有理数培优题有答案

第2章《有理数》单元培优测试卷（含答案）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间60分钟，试题共28题，选择8道、填空10道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•盐城）2020的相反数是（）A．﹣2020 B．2020 C．D．2．（2020•徐州模拟）据统计，徐州市2020年参加中考人数共有11.8万人，11.8万用科学记数法表示为（）A．11.8×103B．1.18×104C．1.18×105D．0.118×106 3．（2019秋•江苏省海安市校级月考）在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．（2019秋•江苏省镇江期末）在数，1.010010001，，0，﹣2π，﹣2.6266266…，3.1415中，无理数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2019秋•江苏省泰兴市期末）数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A、B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且a+b+c+d＝6，则点D表示的数为（）A．﹣2 B．0 C．3 D．56．（2019秋•江苏省镇江期末）能使等式|2x﹣3|+2|x﹣2|＝1成立的x的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（2020春•江苏省如皋市期末）将九个数分别填在3×3 （3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”．如图①为“和15幻方”，图②为“和0幻方”，图③为“和39幻方”，若图④为“和m幻方”，则m的值等于（）A．6 B．3 C．﹣6 D．﹣98．（2019秋•江苏省南京期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020春•江苏省太仓市期中）我国开展的月球探测工程（即“嫦娥工程“）为人类和平使用月球作出了新的贡献．地球与月球之间的平均距离大约为384000km，384000用科学记数法可表示为．10．（2019秋•江苏省海州区校级期中）如图，小明有五张写着不同数字的卡片，请你从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，这个最大值是．11．（2019秋•江苏省宿豫区期中）若三个互不相等的有理数，既可以表示为3，a+b，b的形式，也可以表示为0，，a的形式，则4a﹣b的值．12．（2019秋•江苏省宿豫区期中）规定a⊕b＝a﹣b+1，则（3⊕2）⊕5＝．13．（2019秋•江苏省海陵区校级期中）|m+n|+（m+3）2＝0，则m n的值是．14．（2019秋•江苏省连云港期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a﹣b|﹣|c ﹣b|+|a+c|＝．15．（2019秋•江苏省武进区期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上﹣2表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2014（A在B的左侧），且A、B 两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是．16．（2019秋•江苏省海安市期中）若m、n满足|m﹣3|+（n﹣2）2＝0，则（m﹣n）2019的值等于．17．（2019秋•江苏省海陵区校级期中）已知数轴上三点A，B，C所对应的数分别为m，n，2+n，当其中一点到另外两点的距离相等时，则m﹣n的值是．18．（2020春•江苏省鼓楼区期中）（1）（）﹣（1）（）＝．三、解答题（本大题共8题，共54分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•江苏省海州区校级期中）把下列各数填入相应的集合中：10，﹣2π，3.14，，﹣0.6，0，﹣75%，﹣（﹣5），0.正数集合：{…}；负数集合：{…}；整数集合：{…}；有理数集合：{…}．20．（2019秋•江苏省连云港期中）计算（1）（﹣2）3﹣（﹣5）+（﹣3）×2 （2）（）×（﹣60）（3）（﹣5）（﹣4）（4）﹣32÷[（）×（﹣3）22] 21．（2019秋•江苏省建湖县期中）计算：（1）28﹣（+34）+（﹣51）﹣（﹣42）；（2）；（3）；（4）．22．（2019秋•江苏省广陵区校级期中）某天早上，一辆交通巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次+15 ﹣8 +6 +12 ﹣4 +5 ﹣10 （1）巡逻车在巡逻过程中，第次离A地最远．（2）B地在A地哪个方向，与A地相距多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？23．（2020春•江苏省兴化市期中）（1）计算：0×1×2×3+1＝（）2；1×2×3×4+1＝（）2；2×3×4×5+1＝（）2；3×4×5×6+1＝（）2；……（2）根据以上规律填空：4×5×6×7+1＝（）2；×××+1＝（55）2．（3）小明说：“任意四个连续自然数的积与1的和都是某个奇数的平方”．你认为他的说法正确吗？请说明理由．24．（2019秋•江苏省崇川区校级期中）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在上所应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是；（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为.\;（3）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是．25．（2019秋•江苏省崇川区校级期中）已知b是最小的正整数，且a，b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答：（1）请直接写出a，b，c的值：a＝，b＝，c＝；（2）在（1）的条件下，若点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+3|x﹣2|；（3）在（1）（2）的条件下，a，b，c分别对应的点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．26．（2019秋•江苏省海州区校级期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把记作a©，读作“a的圈c次方”．（1）【初步探究】直接写出计算结果：3③＝，；（2）关于除方，下列说法错误的是；A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1□＝1；C.3④＝4③；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．（3）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝；；Ⅱ．想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于；Ⅲ．算一算：．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•盐城）2020的相反数是（）A．﹣2020 B．2020 C．D．【分析】根据a的相反数是﹣a，直接得结论即可．【解析】2020的相反数是﹣2020．故选：A．2．（2020•徐州模拟）据统计，徐州市2020年参加中考人数共有11.8万人，11.8万用科学记数法表示为（）A．11.8×103B．1.18×104C．1.18×105D．0.118×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解析】11.8万＝118000＝1.18×105故选：C．3．（2019秋•江苏省海安市校级月考）在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】先化简原题中的各数，然后即可判断哪些数是负数，本题得以解决．【解析】∵﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，∴在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是2个，故选：C．4．（2019秋•江苏省镇江期末）在数，1.010010001，，0，﹣2π，﹣2.6266266…，3.1415中，无理数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据无理数的三种形式求解．【解析】无理数有：﹣2π，﹣2.6266266…共2个．故选：B．5．（2019秋•江苏省泰兴市期末）数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A、B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且a+b+c+d＝6，则点D表示的数为（）A．﹣2 B．0 C．3 D．5【分析】设出其中的一个数，根据各个数在数轴的位置，表示出其它的数，列方程求解即可．【解析】设点D表示的数为x，则点C表示的数为x﹣3，点B表示的数为x﹣4，点A 表示的数为x﹣7，由题意得，x+（x﹣3）+（x﹣4）+（x﹣7）＝6，解得，x＝5，故选：D．6．（2019秋•江苏省镇江期末）能使等式|2x﹣3|+2|x﹣2|＝1成立的x的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】直接利用绝对值的性质把x的值分别代入求出答案．【解析】A、当x＝0时，原式＝3+4＝7，不合题意；B、当x＝1时，原式＝1+2＝3，不合题意；C、当x＝2时，原式＝1+0＝1，符合题意；D、当x＝3时，原式＝3+2＝5，不合题意；故选：C．7．（2020春•江苏省如皋市期末）将九个数分别填在3×3 （3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”．如图①为“和15幻方”，图②为“和0幻方”，图③为“和39幻方”，若图④为“和m幻方”，则m的值等于（）A．6 B．3 C．﹣6 D．﹣9【分析】根据定义，图④中，由第1行与第1列三数和相等，便可求得第3行第1个数为﹣2，由对角线三数的和与中间数的关系可求m的值．【解析】图④中，由第1行与第1列三数和相等，便可求得第3行第1个数为﹣2，∵﹣2﹣4＝﹣6，∴中间数是﹣6÷2＝﹣3，∴m＝﹣6﹣3＝﹣9．故选：D．8．（2019秋•江苏省南京期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．【解析】根据分析，可得则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020春•江苏省太仓市期中）我国开展的月球探测工程（即“嫦娥工程“）为人类和平使用月球作出了新的贡献．地球与月球之间的平均距离大约为384000km，384000用科学记数法可表示为 3.84×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解析】将384000用科学记数法表示为3.84×105．故答案是：3.84×105．10．（2019秋•江苏省海州区校级期中）如图，小明有五张写着不同数字的卡片，请你从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，这个最大值是15．【分析】根据有理数乘法法则，可得﹣3与﹣5的乘积最大．【解析】（﹣3）×（﹣5）＝15，∴这个最大值是15．故答案为：1511．（2019秋•江苏省宿豫区期中）若三个互不相等的有理数，既可以表示为3，a+b，b的形式，也可以表示为0，，a的形式，则4a﹣b的值15．【分析】根据分母不等于0判断出b≠0，从而得到a+b＝0，再求出3，从而得到b＝﹣3，a＝3，然后代入代数式进行计算即可得解．【解析】∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1、a+b、b的形式，也可以表示为0、、a的形式，∴b≠0，∴a+b＝0，∴3，∴b＝﹣3，a＝3，∴4a﹣b＝12+3＝15，故答案为15．12．（2019秋•江苏省宿豫区期中）规定a⊕b＝a﹣b+1，则（3⊕2）⊕5＝﹣2．【分析】根据a⊕b＝a﹣b+1，可以求得所求式子的值．【解析】∵a⊕b＝a﹣b+1，∴（3⊕2）⊕5＝（3﹣2+1）⊕5＝2⊕5＝2﹣5+1＝﹣2，故答案为：﹣2．13．（2019秋•江苏省海陵区校级期中）|m+n|+（m+3）2＝0，则m n的值是﹣27．【分析】根据非负数的性质，可以求得m、n的值，从而可以求得m n的值，本题得以解决．【解析】∵|m+n|+（m+3）2＝0，∴m+n＝0，m+3＝0，解得，m＝﹣3，n＝3，∴m n＝（﹣3）3＝﹣27，故答案为：﹣27．14．（2019秋•江苏省连云港期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a﹣b|﹣|c ﹣b|+|a+c|＝﹣2a．【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号，再根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项即可．【解析】∵由图可知，c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，∴a﹣b＜0，c﹣b＜0，a+c＜0，∴原式＝﹣a+b+（c﹣b）﹣（a+c）＝﹣a+b+c﹣b﹣a﹣c＝0．故答案为：0．15．（2019秋•江苏省武进区期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上﹣2表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2014（A在B的左侧），且A、B 两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是﹣1004．【分析】根据数轴上两点间的距离为这两个数差的绝对值，若﹣2表示的点与8表示的点重合，则折痕经过3；若数轴上A、B两点之间的距离为2014（A在B的左侧），则两个点分别距离中点是3，进一步得到A点表示的数．【解析】依题意得：两数是关于﹣2和8的中点对称，即关于（﹣2+8）÷2＝3对称，∵A、B两点之间的距离为2014（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A、B关于3对称，∴A：3﹣2014÷2＝3﹣1007＝﹣1004．故答案为：﹣1004．16．（2019秋•江苏省海安市期中）若m、n满足|m﹣3|+（n﹣2）2＝0，则（m﹣n）2019的值等于1．【分析】根据非负数的性质列出方程求出m、n的值，代入所求代数式计算即可；【解析】∵|m﹣3|+（n﹣2）2＝0，∴m﹣3＝0，n﹣2＝0，∴m＝3，n＝2，∴（m﹣n）2019＝（3﹣2）2019＝1．故答案为：1．17．（2019秋•江苏省海陵区校级期中）已知数轴上三点A，B，C所对应的数分别为m，n，2+n，当其中一点到另外两点的距离相等时，则m﹣n的值是﹣2或1或4．【分析】用m、n的代数式表示线段AB、BC、AC的长，再分三种情况分别进行解答即可．【解析】数轴上三点A，B，C所对应的数分别为m，n，2+n，则点C一定在点B的右边两个单位，①如图1，当点B是AC的中点时，，有AB＝BC，即m﹣n＝n﹣（2+n），∴m﹣n＝﹣2；②如图2，当点A是BC的中点时，，有AB＝AC，即m﹣n＝2+n﹣m，∴m﹣n＝1；③如图3，当点C是AB的中点时，，有BC＝AC，即（2+n）﹣n＝m﹣（2+n），∴m﹣n＝4，故答案为：﹣2或1或4．18．（2020春•江苏省鼓楼区期中）（1）（）﹣（1）（）＝．【分析】根据乘法分配律变形，再抵消后进行计算即可求解．【解析】（1）（）﹣（1）（）（）（）﹣（）+（）（）．故答案为：．三、解答题（本大题共8题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•江苏省海州区校级期中）把下列各数填入相应的集合中：10，﹣2π，3.14，，﹣0.6，0，﹣75%，﹣（﹣5），0.正数集合：{10，3.14，，﹣（﹣5），0.…}；负数集合：{﹣2π，﹣0.6，﹣75%…}；整数集合：{10，0，﹣（﹣5）…}；有理数集合：{10，3.14，，﹣0.6，0，﹣75%，﹣（﹣5），0.…}．【分析】根据实数的分类即可求出答案．【解析】正数集合：{ 10，3.14，，﹣（﹣5），0.}；负数集合：{﹣2π，﹣0.6，﹣75% …}；整数集合：{10，0，﹣（﹣5）…}；有理数集合：{10，3.14，，﹣0.6，0，﹣75%，﹣（﹣5），0.}．故答案为：10，3.14，，﹣（﹣5），0.；﹣2π，﹣0.6，﹣75%；10，0，﹣（﹣5）；10，3.14，，﹣0.6，0，﹣75%，﹣（﹣5），0.．20．（2019秋•江苏省连云港期中）计算（1）（﹣2）3﹣（﹣5）+（﹣3）×2（2）（）×（﹣60）（3）（﹣5）（﹣4）（4）﹣32÷[（）×（﹣3）22]【分析】（1）根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题；（2）根据乘法分配律可以解答本题；（3）根据有理数的乘除法可以解答本题；（4）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题．【解析】（1）（﹣2）3﹣（﹣5）+（﹣3）×2＝（﹣8）+5+（﹣6）＝﹣9；（2）（）×（﹣60）＝（﹣36）+（﹣30）+5＝﹣61；（3）（﹣5）（﹣4）＝5；（4）﹣32÷[（）×（﹣3）22]＝﹣9÷（1）＝﹣9÷（1）＝﹣9÷（1）＝﹣9＝﹣9＝﹣15．21．（2019秋•江苏省建湖县期中）计算：（1）28﹣（+34）+（﹣51）﹣（﹣42）；（2）；（3）；（4）．【分析】各式根据有理数的运算法则依次计算即可．【解析】（1）原式＝28﹣34﹣51+42＝28+42﹣34﹣51＝70﹣85＝﹣15；（2）原式＝4.8 1.8+4﹣1＝4.8﹣1.8+41＝3+4﹣1＝6；（3）原式0.250.25＝0.25；（4）原式＝﹣9﹣（12+8）＝﹣9﹣20＝﹣9﹣8＝﹣17．22．（2019秋•江苏省广陵区校级期中）某天早上，一辆交通巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次+15 ﹣8 +6 +12 ﹣4 +5 ﹣10 （1）巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远．（2）B地在A地哪个方向，与A地相距多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？【分析】（1）根据有理数的加法运算，分别计算出每次距A地的距离，可得离A地最远距离；（2）根据有理数的加法运算，可得正数或负数，根据向东记为正，向西记为负，可得答案；（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据总价＝单价×数量即可求解．【解析】（1）第一次距A地：15千米，第二次距A地：15﹣8＝7千米，第三次距A地：7+6＝13千米，第四次距A地：13+12＝25千米，第五次距A地：25﹣4＝21千米，第六次距A地：21+5＝26千米，第七次距A地：26﹣10＝16千米，26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，答：巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远；（2）15﹣8+6+12﹣4+5﹣10＝16（千米），答：B地在A地东方，与A地相距16千米；（3）|+15|+|﹣8|+|+6|+|+12|+|﹣4|+|+5|+|﹣10|＝60（千米），60×0.2＝12（升），12×7＝84（元）．答：这一天交通巡逻车所需汽油费84元．故答案为：6．23．（2020春•江苏省兴化市期中）（1）计算：0×1×2×3+1＝（1）2；1×2×3×4+1＝（5）2；2×3×4×5+1＝（11）2；3×4×5×6+1＝（19）2；……（2）根据以上规律填空：4×5×6×7+1＝（29）2；6×7×8×9+1＝（55）2．（3）小明说：“任意四个连续自然数的积与1的和都是某个奇数的平方”．你认为他的说法正确吗？请说明理由．【分析】（1）通过有理数的运算便可得结果；（2）由已知等式得到规律：任意四个连续自然数的积与1的和等于较小数与比它大3的数的积与1的和的平方．按此规律解答便可；（3）根据题意可得第n个等式应是n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2＝（n2+3n+1）2，再证明n2+3n+1是否为奇数便可．【解析】（1）0×1×2×3+1＝0+1＝1＝12；1×2×3×4+1＝24+1＝25＝52；2×3×4×5+1＝120+1＝121＝112；3×4×5×6+1＝360+1＝361＝192，故答案为：1；5；11；19；（2）由已知等式知，任意四个连续自然数的积与1的和等于较小数与比它大3的数的积与1的和的平方．∴4×5×6×7+1＝（4×7+1 ）2＝292；∵55＝6×9+1，∴6×7×8×9+1＝552；故答案为：29；6；7；8；9；（3）正确．证明：设四个自然数分别为n，n+1，n+2，n+3，则有n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2＝[n（n+1）+2n+1]2，∵n为自然数，∴n（n+1）为偶数，2n+1为奇数，∴n（n+1）+2n+1必为奇数，故（n2+3n+1）2是一个奇数的平方，即任意四个连续自然数的积与1的和都是某个奇数的平方．24．（2019秋•江苏省崇川区校级期中）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在上所应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7；（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|.\;（3）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是﹣3、﹣2、﹣1、0、1．【分析】（1）根据距离公式即可解答；（2）根据距离公式即可解答；（3）利用绝对值和数轴求解即可．【解析】（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是：5﹣（﹣2）＝7，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，（3）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|＝4，∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1．故答案为：7；|x﹣2|；﹣2、﹣1、0、1．25．（2019秋•江苏省崇川区校级期中）已知b是最小的正整数，且a，b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答：（1）请直接写出a，b，c的值：a＝﹣1，b＝1，c＝5；（2）在（1）的条件下，若点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+3|x﹣2|；（3）在（1）（2）的条件下，a，b，c分别对应的点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）根据x的范围，确定x+1，x﹣3，5﹣x的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；（3）先求出BC＝3t+4，AB＝3t+2，从而得出BC﹣AB＝2．【解析】（1）∵b是最小的正整数，∴b＝1．根据题意得：c﹣5＝0且a+b＝0，∴a＝﹣1，b＝1，c＝5．故答案是：﹣1；1；5；（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x﹣2＜0，则：|x+1|﹣|x﹣1|+3|x﹣2|＝x+1﹣（1﹣x）+2（2﹣x）＝x+1﹣1+x+4﹣2x＝4；当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x﹣2≤0．|x+1|﹣|x﹣1|+3|x﹣2|＝x+1﹣（x﹣1）+2（2﹣x）＝x+1﹣x+1+4﹣2x＝﹣2x+6；（3）不变．理由如下：t秒时，点A对应的数为﹣1﹣t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5．∴BC＝（5t+5）﹣（2t+1）＝3t+4，AB＝（2t+1）﹣（﹣1﹣t）＝3t+2，∴BC﹣AB＝（3t+4）﹣（3t+2）＝2，即BC﹣AB值的不随着时间t的变化而改变．（另解）∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B每秒2个单位长度向右运动，∴A、B之间的距离每秒钟增加3个单位长度；∵点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴B、C之间的距离每秒钟增加3个单位长度．又∵BC﹣AB＝2，∴BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变解．26．（2019秋•江苏省海州区校级期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把记作a©，读作“a的圈c次方”．（1）【初步探究】直接写出计算结果：3③＝，﹣27；（2）关于除方，下列说法错误的是C；A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1□＝1；C.3④＝4③；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．（3）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝（）2；5⑥＝（）4；（﹣2）8；Ⅱ．想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于aⓝ＝（）n﹣2；Ⅲ．算一算：﹣131．【分析】【概念学习】（1）分别按公式进行计算即可；（2）根据定义依次判定即可；【深入思考】（3）Ⅰ．把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；Ⅱ．结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则aⓝ＝a×（）n﹣1；Ⅲ．将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．【解析】【概念学习】（1）3③＝3÷3÷3，（）⑤＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝﹣27．故答案为：，﹣27；（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确；B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1；所以选项B正确；C、3④＝3÷3÷3÷3，4③＝4÷4÷4，则3④≠4③；所以选项C错误；D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；本题选择说法错误的，故选C；【深入思考】（3）Ⅰ．（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（）2；5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝（）4；同理得：（）⑩＝（﹣2）8；故答案为：（）2；（）4；（﹣2）8；（2）aⓝ＝（）n﹣2；（3）＝144÷（﹣3）2×（﹣2）3﹣（﹣3）4÷33＝144（﹣8）﹣81÷27＝16×（﹣8）﹣3＝﹣128﹣3＝﹣131．故答案为：，﹣27；C；，，（﹣2）8 ；aⓝ；﹣131．。

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.19第1章有理数单元测试（培优提升卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•荣昌区校级模拟）下列各数中，最小的数是（ ）A．﹣4B．﹣3C．0D．1【分析】根据有理数的大小比较解答即可．【解析】根据有理数比较大小法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，∴0、1不符合题意，∵|﹣4|＞|﹣3|，∴﹣4＜﹣3．故选：A．2．（2022•连山区一模）下列四个数中，最大的负整数是（ ）A．﹣1.5B．﹣3C．0D．﹣2【分析】根据题中要求是负整数，﹣1.5，0不符合题意；根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可得出答案．【解析】题中要求是负整数，﹣1.5，0不符合题意；∵2＜3，∴﹣2＞﹣3，∴最大的负整数是﹣2，故选：D．3．（2022•聊城）实数a的绝对值是54，a的值是（ ）A．54B．―54C．±45D．±54【分析】根据绝对值的意义直接进行解答【解析】∵|a|=5 4，∴a＝±5 4．故选：D．4．（2020秋•津南区期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的个数是（ ）①a+b＞0；②a﹣b＜0；③|a|﹣|b|＞0；④﹣a＞﹣b．A．2B．3C．4D．1【分析】先根据数轴得出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，再根据有理数的加减法则逐一判断即可．【解析】由数轴知a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，①a+b＜0，此结论错误；②a﹣b＜0，此结论正确；③|a|﹣|b|＞0，此结论正确；④﹣a＞﹣b，此结论正确；故选：B．5．（2021秋•蔡甸区期中）已知|a|＝2，（b+1）2＝25，且a＜b，则a+b的值是（ ）A．﹣2或﹣8B．﹣8或6C．2或6D．2或﹣8【分析】根据绝对值和有理数的乘方求出a，b的值，根据a＜b分两种情况分别计算即可．【解析】∵|a|＝2，（b+1）2＝25，∴a＝±2，b+1＝±5，∴b＝4或﹣6，∵a＜b，∴当a＝2，b＝4时，a+b＝6；当a＝﹣2，b＝4时，a+b＝2；故选：C．6．（2021秋•栖霞市期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（ ）甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0丙：（36﹣12）÷32=36×23―12×23=16丁：（﹣3）2÷13×3＝9÷1＝9A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．【解析】甲：9﹣32÷8＝9﹣9÷8＝778，原来没有做对；乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×9＝﹣12，原来没有做对；丙：（36﹣12）÷32=36×23―12×23=16，做对了；丁：（﹣3）2÷13×3＝9÷13×3＝81，原来没有做对．故选：C．7．（2021秋•姑苏区校级期末）如果实数﹣1＜a＜0，那么a，﹣a，a2，1a自小到大顺序排列正确的是（ ）A．a＜﹣a＜a2＜1aB．﹣a＜a＜a2＜1aC．1a＜a＜a2＜﹣a D．1a＜a2＜a＜﹣a【分析】用特殊值法比较大小即可．【解析】若a=―1 2，﹣a=1 2，a2=1 4，1a=―2，∵﹣2＜―12＜14＜12，∴1a＜a＜a2＜﹣a，故选：C．8．（2018秋•市北区期中）下面关于有理数的说法正确的是（ ）A．整数和分数统称为有理数B．﹣a一定是负数C．绝对值相等的两个数互为相反数D．两个有理数的和与积均为负数，那么这两个数绝对值较大的数是正数，另一个是负数【分析】利用有理数的加法，乘法法则，相反数，相反数，以及绝对值的性质判断即可．【解析】A、整数和分数统称为有理数，符合题意；B、﹣a不一定是负数，不符合题意；C、绝对值相等的两个数互为相反数或相等，不符合题意；D、两个有理数的和与积均为负数，那么这两个数绝对值较大的数是负数，另一个是正数，不符合题意，故选：A．9．（2021秋•安居区期末）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，则|m|﹣c×d+a bm的值为（ ）A．1B．﹣2C．1或﹣3D．32或52【分析】根据a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，可以求得所求式子的值，本题得以解决．【解析】∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，∴a+b＝0，cd＝1，|m|＝2，∴|m|﹣c×d+a b m＝2﹣1+0 m＝2﹣1+0＝1，故选：A．10．（2019秋•滦南县期中）如图，点A在数轴上表示的数是﹣16，点B在数轴上表示的数是8．若点A以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当AB＝8时，运动时间为多少秒？（ ）A．2秒B．4秒C．2秒或4秒D．2秒或6秒【分析】设当AB＝8时，运动时间为t秒，根据题意列方程即可得到结论．【解析】设当AB＝8时，运动时间为t秒，由题意得6t+2t+8＝8﹣（﹣16）或6t+2t＝8﹣（﹣16）+8，解得：t＝2或t＝4．故选：C．二．填空题（共8小题）11．（2021秋•建华区期末）国家统计局2021年5月11日公布第七次全国人口普查数据结果：2020年全国人口共141178万人，约占世界总人口18%，仍然是世界第一人口大国，我国人口10年来继续保持低速增长态势．数据141178万人用科学记数法可表示为　1.41178×109　人．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解析】141178万人＝1411780000人＝1.41178×109人．故答案为：1.41178×109．12．（2021秋•巴彦县期末）计算：﹣（23）2+19=　―13　．【分析】先算乘方，再算加法即可．【解析】﹣（23）2+19=―49+19=―1 3．故答案为：―1 3．13．（2020秋•郫都区校级月考）若|x﹣3|+|y+2|＝0，则x＝　3　，y＝　﹣2　．【分析】根据非负数的性质列出算式，求出x、y的值即可．【解析】根据题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，答案为：3，﹣2．14．（2022•蒲城县一模）请写出一个比﹣4.5大的负整数是　﹣4（答案不唯一）　．（写出一个即可）【分析】两个负数，绝对值大的数反而小，所以写出一个符合条件的负整数即可．【解析】∵两个负数绝对值大的数反而小，∴|﹣4.5|＞|﹣4|，∴﹣4＞﹣4.5．故答案为：﹣4（答案不唯一）．15．（2021秋•普陀区校级月考）三个有理数a、b、c之积是负数，其和也是负数；当x=|a| a+|b|b+|c|c时，则x+1＝　±2．　．【分析】根据a，b，c的积是负数，它们的和是负数，可分a，b，c有两数是正数，一数是负数；或三数是负数的情况进行讨论．【解析】∵a，b，c的积是负数，它们的和是负数，∴a，b，c有两个数是正数，一个数是负数；或三个数均是负数．①当a，b，c有两个数是正数，一个数是负数时，设a，b是正数，c是负数，∴x＝1+1﹣1＝1，∴x+1＝1+1＝2，②当三个数均是负数时，x ＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，∴x +1＝﹣3+1＝﹣2，综上，x +1＝±2，故答案为：±2．16．（2021秋•黔东南州期中）在（﹣2）3，﹣（+5），﹣（﹣3），（﹣1）2020，﹣|6|中，负数有 3　个．【分析】根据有理数的乘方、相反数、绝对值、负数的定义解决此题．【解析】∵（﹣2）3＝﹣8＜0，﹣（+5）＝﹣5＜0，﹣（﹣3）＝3＞0，（﹣1）2020＝1＞0，﹣|6|＝﹣6＜0，∴负数有（﹣2）3，﹣（+5），﹣|6|，共3个．故答案为：3．17．（2018秋•兴化市校级期中）下列说法：①若a b =―1，则a 、b 互为相反数；②若a +b ＜0，且ba＞0，则|a +2b |＝﹣a ﹣2b ；③一个数的立方是它本身，则这个数为0或1；④若a +b +c ＜0，ab ＞0，c ＞0，则|﹣a |＝﹣a ，其中正确的是 ①②④　．【分析】根据相反数、绝对值、乘方、有理数的加法法则、有理数的乘法法则解决此题．【解析】①若ab =―1，则a +b ＝0．根据相反数的定义，符号相反、绝对值相等的两个数互为相反数，那么①正确．②若a +b ＜0，且ba＞0，则a ＜0，b ＜0，即a +2b ＜0，故|a +2b |＝﹣a ﹣2b ，那么②正确．③根据乘方的定义，﹣1、0、1的立方均等于本身，那么③不正确．④根据有理数的乘方、加法法则，由a +b +c ＜0，ab ＞0，c ＞0，得a ＜0，b ＜0，故|﹣a |＝﹣a ，那么④正确．综上：正确的有①②④．故答案为：①②④．18．（2022春•房县期末）我们知道：相同加数的和用乘法表示，相同因数的积用乘方表示．类比拓展：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，我们把n 个a （a ≠0）相除记作an ，读作“a 的圈n 次方”．根据所学概念，求（﹣4）③的值是 ―14　．【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算．【解析】（﹣4）③＝（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）＝﹣4×14×14=―14．故答案为：―14．三．解答题（共6小题）19．（2021秋•云梦县校级月考）把下列各数分别填入相应的集合：+6，0，﹣8，π，﹣4.8，﹣7，227，0.6，―58．整数集合{　+6，0，﹣8，﹣7　}；分数集合{　﹣4.8，227，0.6，―58　}；正有理数集合{　+6，227，0.6　}；负有理数集合{　﹣8，﹣4.8，﹣7，―58　}；非负有理数集合{　+6，0，227，0.6　}；自然数集合{　+6，0　}．【分析】根据有理数的分类进行填空即可．【解析】整数集合{+6，0，﹣8，﹣7}；分数集合{﹣4.8，227，0.6，―58}；正有理数集合{+6，227，0.6}；负有理数集合{﹣8，﹣4.8，﹣7，―58}；非负有理数集合{+6，0，227，0.6}；自然数集合{+6，0}．故答案为：+6，0，﹣8，﹣7；﹣4.8，227，0.6，―58；+6，227，0.6；﹣8，﹣4.8，﹣7，―58；+6，0，227，0.6；+6，0．20．（2022春•龙凤区期末）计算：（1）（―12―59+23）÷118；（2）﹣14﹣（―13）2×（﹣3）3﹣（﹣1）2．【分析】（1）将除法变为乘法，再根据乘法分配律简便计算；（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．【解析】（1）（―12―59+23）÷118＝（―12―59+23）×18=―12×18―59×18+23×18＝﹣9﹣10+12＝﹣7；（2）﹣14﹣（―13）2×（﹣3）3﹣（﹣1）2＝﹣1―19×（﹣27）﹣1＝﹣1+3﹣1＝1．21．（2021秋•赵县月考）某集团公司对所属甲．乙两分厂下半年经营情况记录（其中“+”表示盈利，“﹣”表示亏损，单位：亿元）如下表．月份七月份八月份九月份十月份十一月份十二月份甲厂﹣0.2﹣0.4+0.50+1.2+1.3乙厂+1.0﹣0.7﹣1.5+1.8﹣1.80（1）计算八月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？（2）分别计算下半年甲、乙两个工厂平均每月盈利或亏损多少亿元？【分析】（1）由图可得出乙厂亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元，由此可得出结果．（2）将甲乙两场每个月的盈利相加即可得出结果．【解析】（1）由图可得出乙厂亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元，∴可得出乙比甲多亏0.3亿元．（2）甲：﹣0.2﹣0.4+0.5+0+1.2+1.3＝2.4亿元；乙：1.0﹣0.7﹣1.5+1.8﹣1.8+0＝﹣1.2亿元．∴甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元答：八月份乙厂比甲厂多亏损0.3亿元；甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元22．（2018秋•钟楼区校级月考）阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x取值范围是　﹣1≤x≤2　，最小值是　3　”．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题：①当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|取最小值时，相应x＝　4　，最小值是　4　．②已知y＝|2x+8|﹣|4x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值，写出解答过程．【分析】阅读理解：根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；（2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案．【解析】阅读理解：当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x取值范围是﹣1≤x≤2，最小值是3，故答案为﹣1≤x≤2，3；（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|取最小值时，相应的x＝4，最小值是4；故答案为4，4；（2）当x≥―12时y＝﹣2x+6，当x=―12时，y最大＝7；当﹣4≤x≤―12时，y＝6x+10，当x=―12时，y最大＝7；当x≤﹣4，时y＝2x﹣6，当x＝﹣4时，y最大＝﹣14，所以x=―12时，y有最大值y＝7．23．（2021秋•如皋市期末）定义：数轴上有A，B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点A为点B的2倍原距点．已知点A，M，N在数轴上表示的数分别为4，m，n．（1）若点A是点M的2倍原距点，①当点M在数轴正半轴上时，则m＝　2　；②当点M在数轴负半轴上，且为线段AN的中点时，判断点N是否是点A的2倍原距点，并说明理由；（2）若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点出发向数轴负半轴运动，点M每秒运动速度为2个单位长度，点N每秒运动速度为a个单位长度．若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍原距点，请直接写出a所有可能的值．【分析】（1）①点A到原点的距离为4，根据定义可知点M到原点距离为2，点M在数轴正半轴，进而可求出m．②m＜0，则m＝﹣2，4﹣（﹣2）＝﹣2﹣n得出n的值，再根据定义来判断．（2）设t秒时，点M为点A的2倍原距点，点A恰好也是点N的2倍原距点；由|10﹣2t|＝2×4求出t的值，将t代入4＝2×|6﹣at|，求出a的所有可能值即可．【解析】（1）①4|m|=2，∴m＝±2．∵m＞0，∴m＝2．故答案为：2．②∵m＜0，∴m＝﹣2．∵点M为线段AN的中点，∴4﹣（﹣2）＝﹣2﹣n，解得n＝﹣8．∴ON＝8，ON＝2OA，故N点是点A的2倍原距点．（2）设t秒时，点M为点A的2倍原距点，点A恰好也是点N的2倍原距点．∴|10―2t|=2×4①4=2×|6―at|②，解①得：t1＝9，t2＝1．将t1＝9代入②得：4＝2×|6﹣9t|，解得：a1=89，a2=49；将t2＝1代入②得：4＝2×|6﹣a|，解得：a3＝4，a4＝8．故a所有的可能值为：4，8，49，89．24．（2020秋•诸暨市期中）阅读下列材料：|x|=x，x＞00，x=0―x，x＜0，即当x＜0时，x|x|=xx=―1．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，求a|a|+b|b|的值；（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求a|a|+b|b|+c|c|的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求b c|a|+a c|b|+a b|c|的值．【分析】（1）对a、b进行讨论，即a、b同正，a、b同负，a、b异号，根据绝对值的意义计算a|a|+b|b|得到结果；（2）对a、b、c进行讨论，即a、b、c同正、同负、两正一负、两负一正，然后计算a|a|+b|b|+c|c|得结果；（3）根据a，b，c是有理数，a+b+c＝0，把求b c|a|+a c|b|+a b|c|转化为求a|a|+b|b|+c|c|的值，根据abc＜0得结果．【解析】（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，①a＜0，b＜0，a|a|+b|b|=―1﹣1＝﹣2；②a＞0，b＞0，a|a|+b|b|=1+1＝2；③a，b异号，a|a|+b|b|=0．故a|a|+b|b|的值为±2或0．（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，①a＜0，b＜0，c＜0，a|a|+b|b|+c|c|=―1﹣1﹣1＝﹣3；②a＞0，b＞0，c＞0，a|a|+b|b|+c|c|=1+1+1＝3；③a，b，c两负一正，a|a|+b|b|+c|c|=―1﹣1+1＝﹣1；④a，b，c两正一负，a|a|+b|b|+c|c|=―1+1+1＝1．故a|a|+b|b|+c|c|的值为±1，或±3．（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0．所以b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a，b，c两正一负，所以b c|a|+a c|b|+a b|c|=a|a|+b|b|+c|c|＝﹣[a|a|+b|b|+c|c|]＝﹣1．。

2015年人教版数学七年级上册“单元精品卷”（含精析）第一章有理数（培优提高卷）题型选择题填空题解答题总分得「分一、选择题。

（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1 •在实数0，—「3 , - , | 2中，最小的数是（）3A .2B . 0C .3D . I 22•如图所示，有理数 a 、b 在数轴上的位置如下图，则下列说法错误的是（ ）b -2-1A 、b<aB 、a+b <0C 、ab<0D 、b- a>04 •已知有理数a ，b 所对应的点在数轴上如图所示，则有 （ ）【0： 21 • 2. 1 •网】卜六进制 01 23•6 78 9 AC D E F十进制12] 3 4567910 11 12 13 1415)3 .观察下面一组数： -1，2-5，6, -7，….，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去，则第10行中从左边数第9个数是（)21*5y*3算一行 第二行 童三行 sra 行A 、-902-3 4■5 (5 ・7 8 /10 -11 12 43 14 15 16B 、90C 、-91D 、91 A . — a v 0v b B .— b v a v 0 C . a v 0v — bD . 0 v b v — a5 .计算机中常用的十六进制是逢16进I 的计数制，采用数字0〜9和字母A 〜F 共16个计6 .若a b，则下列各式一定成立的是（7.下列算式中，积为负数的是（法表示为（）二、填空题。

（本题有6个小题，每小题4分，共24分）2 a+b11.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m -cd+ 的值是_m12 .北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从阶梯水价，实施细则如下表：B. 6E .C. . 5FD. B0 .A. a b 0B. a b 0 C .ab D. ab 0A. 0 ( 5) 0.5) 10)C . ( 1.5) ( 2)D . ( 2)(11)(2)8.生物学家发现了一种病毒的长度约为0 . 00000432毫米.数据0 . 00000432用科学记数A 0 432 XI0-5B . 4 . 32 X 10-6C 4 32 X0-7D 43 2 X10-79.下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（A . 23和3233和( 3)3 C . 22和( 2)2 D . -和—3 310 . 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接.）张？1=1 1=1 1=^□ 1=1A . 15B . 16C . 21 D. 222014年5月1日起北京市居民用水实行)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要（1=1 l=ZI1匕京市居民用水阶梯水价隼1单位：元，立方米分栏水嚣户年用水量(立万米)水价其中自来水费水资源费污水处理费第一阶梯0-1S0 (含》 1. 07第二阶梯181-260 ⑻7, 004・071・571・36第三阶梯260凯上P. (K) 6. 07某户居民从2015年1月1日至4月30日,累积用水190立方米,则这户居民4个月共需缴纳水费___________ 元.15•如果互为a,b相反数，x,y互为倒数，则2014 a b 2015x y的值是__________________________ 。

有理数培优训练（二）A一、选择题：1、下列说法不正确的是（ ）A.、0小于所有正数; B 、0大于所有负数 C 、0既不是正数也不是负数 D 、0没有绝对值 2、下列说法正确的是（ ）A 、正数和负数互为相反数B 、a 的相反数是负数C 、相反数等于它本身的数只有0D 、a -的相反数是正数 3、有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20062006ab +等于( )．A 、0B 、1C 、 1D 、24、设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的有理数，则a b c -+等于（ ） A 、 1 B 、0 C 、1 D 、25、如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A ，B ，C 内填入适当的数，使它们折成正方体后相对的面上的两个数互为倒数，则填入正方形A ，B ，C •的三个数依次为（ ）．A 、12，13，1 B 、13，1，12 C 、1，12，13 D 、1，13，126、下列说法正确的是（ ）A 、两个负数相减，等于绝对值相减。

B 、两个负数的差一定大于零。

C 、负数减去正数等于两个负数相加D 、正数减去负数，等于两个正数相减。

7、若三个不等的有理数的和为0，则下面结论正确的是（ ） A 、三个数全为0 B 、最少有两个加数为负数 C 、至少有一个加数为负数 D 、最少有两个加数为正数 8、若a 、b 互为相反数，那么a a +必是（ ）A 、正数B 、负数C 、非正数D 、非负数9、若M =－16－57+48+12－78，N=81.26－93.8+8.74+11，则（ ） A 、M ＞N B 、M ≤N C 、M ＜N D 、M ≥N 二、填空题1、在数轴上与点一2的距离为5个单位的点 个。

它们是 ．2、9-= ；4--的相反数是 ； —〔－﹝+5〕〕＝ .3、已知22(3)0a b b -++-=，则a b += ．4、一个点从数轴的原点开始，向右移动5个单位长度，再向左移动8个单位长度， 到达的终点表示的数是 。

人教版数学七年级上册第一章《有理数》培优测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．据相关报道，开展精准扶贫户工作五年来，我国约有5500万人摆脱贫困，国家发放扶贫资金共375亿元．将375亿用科学记数法表示为（）A．375×107B．3.75×1010C．3.75×109D．37.5×1082．已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．b>a B．ab>0 C．b—a>0 D．a+b>03．下列计算正确的是（）A．（﹣16）÷（﹣4）=﹣4 B．﹣|2﹣5|=3C．（﹣3）2=9 D．（﹣2）3=﹣64．股民小王上周五买进某公司的股票，每股25元，下表为本周内该股票的涨跌情况，则本周五收盘时，该股票每股价格是（）A．27.1元B．24.5元C．29.5元D．25.8元5．如果|a|=7，|b|=5，试求a-b的值为（）（A）2（B）12（C）2和12（D）2；12；-12；-26．一根1米长的小木棒，第一次截去它的13，第二次截去剩余部分的13，第三次再截剩余部分的13，如此截下去，第五次后剩余的小木棒的长度是（）A．（23）5B．1﹣（23）5C．（13）5D．1﹣（13）57．下列表述中，正确的是（）A．有理数有最大的数，也有最小的数B．有理数有最大的数，但没有最小的数C．有理数有最小的数，但没有最大的数D．有理数既没有最大的数，也没有最小的数8．下列说法正确的是（ ） A ．绝对值等于3的数是﹣3B ．绝对值不大于2的数有±2，±1，0C ．若|a|=﹣a ，则a≤0D ．一个数的绝对值一定大于这个数的相反数9．现规定一种运算：1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，……，则200!199!的值为（ ） A ．200B ．199C ．200199D ．110．当2＜a ＜3时，代数式|3﹣a|﹣|2﹣a|的结果是（ ） A ．﹣1 B ．1C ．2a ﹣5D ．5﹣2a二、填空题 11．﹣23的绝对值的相反数与﹣223的相反数的差是_____． 12．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数_____．13．已知m 为最大的负整数，x 与y 互为相反数，则（x+y ）2018+m 2=_____． 14．在（-1）2 017，（-1）2 018，-22，（-3）2中，最大的数与最小的数的和等于______． 15．计算（-34）×（-112）÷（-214）的值为______． 16．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|b ﹣c|﹣|c|+|c ﹣a|=_____．三、解答题 17．计算（1）﹣（3﹣5）+32×（1﹣3） （2）﹣32﹣3122(1)293-⨯-- ． 18．（1）当a≠0时，求aa的值．（写出解答过程） （2）若a≠0，b≠0，且a a +b b=0，则abab 的值为 ．（3）若ab ＞0，则a a+b b +abab 的值为 ． 19．某公司的线路检修小组在一条东西方向的马路上工作，从甲地出发，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，下表记录的是检修小组从甲地出发后连续七次行驶情况．（单位：km，每次行驶终点为下次行驶的起点）解答下列问题：（1）检修小组在第几次纪录时距甲地最远？（2）检修小组收工时，位于出发点甲地哪一侧，距甲地多远？20．股民李叔叔在上周星期五以每股11.2元买了一批股票，共购进5000股，下表为本周星期一到星期五该股票的涨跌情况：（1）求本周星期三收盘时每股的价格；（2）本周内每股最高是多少元？最低是多少元？（3）已知李叔叔买进股票时支付了0.15%的手续费，卖出时还需支付成交额的0.15%手续费和0.1%的交易税，如果李叔叔在星期五收盘时将全部的股票卖出，你对他的收益情况如何评价？21．一只小虫从某点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左记为负数，爬行的各段路程依次为+5，﹣3，+11，﹣8，﹣6，+12，﹣10．（单位：厘米）（1）小虫离开O点最远是厘米．（2）小虫最后是否回到出发点O的位置？为什么？（3）在爬行过程中，每爬行1厘米被奖励两粒芝麻，则小虫可得多少粒芝麻？22．把下列各数填入相应的大括号内：﹣13.5，0，+27，﹣45，227，﹣10，3.14（1）正数集合：{}（2）负数集合：{}（3）整数集合：{}（4）分数集合：{}（5）非负整数集合：{}23．请观察下列定义新运算的各式：1⊙3=1×4+3=7；3⊙（﹣1）=3×4﹣1=11；5⊙4=5×4+4=24；4⊙（﹣3）=4×4﹣3=13．（1）请你归纳：a⊙b=；（2）若a≠b，那么a⊙b b⊙a（填“=”或“≠”）；（3）先化简，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数．参考答案1．B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将375亿用科学记数法表示为3.75×1010．故选B．【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数，解题关键是小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同2．B【分析】由数轴可得b＜a＜0，从而可以判断选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵由数轴可得，b＜a＜0，∴a＞b，（故A错误）；ab＞0，（故B正确）；b-a＜0，（故C错误）；a+b＜0，（故D错误）．故选：B．【点睛】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，能根据各数的大小判断选项中的结论是否成立．3．C【分析】原式利用有理数的乘方，乘法，以及除法法则计算得到结果，即可做出判断．【详解】解：A、（﹣16）÷（﹣4）=4，故A错误；B、﹣|2﹣5|=﹣3，故B错误；C、（﹣3）2=9，故C正确；D、（﹣2）3=﹣8，故D错误；故选C．【点睛】本题考查有理数的除法，绝对值的化简，有理数的减法，有理数的乘方，解题关键是熟练掌握法则.4．B【分析】本题是一道较为基础的题型，考查的是对正数和负数的实际意义的熟练程度，对于本题而言，星期五收盘时，该股票每股是：25﹣2.1+2﹣1.2+0.5+0.3=24.5（元）.【详解】解：25﹣2.1+2﹣1.2+0.5+0.3=24.5（元），故选B．【点睛】本题考查正数和负数的实际意义，解题关键是掌握本题中正数和负数的意义，这样可以提高解题的速度和准确率.5．D【解析】绝对值等于7的数有正负7，绝对值等于5的数有正负5.6．A【分析】根据题意可以得到第五次后剩下的小棒的长度，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，第五次后剩下的小棒的长度是：(1−13)(1−13)(1−13)(1−13)(1−13)=(23)5米，故选A．【点睛】本题考查有理数的乘方，解答本题的关键是明确题意，求出第五次后剩下的小棒的长度．7．D【分析】根据有理数的分类，可得答案．【详解】解：有理数既没有最大的数，也没有最小的数．故选：D．【点睛】本题考查了有理数，解决本题的关键是熟记没有最大的有理数，也没有最小的有理数．8．C【分析】根据绝对值的性质进行解答，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【详解】解：A、绝对值等于3的数是3和﹣3，故错误；B、绝对值不大于2的整数有±2，±1，0，故错误；C、若|a|=﹣a，则a≤0，正确，D、负数的绝对值等于这个数的相反数，故错误，故选C．【点睛】本题考查的是绝对值的性质及相反数的定义，解答关键是熟知以下知识：（1）绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；（2）相反数：只有符号不同的两个数叫互为相反数．9．A【分析】首先观察已知条件，不难找到规律n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1，注意不要找错对应关系；然后根据新运算法则将待求式转化为一般的算式，再进行化简、计算即可求出所要求的结果. 【详解】解：根据题中的新定义得：原式=2001991 1991981⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=200，【点睛】本题考查定义新运算，有理数的除法，有理数的乘法，解题关键是要根据题目所给的已知条件得到新运算的法则.10．D【分析】根据绝对值的性质进行解答，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【详解】解：∵2＜a＜3，∴3﹣a＞0，2﹣a＜0，∴|3﹣a|﹣|2﹣a|=3﹣a﹣a+2=5﹣2a，故选D．【点睛】本题考查的是绝对值的性质，解答关键是熟练掌握绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.11．﹣313．【分析】根据绝对值的性质和相反数的定义分别求出−23的绝对值的相反数与−223的相反数，再相减即可得出．【详解】解：﹣23的绝对值的相反数为﹣23，﹣223的相反数为223，﹣23﹣223=﹣313．故答案为﹣31 3【点睛】本题考查有理数的减法，相反数，绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值、相反数的意义. 12．相等或互为相反数．【分析】根据绝对值的定义及性质可知，一对相反数的绝对值相等，故如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能相等，也可能互为相反数．【详解】解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能相等，也可能互为相反数．故答案为相等或互为相反数．【点睛】本题考查绝对值、相反数的意义，解题关键是熟练、准确掌握意义.13．1．【分析】根据有理数中最大的负整数为-1,可得m=﹣1；相反数的定义:实数a与-a叫做互为相反数，0的相反数是0本身，有理数中最大的负整数为-1【详解】解：由题意得：m=﹣1，x+y=0，∴原式=02018+（﹣1）2=1．故答案为1．【点睛】本题考查有理数、相反数、乘方的相关知识，解题关键是有理数中最大的负整数为-1，有理数中最大的负整数为-1.14．5【详解】（-1）2 017=-1，（-1）2 018=1，-22=-4，（-3）2=9，其中最大的数是9，最小的数是-4，它们的和等于5.故答案是5.15．﹣12．【分析】因为负数的倒数仍然是负数，所以把除法变成乘法，除数变为它的倒数后，先定积的符号，再算绝对值的积.【详解】解：（﹣34）×（﹣112）÷（﹣214）=（-34）×（-32）×（﹣49）=﹣12．故答案为﹣12．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题关键是运算顺序及符号的确定.16．a+b﹣c．【分析】首先根据数轴，确定a、b、c的大小及b﹣c 、c﹣a正负，然后根据绝对值的意义化简，绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号．①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│= -a （a为负值，即a≤0 时）【详解】解：由图知：c＜b＜0＜a，∴b﹣c＞0，c﹣a＜0，∴|b﹣c|﹣|c|+|c﹣a|=b﹣c+c+a﹣c=a+b﹣c．故答案为a+b﹣c．【点睛】本题考查绝对值意义和整式的加减，解题关键是根据数轴上点的位置确定需要化简的式子的绝对值.17．（1）﹣16；（2）﹣811 12．【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可；（2）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减即即可. 【详解】解：（1）﹣（3﹣5）+32×（1﹣3）=﹣（﹣2）+9×（﹣2）=2+（﹣18）=﹣16；（2）﹣32﹣31221293⎛⎫-⨯--⎪⎝⎭．=﹣9﹣（﹣278）×29﹣23=﹣9+34﹣23=﹣811 12．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题关键是运算顺序、乘方、绝对值化简. 18．（1）1或-1；（2）﹣1；（3）3或﹣1.【分析】（1）当a≠0时，可能a>0.也可能a<0,所以需要分两种情况解答．（2），因为两个式子的和为0，所以两个加数互为相反数，a、b是异号. （3）需要分a、b同号和异号两种情况解答.【详解】解：（1）当a＞0时，|a|=a，则原式=1；当a＜0时，|a|=﹣a，则原式=﹣1；（2）∵a≠0，b≠0，且aa+bb=0，∴a与b异号，即ab＜0，∴|ab|=﹣ab，则原式=﹣1；（3）∵ab＞0，∴a与b同号，当a＞0，b＞0时，原式=1+1+1=3；当a＜0，b＜0时，原式=﹣1﹣1+1=﹣1．故答案为（2）﹣1；（3）3或﹣1【点睛】本题考查绝对值的意义及式子化简，解题关键是分类讨论.19．（1）检修小组在第五次纪录时距甲地最远；（2）检修小组位于出发点甲地东侧，距甲地5千米．【分析】（1）分别计算每次距A地的距离，进行比较即可；（2）收工时距A地的距离等于所有记录数字的和的绝对值；【详解】解：（1）第一次距甲地|﹣4|=4千米；第二次距甲地：|﹣4+7|=3千米；第三次距甲地：|﹣4+7﹣10|=7千米；第四次距甲地：|﹣4+7﹣10+9|=2千米；第五次距甲地：|﹣4+7﹣10+9+6|=8千米；第六次距甲地：|﹣4+7﹣10+9+6﹣1|=7千米；第七次距甲地：|﹣4+7﹣10+9+6﹣1﹣2|=5千米．所以检修小组在第五次纪录时距甲地最远；（2）因为收工时，﹣4+7﹣10+9+6﹣1﹣2=5千米，所以此时检修小组位于出发点甲地东侧，距甲地5千米．【点睛】此题主查考查正负数在实际生活中的应用及有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解答此题的关键．20．（1）本周星期三收盘时每股的价格为11.7元；（2）本周内每股最高是12.2元，最低是11.5元；（3）盈利2768.5元．【分析】(1)用每股原价加上每天每股涨跌数就是该天每股的钱数，依次类推，计算出周三股价；；(2)，根据统计表所提供的每天涨跌的数据，计算出每一天的股价，从中找出本周内最高价每股的钱数，同理，计算出本周内最低价每股的钱数；(3)，用周五每股的钱数乘1000，再分别减去买进股票时付的手续费、卖出时付的手续费、交易税，即得他的收益．【详解】解：（1）根据题意得：11.2+0.3+0.4+（﹣0.2）=11.7（元），则本周星期三收盘时每股的价格为11.7元；（2）星期一收盘价格为11.2+0.3=11.5（元），星期二收盘时价格为11.5+0.4=11.9（元），星期三收盘时价格为11.9﹣0.2=11.7（元），星期四收盘时价格为11.7+0.5=12.2（元），星期五收盘时价格为12.2﹣0.4=11.8（元），所以本周内每股最高是12.2元，最低是11.5元；（3）买进的费用：5000×11.2×（1+0.15%）=56084（元）；卖出时的受益：5000×11.8×（1﹣0.15%﹣0.1%）=58852.5（元）．则盈利：58852.5﹣56084=2768.5（元）．【点睛】本题考查如何根据统计表所提供的数据，进行有关计算．解题关键是：读懂表格中正、负数的含义，涉及的知识点有理数的大小比较、有理数的加减、百分数乘法的应用等．21．（1）13；（2）小虫最后没有回到出发点O的位置；（3）小虫可得110粒芝麻．【分析】（1）由于向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程为负数，所以要计算出它爬行所有数的和，于是可判断到离出发点多远；（2）依次往后计算看哪个数最大即可得到离O点的最远距离；（3）计算所有数的绝对值的和得到小虫爬行的路程，再把路程乘以2得到小虫共得的芝麻．【详解】解：（1）第一次爬行距离O点是5cm，第二次爬行距离O点是5﹣3=2（cm），第三次爬行距离O点是2+11=13（cm），第四次爬行距离O点是13﹣8=5（cm），第五次爬行距离O点是|5﹣6|=|﹣1|=1（cm），第六次爬行距离O点是﹣1+12=11（cm），第七次爬行距离O点是11﹣10=1（cm），从上面可以看出小虫离开O点最远是13cm．故答案为13；（2）小虫最后没有回到出发点O的位置．理由如下：∵（+5）+（﹣3）+（+11）+（﹣8）+（﹣6）+（+12）+（﹣10）=1（cm ）， ∴小虫最后没有回到出发点O 的位置；（3）（|+5|+|﹣3|+|+11|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|）×2=55×2=110（粒），所以小虫可得110粒芝麻．【点睛】本题考查数轴，正数和负数，22．见解析【分析】利用正数，负数，整数，分数，以及非负整数定义判断即可．【详解】（1）正数集合：{+27，227，3.14}； （2）负数集合：{413.5,,105---}； （3）整数集合：{0，+27，10-}；（4）分数集合：{13.5-，45-，227，3.14}； （5）非负整数集合：{0，+27}，【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．23．（1）4a ＋b ；（2）≠；（3）-6.【分析】（1）根据题目中的式子可以猜出a ⊙b 的结果；（2）根据（1）中的结果和a≠b ，可以得到a ⊙b 和b ⊙a 的关系；（3）根据（1）中的结果可以得到（a-b ）⊙（2a+b ）的值，【详解】解：（1）由题目中的式子可得，a ⊙b=4a+b ，故答案为4a+b ；（2）∵a ⊙b=4a+b ，b ⊙a=4b+a ，∴（a ⊙b ）-（b ⊙a ）=（4a+b ）-（4b+a ）=4a+b-4b-a=4（a-b）+（b-a），∵a≠b，∴4（a-b）+（b-a）≠0，∴（a⊙b）≠（b⊙a），故答案为≠；（3）(a－b)⊙(2a＋b)＝4(a－b)＋(2a＋b)＝4a－4b＋2a＋b＝6a－3b.由题意a＝-1，b＝0∴原式＝6×（-1）－3×0＝-6.【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．。

有理数及其运算培优题库41．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（）A．9 B．10 C．12 D．132．如图所示，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足|2a+6|+|b﹣9|＝0（1）点A表示的数为，点B表示的数为；（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在点A、点B之间的数轴上找一点C，使BC＝2AC，则C点表示的数为；（3）在（2）的条件下，若一动点P从点A出发，以3个单位长度/秒速度由A向B运动；同一时刻，另一动点Q从点C出发，以1个单位长度/秒速度由C向B运动，终点都为B点．当一点到达终点时，这点就停止运动，而另一点则继续运动，直至两点都到达终点时才结束整个运动过程．设点Q运动时间为t秒．请用含t的代数式表示：点P到点A的距离PA＝，点Q到点B的距离QB＝；点P与点Q之间的距离 PQ＝．3．【阅读理解】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C 是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．【知识运用】如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数所表示的点是{M，N}的奇点；数所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？4．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”；a⊕b⊕c＝（|a﹣b﹣c|+a+b+c）．如：1⊕（﹣2）⊕3＝[|1﹣（﹣2）﹣3|+1+（﹣2）+3]＝1．解答下列问题：（1）计算：⊕（﹣3）⊕（﹣）的值；（2）在﹣，﹣，﹣，0，，，，，，这11个数中，任意取三个数作为a，b，c的值，进行“a⊕b⊕c”运算，求在所有计算的结果中的最大值．5．数轴上点A，C对应的数分别是a，c，且a，c满足：|a+6|+（c﹣1）2＝0，点B对应的数是﹣2．（1）填空：a＝，c＝；在数轴上描出点A，B，C；（2）若点M在数轴上对应的数为m，且满足|m﹣1|+|m+6|＝15，则m＝；（3）若A，B两点同时沿数轴正方向匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，在运动过程中，点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍时，点A对应的数是多少？6．如图，在单位长度为1的数轴上有，A、B、C、D四个点，点A、C表示的有理数互为相反数（1）请在数轴上标出原点O，并在点A、B、C、D上方标出它们所表示的有理数；（2）A、C两点间的距离AC＝，B、D两点间距离BD＝；（3）通过观察可以发现，数轴上两点之间的距离可以用这两个点所表示的有理数的绝对值来表示，如果数轴上点M表示的有理数是x，点N表示的有理数是y，那么M、N两地间的距离用含有绝对值的式子可以表示为；（4）设点P在数轴表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题：①式子|x﹣4|表示点P与有理数所对应的点之间的距离：|x+1|表示点P与有理数所对应的点之间的距离；②当x是哪个有理数或哪个有理数范围内时，式子|x﹣4|+|x+1|的值最小？最小值是多少？③若式子|x﹣4|+|x+1|的值是6，那么点P所表示的有理数是多少？．7．已知数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b，且（a﹣1）2+|b+2|＝0．（1）求a，b的值；（2）点C在数轴上表示的数是c，且与A、B两点的距离和为11，求c值；（3）小蜗牛甲以1个单位长度/s的速度从点B出发向其左边6个单位长度外的食物爬去，3s后位于点A 的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度/s的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？8．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B（B在﹣2与﹣3的正中）两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：B：；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：；（3）若将数轴折叠，使得A点与﹣2表示的点重合，则B点与数表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2010（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M： N：．9．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，点A与原点O两点之间的距离表示为AO，则AO＝|a﹣0|＝|a|，类似地，点B与原点O两点之间的距离表示为BO，则BO＝|b|，点A与点B两点之间的距离表示为AB＝|a ﹣b|．请结合数轴，思考并回答以下问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示m和﹣1的两点之间的距离是；（3）数轴上表示m和﹣1的两点之间的距离是3，则有理数m是；（4）若x表示一个有理数，并且x比﹣3大，x比1小，则|x﹣1|+|x+3|＝；（5）求满足|x﹣2|+|x+4|＝6的所有整数x的和．10．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为|m﹣n|．（1）例如：数轴上表示4和1的两点之间的距离为|4﹣1|＝数轴表示5和﹣2的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝（2）数轴上表示数a的点与表示﹣4的点之间的距离表示为数轴上表示数a的点与表示2的点之间的距离表示为若数轴上a位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；（3）当a＝时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值为．11．如图，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b，且（a+5）2+|b﹣7|＝0．（1）则a＝，b＝．A、B两点之间的距离＝；（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2017次时，求点P所对应的有理数．（3）在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？请直接写出此时点P的位置，并指出是第几次运动．12．阅读下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|，当A、B两点都不在原点时．（1）如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|（2）如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b| （3）如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|综上，数轴上A、B两点的距离|AB|＝|a﹣b|回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和5的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|＝2那么x为．（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．13．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”因此，为了解问题和解决问题，我们常常需要把“数”和“形”结合起来．【教材回顾由形想数】下图选自教材《合并同类项》（单位略）（1）从图1中可以直观地看出，学校的占地面积可以表示为100a+200a+240b+60b，也可以表示为【速算研究由数想形】37×33，26×24，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？图形建模：用长方形的面积表示两个正数的乘积，以37×33为例：构图方法：如图2，画长为37，宽为33的长方形，将这个37×33的长方形从右边切下一个长为30，宽为3的小长方形，拼接到原长方形的上面．图形分析：原长方形面积可以有两种不同的表达方式，37×33的长方形面积（30+7+3）×30的长方形与右上角3×7的矩形面积之和，即37×33＝（30+10）×30+3×7＝4×3×100+3×7＝1221．用文字表述37×33的算方法是：十位数字3加1的和与3相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．（2）①类比示例：对于26×24，画图并简要说明其构图方法、速算方法．②归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是．（用文字语言表述）（3）①如图3，你能破解其中的奥妙吗？请画图解释图3的速算方法，并标出必要数据．②归纳提炼：用字母表示①中的速算方法：ab＝．（用符号语言表述，设其中一个两位数是a，另一个两位数是b）．14．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，数轴上有一点C，且C 点到A点的距离是C点到B点距离的2倍，且a、b满足|a+4|+（b﹣11）2＝0．（1）直接写出点C表示的数；（2）点P从A点以每秒4个单位的速度向右运动，点Q同时从B点以每秒3个单位的速度向左运动，若AP+BQ ＝2PQ，求时间t；（3）数轴上有一定点N，N点在数轴上对应的数为2，若点P与点M同时从A点出发，一起向右运动，P点的速度为每秒6个单位，M点的速度为每秒3个单位，在P点到达点B之前：①的值不变；②2BM﹣BP的值不变，其中只有一个正确，请你找出正确的结论并求出其值．15．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，C是AB的中点，且a、b满足|a+2|+（b+2a）2＝0（1）求点C表示的数；（2）若点P从A向右运动，点M为AP中点，在P点到达点B之前，求证：2BM﹣BP为定值（3）点P从A点以每秒2个单位的速度向右运动，点Q同时从B点出发以每秒1个单位的速度向左运动，若AP+BQ＝2PQ，求时间t．16．在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，已知a、b满足（3a+b）2+|b﹣6|＝0，（1）求a、b的值；（2）若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是C到A的距离的3倍，求点C表示的数；（3）若小蚂蚁甲从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以2个单位长度/秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒．求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．17．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，到终点表示的数是﹣2．已知A、B是数轴上的点，请参照上图，完成下列填空：（1）如果点A表示的数是3，将点A先向右移动7个单位长度，再向左移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离为；（2）如果点A表示的数是﹣4，将点A先向右移动12个单位长度，再向左移动16个单位长度，那么终点B 表示的数是，A、B两点间的距离为；（3）一般地，如果点A表示的数是a，将点A先向右移动m个单位长度，再向左移动n个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离为．18．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0．（1）请求出a、b、c的值；（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在﹣1到1之间运动时（即﹣1≤x≤1时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|﹣2|x+3|；（写出化简过程）；（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，3秒钟后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请求BC﹣AB的值．19．已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为11，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为3个单位的线段BC在数轴上移动，（1）如图1，当线段BC在O，A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC＝OB，求此时b的值；（2）线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，是否存在AC﹣OB＝AB？若存在，求此时满足条件的b的值；若不存在，说明理由．20．某景区一电瓶小客车接到任务从景区大门出发，向东走2千米到达A景区，继续向东走2.5千米到达B 景区，然后又回头向西走8.5千米到达C景区，最后回到景区大门．（1）以景区大门为原点，向东为正方向，以1个单位长表示1千米，建立如图所示的数轴，请在数轴上表示出上述A、B、C三个景区的位置．（2）A景区与C景区之间的距离是多少？（3）若电瓶车充足一次电能行走15千米，则该电瓶车能否在一开始充足电而途中不充电的情况下完成此次任务？请计算说明．21．材料1：一般地，n个相同因数a相乘：记为a n．如23＝8，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为log28（即log28＝3）．那么，log39＝，（log216）2+log381＝．材料2：新规定一种运算法则：自然数1到n的连乘积用n！表示，例如：1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…在这种规定下，请你解决下列问题：（1）计算 5！＝（2）已知x为整数，求出满足该等式的x：＝1．22．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1＝0和m﹣2＝0，分别求得m＝﹣1，m＝2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m＝﹣1和m＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）m＜﹣1；（2）﹣1≤m＜2；（3）m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况：（1）当m＜﹣1时，原式＝﹣（m+1）﹣（m﹣2）＝﹣2m+1；（2）当﹣1≤m＜2时，原式＝m+1﹣（m﹣2）＝3；（3）当m≥2时，原式＝m+1+m﹣2＝2m﹣1．综上讨论，原式＝通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．23．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD ＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b ﹣16）2互为相反数．（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P 到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．24．如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：计算结果保留π）（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+3，﹣1，，+4，﹣3，①第3次滚动周后，Q点回到原点．第6次滚动周后，Q点距离原点4π②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？25．观察下列各式：＝×（1﹣），＝×（﹣），＝×（﹣），…，＝×（），…（1）归纳猜想：＝．（2）巧计算：+++…+‘（3）巧解方程：++＝．26．【背景知识】数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；线段AB的中点M表示的数为．【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣40和20，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）运动开始前，A、B两点的距离为；线段AB的中点M所表示的数为．（2）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？（3）当t为多少时，线段AB的中点M表示的数为﹣5？27．认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．（1）一般地，点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．（2）利用数轴探究：①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是．②|x﹣3|+|x+1|的最小值是．28．认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B 之间的距离可表示为|a﹣b|．（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．（2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是，②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x 的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的值取在的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是．（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为，此时x的值为．（4）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时x的取值范围．29．如果有理数a、b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求：++…+的值．30．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．（注：结果保留π）（1）把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是数（填“无理”或“有理”），这个数是（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+4，﹣6，+3①第次滚动后，A点距离原点最远②当圆片结束运动时，此时点A所表示的数是．31．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．（结果保留π）（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是数（填“无理”或“有理”），这个数是；（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是；（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3．第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？32．如图1，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为15，当B点移动到A点时，A点所对应的数为3（单位：单位长度）．由此可得（1）玩具火车的长为个单位长度．（2）你能解决下面问题吗？一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？请你帮他求出来．（3）在（1）的条件下数轴上放置与AB一模一样的玩具火车CD，使原点与C重合，两列玩具火车分别从O 和A同时向右出发，已知CD火车速度1个单位/秒，AB火车速度为0.5个单位/秒，问几秒两火车头A与C 相距1个单位？33．数学课上老师出了一道题计算：1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案：解：令s＝1+21+22+23+24+25+26+27+28+29①则2s＝2+22+23+24+25+26+27+28+29+210②②﹣①得s＝210﹣1根据以上方法请计算：（1）1+2+22+23+…+22015（写出过程，结果用幂表示）（2）1+3+32+33+…+32015＝（结果用幂表示）34．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014将下式减去上式得2S﹣S＝22014﹣1即S＝22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1仿照此法计算：1+2+22+23+ (2100)35．计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．36．甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时．（1）如果甲乙丙三人同时改卷，那么需要多少时间完成？（2）如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙，…的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷1小时，那么需要多少小时完成？（3）能否把（2）题所说的甲、乙、丙的次序作适当调整，其余的不变，使得完成这项任务的时间至少提前半小时？（答题要求：如认为不能，需说明理由；如认为能，请至少说出一种轮流的次序，并求出相应能提前多少时间完成阅卷任务）37．某超市在国庆期间推出如下优惠购物方案：①一次性购物不超过100元不享受优惠；②一次性购物超过100元但不超过300元一律九折优惠；③一次性购物超过300元一律八折优惠．王强两次购物分别付款80元、234元；若他一次性购买，比分两次购买可省多少元？38．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上x1，x2对应点之间的距离．例1：解方程|x|＝2，容易看出，在数轴上与原点距离为2点的对应数为2或﹣2，即该方程的解为x＝2或x＝﹣2例2：解不等式|x﹣1|＞2，如图1，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1和3，则|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．例3：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边，若x对应点在1的右边，由图2可以看出x＝2．同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|＝4的解为．（2）不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解集为．39．如果表示运算x+y+z，表示运算a﹣b﹣c+d，那么的结果是多少？40．今年铁路大提速，小明的爸爸因要出差，于是去火车站查询列车的开行时间．下面是小明的爸爸从火车站带回家的最新时刻表：2015年10月18日起1008次列车时刻表始发点发车时间终点站到站时间A站上午8：20 B站次日12：20小明的爸爸找出以前同一车次的时刻表如下：2014年1008次列车时刻表到站时间始发点发车时间终点站A站下午14：30 B站第三日8：30 比较了两张时刻表后，小明的爸爸提出了如下问题，请你帮小明解答：（1）请直接写出现在该次列车的运行时间是多少小时？（2）现在该次列车的运行时间比以前缩短了多少小时？（3）若该次列车提速后的平均时速为每小时200千米，那么，该次列车原来的平均时速为多少？（结果精确到个位）41．如图，在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B表示的数是2.5，解答下列各问：（2）观察数轴，与点A的距离为10的点表示的数为；（3）若将数轴折叠，使点A恰好与表示3的点重合，则点B与表示的点重合；（4）若数轴上P、Q两点之间的距离为2016，点P在点Q的左侧，且P、Q两点按（3）中的方式折叠后互相重合，则P、Q两点表示的数分别是，．42．为了计算1+2+22+23+24+…+29+210的值，我们采用如下的方法：设S＝1+2+22+23+24+…+29+210①，则2S＝2+22+23+24+…+29+210+211②，由②﹣①，得S＝211﹣1，利用上述的方法，求1+5+52+53+54+…+52014+52015的值．43．某大型超市上周日购进新鲜的黄瓜1000公斤，每公斤1.5元，受暴发的“毒黄瓜”的影响，销售价格出现较大的波动，表中为一周内黄瓜销售价格的涨跌情况（涨为正，跌为负，其中星期一的销售价格是与进价比较，单位：元）：星期一二三四五六每公斤销售+0.3 +0.4 ﹣0.5 ﹣0.6 ﹣0.7 +0.1 价涨跌（与前一天比较）（1）到星期二时，每公斤的黄瓜售价是多少元？（2）本周最低售价是每公斤多少元？（3）已知截止到星期五，已卖出黄瓜700公斤，销售总额为935元．如果超市星期六能将剩下的黄瓜全部卖出．不考虑损耗等其他因素，请算算该超市本周销售黄瓜是盈还是亏？盈亏是多少？44．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：（1）若数轴上数2表示的点与﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣6表示的点与数表示的点重合．（2）若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．①则数轴上数3表示的点与数表示的点重合．②若数轴上A、B两点之间的距离为2016，并且A、B两点经折叠后重合，如果A点表示的数比B点表示的数大，则A点表示的数是多少？45．如图1在5×5的方格（每小格边长为1个单位长度）格点处有4只甲虫A、B、C、D，它们爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（+1，+3），从B到A的爬行路线为：B→A（﹣1，﹣3），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息，那么图中（1）A→C（，），B→D（，）；（2）若甲虫A的爬行路线为A→B→C→D（如左图），请计算甲虫A爬行的路程；（3）若甲虫A的爬行路线依次为（+2，+2），（+1，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），最终到达甲虫P处，请在图2标出甲虫A的爬行路线示意图及最终甲虫P的位置；若甲虫A向上爬行的速度为每秒0.5个单位长度，向下爬行的速度为每秒2个单位长度，向左或向右爬行的速度为每秒1个单位长度，请计算甲虫A 爬行的时间．46．计算下面各题（1）计算：+++…++（2）计算：1++++…+．47．（一）问题：你能比较两个数20102011和20112010的大小吗？为解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较n n+1和（n+1）n的大小（n为自然数），然后从简单情形入手，从中发现规律，经过归纳猜想出结论．（1）通过计算，比较下列各组数的大小：。

（七年级上册数学有理数培优50题一．填空题（共5小题）1．＝2．若|a|+|b|＝2，则满足条件的整数a、b的值有组．3．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是．4．如图，若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点或点．（填“A”、“B”“C”或“D”）5．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．二．解答题（共45小题）6．在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．7．阅读下面解题过程：计算：解：原式＝（第一步）＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步）＝（第三步）回答：1）上面解题过程中有两个错误，第一处是第步，错误的原因是，第二处是第步，错误的原因是；（ （2）正确的结果是．8．如图，已知数轴上的点A 表示的数为 6，点 B 表示的数为﹣4，点 C 是 AB 的中点，动点P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 x 秒（x＞0）．（1）当 x ＝秒时，点 P 到达点 A ．（2）运动过程中点 P 表示的数是（用含 x 的代数式表示）；（3）当 P ，C 之间的距离为 2 个单位长度时，求 x 的值．9．观察下列两个等式：3+2＝3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：我们称使等式 a +b ＝ab ﹣1 成立的一对有理数 a ，b 为“椒江有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（3，2），（4， ）都是“椒江有理数对”．（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是 ；（2）若（a ，3）是“椒江有理数对”，求 a 的值；（3）若（m ，n ）是“椒江有理数对”，则（﹣n ，﹣m ）“椒江有理数对” 填“是”、“不是”或“不确定”）．（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）10．计算：（﹣+1 ﹣ ）÷（﹣ ）×|﹣110﹣（﹣3）2|11．已知 a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，并且 x 的绝对值等于 2．试求：x 2﹣（a +b +cd ）+2（a +b ）的值．12．如图，A 、B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为﹣20，B 点对应的数为 100．（1）请写出与 A 、B 两点距离相等的点 M 所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁 P 从 B 点出发，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，你知道 C 点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发时，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？13．如图，点A、B都在数轴上，O为原点．（1）点B表示的数是；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．14．若“三角”表示运算：a﹣b+c，若“方框”，表示运算：x﹣y+z+w，求的值，列出算式并计算结果．15．对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．（1）计算2⊙（﹣4）的值；（2）若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a⊙b．16．乐乐的爸爸投资股票，有一次乐乐发现爸爸持有股票的情况如表格所示：请你帮助分析：乐乐爸爸究竟是赚了还是赔了，赚或赔了多少元？股票名称每股净赚（元）股数天河北斗白马海湖﹣22+1.5﹣4﹣（﹣2）5001000100050017．阅读下列内容，并完成相关问题：小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）❈（+2）＝+6；（﹣4）❈（﹣3）＝+7；（﹣5）❈（+3）＝﹣8；（+6）❈（﹣7）＝﹣13；（+8）❈0＝8；0❈（﹣9）＝9．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，．（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．举一个例子即可）”18．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题）①则数轴上数3表示的点与数表示的点重合．②若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则B点表示的数是．③若数轴上M、N两点之间的距离为2018，并且M、N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是．则N点表示的数是．19．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab+a﹣b，例如：1※2＝1×2+1﹣2＝1，（1）求3※（﹣5）的值；（2）若（﹣3）※b与b互为相反数，求b的值．20．已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，表示有理数dB ， 的点到原点的距离为 4，求 a ﹣b ﹣c +d 的值．21．阅读下列材料：点 A 、B 在数轴上分别表示两个数 a 、b ，A 、B 两点间的距离记为|AB|，O 表示原点．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 为原点，如图 1，则|AB|＝|OB|＝|b |＝|a ﹣b |；当 A 、B 两点都不在原点时，①如图 2，若点 A 、B 都在原点的右边时，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b |﹣|a|＝b ﹣a ＝|a ﹣b |；②如图 3，若点 A 、B 都在原点的左边时，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b |﹣|a|＝﹣b ﹣（﹣a ）＝|a﹣b |；③如图 4，若点 A 、B 在原点的两边时，|AB|＝|OB|+|OA|＝|b |+|a|＝﹣b +a ＝|a ﹣b |．回答下列问题：（1）综上所述，数轴上 A 、B 两点间的距离为|AB|＝．（2）若数轴上的点 A 表示的数为 3，点 B 表示的数为﹣4，则 A 、 两点间的距离为 ；（3）若数轴上的点 A 表示的数为 x ，点 B 表示的数为﹣2，则|AB|＝ ，若|AB|＝3，则 x 的值为．22．已知数轴上 A ，B 两点对应数分别为﹣2 和 5，P 为数轴上一点，对应数为 x ．（1）若 P 为线段 AB 的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点） 求 P点对应的数．（2）数轴上是否存在点 P ，使 P 点到 A 点，B 点距离和为 10？若存在，求出 x 值；若不存在，请说明理由．（3）若点 A ，点 B 和点 P （P 点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为 1，6，3 个长度单位/分，则第几分钟时，A ，B ，P 三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？23．已知|x|＝5，|y|＝3．（1）若 x ﹣y ＞0，求 x +y 的值；（2）若 xy ＜0，求|x ﹣y|的值；（3）求 x ﹣y 的值．24．解答下列问题：：（1）计算：6÷（﹣ + ）方方同学的计算过程如下：原式＝6÷（﹣ ）+6÷ ＝﹣12+18＝6．请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．（2）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）①999×（﹣15）；②999×118 +333×（﹣ ）﹣999×18 ．25．阅读材料，解答下列问题：例：当 a ＝5，则|a|＝|5|＝5，故此时 a 的绝对值是它本身；当 a ＝0 时，|a|＝0，故此时 a的绝对值是 0；当 a ＜0 时，如 a ＝﹣5，则|a|＝|5|＝﹣（5）＝5，故此时 a 的绝对值是它的相反数．综上所述，一个数的绝对值要分三种情况，即|a|＝这种分析方法涌透了数学中的分类讨论思想．请仿照图例中的分类讨论，解决下面的问题：（1）|﹣4+5|＝；|﹣ ﹣3|＝ ；（2）如果|x+1|＝2，求 x 的值；（3）若数轴上表示数 a 的点位于﹣3 与 5 之间，求|a +3|+|a ﹣5|的值；（4）当 a ＝时，|a ﹣1|+|a +5|+|a ﹣4|的值最小，最小值是 ．26．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米），﹣3，﹣4，+7，﹣5，+8，+3，﹣8．（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？（2）若汽车耗油量为 0.3 升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？27．定义一种新运算：a ⊕b ＝a ﹣b +ab ．（1）求（﹣2）⊕（﹣3）的值；（2）求 5⊕[1⊕（﹣2）]的值．28．在学习绝对值后，我们知道，a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示|5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是．（2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣3、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）；满足|x﹣3|+|x+2|＝7的x的值为．（3）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值．29．夫子庙派出所巡警骑摩托车在东西大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向东方向为正，当天行驶记录如下（单位：千米）+11，﹣9，7，﹣14，+8，﹣13，+4．①该巡警巡逻时离岗亭最远是千米．②在岗亭东面6千米处有个加油站，该巡警巡逻时经过加油站次．③A在岗亭何方？距岗亭多远？④若摩托车每行1千米耗油0.06升，那么该摩托车这天巡逻共耗油多少升？30．邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行3km到达A村，继续向南骑行2km到达B村，然后向北骑行8km到达C村，最后回到邮局，以邮局为原点，以向南方向为正方向，用1cm 表示1km，画出数轴如图．（1）在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；（2）C村离A村有km；（3）邮递员一共骑行了km；（4）如果邮递员骑行的速度为10千米/小时，在每个村庄停留10分钟，那么邮递员从出发到回到邮局一共用了多少小时？31．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点P从A出发，沿（AC 方向，以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动，设点 P 运动时间为 t 秒．（1）用含 t 的代数式表示点 P 到点 A 、C 的距离，PA ＝；PC ＝ ．（2）当点 P 运动到点 B 时，点 Q 从 C 点出发，沿 CA 方向，以每秒 3 个单位的速度向 A点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动．①当 t ＝，点 P 、Q 相遇，此时点 Q 运动了 秒．②请用含 t 的代数式表示出在 P 、Q 同时运动的过程中 PQ 的长．32．如图 A 在数轴上所对应的数为﹣2．（1）点 B 在点 A 右边距 A 点 4 个单位长度，求点 B 所对应的数；（2）在（1）的条件下，点 A 以每秒 2 个单位长度沿数轴向左运动，点 B 以每秒 2 个单位长度沿数轴向右运动，当点 A 运动到﹣6 所在的点处时，求 A ，B 两点间距离．（3）在（2）的条件下，现 A 点静止不动，B 点沿数轴向左运动时，经过多长时间 A ，B两点相距 4 个单位长度．33．随着手机的普及，微信（一种聊天软件）的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上，他原计划每天卖 100 斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）；星期与计划量一+4二﹣3 三﹣5 四+14五﹣8 六+21鈤﹣6的差值（1）根据记录的数据可知前三天共卖出斤；（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤；（3）本周实际销售总量达到了计划数量没有？（4）若冬季每斤按 8 元出售，每斤冬枣的运费平均 3 元，那么小明本周一共收入多少元？34．如图，半径为 1 个单位的圆片上有一点 A 与数轴上的原点重合，AB 是圆片的直径． 注：结果保留 π ）（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点 B 到达数轴上点 C 的位置，点 C 表示的数是数（填“无理”或“有理”），这个数是；（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是；（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3．①第次滚动后，A点距离原点最近，第次滚动后，A点距离原点最远．②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有，此时点A所表示的数是．35．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．（1）图中A→C（，），B→C（，），C→（+1，﹣2）；（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N →A应记为什么？36．某公路检修组乘汽车沿公路检修，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走的路程（单位：千米）为+10，﹣3，+4，﹣2，﹣8，+13，﹣2，﹣11，+7，+5．（1）问收工时相对A地是前进了还是后退了？距A地多远？（2）若检修组最后回到了A地且每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？37．我们定义一种新运算：△a b＝a﹣b+ab．3 2）（1）求 △2 （﹣）的值；（2）求（﹣△5） △[1 （﹣ ]的值．38．学校图书馆平均每天借出图书 50 册，如果某天借出 53 册，就记作+3；如果某天借出40 册，就记作﹣10．上星期图书馆借出图书记录如表：星期一0 星期二+8 星期三+6星期四﹣2 星期五﹣7（1）上期五借出图书多少册？（2）上星期二比上星期五多借出图书多少册？（3）上星期平均每天借出图书多少册？39．已知，如图 A 、B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为﹣10，B 点对应的数为 70（1）请写出 AB 的中点 M 对应的数（2）现在有一只电子蚂蚁 P 从 A 点出发，以 3 个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 B 点出发，以 2 个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C 点相遇，请你求出 C 点对应的数（3）若当电子蚂蚁 P 从 A 点出发，以 3 个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 B 点出发，以 2 单位/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距 35 个单位长度，并写出此时 P 点对应的数．40．一辆交通巡逻车在南北公路上巡视，某天早上从 A 地出发，中午到达 B 地，行驶记录如下（规定向北为正方向，单位：千米）：+15，﹣8，+6，+12，﹣8，+5，﹣10．回答下列问题：（1）B 地在 A 地的什么方向？与 A 地相距多远？（2）巡逻车在巡逻中，离开 A 地最远多少千米？（3）巡逻车行驶每千米耗油 a 升，这半天共耗油多少升？41．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 2③，读作“2 的圈 3 次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3 的圈 4 次方”，一般地，把 （a ≠0）记作 a ，读作“a 的圈 n 次方”．+，【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③＝，（﹣ ）⑤＝ ；（2）关于除方，下列说法错误的是A ．任何非零数的圈 2 次方都等于 1；B ．对于任何正整数 n ，1 ＝1；C ．3④＝4③；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝ ；（﹣ ）⑩＝ ．（2）想一想：将一个非零有理数 a 的圈 n 次方写成幂的形式等于；（3）算一算：122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣ ）⑥÷33．42．若|a|＝5，|b |＝2，且 a ＜b ，求 a ﹣b 的值．43．观察下列等式： ＝1﹣ ， ＝ ﹣ ， ＝ ﹣ ，把以上三个等式两边分别相加得： + + ＝1﹣ + ﹣ + ﹣（1）猜想并写出：＝．（2）规律应用：计算： + +++ +（3）拓展提高：计算：+ +…+．44．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）操作一：（1）折叠纸面，使表示的1 点与﹣1 表示的点重合，则﹣3 表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使﹣1 表示的点与 3 表示的点重合，回答以下问题：①5 表示的点与数表示的点重合；b ：② 若数轴上 A 、B 两点之间距离为 11，（A 在 B 的左侧），且 A 、B 两点经折叠后重合，求 A 、B 两点表示的数是多少．45．阅读下面材料：点 A 、B 在数轴上分别表示实数 a 、 ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB|．当 A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图 1，|AB|＝|OB|＝|b |＝|a ﹣b |；当 A 、B 两点都不在原点时，如图 2，点 A 、B 都在原点的右边|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b |﹣|a|＝b ﹣a ＝|a ﹣b |；如图 3，点 A 、B 都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b |﹣|a|＝﹣b ﹣（﹣a ）＝|a ﹣b |；如图 4，点 A 、B 在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b |＝a +（﹣b ）＝|a ﹣b |；回答下列问题：（1）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2 和﹣5 的两点之间的距离是，数轴上表示 1 和﹣3 的两点之间的距离是．（2）数轴上表示 x 和﹣1 的两点 A 和 B 之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么 x为；（3）当代数式|x +1|+|x ﹣2|取最小值时，相应的 x 的取值范围是．46．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车 100 辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）星期与计划量的差值一+4二﹣3 三﹣5 四+14五﹣8 六+21 日﹣6（1）根据记录的数据可知该店前三天共销售该品牌儿童滑板车辆；（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售辆；（ （3）本周实际销售总量达到了计划数量没有？（4）该店实行每日计件工资制，每销售一辆车可得 40 元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖 15 元；少销售一辆扣 20 元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？47．求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 2③，读作“2 的圈 3次方”， ﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3 的圈 4 次方”．一般地，把（a ≠0）记作 ，读作“a 的圈 n 次方”．（1）直接写出计算结果：2③＝，（﹣3）④＝，（﹣ ）⑤＝；（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈 n 次方等于；（3）计算 24÷23+（﹣8）×2③．48．已知 a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且 a ≠0，那么 3a +3b + ﹣cd 的值是多少？49．已知（|x +1|+|x ﹣2|）（|y ﹣2）|+|y+1|）（|z ﹣3|+|z+1|）＝36，求 2016x+2017y+2018z 的最大值和最小值50．已知 a 2＝9，|b |＝5，且 a ＜b ，求 a ﹣b 的值．（七年级上册数学有理数培优 50 题参考答案与试题解析一．填空题（共 5 小题）1．【解答】解：＝＝＝＝，故答案为：＝．2．若|a|+|b |＝2，则满足条件的整数 a 、b 的值有8 组．【解答】解：∵|a|+|b |＝2，∴|a|＝0，|b |＝2 或|a|＝1|b |＝1，或|a|＝2，|b |＝0，∴a ＝0，b ＝2；a ＝0，b ＝﹣2；a ＝1，b ＝1；a ＝1，b ＝﹣1；a ＝﹣1，b ＝1；a ＝﹣1，b＝﹣1；a ＝﹣2，b ＝0；a ＝2，b ＝0，故答案为：8．3．已知 a ，b ，c ，d 分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a ﹣b |+|b ﹣c|+|c ﹣d |+|d ﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 1119 ．【解答】解：若使|a ﹣b |+|b ﹣c|+|c ﹣d |+|d ﹣a|的值最大，则最低位数字最大 d ＝9，最高位数字最小 a ＝1 即可，同时为使|c ﹣d |最大，则 c 应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故 c 为 1，此时 b 只能为 1．所以此数为 1119．故答案为 1119．4．如图，若数轴上 a 的绝对值是 b 的绝对值的 3 倍，则数轴的原点在点C 或点D ．填“A ”、“B ”“C ”或“D ”）|【解答】解：由图示知，b ﹣a ＝4，①当 a ＞0，b ＞0 时，由题意可得|a|＝3|b |，即 a ＝3b ，解得 a ＝﹣6，b ＝﹣2，舍去；②当 a ＜0，b ＜0 时，由题意可得|a|＝3|b |，即 a ＝3b ，解得 a ＝﹣6，b ＝﹣2，故数轴的原点在 D 点；③当 a ＜0，b ＞0 时，由题意可得 a |＝3|b |，即﹣a ＝3b ，解得 a ＝﹣3，b ＝1，故数轴的原点在 C 点；综上可得，数轴的原点在 C 点或 D 点．故填 C 、D ．5．|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|的值为．【解答】解：当 x ≤﹣1 时，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|＝﹣x ﹣1﹣x +2﹣x +3＝﹣3x +4；当﹣1＜x ≤2 时，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|＝x +1﹣x +2﹣x +3＝﹣x +6；当 2＜x ≤3 时，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|＝x +1+x ﹣2﹣x +3＝x +2；当 x ＞3 时，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|＝x +1+x ﹣2+x ﹣3＝3x ﹣4．综上所述，|x +1|+|x ﹣2|+|x ﹣3|的值为．故答案为： ．二．解答题（共 45 小题）6．在一个 3×3 的方格中填写了 9 个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的 3×3 的方格称为一个三阶幻方．（1）在图 1 中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；（2）如图 2 的方格中填写了一些数和字母，当 x +y 的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．【解答】解：（1）2+3+4＝9，9﹣6﹣4＝﹣1，9﹣6﹣2＝1，9﹣2﹣7＝0，9﹣4﹣0＝5，如图所示：（2）﹣3+1﹣4＝﹣6，﹣6+1﹣（﹣3）＝﹣2，﹣2+1+4＝3，如图所示：x＝3﹣4﹣（﹣6）＝5，y＝3﹣1﹣（﹣6）＝8，x+y＝5+8＝13．7．阅读下面解题过程：计算：解：原式＝（第一步）＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步）＝（第三步）回答：（1）上面解题过程中有两个错误，第一处是第一步，错误的原因是在同级运算中，没有按从左到右的顺序进行，第二处是第三步，错误的原因是同号两数相除，结果为正（事实上结果应为正数）；（2）正确的结果是．【解答】解：正确做法：原式＝（第一步）＝15××6（第二步）＝（第三步）．故答案为：（1）一，在同级运算中，没有按从左到右的顺序进行，二，同号两数相除，结果为正（事实上结果应为正数）；（2）．8．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x ＞0）．（1）当x＝5秒时，点P到达点A．（2）运动过程中点P表示的数是2x﹣4（用含x的代数式表示）；（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值．【解答】解：（1）∵数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，∴AB＝10，∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴运动时间为10÷2＝5（秒），故答案为：5；（2）∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴运动过程中点P表示的数是：2x﹣4；故答案为：2x﹣4；（3）点C表示的数为：[6+（﹣4）]÷2＝1，当点P运动到点C左侧2个单位长度时，2x﹣4＝1﹣2解得：x＝1.5，当点P运动到点C右侧2个单位长度时，2x﹣4＝1+2解得：x＝3.5综上所述，x＝1.5或3.5．9．观察下列两个等式：3+2＝3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：我们称使等式a+b＝ab﹣1成立的一对有理数a，b为“椒江有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），（4，）都是“椒江有理数对”．（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是（5，）；（2）若（a，3）是“椒江有理数对”，求a的值；（3）若（m，n）是“椒江有理数对”，则（﹣n，﹣m）不是“椒江有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）．（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”（6，1.4）（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）【解答】解：（1）﹣2+1＝﹣1，﹣2×1﹣1＝﹣3，∴﹣2+1≠﹣2×1﹣1，∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”，∵5+＝，5×﹣1＝，∴5+＝5×﹣1，∴（5，）中是“椒江有理数对”；（2）由题意得：a+3＝3a﹣1，解得a＝2．（3）不是．理由：﹣n+（﹣m）＝﹣n﹣m，﹣n•（﹣m）﹣1＝mn﹣1∵（m，n）是“椒江有理数对”∴m+n＝mn﹣1∴﹣n﹣m＝﹣（mn﹣1）＝﹣（﹣n）×（﹣m）+1＝﹣[（﹣n）×（﹣m）﹣1]，∴（﹣n，﹣m）不是“椒江有理数对”，（4）（6，1.4）等．故答案为：（5，）；不是；（6，1.4）．10．计算：（﹣+1﹣）÷（﹣）×|﹣110﹣（﹣3）2|【解答】解：原式＝（﹣+﹣）×（﹣42）+×|﹣1﹣9|＝27﹣54+10+×10＝﹣17+15＝﹣2．11．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且x的绝对值等于2．试求：x2﹣（a+b+cd）+2（a+b）的值．【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，∴a+b＝0，cd＝1，x＝±2，∴原式＝4﹣（0+1）+2×0＝4﹣1+0＝3．12．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？【解答】解：（1）M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40；（2）它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒），即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位），即从数﹣20向右运动48个单位到数28；（3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒），相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）．故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．13．如图，点A、B都在数轴上，O为原点．（1）点B表示的数是﹣4；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是0；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．【解答】解：（1）点B表示的数是﹣4；（2）2秒后点B表示的数是﹣4+2×2＝0；（3）①当点O是线段AB的中点时，OB＝OA，4﹣3t＝2+t，解得t＝0.5；②当点B是线段OA的中点时，OA＝2OB，2+t＝2（3t﹣4），解得t＝2；③当点A是线段OB的中点时，OB＝2OA，3t﹣4＝2（2+t），解得t＝8．综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8．故答案为：﹣4；0．14．若“三角”表示运算：a﹣b+c，若“方框”，表示运算：x﹣y+z+w，求的值，列出算式并计算结果．【解答】解：根据题意得：原式＝（﹣+）×（﹣2﹣1.5+1.5﹣6）＝（﹣（﹣8）＝．15．对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．（1）计算2⊙（﹣4）的值；（2）若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a⊙b．）×【解答】解：（1）2⊙（﹣4）＝|2﹣4|+|2+4|＝2+6＝8；（2）由数轴知a＜0＜b，且|a|＞|b|，则a+b＜0、a﹣b＜0，所以原式＝﹣（a+b）﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a．16．乐乐的爸爸投资股票，有一次乐乐发现爸爸持有股票的情况如表格所示：请你帮助分析：乐乐爸爸究竟是赚了还是赔了，赚或赔了多少元？股票名称每股净赚（元）股数天河北斗白马海湖﹣22+1.5﹣4﹣（﹣2）50010001000500【解答】解：﹣22×500+1.5×1000﹣4×1000﹣（﹣2）×500＝﹣2000+1500﹣4000+1000＝﹣3500，答：乐乐的爸爸赔了，赔了3500元．17．阅读下列内容，并完成相关问题：小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）❈（+2）＝+6；（﹣4）❈（﹣3）＝+7；（﹣5）❈（+3）＝﹣8；（+6）❈（﹣7）＝﹣13；（+8）❈0＝8；0❈（﹣9）＝9．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都得这个数的绝对值．（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．举一个例子即可）”【解答】解：（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都得这个数的绝对值，故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值．（2）原式＝（﹣5）❈12＝﹣17；（3）加法的交换律仍然适用，例如：（﹣3）❈（﹣5）＝8，（﹣5）❈（﹣3）＝8，所以（﹣3）❈（﹣5）＝（﹣5）❈（﹣3），。

有理数及其运算培优题库31．若|a﹣2|+（﹣b）2＝0，则b a＝．2．已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2）|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值3．已知a2＝9，|b|＝5，且a＜b，求a﹣b的值．4．计算：（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）（2）（﹣3）×（﹣4）﹣48÷|﹣6|（3）（﹣24）×（﹣﹣）（4）﹣12+×[6﹣（﹣3）2]5．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为3，求（a+b）cd+﹣m2的值．6．在数轴上表示数：22，﹣2，﹣12，1，0，﹣1.5，并将它们用“＜“连接起来．7．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：2|a+b|﹣3|a﹣c|+2|c﹣b|8．阅读探究：12＝；12+22＝；12+22+32＝；12+22+32+42＝；…（1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；（2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+102+112+122+132+142+152．9．已知a、b互为相反数，m、n互为倒数（m、n都不等于±1），x的绝对值为2，求的值．10．已知a是最大的负整数，且b、c满足|b﹣1|+（c+4）2＝0．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，P是数轴上点A、B之间一动点（不与点A、B重合），其对应的数为x，化简：|x+1|﹣2|x﹣1|；（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上同时运动，若点C和点A分别以每秒4个单位长度和1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，点A与点C 之间的距离表示为AC，点A与B之间的距离表示为AB．请问：AC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．11．已知在纸面上有一数轴（如图所示）．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可用|m﹣n|表示（1）①数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是②如果表示数a与﹣2的两点之间的距离是4，那么a＝③若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值是（2）①5﹣|x+3|有最大值是．②|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是．12．规定一种新运算“※”，即a※b＝a2﹣（1+b），例如1※2＝12﹣（1+2）＝﹣2，根据规定完成下列问题：（1）求3※（﹣2）的值；（2）求（﹣1）※[3※（﹣2）]的值．13．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+4|+（b﹣1）2＝0，A、B之间距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|．（1）求线段AB的长|AB|；（2）设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|﹣|PB|＝3时，求x的值．14．已知三个有理数a，b，c，其积是负数，其和是正数，当时，求代数式x2017﹣2x+2的值．15．（1）已知|x+2|+|y﹣3|＝0，求﹣x﹣y+4xy的值．（2）一只猴子沿一条东西方向的木棒爬行，先以5米/秒的速度向东爬行，然后以2.4米/秒的速度向西爬行，试求它向东爬行2秒，又向西爬行5秒后与出发点的距离及方向．16．阅读下列材料：|x|＝，即当x＜0时，＝﹣1．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，求的值；（2）已知a，b是有理数，当abc≠0时，求的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．17．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是；（2）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8①第几次滚动后，大圆离原点最远？②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．18．如图所示，丁丁做了一个程序图，按要求完成下列问题．（1）当丁丁输入的数为6时，求输出的结果n；（2）若丁丁某次输入数m后，输出的结果n为﹣5.5．请你写出m可能的2个值．19．王老师在一节数学课上讲解了二道例题：请你参考黑板上王老师的讲解，用运算律简便计算：（1）99×15；（2）999×118+999×（﹣）﹣999×．20．如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣2，点B对应的数是10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．（1）A、B两点之间的距离为；（2）当t＝1时，P、B两点之间的距离为；（3）在运动过程中，线段PB、BQ、PQ中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由．21．当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，求相应x的取值范围，并求出最小值．22．若我们定义a*b＝4ab﹣（a+b），其中符号“*”是我们规定的一种运算符号．例如：6*2＝4×6×2﹣（6+2）＝40．依据以上内容，求下列式子的值．（1）（﹣4）*（﹣2）；（2）（﹣1）*2．23．已知|a+3|+|b﹣5|＝0，x，y互为相反数，求3（x+y）﹣a+2b的值．24．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记作aⓝ读作“a的圈n次方”【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③＝，＝（2）关于除方，下列说法错误的是A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1C.3③＝4③D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝；5⑥＝；＝10 ⑩＝（4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是（5）算一算：．25．有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示，．（1）化简|a+1|；（2）化简：|b﹣1|；（3）化简：|ab﹣1|；（4）化简：|a﹣b﹣1|+|a+b+1|．26．计算：（1）11+（﹣18）﹣12﹣（﹣19）（2）（﹣5）×6+（﹣125）÷（﹣5）（3）﹣22×（）+8÷（﹣2）2（4）．27．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是；（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．28．如果|a+1|+（b﹣2）2＝0，求（a+b）2009+a2008的值．29．规定一种新的运算：a*b＝ab﹣a﹣b+1，如3*4＝3×4﹣3﹣4+1＝6，试求x*y的值，其中其中x和y满足（x+2）2+|3﹣y|＝0．30．已知a，b是有理数，且a，b异号，试比较|a+b|，|a﹣b|，|a|+|b|的大小关系．31．已知|2a﹣2|+|3b﹣1|+|c+4|＝0，求﹣2a+6b+2c的值．32．已知|a|＝2，|b|＝5，且ab＜0，求3a﹣2b的值．33．国庆节放假时，小华一家三口一起乘小轿车去乡下探望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出发，向东走了4千米到超市买东西，然后又向东走了3千米到爷爷家，中午从爷爷家出发向西走了12千米到外公家，晚上返回家里．（1）若以家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和外公家的位置在下面数轴上分别用点A、B、C表示出来；（2）问超市A和外公家C相距多少千米？（3）若小轿车每千米耗油0.09升，求小明一家从出发到返回家所经历路程小车的耗油量．（精确到0.1升）34．如果有理数a、b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求…的值．35．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则．综上所述，值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值；（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．36．如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b、c的值；（2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数；（3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．37．阅读理解：|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么|a﹣1|可以看作是a这个数在数轴上对应的点到1的距离：|a﹣1|+|a2|就可以看作是a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值，我们先看a表示的点可能的三种情况：（1）a 点在1的左边；（2）a点在1、2之间（包括在1、2上）；（3）a点在2的右边．（1）a在1的左边，从图中很明显看出a到1和2的距离和明显大于1；（2）a点在1、2之间（包括在1、2上）可以看出a到1和2的距离和等于1；（3）a在2的右边，从图中很明显看出a到1和2的距离和明显大于1；那么我们可以得到当a在1、2之间（包括在1、2上）时，|a﹣1|+|a﹣2|有最小值的结论．问题解决：（1）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的几何意义是．（2）请你结论数轴探究|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是；并在数轴上描出得到最小值时a所在的位置．深入探究：通过材料的飞分析和问题的解决，你现在对|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|…求最小值问题有所了解吗？找到a点在数轴上的位置可以帮助我们顺利解决问题，下面你自己再结合数轴算一算|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值是．（3）求|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|…+|a﹣2017|的最小值．38．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、党校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东400m 处，商场在学校西200m处，医院在学校东600m处，若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示100m．（1）在数轴上表示四家公共场所的位置．（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．39．一天，小天和小海利用温差来测量山峰的高度．小海在山脚测得气温是4℃，小天同时在山顶测得气温是2℃，已知该地区高度每升高100米，气温下降8℃，问这个山峰有多高？40．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，e是绝对值最小的有理数，求的值．41．已知|2x﹣1|+（y+2）2＝0，求（xy）2016．42．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m是绝对值为4的负数，求a++（cd）2017﹣m的值．43．现规定一种运算“*”，对于a、b两数有：a*b＝a b﹣2ab，试计算（﹣3）*2的值．44．已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是最小的正整数，求代数式2017（a+b）﹣3cd+2m的值．45．如果|a+1|+（b﹣2）2＝0，求（a+b）2011+a2010﹣（3ab﹣a）的值．46．小明的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D，学校位于小明家西边150米，邮局位于小明家东边100米，图书馆位于学校西边250米．（1）用数轴表示A、B、C、D的位置（以小明家为原点）（2）一天小明从家里先去邮局寄信后，以每分钟50米的速度往图书馆方向走了8分钟，试问小明此时的位置在何处？到图书馆和学校的距离分别是多少米？47．邮递员骑摩托车车从邮局出发，先向西骑行3千米到达A村，继续向西骑行3千米到达B村，然后向东骑行10千米到达C村，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1千米表示1个单位长度，画出数轴，并在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；（2）C村离A村的路程有多远？（3）邮递员骑摩托车，每千米耗油0.05升，一共耗油了多少升？48．先阅读，后探究相关的问题．【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B 和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为；如果|AB|＝3，那么x为．（3）若点A表示的整数为x，则当x为时，|x+4|与|x﹣2|的值相等．（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是．49．对于有理数a，b，定义新运算：a△b＝．如果|x+1|+|y﹣3|+|xz+2|＝0，求x△（y△z）的值．50．如图，用粗线在数轴上表示了一个“范围”，这个“范围”包含所有大于1且小于2的数（数轴上1与2这两个数的点空心，表示这个范围不包含数1和2）．请你在数轴上表示出一个范围，使得这个范围；（1）包含所有大于﹣3且小于0的数[画在数轴（1）上]；（2）包含﹣1.5、π这两个数，且只含有5个整数[画在数轴（2）上]；（3）同时满足以下三个条件：[画在数轴（3）上]①至少有100对互为相反数和100对互为倒数；②有最小的正整数；③这个范围内最大的数与最小的数表示的点的距离大于3但小于4．参考答案1．若|a﹣2|+（﹣b）2＝0，则b a＝．【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：根据题意得：，解得：，则原式＝．故答案是：．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．2．已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2）|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值【分析】先讨论：|x+1|+|x﹣2|、|y﹣2|+|y+1|、|z﹣3|+|z+1|的最小值，根据它们的积是36，分别得到|x+1|+|x﹣2|、|y﹣2|+|y+1|、|z﹣3|+|z+1|的值，再讨论x、y、z的最大最小值，代入计算出代数式的最大值和最小值．【解答】解：∵|x+1|+|x﹣2|≥3，（|y﹣2|+|y+1|）≥3，（|z﹣3|+|z+1|）≥4，又∵（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，∴|x+1|+|x﹣2|＝3，|y﹣2|+|y+1|＝3，|z﹣3|+|z+1|＝4，当|x+1|+|x﹣2|＝3时，x最小取﹣1，最大取2，当|y﹣2|+|y+1|＝3时，y最小取﹣1，最大取2，当|z﹣3|+|z+1|＝4时，z最小取﹣1，最大取3所以2016x+2017y+2018z的最大值为：2016×2+2017×2+2018×3＝14120，2016x+2017y+2018z的最小值为：2016×（﹣1）+2017×（﹣1）+2018×（﹣1）＝﹣6051【点评】本题考查了绝对值的意义，主要运用了分类讨论的思想．解决本题的关键是根据积得到各个绝对值的和分别是多少．3．已知a2＝9，|b|＝5，且a＜b，求a﹣b的值．【分析】利用算术平方根，绝对值的性质求出a、b的值即可解决问题；【解答】解：∵a2＝9，|b|＝5，∴a＝±3，b＝±5，∵a＜b，∴a＝3，b＝5或a＝﹣3，b＝5，∴a﹣b＝3﹣5＝﹣2或a﹣b＝﹣3﹣5＝﹣8【点评】本题考查有理数的乘方、绝对值、有理数的加法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．计算：（1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）（2）（﹣3）×（﹣4）﹣48÷|﹣6|（3）（﹣24）×（﹣﹣）（4）﹣12+×[6﹣（﹣3）2]【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可求出值；（2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值；（3）原式利用乘法分配律计算即可求出值；（4）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝﹣20+3+5﹣7＝﹣27+8＝﹣19；（2）原式＝12﹣8＝4；（3）原式＝﹣12+40+9＝37；（4）原式＝﹣1+×（﹣3）＝﹣1﹣1＝﹣2．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为3，求（a+b）cd+﹣m2的值．【分析】利用相反数性质，倒数的定义，绝对值的代数意义求出a+b，cd，m的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝1，m＝3或﹣3，∴原式＝0×1+0﹣9＝﹣9．【点评】此题考查了代数式求值，相反数，绝对值以及倒数的综合运用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．6．在数轴上表示数：22，﹣2，﹣12，1，0，﹣1.5，并将它们用“＜“连接起来．【分析】先计算22，﹣12的值，再把各点表示在数轴上，最后用“＜”连接各数．【解答】解：因为22＝4，﹣12＝﹣1，如图所示：用“＜“连接起来为：﹣2＜﹣1.5＜﹣12＜0＜1＜22．【点评】考查了有理数大小比较，本题难度不大，注意在数轴上表示的数和用不等号连接的数需是题目中给出的数．7．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：2|a+b|﹣3|a﹣c|+2|c﹣b|【分析】先通过点在数轴上的位置，先判断a、b、c的正负，再根据加法法则、减法法则判断a+b、a﹣c、c﹣b的正负，最后利用绝对值的意义对代数式化简．【解答】解：由有理数a、b、c在数轴上的位置知：a＜0＜b＜c，|a|＞|b|因为|a|＞|b|，a＜0，b＞0所以﹣a＞b，即﹣a﹣b＞0所以a+b＜0因为a＜0＜b＜c所以a﹣c＜0，c﹣b＞0．所以2|a+b|﹣3|a﹣c|+2|c﹣b|＝2×（﹣a﹣b）﹣3（c﹣a）+2（c﹣b）＝﹣2a﹣2b﹣3c+3a+2c﹣2b＝a﹣4b﹣c【点评】本题考查了数轴、绝对值的有关内容，解决本题的关键是通过数轴，利用加减法法则判断a+b、a ﹣c、c﹣b的正负．8．阅读探究：12＝；12+22＝；12+22+32＝；12+22+32+42＝；…（1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；（2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+102+112+122+132+142+152．【分析】（1）仿照阅读材料中的方法计算即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式利用得出的规律计算即可求出值．【解答】解：（1）根据题意得：原式＝＝55；（2）根据题意得：12+22+32+…+n2＝（n为正整数）；（3）根据题意得：12+22+32+42+52＝55②，12+22+32+42+52+62+72+82+92+102+112+122+132+142+152＝＝1240②，则②﹣①得：62+72+82+92+102+112+122+132+142+152＝1185．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．已知a、b互为相反数，m、n互为倒数（m、n都不等于±1），x的绝对值为2，求的值．【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义计算求出各自的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：a+b＝0，mn＝1，x＝2或﹣2，则原式＝﹣2+0﹣4＝﹣6．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．已知a是最大的负整数，且b、c满足|b﹣1|+（c+4）2＝0．（1）填空：a＝﹣1 ，b＝ 1 ，c＝﹣4 ；（2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，P是数轴上点A、B之间一动点（不与点A、B重合），其对应的数为x，化简：|x+1|﹣2|x﹣1|；（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上同时运动，若点C和点A分别以每秒4个单位长度和1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，点A与点C 之间的距离表示为AC，点A与B之间的距离表示为AB．请问：AC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得b﹣1＝0，c+4＝0，进而可得答案；（2）根据a、b、c的值可得x+1＞0，x﹣1＜0，然后再利用绝对值的性质取绝对值合并同类项即可；（3）根据题意可得A、B、C三点对应的数字，然后表示出AC、AB的长，进而可得AC﹣AB的值是常数．【解答】解：（1）∵a是最大的负整数，∴a＝﹣1，∵|b﹣1|+（c+4）2＝0，∴b﹣1＝0，c+4＝0，∴b＝1，c＝﹣4．（2）由题意可知：﹣1＜x＜1，所以x+1＞0，x﹣1＜0，所以：|x+1|﹣2|x﹣1|＝x+1+2x﹣2＝3x﹣1．（3）由题意可知：A点对应的数字：﹣1﹣t；B点对应的数字：1+2t；C点对应的数字：﹣4﹣4t，所以AC＝﹣1﹣t﹣（﹣4﹣4t）＝3t+3，AB＝1+2t﹣（﹣1﹣t）＝3t+2，所以AC﹣AB＝3t+3﹣3t﹣2＝1．故答案为：﹣1；1；﹣4．【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解AB，AC的变化情况是关键．11．已知在纸面上有一数轴（如图所示）．一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可用|m﹣n|表示（1）①数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是 5②如果表示数a与﹣2的两点之间的距离是4，那么a＝﹣6或2③若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值是 6（2）①5﹣|x+3|有最大值是 5 ．②|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是 1 ．【分析】（1）①根据题意可以求得﹣3和2两点之间的距离；②根据题意可以列出相应的式子，从而可以求得a的值；③根据题意可以求得|a+4|+|a﹣2|的值；（2）①根据绝对值的定义可以求得题目中式子的最大值；②利用分类讨论的数学思想可以解答本题．【解答】解：（1）①数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）＝5，故答案为：5；②表示数a与﹣2的两点之间的距离是4，则|a﹣（﹣2）|＝4，解得，a＝2或a＝﹣6，故答案为：﹣6或2；③由题意可得，﹣4＜a＜2，∴|a+4|+|a﹣2|＝a+4+2﹣a＝6，故答案为：6；（2）①∵|x+3|≥0，∴5﹣|x+3|≤5，故答案为：5；②当x＞5时，|x﹣4|+|x﹣5|＝x﹣4+x﹣5＝2x﹣9＞1，当4≤x≤5时，|x﹣4|+|x﹣5|＝x﹣4+5﹣x＝1，当x＜4时，|x﹣4|+|x﹣5|＝4﹣x+5﹣x＝9﹣2x＞1，∴|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是1，故答案为：1．【点评】本题考查数轴、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答．12．规定一种新运算“※”，即a※b＝a2﹣（1+b），例如1※2＝12﹣（1+2）＝﹣2，根据规定完成下列问题：（1）求3※（﹣2）的值；（2）求（﹣1）※[3※（﹣2）]的值．【分析】（1）原式利用已知的新定义计算即可求出值；（2）原式利用已知的新定义计算即可求出值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：3※（﹣2）＝32﹣[1+（﹣2）]＝9+1＝10；（2）（﹣1）※[3※（﹣2）]＝1﹣10＝﹣9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+4|+（b﹣1）2＝0，A、B之间距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|．（1）求线段AB的长|AB|；（2）设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|﹣|PB|＝3时，求x的值．【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值即可解决问题；（2）列出绝对值方程，分区间讨论区间即可；【解答】解：（1）∵|a+4|+（b﹣1）2＝0，∴a＝﹣4，b＝1，∴AB＝|﹣4﹣1|＝5．（2）由题意：|x﹣（﹣4）|﹣|x﹣1|＝3，∴|x+4|﹣|x﹣1|＝3，当x＜﹣4时，﹣x﹣4+x﹣1＝3，不合题意，当﹣4≤x＜1时，x+4+x﹣1＝3，解得x＝0，当x≥1时，x+4﹣x+1＝3，不符合题意，∴x＝0．【点评】本题考查数轴、非负数的性质、绝对值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．已知三个有理数a，b，c，其积是负数，其和是正数，当时，求代数式x2017﹣2x+2的值．【分析】根据积是负数得出a，b，c均≠0，且a，b，c全为负数或一负两正，根据和为正数得出a，b，c 一负两正，求出x值，即可求出答案．【解答】解：∵三个有理数a、b、c，其积是负数，∴a，b，c均≠0，且a，b，c全为负数或一负两正，∵其和是正数，∴a，b，c一负两正，∴＝1+1﹣1＝1时，代数式x2017﹣2x+2＝12017﹣2×1+2＝1．【点评】本题考查了绝对值，有理数的加法、乘法、除法的应用，关键是求出x的值．15．（1）已知|x+2|+|y﹣3|＝0，求﹣x﹣y+4xy的值．（2）一只猴子沿一条东西方向的木棒爬行，先以5米/秒的速度向东爬行，然后以2.4米/秒的速度向西爬行，试求它向东爬行2秒，又向西爬行5秒后与出发点的距离及方向．【分析】（1）先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入代数式计算即可．（2）设向东为正，然后列出算式，再根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：（1）∵|x+2|+|y﹣3|＝0，|x+2|≥0，|y﹣3|≥0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，解得x＝﹣2，y＝3，∴﹣x﹣y+4xy＝5﹣5﹣24＝﹣24；（2）设向东为正，根据题意得3×2.5+5×（﹣2.5）＝（3﹣5）×2.5＝﹣2×2.5＝﹣5（米），即小虫距出发点西边5米处．【点评】（1）本题考查的是代数式求值、绝对值的概念、非负数的性质的知识．（2）考查了有理数的乘法，正、负数的意义，设向东为正，然后列出算式是解题的关键．16．阅读下列材料：|x|＝，即当x＜0时，＝﹣1．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，求的值；（2）已知a，b是有理数，当abc≠0时，求的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．【分析】（1）对a、b进行讨论，即a、b同正，a、b同负，a、b异号，根据绝对值的意义计算+得到结果；（2）对a、b、c进行讨论，即a、b、c同正、同负、两正一负、两负一正，然后计算++得结果；（3）根据a，b，c是有理数，a+b+c＝0，把求转化为求++的值，根据abc ＜0得结果．【解答】解：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，①a＜0，b＜0，+＝﹣1﹣1＝﹣2；②a＞0，b＞0，+＝1+1＝2；③a，b异号，+＝0．故+的值为±2或0．（2）已知a，b是有理数，当abc≠0时，①a＜0，b＜0，c＜0，++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a＞0，b＞0，c＞0，++＝1+1+1＝3；③a，b，c两负一正，++＝﹣1﹣1+1＝﹣1；④a，b，c两正一负，++＝﹣1+1+1＝1．故++的值为±1，或±3．（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0．所以b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a，b，c两正一负，所以++＝++＝﹣[++]＝﹣1．【点评】本题考查了有理数的加法、绝对值的化简，解决本题的关键是对a、b、c的分类讨论．注意＝±1（x＞0，结果为1，x＜0，结果为﹣1）17．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是﹣4π；（2）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8①第几次滚动后，大圆离原点最远？②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留π）（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距9π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．【分析】（1）该圆与数轴重合的点所表示的数的绝对值，就是大圆的周长；（2）①分别计算出第几次滚动后，大圆离原点的距离，比较作答；②先计算总路程，因为小圆不动，计算各数之和为﹣10，即大圆最后的落点为原点左侧，向左滚动10秒，距离为20π；（3）分四种情况进行讨论：大圆和小圆分别在同侧，异侧时，表示出各自与数轴重合的点所表示的数．根据两圆与数轴重合的点之间相距9π列等式，求出即可．【解答】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是﹣2π•2＝﹣4π；（2）①第1次滚动后，|﹣1|＝1，第2次滚动后，|﹣1+2|＝1，第3次滚动后，|﹣1+2﹣4|＝3，第4次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2|＝5，第5次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3|＝2，第6次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8|＝10，则第6次滚动后，大圆离原点最远；②1+2+4+3+2+8＝20，20×2π＝40π，﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8＝﹣10，∴当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有40π，此时两圆与数轴重合的点之间的距离是20π；（3）设时间为t秒，分四种情况讨论：i）当两圆同向右滚动，由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：2πt，小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt，2πt﹣πt＝9π，2t﹣t＝9，t＝9，2πt＝18π，πt＝9π，则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为18π、9π．ii）当两圆同向左滚动，由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：﹣2πt，小圆与数轴重合的点所表示的数：﹣πt，﹣πt+2πt＝9π，﹣t+2t＝9，t＝9，﹣2πt＝﹣18π，﹣πt＝﹣9π，则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣18π、﹣9π．iii）当大圆向右滚动，小圆向左滚动时，同理得：2πt﹣（﹣πt）＝9π，3t＝9，t＝3，2πt＝6π，﹣πt＝﹣3π，则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为6π、﹣3π．iiii）当大圆向左滚动，小圆向右滚动时，同理得：πt﹣（﹣2πt）＝9π，t＝3，πt＝3π，﹣2πt＝﹣6π，则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为﹣6π、3π．故答案为：﹣4π．【点评】本题考查了数轴及圆的几何变换，还考查了一元一次方程的应用，用方程解决此类问题比较简单，同时又利用了分类讨论的思想，明确向右移动坐标加的关系，向左移动坐标减的关系．18．如图所示，丁丁做了一个程序图，按要求完成下列问题．（1）当丁丁输入的数为6时，求输出的结果n；（2）若丁丁某次输入数m后，输出的结果n为﹣5.5．请你写出m可能的2个值．【分析】（1）把6代入计算即可求出值；（2）根据输出结果确定出m的值即可．【解答】解：（1）根据题意得：6﹣2＝4，4﹣2＝2，2﹣2＝0，0﹣2＝﹣2，﹣2的相反数是2，2﹣7＝﹣5，则输出的结果n＝﹣5；（2）m的可能值为﹣1.5或0.5．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．王老师在一节数学课上讲解了二道例题：请你参考黑板上王老师的讲解，用运算律简便计算：（1）99×15；（2）999×118+999×（﹣）﹣999×．【分析】（1）根据乘法分配律进行计算；（2）先根据乘法分配律的逆运算加括号，再将999变形为100﹣1，利用乘法分配律进行计算．【解答】（满分8分）。