x ＋1x －2有( C )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－4解析：因为x <0，所以x ＋1x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．故选C.3．已知0<x <1，则当x ＝12时，x (3－3x )取最大值为34.解析：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34，当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．4．已知a >0，b >0，c >0，求证： (1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abc abc ＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．。

高中均值不等式讲解及习题一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

人教版高一上学期数学(必修一)《2.2.4均值不等式及其应用》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题 1.在不等式a+b2≥√ab 中，a ，b 需满足 ( )A .a>0，b>0B .a ≥0，b ≥0C .ab ≥0D .ab>02.已知x ，y 均为正数，且满足x+2y=4，则xy 的最大值为 ( )A .√2B .2C .2√2D .√33.若x>1，则y=x 2x -1的最小值为 ( ) A .3 B .-3 C .4 D .-44.已知a>0，若关于x 的不等式x+ax+1≥3在(-1，+∞)上恒成立，则a 的最小值为 ( )A .1B .2C .4D .85.下列函数中，最小值是2√2的是 ( ) A .y=x+2x B .y=x 3+1x3 C .y=x 2+2x 2+4 D .y=√x +√x6.[2023·广东佛山一中高一月考] 已知x>1，则x -1x 2-2x+4的最大值为 ( ) A .√36 B .12 C .√23 D .17.已知x>0，y>0，且x+2y=4，则(1+x )(1+2y )的最大值为 ( ) A .36B .4C .16D .98.(多选题)以下结论中正确的是 ( )A .y=x+1x的最小值为2B .当a>0，b>0时，1a +1b +2√ab ≥4 C .y=x (1-2x )，0<x<12的最大值为18D .当且仅当a ，b 均为正数时，a b +ba ≥2恒成立9.(多选题)[2023·江西抚州一中高一期中] 已知正数m ，n 满足2m+2n+5=mn ，则 ( )A .∀m ，n ∈(0，+∞)，mn ≥25B.∀m，n∈(0，+∞)，m+n≥10C.∃m，n∈(0，+∞)，4m+n=20D.∃m，n∈(0，+∞)，4m+n<25二、填空题★10.设x>0，y>0，x+y=2xy，则x+y的最小值为.11.已知不等式x+4x-2>m对任意x∈(2，+∞)恒成立，则实数m的取值范围为.12.[2023·浙江温州中学高一期末] 若x>0，y>1，则4yx +x3y-1的最小值为.三、解答题13.已知a>0，b>0，且a+b+ab=3.(1)求ab的取值范围;(2)求a+b的取值范围.14.(1)若x<3，求y=2x+1+1x-3的最大值.(2)已知x>0，求y=2xx2+1的最大值.15.规定a☉b=√ab+a+b(a，b为正实数).若1☉k=3，则k的值为，此时函数y=√x的最小值为.16.(1)已知0<x<32，求4x(3-2x)的最大值;(2)已知a>b>c，求(a-c)(1a-b +1b-c)的最小值.参考答案1.B[解析] 在均值不等式中，我们规定a>0，b>0，但当a=0，b=0时也满足a+b2≥√ab.故选B.2.B [解析] ∵x ，y 均为正数，x+2y=4，∴xy=12×2xy ≤12×(x+2y )24=2(当且仅当x=2y=2时等号成立).故选B .3.C [解析] ∵x>1，∴y=x 2x -1=x 2-1+1x -1=x+1+1x -1=x-1+1x -1+2≥2+2=4，当且仅当1x -1=x-1，即x=2时等号成立，∴y=x 2x -1的最小值为4.故选C .4.C [解析] 因为x>-1，所以x+1>0，所以x+a x+1=x+1+ax+1-1≥2√(x +1)·ax+1-1=2√a -1，当且仅当x+1=ax+1，即x=√a -1时取等号，所以x+ax+1的最小值为2√a -1.因为不等式x+ax+1≥3在(-1，+∞)上恒成立，所以2√a -1≥3，解得a ≥4，所以a 的最小值为4.故选C .5.D [解析] 对于A ，当x<0时，y=x+2x<0，故A 不符合题意;对于B ，当x<0时，y=x 3+1x3<0，故B 不符合题意;对于C ，当x=0时，y=x 2+2x 2+4=12，故C 不符合题意;对于D ，由均值不等式知y=√x +√x ≥2√√x ·√x=2√2(当且仅当x=2时取等号)，故D 符合题意.故选D . 6.A [解析] 由x>1，得x-1>0，则x -1x 2-2x+4=x -1(x -1)2+3=1x -1+3x -1≤2√(x -1)·3x -1=√36，当且仅当x-1=3x -1，即x=1+√3时取等号，故x -1x 2-2x+4的最大值为√36.故选A .7.D [解析] 由题意得，(1+x )+(1+2y )=6，1+x>1，1+2y>1，所以(1+x )(1+2y )≤[(1+x )+(1+2y )2]2=9，当且仅当1+x=1+2y ，即x=2，y=1时取等号.故选D .8.BC [解析] 对于A ，当x<0时，y<0，故A 错误;对于B ，当a>0，b>0时，1a +1b+2√ab ≥2√1a ·1b +2√ab =√ab+2√ab ≥2·√√ab2√ab =4，当且仅当a=b=1时取到等号，故B 正确;对于C ，y=x (1-2x )=12×2x (1-2x )≤12(2x+1-2x 2)2=18，当且仅当x=14时取等号，故y 的最大值为18，故C 正确;对于D ，当a ，b 同号时，a b +ba≥2√a b ·ba=2，当且仅当a=b 时取等号，故D 错误.故选BC .9.ABD [解析] 由mn=2m+2n+5≥4√mn +5，得(√mn -5)(√mn +1)≥0，可得mn ≥25，当且仅当m=n=5时等号成立，故A 正确;由2m+2n+5=mn ≤(m+n )24，得(m+n-10)(m+n+2)≥0，可得m+n ≥10，当且仅当m=n=5时等号成立，故B 正确;显然m ≠2，则n=2m+5m -2=2+9m -2，m>2，所以4m+n=4m+9m -2+2=4(m-2)+9m -2+10≥2√4(m -2)·9m -2+10=22，当且仅当m=72，n=8时等号成立，故C 错误，D 正确.故选ABD .10.2 [解析] ∵x>0，y>0，x+y=2xy ，xy ≤(x+y 2)2，∴x+y ≤(x+y )22，∴x+y ≥2，当且仅当x=y=1时等号成立，故x+y 的最小值为2.[技巧点拨] 由含有两个变量的等式求这两个变量的和(或积)的最值，需要借助基本不等式消去积(或和)，得到关于这两个变量的和(或积)的一元二次不等式，解这个不等式即可.11.(-∞，6) [解析] 因为x>2，所以x-2>0，所以x+4x -2=x-2+4x -2+2≥2√4+2=6，当且仅当x-2=4x -2，即x=4时等号成立，又不等式x+4x -2>m 对任意x ∈(2，+∞)恒成立，所以m<6，故实数m 的取值范围为(-∞，6). 12.8 [解析]4y x+x 3y -1=4(y -1)+4x+x 3y -1=4(y -1)x+x 3y -1+4x.因为4(y -1)x+x 3y -1≥2√4(y -1)x·x 3y -1=4x ，当且仅当4(y -1)x=x 3y -1，即2(y-1)=x 2时等号成立，4x+4x≥2√4x ·4x=8，当且仅当4x=4x，即x=1时等号成立，所以4y x+x3y -1≥8，当且仅当2(y-1)=x 2，x=1，即x=1，y=32时等号成立，所以4y x+x 3y -1的最小值为8.13.解:(1)因为a>0，b>0，且a+b+ab=3，所以a+b=3-ab ≥2√ab ，当且仅当a=b=1时取等号，可得0<√ab ≤1，所以0<ab ≤1，故ab 的取值范围是(0，1]. (2)因为a+b=3-ab ≥3-(a+b 2)2，当且仅当a=b=1时取等号，所以a+b ≥2，故a+b 的取值范围是[2，+∞).14.解:(1)因为x<3，所以3-x>0. y=2(x-3)+1x -3+7=-[2(3-x )+13-x]+7，由均值不等式可得2(3-x )+13-x≥2√2(3-x )·13-x=2√2当且仅当2(3-x )=13-x，即x=3-√22时，等号成立，所以-[2(3-x )+13-x]≤-2√2，所以y=-[2(3-x )+13-x]+7≤7-2√2，故y 的最大值是7-2√2. (2)因为x>0，所以y=2x x 2+1=2x+1x，又x+1x≥2√x ·1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立，所以0<y ≤22=1，故y 的最大值为1.15.1 3 [解析] 由题意得1☉k=√k +1+k=3，即k+√k -2=0，可得k=1，则y=√x =√x+x+1√x =1+√x +√x≥1+2=3，当且仅当√x =√x ，即x=1时，等号成立.综上可得，k=1，y=√x的最小值为3.16.解:(1)∵0<x<32，∴3-2x>0，∴4x (3-2x )=2[2x (3-2x )]≤2[2x+(3-2x )2]2=92，当且仅当2x=3-2x ，即x=34时，等号成立，∴4x (3-2x )(0<x <32)的最大值为92. (2)(a-c )(1a -b+1b -c)=(a-b+b-c )(1a -b +1b -c )=1+1+b -c a -b +a -b b -c .∵a>b>c ，∴a-b>0，b-c>0，∴2+b -c a -b +a -b b -c ≥2+2√b -c a -b ·a -bb -c =4，当且仅当a-b=b-c ，即2b=a+c 时取等号，∴(a-c )(1a -b +1b -c )的最小值为4.。

新20版练B1数学人B 版2.2.4均值不等式及其应用第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用考点1均值不等式的理解1.(2018·山东兖州二中高二月考)若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( )。

A.a 2+b 2>2ab B.a +b ≥2√ab C.1a +1b>√abD.b a +a b≥2★答案★：D解析：a 2+b 2≥2ab ,所以A 错误;ab >0,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当a <0,b <0时,B 错误;同理,C 错误;a b或b a都是正数,根据不等式求最值,a b +b a≥2√a b×b a=2,故D 正确。

2.若a ,b ∈R ,则下列不等式恒成立的是( )。

A.|a+b |2≥√|ab | B.b a +a b≥2C.a 2+b 22≥(a+b 2)2 D.(a +b )(1a +1b)≥4 ★答案★：C解析：对于A,当a ,b 同号时,不等式成立,当a ,b 异号时,不等式不成立,故A 中不等式不恒成立;对于B,当a ,b 同号时,不等式成立,当a ,b 异号时,-(a b+b a)≥2√a b ·b a=2,那么a b +b a≤-2,故B 中不等式不恒成立;对于C,a 2+b 22≥(a+b 2)2,故C 中不等式恒成立;对于D,(a +b )1a +1b=2+a b +b a,当a ,b 同号时a b +b a≥2,原不等式成立,当a ,b 异号时,-(a b+b a)≥2√a b ·b a=2,那么a b +b a≤-2,原不等式不成立,故D 中不等式不恒成立。

故选C 。

3.(2019·北京第九十四中高二期中)若正实数a ,b 满足1a +2b =√2ab ,则ab 的最小值为( )。

A.√2B.2C.2√2D.4★答案★：B解析：对于正实数a ,b ,由均值不等式可知1a +2b ≥2√2√ab ,当且仅当1a =2b 时取等号,则√2ab ≥2√2√ab⇒ab ≥2,故选B 。

2020-2021学年高一数学人教B 版必修5同步课时作业3.2均值不等式1.已知,a b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( )A.2a b + B.11a b + 2.若实数,a b 满足0ab >，则2214a b ab ++的最小值为（ ）A. 8B.6C.4D.23.已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y + 的最小值是（ ）A.3B.4C. 92D. 1124.若01,01a b <<<<，且a b ≠，则22,a b ab a b ++中最大的是（ ）A. 22a b +B.C. 2abD. a b +5.若0,0x y >>，则1122x y x y +++的最小值是（ ）A. B. C.4 D.26.已知向量()()(),1,21,30,0a b a b =-=->>m n ，若m n ，则21a b +的最小值为()A.12B.8+C.16D.10+7.已知0,0,0x y z >>>，且911y z x +=+，则x y z ++的最小值为( )A.8B.9C.12D.168.设0,0a b >>，且21a b +=，则12aa ab ++( )A.有最小值为1+B.1C.有最小值为143D.有最小值为49.已知奇函数()f x 在R 上单调，若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b +的最小值是( )A.1B.92C.9D.18 10.已知 ,x y 为正实数，且21x y +=，则21x y +的最小值为( ) A.4 B.7 C.9 D.1111.已知正实数,a b 满足21a b +=，则11(1)(2)a b++的最小值为 . 12.设a 为常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________________.13.若41x -<<，则当22222x x y x -+=-取最大值时x 的值________________. 14.已知正数,x y 满足1x y +=，则14x y +的最小值等于__________；1y x y+的最小值等于__________________.15.经过长期观测，在交通繁忙的某时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为2920(0)31600v y v v v =>++. (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(保留分数形式)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？答案以及解析1.答案：B解析：,a b 为互不相等的正实数，112a b a b ∴+><+=<∴最大的是11a b +. 2.答案：C解析：实数,a b 满足0ab >，则2211444a b ab ab ab ++≥+≥，当且仅当2a b =且12ab =时等号成立.故选C.3.答案：B解析：∵228x y xy ++=，∴8022x y x -=>+，∴08x <<∴()899221221242211x x y x x x x x x -+=+⋅=++-≥+⋅-=+++，当且仅当911x x +=+，即2x =时，取“=”号，此时1y =.4.答案：D 解析：方法一 ：01,01a b <<<<，且a b ≠，2222222,,,a b ab a b a a b b a b a b ∴+>+>>>∴+>+，故选 D.方法二：取12a =，13b =，221315,3636a b ab a b +===+=，显然56最大，故选D.5.答案：A解析：1122x y x y +++≥=x y ==时等号成立.6.答案：B解析：因为m n ，所以3210a b +-=，所以321a b +=，所以212134(32)888a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当34,321a b b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以min 218a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭故选B. 7.答案：D解析：0,0,0,0x y z y z >>>∴+>，又911y z x +=+，19[()]x y z x y z x y z ⎛⎫∴++=+++= ⎪+⎝⎭9101016x y z y z x +++≥+=+，当且仅当9x y z y z x +=+且911y z x +=+时等号成立，x y z ∴++的最小值为16.故选D.8.答案：A 解析：根据题意，121a b a b a a a++==+，因为0,0a b >>，所以122111a a b a a a b a a b ++=++≥++++ 当且仅当2a b a a a b+=+，即a b +=时等号成立， 故12a a a b++有最小值为1. 故选：A.9.答案：A解析：因为奇函数()f x 在R 上单调，()()490f a f b +-=，所以()()()499f a f b f b =--=-，所以49a b =-，即49a b +=，所以11111141(4)5(45)1999b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即3,32a b ==时等号成立，故选A.10.答案：C解析：,0x y > 且21x y +=，∴212122 ((2)1459x y x y y x x x y y =+=+++≥+++)， 当且仅当22x y y x =，即3113x y ==，时，等号成立.∴21x y +的最小值为9.故选：C 11.答案：18解析：因为11121212(1)(2)222a b a b b a ab ab ab++++=+++=+=+，又12a b =+≥以18ab ≤，即2222818ab +≥+⨯=，当且仅当2a b =，即11,24a b ==时取等号. 12.答案：8,7⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 解析：由题意知()00f =，故01a ≥+，得1a ≤-.当0x >时，()2971a f x x a x=+-≥+，即68a a ≥+，又1a ≤-，所以87a ≤-. 13.答案：0 解析：易得22222211(1)1222(1)2(1)x x x x x y x x x -+-++-+====---1122(1)x x -+-，41,510x x -<<∴-<-<，1111122(1)22(1)x x y x x ⎡⎤--∴=+=--+≤-=-⎢⎥---⎣⎦，当且仅当1122(1)x x --=--，即0x =时取等号. 14.答案：9；3 解析：正数,x y 满足141441,()5549y x x y x y x y x y x y ⎛⎫+=∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =且1x y +=，即12,33x y ==时取等号，14x y ∴+的最小值为9.1113y y x y y x x y x y x y ++=+=++≥=，当且仅当y x x y =且1x y +=，即12x y ==时取等号，1y x y∴+的最小值为3. 15.答案：(1)依题意得，2920920920160031600833v y v v v v==≤++++， 当且仅当1600v v=，即40v =时，等号成立， max 92083y ∴=. ∴当汽车的平均速度为4千米/时时，车流量最大，最大车流量为92083千辆/时. (2)由题意得，29201031600v v v >++， 整理得28916000v v -+<，即()()25640v v --<，解得2564v <<. ∴如果在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。

第二单元 等式与不等式第15课 均值不等式的应用一、基础巩固1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C.2a a －1D ．3 【答案】D【解析】∵a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2 (a －1)·1a －1＋1＝3. 2．已知x ＜0，则y ＝x ＋1x－2有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 【答案】C【解析】∵x<0，∴y ＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 3．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( ) A ．3 B ．－3 2 C ．3－2 3D ．－1 【答案】C【解析】∵x ＞0，∴y ＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立． 4．若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值是( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12 【答案】C 【解析】x ＋y ＝(x ＋y)·⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y＋4 ＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4x y＝5＋4＝9.当且仅当⎩⎨⎧ 1x ＋4y ＝1，y x ＝4x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9. 5. 若关于x 的不等式2162a b x x b a+<+对任意的0,0a b >>恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A.{20}x x -<< B.{20}x x x <->或 C.{42}x x -<< D.{42}x x x <->或【答案】C【解析】因为0,0a b >>,所以168a b b a +≥= (当且仅当4a b =时等号成立），所以由题意，得228x x +<，解得42x -<<,故选C.6. 若0,0x y >>,则1122x y x y +++的最小值是（ ）A. B. C.4 D.2【答案】A【解析】1122x y x y +++≥=x y ==时等号成立.7. 某工厂第一年产量为A ,第二年增长率为(0)a a >,第三年的增长率为(0)b b >,这两年的平均增长率为x ,则( ) A. 2a b x += B. 2a b x +≤ C. 2a b x +> D. 2a b x +≥ 【答案】B 【解析】这两年的平均增长率为2,(1)(1)(1)x A x A a b ∴+=++，22(1)(1)(1)x a b ∴+=++，111122a b a b x ++++∴+==+，2a b x +∴≤，当且仅当11a b +=+，即a b =时取等号.8. 已知,,a b c 均为正实数,求证:)a b c ++.【答案】见解析 【解析】∵222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，∴()()2222222a b a ab b a b +≥++=+， ∴()2222a b a b ++≥，，②③ ①+②+③，得)a b c ++，当且仅当a b c ==的时等号成立.二、拓展提升 9. 若实数,a b 满足0ab >,则2214a b ab++的最小值为（ ） A. 8 B.6 C.4 D.2 【答案】C【解析】实数,a b 满足0ab >，则2211444a b ab ab ab ++≥+≥,当且仅当2a b =且12ab =时等号成立.故选C.10. 设0,1,a b >>若2a b +=，则411a b +-的最小值为______． 【答案】9【解析】因为0,1,a b >>，且0,1,a b >>，10b ->∴且(1)1a b +-=， 4141()[(1)]11a b a b a b +=++---∴4(1)5591b a a b -=++≥+=-， 当且仅当4(1)1b a a b -=-时取等号， 结合(1)1a b +-=可解得23a =且43b =， 故所求最小值为9故答案为：911. 若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 【答案】233【解析】x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y)2－xy ＝1，∴(x ＋y)2＝xy ＋1≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋1.∴34(x ＋y)2≤1. 12. 在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝1□＋9□，试求这两个数．【答案】见解析【解析】设1a ＋9b ＝1，a ，b ∈N *，∴a ＋b ＝(a ＋b)·1＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋9b＝1＋9＋ba ＋9ab≥10＋2b a ·9ab＝10＋2×3＝16， 当且仅当ba ＝9ab ，即b ＝3a 时等号成立． 又1a ＋9b ＝1，∴1a ＋93a ＝1，∴a ＝4，b ＝12.这两个数分别是4,12.。