2019-2020学年广东省肇庆市高三(上)第一次统测数学试卷1(37)

2020届广东省肇庆市高三第一次统考数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则A B =I （ ）A ．{}|0x x <B ．{}|1x x <C ．{}1|0x x <<D ．{}|12x x <<2．“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件3．设x R ∈，向量(),1a x =r ， ()1,2b =-r ，且a b ⊥r r ，则a b +=rr （ ） A．． C．．104．已知sin 2cos αα=，则sin cos a a =（ ）A ．25-B ．15-C ．25 D ．15【详解】5．下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- A ．23,p p B ．12,p p C ．,p p 24 D ．,p p 346．设变量x, y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为（ ）(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 27．若01x y <<<，则 A ．33y x < B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y <D ．1144xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=（ ）A ．67B ．37 C ．89D ．499．由函数f （x ）＝sin 2x 的图象平移得到g （x ）＝cos （ax6π-），（其中a 为常数且a ＞0）的图象，需要将f （x ）的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位10．已知函数()sin f x x x=⋅的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若12,,22x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x <，则（ ）A ．12x x >B ．120x x +>C ．12x x <D ．2212x x <11．已知函数()()f x x R ∈的图象上任一点()00,x y 处的切线方程为()()()2000021y y x x x x -=---，那么函数()f x 的单调减区间是（ ）A ．[)1,-+∞B ．(],2-∞C ．(),1-∞-和()1,2D ．[)2,+∞12．已知函数()()()1ln 1f x x x t x =++-（t R ∈，且0t ≠）有3个零点1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．[)3,+∞C ．()3,+∞D ．()0,3二、填空题13．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_______.14．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =u u u r u u u r，13CD CA CB λ=+u u u r u u u r u u u r，则λ=_____．15．已知等差数列的前n 项和为n S ，且12130,0S S ><，则使n S 取得最大值的n 为_______.16．定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2log 1,012,0x x f x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨--->⎪⎩，则()2020f 的值为_____． 三、解答题17．已知f （x）=﹣2sin 22xω（ω＞0）的最小正周期为3π．（1）求ω的值；（2）当x ∈[324ππ，]时，求函数f （x ）的最小值．（1）f （x）=sinωx ﹣2112cos xx cos x ωωω-⨯=+-=2sin （6x πω+）﹣1， 18．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，sin cos )A A =-． （1）求A ；（2）若7a =，sin sin 14B C +=，求△ABC 的面积．19．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n ，若n a =（n ∈N ，且n ≥2）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记2n an n c a =⋅，求数列{c n }的前n 项和T n ．20．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若b 是a 与c 的等比中项，sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项． （1）证明ABC ∆为直角三角形； （2）求cos B 的值． 21．已知函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，a R ∈． （1）若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设m ，n 为正实数且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．22．设函数()()31sin 6f x x ax x a R =-+∈．（1）讨论()f x 的导函数()'f x 零点的个数；（2）若对任意的0x ≥，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．答案解析一、单选题1．已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则A B =I （ ）A ．{}|0x x <B ．{}|1x x <C ．{}1|0x x <<D ．{}|12x x <<【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =-<=<，集合{}{}2|20|02B x x x x x =-<=<<，所以A B =I {}1|0x x <<.3．“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】函数f (x )的单调增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，所以当a ＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f (x )在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a ≤2，所以a ＝1不一定成立．3．设x R ∈，向量(),1a x =r ， ()1,2b =-r ，且a b ⊥r r ，则a b +=rr （ ）A ．． C ．．10【解析】试题分析：由a b ⊥rr 知，则，可得．故本题答案应选B ．．已知sin 2cos αα=，则sin cos a a =（ ）A ．25-B ．15-C ．25D ．15【详解】 由题得tan 2α=, 所以222sin cos sin cos tan 2sin cos 1sin cos tan 15αααααααααα====++. 故答案为：C(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)本题解题的关键是222sin cos sin cos tan sin cos 1sin cos tan 1αααααααααα===++，这里利用了“1”的变式，221sin cos αα=+. 5．下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- A ．23,p p B ．12,p p C ．,p p 24 D ．,p p 34 【解析】因为i i i i i i z --=--=--+---=+-=12)1(2)1)(1()1(212，所以2=z ，i i z 2)1(22=--=，共轭复数为i z +-=1，z 的虚部为1-，所以真命题为42,p p 选C.6．设变量x, y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为（ ）(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，由题意知,当目标函数2z y x =-表示的直线经过点A(5，3)时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3257-⨯=-，故选A. 方法2：两两联立，求出三个脚垫坐标，代入即可. 7．若01x y <<<，则 A ．33y x < B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y <D ．1144xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】试题分析： 43,log x y y y ==为增函数且x y <，所以A ，C 错误.14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数且x y <，所以D 错误.故选B.8．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=（ ）A ．67B ．37 C ．89D ．49【解析】【详解】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而，∴，故选B.9．由函数f （x ）＝sin 2x 的图象平移得到g （x ）＝cos （ax6π-），（其中a 为常数且a ＞0）的图象，需要将f （x ）的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位【答案】B【详解】解：由函数f （x ）＝sin2x 的图象平移得到g （x ）＝cos （ax 6π-）， 则函数的周期相同即a ＝2， 则g （x ）＝cos （2x 6π-）＝sin （2x 62ππ-+）＝sin （2x 3π+）＝sin2（x 6π+），则需要将f （x ）的图象向向左平移6π个单位， 故选：B ．10．已知函数()sin f x x x=⋅的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若12,,22x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x <，则（ ）A ．12x x >B ．120x x +>C ．12x x <D ．2212x x <【详解】由于函数()sin f x x x =⋅，()sin()sin ()f x x x x x f x ∴-=-⋅-=⋅=，∴函数()sin f x x x =⋅是偶函数，其图象关于y 轴对称，其图象是右边一个图．且当(0,)2x π∈时，函数()sin f x x x =⋅是增函数，当(,0)2x π∈-时，函数()sin f x x x =⋅是减函数．∴若1x ，2(0,)2x π∈且12()()f x f x <，则有12x x <，故A 选项错； 若1x ，2(,0)2x π∈-且12()()f x f x <，则有12x x >，故B 、C 选项错； 根据排除法，正确的是D ． 故选：D ．。

肇庆市2020届高中毕业班第一次统一检测数学（理科）数学（理科）参考答案一、选择题13． 1 14． 2315． 6 16． 1 三、解答题（17）（本小题满分10分）解：（1）()1cos 22xf x x ωω-=- （1分）cos 12sin 16x x x πωωω⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭ （3分）由23ππω=得23ω=（5分）（2）由（1）得()22sin 136f x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭.又当324x ππ≤≤时，可得222363x πππ≤+≤， （7分） 所以当22=363x ππ+，即34x π=时， （9分）()min 2112f x =⨯-=. （10分） （18）（本小题满分12分）解：（1）法一：由)sin 1cos A A -可得22sincos ,222A A A= （2分）即tan23A =， （4分） 又因为()0,A π∈，所以3A π=. （6分）法二：由)sin 1cos A A -可得sin 2sin 3A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭即sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （2分） 又因为()0,A π∈，所以4,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， （4分） 所以2=33A ππ+，即3A π=. （6分） （2）由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ===（7分）整理得sin ,sin B C ==， （8分） 又因为14313sin sin =+C B ，所以13b c += （9分） 由余弦定理可得()222222cos 22b c bc ab c a A bc bc+--+-==, 代入数据计算得40bc = （11分）ABC ∆的面积为1sin 2bc A = （12分）（19）（本小题满分12分）解：（1）当2n ≥时，1n n n a S S -=-，又由已知可得n a =所以1n n n a S S -=-=0n a >所以数列1==为首项，1为公差的等差数列，()211,n n n S n =+-== （3分）当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，当1n =是，11a =也满足上式， 所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =- (6分) （2）()21212n n c n -=-则()3521123252212n n T n -=++++-()357214123252212n n T n +=++++- （8分）两式相减得()()()()22352121218123222222122221214n n n n n T n n --++--=++++--=+---21105=2233n n +⎛⎫-+- ⎪⎝⎭（11分） 所以()21652109n nn T +-+= （12分）（20）（本小题满分12分）解：（1）由A sin 是()A B -sin 与sinC 的等差中项得：()C A B A sin sin sin 2+-=，（1分）ABC ∆中，()B A -C +=π，()B A sin sinC +=∴上式可化为()()A B sin sin sin 2++-=A B A （2分）展开得：A B A cos sin sin = （3分）由正弦定理得： A b a cos = ， （4分）又由bca cb A 2cos 222-+=得ac a c b 2222=-+ （5分）又因为b 是a 与c 的等比中项，∴ac b =2 （6分）∴222a b c += 所以 AB C ∆为直角三角形 （7分）（2）由（1）知 AB C ∆为直角三角形2A B π+=，则B A cos sin =，inB A s cos = （8分） 又因为A B A cos sin sin =∴B B B sin sin cos = （9分） ∴2cos 1cos B B =- ， （10分） ∴=B cos 215± （11分）又因为B 为锐角 0cos 1B <≤∴cos B=（12分）（21）（本小题满分12分）解：（1）()()()()21111a x a x f x x x +--'=-+()()()()222212221.11x ax x a x x x x x +-+-+==++ （2分） 由题意知()20f '=，代入得94a =，经检验，符合题意. （4分） 从而切线斜率()118k f '==-，切点为()1,0，切线方程为810x y +-= （6分）（2）不妨设m n >，要证ln ln 2m n m nm n -+<-，只需证112ln m m n nm n-+< 即证21ln 1m m n m n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+只需证21ln 01m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭->+ （8分） 设()()21ln 1x h x x x -=-+，则()()()22,22121()011x x x h x x x x x --+==≥++ 知()h x 在()1,+∞上是单调递增函数， （10分）又1m n >，所以()10m h h n ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即21ln 01m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭->+成立，所以ln ln 2m n m n m n -+<-. 同理，m n <成立。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设1z i =-（i 是虚数单位），则2z z+= ( ) A ．2 B ．3 C ．22i - D ． 22i +2．已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4AB =则m =（ ）A. 0B. 3C. 4D. 3或43．已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥a b ，则cos2θ等于 （ ）A.1-B. 0 C .12D.224．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则23z x y =+的取值范围是（ ）A. [8,4]-B.[8,2]- C. [4,2]-D. [4,8]-- 5．图1是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是 ( )A.2n >B. 3n >C. 4n >D. 5n >6．已知某个几何体的三视图如图2所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），则这个几何体的体积是( ). A. 38cm B. 312cm C. 324cm D. 372cm7．101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )A. 0B. 2C. 4D. 68.定义空间两个向量的一种运算sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ，则关于空间向量上述运算的以下结论中，①⊗=⊗a b b a ，②()()λλ⊗=⊗a b a b ，③()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c ， ④若1122(,),(,)x y x y ==a b ，则1221x y x y ⊗=-a b . 恒成立的有A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．不等式3|52|9x <-≤的解集是 .10．等比数列{n a }中，123420,40a a a a +=+=，则56a a +等于 11．函数321()2323f x x x x =-+-在区间[0,2]上最大值为 12．圆心在直线270x y -+=上的圆C 与x 轴交于两点(2,0)A -、(4,0)B -，则圆C 的方程为__________.13．某班有学生40人，将其数学期中考试成绩平均分为两组，第一组的平均分为80分，标准差为4，第二组的平均分为90分，标准差为6， 则此班40名学生的数学期中考试成绩平均分 方差为（ ） ▲14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(),ρθ（0,02πρθ>≤<）中，曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____15.（几何证明选讲选做题）如图3,△ABC 的外角平分线AD 交外接圆于D,4BD =，则CD = .三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知向量sin ,cos ,cos ,sin 3366x x A A ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b ，函数()f x =a b （0,A x R >∈），且(2)2f π=.（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设,[0,]2παβ∈， 16(3),5f απ+=5203213f πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭；求cos()αβ+的值。

肇庆市2020届高中毕业班第一次统一检测理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则A B =I ( )A. {}|0x x <B. {}|1x x <C. {}1|0x x <<D. {}|12x x <<【答案】C 【解析】 【分析】求出A 、B 中不等式的解集确定出A 、B ，找出A 与B 的交集即可．【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =-<=<，集合{}{}2|20|02B x x x x x =-<=<<，所以A B =I {}1|0x x <<. 故选C【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】函数f (x )的单调增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，所以当a ＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f (x )在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a ≤2，所以a ＝1不一定成立．“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A.3.设x R ∈，向量(,1)a x =r ，(1,2)b =-r ，且a b ⊥r r ，则a b r r +=( )A.B. C. D. 10【答案】B 【解析】试题分析：由a b ⊥rr知，则，可得．故本题答案应选B ．考点：1.向量的数量积；2.向量的模． 【此处有视频，请去附件查看】4.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα=( ) A. 25-B. 15-C.25D.15【答案】C 【解析】 【分析】先由题得tan 2α=，再化简222sin cos sin cos tan sin cos 1sin cos tan 1αααααααααα===++，即得解.【详解】由题得tan 2α=, 所以222sin cos sin cos tan 2sin cos 1sin cos tan 15αααααααααα====++. 故答案为C【点睛】(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)本题解题的关键是222sin cos sin cos tan sin cos 1sin cos tan 1αααααααααα===++，这里利用了“1”的变式，221sin cos αα=+. 5.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为( ) 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 34,p p【答案】C 【解析】 因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.【此处有视频，请去附件查看】6.设变量x, y 满足约束条件360,{20,30,x y x y y +-≥--≤-≤则目标函数z = y －2x 的最小值为( )A. －7B. －4C. 1D. 2【答案】A 【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，由题意知,当目标函数2z y x =-表示的直线经过点A(5，3)时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3257-⨯=-，故选A.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考. 【此处有视频，请去附件查看】7.若01x y <<<，则 A. 33y x < B. log 3log 3x y < C. 44log log x y < D. 11()()44xy<【答案】C 【解析】【详解】试题分析：3xy =为增函数且x y <，所以A 错误.3log y x =为增函数且01x y <<<，故33log log 0x y <<，即110log 3log 3x y <<， 所以log 3log 3x y >，所以B 错误；14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭减函数且x y <，所以D 错误.4log y x =为增函数且x y <，故44log log x y <故选C.考点：比较大小.【此处有视频，请去附件查看】8. 执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=( )A.67B.37C.89D.49【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而，∴，故选B.考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序 框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出. 9.由函数f (x )＝sin 2x 的图象平移得到g (x )＝cos (ax 6π-)，(其中a 为常数且a ＞0)的图象，需要将f (x )的图象( )A. 向左平移3π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位D. 向右平移6π个单位【答案】B 【解析】 【分析】先根据平移关系求出a ＝2，利用三角函数的诱导公式，进行转化，结合平移关系进行转化即可． 【详解】解：由函数f (x )＝sin2x 的图象平移得到g (x )＝cos (ax 6π-)， 则函数的周期相同即a ＝2，则g (x )＝cos (2x 6π-)＝sin (2x 62ππ-+)＝sin (2x 3π+)＝sin2(x 6π+)， 则需要将f (x )的图象向向左平移6π个单位，故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的诱导公式以及平移关系是解决本题的关键，比较基础． 10.已知函数()sin f x x x =⋅的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若12,,22x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x <，则( )A. 12x x >B. 120x x +>C. 12x x <D. 2212x x <【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式()sin f x x x =⋅，结合奇偶函数的判定方法得出函数()sin f x x x =⋅是偶函数，其图象关于y 轴对称，其图象是右边一个图．再利用正弦函数的性质得出当(0,)2x π∈时和当(,0)2x π∈-时，函数()sin f x x x =⋅的单调性，即可对几个选项进行判断．【详解】由于函数()sin f x x x =⋅，()sin()sin ()f x x x x x f x ∴-=-⋅-=⋅=，∴函数()sin f x x x =⋅是偶函数，其图象关于y 轴对称，其图象是右边一个图．且当(0,)2x π∈时，函数()sin f x x x =⋅是增函数，当(,0)2x π∈-时，函数()sin f x x x =⋅是减函数．∴若1x ，2(0,)2x π∈且12()()f x f x <，则有12x x <，故A 选项错； 若1x ，2(,0)2x π∈-且12()()f x f x <，则有12x x >，故B 、C 选项错； 根据排除法，正确的是D ． 故选：D ．【点睛】本题主要考查函数图象和奇偶性与单调性的综合，根据函数解析式，得出函数图象的特点，考查数形结合思想和读图能力．11.已知函数()()f x x R ∈的图象上任一点()00,x y 处的切线方程为()()200021y y x x -=--()0x x -，那么函数()f x 的单调减区间是( ) A. [)1,-+∞ B. (],2-∞ C. (),1-∞-和()1,2D. [)2,+∞【答案】C 【解析】由切线方程可知2()(2)(1)f x x x =--' ，令'()0f x <，则1x <-或12x <<，故选C ． 【点睛】由直线方程的点斜式可得2()(2)(1)f x x x =--'，令导函数小于0，可求解．12.已知函数()()()1ln 1f x x x t x =++-(t R ∈，且0t ≠)有3个零点1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围是( ) A. [)2,+∞ B. [)3,+∞C. ()3,+∞D. ()0,3【答案】C 【解析】 【分析】显然1x =为函数()f x 的一个零点，进而问题转化为函数y t =与函数(1)()1x lnxg xx+=-在(0,1)(1,)⋃+∞上有两个交点，作出图象即可得到答案．【详解】函数的定义域为(0,)+∞，显然1x =为函数()f x 的一个零点，当1x ≠时，令()0f x =，则(1)1x lnx t x +=-，令(1)()1x lnxg x x+=-，则函数y t =与函数()y g x =在(0,1)(1,)⋃+∞上有两个交点，212()(1)lnx x xg x x +-'=-，令1()2h x lnx x x =+-， 则222221211()1()0x x x h x x x x x-+-'=--=-=-<，即函数()h x 在定义域上为减函数，又(1)0h =，则当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单增； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单减，结合图象易知，要使函数y t =与函数()y g x =在(0,1)(1,)⋃+∞上有两个交点， 则232x x +>，故1233x x x ++>． 故选：C ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，考查构造函数思想及数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_______. 【答案】1 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题中条件求出d 、q 的值，进而求出2a 和2b 的值，由此可得出22a b 的值.【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2q =-，3d =，那么221312a b -+==，故答案为1. 【考点】等差数列和等比数列【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.14.在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =u u u r u u u r ，13CD CA CB λ=+u u ur u u u r u u u r ，则λ=_____．【答案】23【解析】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出CD CA AD =+u u u r u u u r u u u r ①，CD CB BD =+u u u r u u u r u u u r②；由①、②得出1233CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r，从而求出λ的值．【详解】ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =u u u r u u u r ，13CD CA CB λ=+u u ur u u u r u u u r ，如图所示，∴2CD CA AD CA DB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r①，CD CB BD =+u u u r u u u r u u u r ，22222CD CB BD CB DB ∴=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r②；①+②得，32CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r，∴1233CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r ；23λ∴=．故答案为：23．【点睛】本题考查平面向量的加法与减法的几何意义、平面向量基本定理，考查数形结合思想的运用． 15.已知等差数列的前n 项和为n S ，且12130,0S S ><，则使n S 取得最大值的n 为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】由12130,0S S ><，根据等差数列的前n 项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大． 【详解】因为等差数列中，12130,0S S ><， 所以()126713760,130S a a S a =+>=<，6770,0a a a ∴+><， 670,0a a ∴><，∴S n 达到最大值时对应项数n 的值为6． 故答案为：6【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n 项和，属于容易题．16.定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2log 1,012,0x x f x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨--->⎪⎩，则()2020f 的值为_____．【答案】2log 3 【解析】 【分析】由分段函数的性质知(6)()f x f x +=，从而得到函数的周期为6，即有()()20202f f =-，求出()2f -的值即可得到答案． 【详解】∵()()()()2log 1,012,0x x f x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨--->⎪⎩，∴()()()()()()654434f x f x f x f x f x f x +=+-+=+-+-+()()()312f x f x f x =-+=+-+()()()()11f x f x f x f x =+-++=，即函数的周期6T =，则()()20204f f =．()()()()()()()()()432212101f f f f f f f f f =-=--=-=---⎡⎤⎣⎦即()24log 3f =， 故答案为：2log 3【点睛】本题考查分段函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数的性质和应用，易错点是找不到分段函数的规律性，导致出错．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知f (x)=﹣2sin 22xω(ω＞0)的最小正周期为3π．(1)求ω的值；(2)当x ∈[324ππ，]时，求函数f (x )的最小值．【答案】(1)23(2)1．【解析】 【分析】(1)先化简f (x )＝2sin (6x πω+)﹣1，由函数f (x )的最小正周期为3π即可求出ω的值；(2)由(1)可知f (x )＝2sin (23x 6π+)﹣1，在由x ∈[324ππ，]，求出222363x πππ≤+≤，从而当22363x ππ+=，即x 34π=时，f (x )min ＝2-11=． 【详解】(1)f (x)=﹣2112cos xx cos x ωωω-⨯=+-=2sin (6x πω+)﹣1，∵函数f (x )的最小正周期为3π，∴ω2233ππ==， (2)由(1)可知f (x )＝2sin (236x π+)﹣1， ∵x ∈[324ππ，]，∴222363x πππ≤+≤，∴当22363x ππ+=，即x 34π=时，f (x )min ＝211=． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，三角函数的周期性及求三角函数的最值，是基础题．18.已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos )A A =-．(1)求A ；(2)若7a =，sin sin B C +=ABC 的面积．【答案】(1)π3A =;(2)【解析】【分析】 (1)先根据二倍角公式以及同角三角函数关系得tan 2A ，解得A;(2)根据正弦定理得13b c +=，再根据余弦定理得40bc =，最后根据三角形面积公式得结果.【详解】(1)由于)sin 1cos A A =-，所以22sin cos 222A A A =，tan 2A =．因为0πA <<，故π3A =． (2)根据正弦定理得sin a A =， b B =，c C =．因为sin sin B C +=，所以13b c +=． 由余弦定理得222π72cos3b c bc =+-得40bc =．因此△ABC 的面积为1sin 2bc A = 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n，若n a =n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记2n a n n c a =⋅，求数列{c n }的前n 项和T n ． 【答案】(1) a n ＝2n ﹣1；(2) T n ()21652109n n +-⨯+=． 【解析】分析】(1)根据题意，有a n ＝S n ﹣S n ﹣1，结合n a ==1，则数列{是以=1为首项，公差为1=1+(n ﹣1)＝n ，则S n ＝n 2，据此分析可得答案；(2)由(1)的结论可得c n ＝(2n ﹣1)×22n ﹣1；进而可得T n ＝1×2+3×23+5×25+……+(2n ﹣1)×22n ﹣1，由错位相减法分析可得答案．【详解】(1)数列{a n }中，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，(n ∈N *，且n ≥2)①n a =(n ∈N *，且n ≥2)②①÷-=1，则数列=1为首项，公差为1的等差数列，=1+(n ﹣1)＝n ，则S n ＝n 2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣1，a 1＝1也符合该式，则a n ＝2n ﹣1；(2)有(1)的结论，a n ＝2n ﹣1，则c n ＝(2n ﹣1)×22n ﹣1； 则T n ＝1×2+3×23+5×25+……+(2n ﹣1)×22n ﹣1，③；则4T n ＝1×23+3×25+5×27+……+(2n ﹣1)×22n +1，④； ③﹣④可得：﹣3T n ＝2+2(23+25+……+22n ﹣1)﹣(2n ﹣1)×22n +1103=-+(53-2n )×22n +1， 变形可得：T n ()21652109n n +-⨯+=． 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用以及数列的错位相减法求和，关键是求出数列{a n }的通项公式，考查学生的计算能力．20.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若b 是a 与c 的等比中项，sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项．(1)证明ABC ∆为直角三角形；(2)求cos B 的值．【答案】(1)见解析 (2)1cos 2B =【解析】【分析】(1)直接利用等差中项和等比中项和正弦定理余弦定理，可得222+=a b c ，即可得证；(2)由(1)可得22a ac c +=，运用一元二次方程的解法和直角三角形的锐角三角函数的定义可得所求．【详解】(1)证明：若b 是a 与c 的等比中项，则2b ac =，由于sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项，所以()2sin sin sin A B A C =-+，即2sin sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A A B A B =-++，整理得2sin 2sin cos A B A =， 利用正弦定理和余弦定理整理得2222b c a a b bc+-=⋅， 整理得222+=a b c ，所以ABC ∆为直角三角形．(2)由(1)可得22a ac c +=，所以210a a c c⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得12a c =或12(负值舍去)．即cos B =． 【点睛】本题考查的知识要点：等差中项和等比中项的应用，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.已知函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，a R ∈． (1)若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)设m ，n 为正实数且m n ≠，求证：ln ln 2m n m n m n -+<-． 【答案】(1)810x y +-= (2)见解析【解析】【分析】(1)由题意知(2)0f '=，代入可求a ，然后根据导数的几何意义即可求解． (2)不妨设m n >，要证2m n m n lnm lnn -+<-，只需证112m m n n m ln n -+<，只需证2(1)01m m n ln m n n-->+，构造函数，结合导数与单调性的关系可证．【详解】(1)222221(1)(1)(1)2(22)1()(1)(1)(1)a x a x x ax x a x f x x x x x x x +--+-+-+'=-==+++， 由题意知(2)0f '=，代入得94a =，经检验，符合题意， 从而切线斜率1(1)8k f '==-，切点为(1,0)， 切线方程为810x y +-=. (2)不妨设m n >，要证2m n m n lnm lnn -+<-，只需证112m m n n m ln n-+<，即证2(1)1m m n ln m n n ->+，只需证2(1)01m m n ln m n n -->+， 设2(1)()1x h x lnx x -=-+，则22,2221(1)()0(1)(1)x x x h x x x x x -+-==++…， 故()h x 在(1,)+∞上是单调递增函数， 又1m n >，所以()(1)0m h h n >=，即2(1)01m m n ln m n n-->+成立， 所以2m n m n lnm lnn -+<-． 同理，m n <成立．【点睛】考查利用导数的几何意义、切线方程、利用导数证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．22.设函数()()31sin 6f x x ax x a R =-+∈． (1)讨论()f x 的导函数()'f x 零点的个数；(2)若对任意的0x ≥，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．【答案】(1)答案不唯一，见解析 (2)1a ≤【解析】【分析】(1)先对函数求导21()cos 2f x x a x '=-+，结合21()cos 2g x x a x =-+为偶函数，问题可转化为先研究0x ≥，结合导数与单调性的关系及函数的零点判定定理可求，(2)结合导数先判断函数的单调性，结合零点判定定理可求．【详解】(1)21()cos 2f x x a x '=-+， 令21()cos 2g x x a x =-+，x ∈R ，()g x 为偶函数，先研究0x …， 则()sin g x x x -'=，()1cos 0g x x ''=-≥，()g x '∴在[0,)+∞为递增函数，且(0)0g '=，()0g x '∴≥，即()g x 在[0,)+∞为单调递增函数，当(0)10g a =->，即1a <，()g x 没有零点，当(0)10g a =-=，即1a =，()g x 有1个零点，当(0)1g a =-0<，即1a >，2211()cos 122g x x a x x a =-+≥--，∴当x >，()0>g x ，∴当x >，()g x 在[0,)+∞有1个零点，()g x ∴为偶函数，在(,0]-∞也有有1个零点．综上：1a <，()f x '没有零点；1a =，()f x '有1个零点；1a >，()f x '有2个零点． (2)21()cos 2f x x a x '=-+, ①当1a ≤时，由(1)知()0f x '≥，()f x 在[0,)+∞为单调递增函数，()(0)0f x f ≥=， ②当1a >时，22(2)cos 22cos 2(1)0f a a a a a a a a '=-+=++->，(0)10f a '=-<，由零点存在性定理知0(0,2)x a ∃∈使得0()0f x '=，且在0(0,)x ，()0f x '<，即()f x 单调递减，()(0)0f x f <=与题设不符．综上可知，1a ≤时，()0f x ≥.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点、不等式恒成立求参数值、零点存在定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．。

肇庆市2020届高中毕业班第一次统检测文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则AB =（ ）A. {}|0x x <B. {}|1x x <C. {}1|0x x << D. {}|12x x <<【答案】C 【解析】 【分析】求出A 、B 中不等式的解集确定出A 、B ，找出A 与B 的交集即可．【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =-<=<，集合{}{}2|20|02B x x x x x =-<=<<，所以A B ={}1|0x x <<.故选C【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.已知复数z ＝1+i ，则z •z =（ ）B. 2C. ﹣2D.【答案】B 【解析】 【分析】先求出z 的共轭，进而利用乘法公式得到结果. 【详解】∵z ＝1+i ，∴1z i =-r，∴()()112z z i i ⋅=+-=r，故选：B【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.3.设x R ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b +=（ ）A.B. C. D. 10【答案】B 【解析】试题分析：由a b ⊥知，则，可得．故本题答案应选B ．考点：1.向量的数量积；2.向量的模． 【此处有视频，请去附件查看】4.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα=（ ） A. 25-B. 15-C.25D.15【答案】C 【解析】 【分析】先由题得tan 2α=，再化简222sin cos sin cos tan sin cos 1sin cos tan 1αααααααααα===++，即得解. 【详解】由题得tan 2α=, 所以222sin cos sin cos tan 2sin cos 1sin cos tan 15αααααααααα====++. 故答案为C【点睛】(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)本题解题的关键是222sin cos sin cos tan sin cos 1sin cos tan 1αααααααααα===++，这里利用了“1”的变式，221sin cos αα=+. 5.下面是关于复数21z i=-+四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 34,p p【答案】C 【解析】 因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.【此处有视频，请去附件查看】6.设变量x, y 满足约束条件360,{20,30,x y x y y +-≥--≤-≤则目标函数z = y －2x 的最小值为（ ）A. －7B. －4C. 1D. 2【答案】A 【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，由题意知,当目标函数2z y x =-表示的直线经过点A(5，3)时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3257-⨯=-，故选A.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考. 【此处有视频，请去附件查看】7.若01x y <<<，则 A. 33y x < B. log 3log 3x y < C. 44log log x y < D. 11()()44xy<【答案】C 【解析】【详解】试题分析：3xy =为增函数且x y <，所以A 错误.3log y x =为增函数且01x y <<<，故33log log 0x y <<，即110log 3log 3x y <<， 所以log 3log 3x y >，所以B 错误；14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数且x y <，所以D 错误.4log y x =为增函数且x y <，故44log log x y <故选C.考点：比较大小.【此处有视频，请去附件查看】8. 执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=（ ）A.67B.37C.89D.49【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，输出为数列的前三项和，而，∴，故选B.考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序 框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.9.“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件的【答案】A 【解析】【详解】函数f (x )的单调增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，所以当a ＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f (x )在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a ≤2，所以a ＝1不一定成立．“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A.10.由函数f （x ）＝sin 2x 的图象平移得到g （x ）＝cos （ax 6π-），（其中a 为常数且a ＞0）的图象，需要将f （x ）的图象（ ）A. 向左平移3π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位D. 向右平移6π个单位【答案】B 【解析】 【分析】先根据平移关系求出a ＝2，利用三角函数的诱导公式，进行转化，结合平移关系进行转化即可． 【详解】解：由函数f （x ）＝sin2x 的图象平移得到g （x ）＝cos （ax 6π-）， 则函数的周期相同即a ＝2，则g （x ）＝cos （2x 6π-）＝sin （2x 62ππ-+）＝sin （2x 3π+）＝sin2（x 6π+）， 则需要将f （x ）的图象向向左平移6π个单位，故选：B ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的诱导公式以及平移关系是解决本题的关键，比较基础．11.已知函数f （x ）＝x •sinx 的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若x 1，x 2∈（22ππ-，），且f （x 1）＜f （x 2），则（ ）A. x 1＞x 2B. x 1+x 2＞0C. x 1＜x 2D. x 12＜x 22【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式f （x ）＝x •sin x ，结合奇偶函数的判定方法得出函数f （x ）＝x •sin x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，其图象是右边一个图．再利用正弦函数的性质得出当x 02π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时和当x 02π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，时，函数f （x ）＝x •sin x 的单调性，即可对几个选项进行判断． 【详解】解：由于函数f （x ）＝x •sin x ， ∴f （﹣x ）＝﹣x •sin （﹣x ）＝x •sin x ＝f （x ），∴函数f （x ）＝x •sin x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，其图象是右边一个图． 且当x 02π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，函数f （x ）＝x •sin x 是增函数，∵x 1，x 2∈（22ππ-，），函数f （x ）＝x •sin x 是偶函数，且f （x 1）＜f （x 2）， ∴()()12fx f x < ，又当x 02π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，函数f （x ）＝x •sin x 是增函数， ∴12x x <，即x 12＜x 22故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数图象和奇偶性与单调性的综合，根据函数解析式，得出函数图象的特点，考查了数形结合思想和读图能力．12.已知函数f （x ）＝e x，g （x ）＝2，若在[0，+∞）上存在x 1，x 2，使得f （x 1）＝g （x 2），则x 2﹣x 1的最小值是（ ）A. 1+ln 2B. 1﹣ln 2C.916D. e ﹣2【答案】B 【解析】 【分析】先由f （x 1）＝g （x 2），可得12xe =，设x 2﹣x 1＝t ，（t ＞0）可得x 2＝t +x 1，即方程2xe -=0．那么（e x +2）2＝16（t +x ），t 2(2)16x e x +=-，通过求导研究单调区间，求极值即可求出结论．详解】解：由f （x 1）＝g （x 2）， 可得12xe =， 设x 2﹣x 1＝t ，（t ＞0） 可得x 2＝t +x 1，即方程2x e -=0．那么（e x +2）2＝16（t +x ）∴t 2(2)16x e x +=-，令y 2(2)16x e x +=-，（x ≥0） 可得y ′()()242()2888x x x x e e e e +-+-==令y ′＝0，可得x ＝ln2，∴在区间（0，ln 2）时函数y 递减，（ln 2，+∞）时函数y 递增； 当x ＝ln 2，可得y 的最小值为1﹣ln 2． 即t 的最小值为1﹣ln 2． 故选：B ．【点睛】本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题，考查换元法及减元思想，属【于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣1，a 4＝b 4＝8，则22a b =_____． 【答案】1 【解析】 【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果． 【详解】等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣1，a 4＝b 4＝8， 设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ． 可得：8＝﹣1+3d ，d ＝3，a 2＝2； 8＝﹣q 3，解得q ＝﹣2，∴b 2＝2．可得22a b =1． 故答案为：1【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．14.1ABC D AB AD 2DB CD CA λCB λ__________3在中，已知是边上一点．若＝，＝＋，则＝．【答案】23【解析】 ∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋ (－)＝＋.又＝＋λ，∴ λ＝.15.已知等差数列的前n 项和为n S ，且12130,0S S ><，则使n S 取得最大值的n 为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】由12130,0S S ><，根据等差数列的前n 项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大． 【详解】因为等差数列中，12130,0S S ><， 所以()126713760,130S a a S a =+>=<，6770,0a a a ∴+><， 670,0a a ∴><，∴S n 达到最大值时对应的项数n 的值为6． 故答案：6【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n 项和，属于容易题． 16.已知△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且bcosC ﹣ccosB 14=a 2，tanB ＝3tanC ，则a ＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，由tan B ＝3tan C 可得sinB cosB =3sinCcosC⨯，变形可得sin B cos C ＝3sin C cos B ，结合正弦定理可得sin B cos C ﹣sin C cos B 14=sin A ×a ，变形可得：sin B cos C ﹣sin C cos B 14=sin （B +C ）×a ，由和角公式分析可得sin B cos C ﹣sin C cos B 14=⨯a ×（sin B cos C +sin C cos B ），将sin B cos C ＝3sin C cos B 代入分析可得答案．【详解】根据题意，△ABC 中，tanB ＝3tanC ，即sinB cosB =3sinCcosC⨯，变形可得sinBcosC ＝3sinCcosB ， 又由bcosC ﹣ccosB 14=a 2，由正弦定理可得：sinBcosC ﹣sinCcosB 14=sinA ×a ， 变形可得：sinBcosC ﹣sinCcosB 14=sin （B +C ）×a ， 即sinBcosC ﹣sinCcosB 14=⨯a ×（sinBcosC +sinCcosB ）， 又由sinBcosC ＝3sinCcosB ，则2sinCcosB ＝sinCcosB ×a ， 由题意可知：2B π≠，即sinCcosB≠0，变形可得：a ＝2； 故答案为：2．【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，涉及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知f （x ）=﹣2sin 22x ω（ω＞0）的最小正周期为3π．（1）求ω的值； （2）当x ∈[324ππ，]时，求函数f （x ）的最小值．【答案】(1)2 3 (2)1． 【解析】【分析】（1）先化简f （x ）＝2sin （6x πω+）﹣1，由函数f （x ）的最小正周期为3π即可求出ω的值； （2）由（1）可知f （x ）＝2sin （23x 6π+）﹣1，在由x ∈[324ππ，]，求出222363x πππ≤+≤，从而当22363x ππ+=，即x 34π=时，f （x ）min ＝22⨯-11=．【详解】（1）f （x ）=﹣2112cos x x cos x ωωω-⨯=+-=2sin （6x πω+）﹣1， ∵函数f （x ）的最小正周期为3π，∴ω2233ππ==， （2）由（1）可知f （x ）＝2sin （236x π+）﹣1， ∵x ∈[324ππ，]，∴222363x πππ≤+≤，∴当22363x ππ+=，即x 34π=时，f （x ）min ＝211=． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，三角函数的周期性及求三角函数的最值，是基础题．18.已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos )A A =-．（1）求A ；（2）若7a =，sin sin 14B C +=，求△ABC 的面积．【答案】（1）π3A =;（2）【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及同角三角函数关系得tan 2A ，解得A;（2）根据正弦定理得13b c +=，再根据余弦定理得40bc =，最后根据三角形面积公式得结果.【详解】（1）由于)sin 1cos A A =-，所以22sin cos 222A A A =，tan 2A =因为0πA <<，故π3A =． （2）根据正弦定理得sin a A =， b B =，c C =．因为sin sin B C +=，所以13b c +=． 由余弦定理得222π72cos3b c bc =+-得40bc =．因此△ABC 的面积为1sin 2bc A = 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n ，若n a =n ∈N *，且n ≥2）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记2n a n n c a =⋅，求数列{c n }的前n 项和T n ． 【答案】(1) a n ＝2n ﹣1；(2) T n()21652109n n +-⨯+=． 【解析】【分析】（1）根据题意，有a n ＝S n ﹣S n ﹣1，结合n a ==1，则数列是以=1为首项，公差为1=1+（n ﹣1）＝n ，则S n ＝n 2，据此分析可得答案；（2）由（1）的结论可得c n ＝（2n ﹣1）×22n ﹣1；进而可得T n ＝1×2+3×23+5×25+……+（2n ﹣1）×22n ﹣1，由错位相减法分析可得答案．【详解】（1）数列{a n }中，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，（n ∈N *，且n ≥2）①n a =（n ∈N *，且n ≥2）② ①÷-=1，则数列=1为首项，公差为1的等差数列，=1+（n ﹣1）＝n ，则S n ＝n 2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣1，a 1＝1也符合该式，则a n ＝2n ﹣1；（2）有（1）的结论，a n ＝2n ﹣1，则c n ＝（2n ﹣1）×22n ﹣1；则T n ＝1×2+3×23+5×25+……+（2n ﹣1）×22n ﹣1，③； 则4T n ＝1×23+3×25+5×27+……+（2n ﹣1）×22n +1，④； ③﹣④可得：﹣3T n ＝2+2（23+25+……+22n ﹣1）﹣（2n ﹣1）×22n +1103=-+（53-2n ）×22n +1， 变形可得：T n ()21652109n n +-⨯+=． 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用以及数列的错位相减法求和，关键是求出数列{a n }的通项公式，考查学生的计算能力．20.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1+λa n ，其中λ≠0．（1）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；（2）当λ＝2时，求数列{()()1111n n n a a a ++--}的前n 项和．【答案】(1)证明见解析 ，a n 11λ=-•1()1n λλ-- (2)2 12n -+1． 【解析】【分析】（1）数列{a n }的前n 项和S n ＝1+λa n ，其中λ≠0．n ＝1时，a 1＝1+λa 1，λ≠1，解得a 1．n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，化为：11n n a a λλ-=-．即可证明{a n }是等比数列，进而得出其通项公式． （2）当λ＝2时，a n ＝﹣2n ﹣1．()()()()1112111212n n n n n n a a a +-+-==--++21111212n n -⎛⎫- ⎪++⎝⎭．利用裂项求和方法即可得出．【详解】（1）证明：数列{a n }的前n 项和S n ＝1+λa n ，其中λ≠0．n ＝1时，a 1＝1+λa 1，λ≠1，解得a 111λ=-． n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝1+λa n ﹣（1+λa n ﹣1），化：11n n a a λλ-=-． ∴数列{a n }是等比数列，首项为11λ-，公比为：1λλ-． ∴a n 11λ=-•1()1n λλ--， （2）解：当λ＝2时，a n ＝﹣2n ﹣1．()()()()1112111212n n n n n n a a a +-+-==--++21111212n n -⎛⎫- ⎪++⎝⎭． ∴数列{()()1111n n n a a a ++--}的前n 项和＝2[21111111121112121212n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2（11122n -+）212n =-+1． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数f （x ）＝lnx ()11a x x --+，a ∈R ．（1）若x ＝2是函数f （x ）的极值点，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）若x ＞1时，f （x ）＞0，求a 的取值范围．【答案】(1) x +8y ﹣1＝0，(2) （﹣∞，2]．【解析】【分析】（1）由x ＝2是函数f （x ）的极值点，可得，f ′（2）＝0，代入可求a ，然后结合导数的几何意义即可求解， （2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论即可求解．【详解】（1）∵f ′（x ）()22222112(1)(1)x a x a x x x x +-+=-=++， 由x ＝2是函数f （x ）的极值点，可得，f ′（2）＝0，∴a 94=， ∴y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率k ＝f ′（1）18=-，又f （1）＝0故y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程y ()118x =--即x +8y ﹣1＝0， （2）若a ≤2，x ＞1时，f ′（x ）()222222211221(1)(1)(1)x a x a x x x x x x x x +-+-+=-=+++＞＞0， ∴f （x ）在（1，+∞）上单调递增，f （x ）＞f （1）＝0，符合题意，若a ＞2，方程x 2+（2﹣2a ）+1＝0的△＝4a 2﹣8a ＞0，∴x 2+（2﹣2a ）+1＝0有两个不等的根，设两根分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，∵x 1+x 2＝2a ﹣2，x 1•x 2＝1，∴0＜x 1＜1＜x 2，＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈（1，x 2）时，x 2+（2﹣2a ）+1＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，f （x ）＜f （1）＝0，不符合题意，综上可得，a 的范围（﹣∞，2]．【点睛】本题主要考查了极值存在条件的应用，导数的几何意义的应用及函数恒成立问题的求解，体现了分类讨论思想的应用．22.设函数f （x ）＝ax 2+（1﹣2a ）x ﹣lnx （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＞0时，证明f （x ）≥ln （ae 2）﹣2a （e 为自然对数的底数）．【答案】(1)见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出导函数f '（x ），再对a 分情况讨论，分别求出函数f （x ）的单调区间；（2）由（1）可知当a ＞0时，f （x ）的最小值为f （1）＝1﹣a ，令g （a ）＝1﹣a ﹣（lnae 2﹣2a ）＝a ﹣1﹣lna ，利用导数得到g （a ）的最小值为g （1）＝0，所以g （a ）≥0，即证得f （x ）≥ln （ae 2）﹣2a ．【详解】（1）f'（x）＝2ax+（1﹣2a）()()()221212111ax a x ax xx x x+--+--==，x＞0，①当a≥0时，令f'（x）＞0得：x＞1；令f'（x）＜0得：0＜x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），②当a＜0时，若12a-=1，即a12=-时，f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），若12a-＞1即12-＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为（0，1），（12a-，+∞），单调递增区间为（1，12a-），若12a-＜1即a12-＜时，f（x）的单调递减区间为（0，12a-），（1，+∞），单调递增区间为（12a-，1）；（2）由（1）可知当a＞0时，f（x）的最小值为f（1）＝1﹣a，令g（a）＝1﹣a﹣（lnae2﹣2a）＝a﹣1﹣lna，∴g'（a）＝111aa a--=，∴当a∈（0，1）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；当a∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（a）的最小值为g（1）＝0，∴g（a）≥0，∴1﹣a≥lnae2﹣2a，即f（x）≥ln（ae2）﹣2a．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，考查了分类讨论思想与转化思想，是中档题．。

2024届广东省肇庆市高三上学期第一次教学质量检测数学试卷一、单选题1. 已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2. 已知复数满足，则（）A．1B．C．2D．43. 记为等比数列的前项和，若，，则（）A．3B．4C．5D．64. 已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. 若，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．6. 记的内角的对边分别为，，，已知，则（）A．B．C．D．7. 已知，，且，则的最大值为（）A．2B．C．4D．8. “顺德眼”是华南地区首座双立柱全拉索设计的摩天轮总共设有36个等间距座舱，其中亲子座舱4个，每2个亲子座舱之间有8个普通座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，质点运行轨迹为圆弧，运行距离为弧长，“顺德眼”在旋转过程中，座舱每秒运行约0.2米，转一周大约需要21分钟，则两个相邻的亲子座舱在运行一周的过程中，距离地面的高度差的最大值约为（）（参考数据：，计算结果保留整数）A．40米B．50米C．57米D．63米二、多选题9. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A．B．C．D．10. 已知是模长为1的复数，则（）A．B．C．D．11. 已知，是夹角为的单位向量，且，，则（）A．在上的投影向量为B．C．D．12. 已知定义在R上的函数，对任意的，都有，且，则（）A．或1B．是偶函数C．，D．，三、填空题13. 记数列的前项和为，且，则 __________ .14. 已知向量，，若，则__________ .15. 已知函数在区间上的值域为，则___________ .16. 已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ________ .四、解答题17. 记的内角的对边分别为，，，已知为锐角，且.(1)求角的大小；(2)若，，求的面积.18. 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，且.(1)求与的通项公式；(2)记，记为数列的前项和，求.19. 设，为实数，且，函数.(1)讨论的单调性；(2)设，函数，试问是否存在极小值点?若存在，求出的极小值点；若不存在，请说明理由.20. 记数列的前项和为，已知，是公差为1的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设为数列落在区间，内的项数，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和.21. 如图，在四边形中，，，，.(1)若，求；(2)求的最大值.22. 已知函数.(1)求的极值点；(2)若（且），证明：对一切，都有（ⅰ）；（ⅱ）.。

2020学年第一学期高三级数学科第一次月考试卷考试时间：90分钟1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分100分。

2．答题前，考生在答题卡上务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写清楚。

3．回答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

4．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效．．．．．．．．．．．．．。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．设集合{}4,3,2,1,0=U ，{}3,2,1,0=A ，{}1,0=B ，则()=B A C U YA ．{}0B ．{}1,0C ．{}4,1,0D ．{}4,3,2,1,0 2．在复平面内表示复数()i i 43+的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若命题P ：0是偶数，命题q ：2是3的约数．则下列命题中为真的是A ． p ∧qB ．q p ∨C ．p ⌝D ．p ⌝q ⌝∧ 4．已知R x ∈，则“2>x ”是“x x 22>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．下列各函数中，与函数x y =为同一个函数的是A ．()2x y =B ．2x y =C ．xy 2log 2= D ．xx y 2= 6．函数()()2lg 1++-=x x x f 的定义域为A ．[]1,2--B ．()1,2-C ．[)1,2-D ．(]1,2-7．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+0002y y x y x ，则y x z 2-=的最小值是A ．2-B ．1-C ．0D ．2 8．已知8.02=a ，2.12=b ，2log 25=c ，则A ．c a b >>B ． c b a >>C ．a c b >>D ．b b c >> 9．设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，2()2f x x x =+，则(1)f = A ．3- B ．3 C ．1- D ．110．若()x f 是定义在R 上周期为5的奇函数，且满足()11=f ，()22=f ，则()()=-148f fA ．2-B ．2C ．1-D ．1 11．若关于x 的方程0412=++mx x 没有实数根，则实数m 的取值范围是 A ．()1,1- B ．()()+∞-∞-,11,Y C ．()()+∞-∞-,22,Y D ．()2,2-12．如果函数()()2122+-+=x a x x f 在(]4,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是A ．3-≤aB ．3-≥aC ．5≤aD ．5≥a 13．函数()xx x f 2ln -=的零点所在的区间是 A ．()2,1 B ．()e ,2 C ．()3,eD ．()+∞,314．函数y ＝a x在[]1,0上的最大值与最小值和为3，则函数13x y a-=在[]1,0上的最大值是A ．6B ．1C ．3D ．2315．若函数y ax =与b y x=-在(0, +∞)上都是减函数，则函数2y ax bx =+在(0,+∞) 上的单调性是A ．先增后减B ．先减后增C ．单调递增D ．单调递减第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 16．已知命题R x p ∈∀:，1sin <x ；则:p ⌝ ▲17．设复数z 满足(1)1i z +=，其中i 为虚数单位，则=z ▲ 18．计算：()2213ne +-π= ▲19．已知函数()()⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,413x x x a x a x f a是()+∞∞-,上的减函数，那么a 的取值范围是▲三、解答题（本大题共2小题，满分24分，解答应写出文字说明．证明过程或演算过程） 20．（本题12分）ABC ∆内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．若()21cos -=-B π． （1）求角B 的大小；（2）若4=a ，2=c ，求ABC ∆的面积． 21．（本题12分）已知二次函数()412++=bx ax x f 的最低点为()0,1-． （1）写出该函数的对称轴方程，并求出()x f 的解析式； （2）求不等式()4>x f 的解集；（3）若对任意[]9,1∈x ，不等式()x t x f ≤-恒成立，求实数t 的值．2020学年第一学期高三级数学科第一次月考答案一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分．）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）16．:,sin 1p x R ⌝∃∈≥ 17．1122i + 18．1π- 19．)31,71[三、解答题（本大题共2小题，满分24分） 20．（本题12分）解：（1）Θ()21cos cos -=-=-B B π， （2分） ∴21cos =B ， （3分） 又()π,0∈B ， （4分） 所以3π=B ． （6分）（2）由（1）得3π=B ，∴233sinsin ==πB ， （8分） ∴32232421sin 21=⨯⨯⨯==∆B ac S ABC ． （12分）21．（本题12分）解：（1）依题意，得对称轴方程为1-=x （1分）Θ()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--=-041112b a f a b ， （2分）解得41=a ，21=b ； （3分）因此，()x f 的解析式为()4121412++=x x x f ； （4分）（2）由()4>x f 得44121412>++x x ，即01522>-+x x （5分） 解得()4>x f 的解集为{5-<x x 或}3>x ； （7分）（3）()()22141412141+=++=x x x x f ， 由()x t x f ≤-，得()()x t x t x f ≤+-=-2141， （8分）Θ[]9,1∈x ，∴由()x t x 412≤+-得x t x x 212≤+-≤-，即()()2211+≤≤-x t x ， （10分）由此可得()()41112min2=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤x t 且()()41912max 2=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≥x t（11分） 所以实数4=t ． （12分）。

广东省肇庆市数学高三第一次联合调研考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·长春模拟) 已知集合，，则（）A .B . 或≤C . 或D . 或2. （2分） (2019高三上·江门月考) 设复数满足，则复数的共轭复数（）A . -2B . 2C .D .3. （2分）小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A . 30%B . 10%C . 3%D . 不能确定4. （2分）过点作圆的两条切线(A，B为切点），则（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·辽宁模拟) 设是直线，，是两个不同的平面（）A . 若，，则B . 若，，则C . 若，，则D . 若，，则6. （2分）(2013·山东理) 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A . 2B . 1C . -D . -7. （2分）将函数y=sinx的图象向左平移φ（0≤φ≤2π）个单位后，得到函数y=sin(x-)的图象，则φ=（）B .C .D .8. （2分）(2020·华安模拟) 等差数列的前项和为，且，，则公差（）A . -3B . 3C . -2D . 29. （2分） (2017高一上·河北月考) 已知函数，，若函数有四个零点，则的取值范围（）A .B .C .D .10. （2分）如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1,则此几何体的体积是（）。

B .C .D . 111. （2分）设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A .B . 5C .D .12. （2分） (2019高三上·上海月考) 关于函数，有下列四个命题：① 的值域是；② 是奇函数；③ 在上单调递增；④方程总有四个不同的解；其中正确的是（）A . ①②B . ②③C . ②④D . ③④二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·长春期中) 已知函数的最小正周期为，若,则 =________.14. （1分）(2019·贵州模拟) 设等比数列的前项和为，若，，则________．15. （1分） (2019高二下·深圳月考) 已知函数在上总是单调函数，则a 的取值范围是________16. （1分）(2020·奉贤模拟) 在平面直角坐标系内有两点，，，点在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则 ________三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2018高二上·南通期中) 的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求的面积．18. （10分） (2019高一下·鄂尔多斯期中) 某校高一年级从某次的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）求这100份数学试卷成绩的众数和中位数；（Ⅱ）从总分在和的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷总分相差超过10分的概率．19. （10分）如图所示，扇形所含中心角为，弦将扇形分成两部分，这两部分各以为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体的体积和之比．20. （10分）(2017·通化模拟) 已知函数f（x）=ln（2ax+1）+ ﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）= 有实根，求实数b的最大值．21. （10分）(2018·唐山模拟) 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，交轴于点为坐标原点.（1）若 ,求直线的方程；（2）线段的垂直平分线与直线轴，轴分别交于点，求的最小值.22. （10分） (2018高三上·南阳期末) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值．23. （10分）(2018·湖北模拟) 已知函数的最小值为3.（1）求的值；（2）若，求证： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：答案：21-1、答案：21-2、考点：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

试卷类型：A2019届广东省肇庆市高三第一次统测数学（理）试题（解析版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置．2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先解出集合B，然后根据并集的运算求解.【详解】故选A【点睛】本题考查集合的并集运算，意在考查对集合基础知识的掌握情况，属于基础题.2.已知复数满足,则=( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由得，故选D．考点：复数运算．视频3.设，，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先写出向量的坐标形式，根据向量数量积坐标运算法则即可求得.【详解】，，故选C【点睛】本题考查向量的坐标形式及向量坐标形式数量积的运算，属于基础题型；在解题中，需要注意两点：一是向量坐标是终点坐标减去起点坐标；二是向量数量积的坐标运算中要注意是横坐标与横坐标的乘积加上纵坐标与纵坐标的乘积，最终结果是实数.4.设复数满足为虚数单位），则复数=A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出复数z，然后利用复数模的计算公式求复数的模.【详解】为虚数单位）故选B【点睛】本题考查了复数的运算性质和复数模的计算，在求解z时，用到分母实数化，这是本题计算的关键步骤，要熟练掌握，属于基础题型.5.下列说法错误的是( )A. 回归直线过样本点的中心B. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C. 对分类变量与,随机变量的观测值越大,则判断“与有关系”的把握程度越小D. 在回归直线方程中,当解释变量每增加1个单位时,预报变量平均增加0.2个单位【答案】C【解析】根据相关定义分析知A、B、D正确；C中对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”的招把握程度越大，故C不正确，故选C．6.设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 12B. 10C. 8D. 2【答案】B【解析】【分析】先画出可行域，结合目标函数的集合意义即可求得最大值.【详解】如图为表示的区域，...........................目标函数变形为：则目标函数的最大值即为直线在y轴上截距最大值的一半;由图像可知，目标函数在点（2，1）取得最大值.故选B【点睛】本题考查目标函数最值求解，属于容易题，在解题中准确画出可行域和准确理解目标函数的几何意义是关键.7. 如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是（）A. k≤6B. k≤7C. k≤8D. k≤9【答案】B【解析】试题分析：运行程序可知此时应当输出，也就是不满足判断框的内容，但满足，所以应选B.考点：程序框图中的循环结构.8.设为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：命题甲等价于：若，则，若，则，命题乙等价于，∴甲是乙的必要不充分条件.考点：1.解不等式；2.充分必要条件.9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三视图复原出空间几何图形是三棱柱截取了一个三棱锥后的图形.【详解】将三视图还原为空间图形，如图所示：故选A【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何题和补形是解题的关键，考查了空间想象力.10.下列说法正确．．的是A. “”是“”的充分不必要条件.B. 若为假命题,则,均为假命题.C. 命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”.D. 命题:使得,则:均有.【答案】A【解析】【分析】根据各选项所考查的知识点逐项分析；A项用集合的观点判断充分不必要条件；B项利用复合命题真值表判断；C项是写出原命题的逆否命题，要先对条件和结论都进行否定然后写逆命题；D项是对命题的否定.【详解】A. “”是“”的真子集，故“”是“”的充分不必要条件，正确；B. 若为假命题,由“且”命题真值表可知，p、q至少有一个为假，故错误；C. 命题“若,则”的逆否命题应该是:“若”，故错误；D. 命题:使得,的:，使得,故错误.故选A【点睛】本题考查的知识点较多，综合性较强，其中主要考查了充分条件、复合命题的真假判断、四种命题的关系、特称命题以及简单命题的否定，需要熟练掌握，才可以灵活应用，解题中要认真审题，准确判断命题的真假是解决本题的关键，是基础题.11.将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校，每所学校至少一人，且甲不去A学校，则不同的分配方法有A. 72种B. 108种C. 180种D. 360种【答案】C【解析】【分析】由于甲只能分到B、C、D三所学校，可以分类讨论，当甲分到B学校，有两种不同情况：（1）甲和其他四位老师中的一位分到同一个学校；（2）甲老师一个人分到其中一个学校，其他四位老师中的两位分到同一个学校.甲分到C、D两个学校的情况同分到B学校相同.【详解】当甲老师被分到B学校时，共有当甲老师被分到C、D学校时和分到B学校情况一致，故共有180种不同的分法.【点睛】本题考查了分步计数原理、分类计数原理和排列组合的知识，解题中运用了元素分析法，元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析先安排特殊元素，再处理其它元素.12.如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确．．．的是A. 在内总存在与平面平行的线段B. 平面平面C. 三棱锥的体积为定值D. 可能为直角三角形【答案】D【解析】【分析】A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；B项利用线面垂直的判定定理；C项三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【详解】A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确；B项，如图：当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正确；C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确；D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN 的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若随机变量ξ～N(2，1)，且，则＝________.【答案】0.1587【解析】【分析】根据随机变量ξ～N(2，1)，得到正态曲线关于x=2对称，由,即可求得概率.【详解】随机变量ξ～N(2，1)正态曲线关于x=2对称，【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，解题中主要应用曲线的对称性求区间上的概率，是一个基础题.14.的展开式中的系数是______.（用数字作答）.【答案】120【解析】【分析】先将分解因式，然后利用二项式定理展开，即可得展开式中的系数.【详解】由二项式定理可知的系数是：的展开式中的系数是120.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式、求展开式中某项的系数、二项式系数的性质,属于中档题.15.从一批次品率为0.02的产品中有放回地抽取100次，每次抽取一件产品，设表示抽到的次品件数，则=______.【答案】1.96【解析】【分析】判断试验是独立重复试验的类型, 概率满足二项分布，然后根据二项分布方差公式求解方差即可.【详解】由题意可知,该事件满足独立重复试验,是一个二项分布模型,其中p=0.02,n=100,则DX=npq=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96【点睛】本题考查二项分布期望的求法，判断概率的类型满足二项分布是解题的关键，本题是基础题.16.如图，在中，，，若，则_____.【答案】【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合向量加法、减法法则，将向量、作为基向量,把向量表示出来，即可求出.【详解】即：【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用问题，解题时根据向量加法与减法法则将所求向量用题目选定的基向量表示出来，是基础题目.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在四棱锥，，底面是直角梯形，，，是的中点，是上一点，且.（1）证明：；（2）若，，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析（2）【解析】【分析】（1）证明，只需要在平面PAD内找到一条直线平行于CF即可，找PA的中点H，连接MD，只需证即可.(2)求三棱锥的体积可分为求底面积和三棱锥的高，底面可确定为三角形AGC，三棱锥的高由PD垂直于平面ABCD可知为PD的一半，即可求得三棱锥的体积.【详解】(1)取的中点，连接,因为是的中位线，所以，又因为,所以，所以四边形是平行四边形，所以又平面,平面，所以平面（2）在,又因为，易得，所以又，且，所以平面因为是的中点，所以到平面的距离所以三棱锥的体积是【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明、三棱锥体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，能熟练应用线面平行、线面垂直的判定定理，注意培养空间思维能力.18.每年的金秋十月，越野e族阿拉善英雄会在内蒙古自治区阿拉善盟阿左旗腾格里沙漠举行，该项目已打造成集沙漠竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体.为了减少对环境的污染，某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾.通过查阅近5年英雄会参会人数（万人）与沙漠中所需环保车辆数量（辆），得到如下统计表：参会人数（万人）11 9 8 10 12所需环保车辆（辆）28 23 20 25 29（1）根据统计表所给5组数据，求出关于的线性回归方程．（2）已知租用的环保车平均每辆的费用（元）与数量（辆）的关系为.主办方根据实际参会人数为所需要投入使用的环保车，每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用.预计本次英雄会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润是多少？（注：利润主办方支付费用租用车辆的费用）．参考公式：【答案】（1）（2）需要租用35辆环保车，获得的利润为108500元【解析】【分析】（1）利用表中所给数据，求出最小二乘法所需要的四个量，再利用线性回归方程计算公式分别求出即可得回归方程.(2)利用回归方程先算出需要的车辆数，然后用主办方支付的总费用减去租车费用即为获得利润.【详解】（1）关于的线性回归方程（2）将代入得为确保完成任务，需要租用35辆环保车，所以获得的利润元【点睛】本题考查线性回归分析的应用,本题解题的关键是利用最小二乘法准确解出线性回归方程的系数,这是整个题目做对的必备条件,本题是一个基础题.19.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，且，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】（1）面面垂直只需证明线面垂直即证：（2）建立空间直角坐标系，利用平面与面的法向量所成的夹角公式即可求出平面与平面【详解】（Ⅰ）证明：（1）因为平面面，平面平面，,平面,所以平面又平面，所以又，，所以面又面，所以平面平面（2）取DC的中点O，连接MO，由DM＝MC得MO⊥DC。

肇庆市2020届高中毕业班第一次统检测文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则AB =（ ）A. {}|0x x <B. {}|1x x <C. {}1|0x x <<D.{}|12x x <<【答案】C 【解析】 【分析】求出A 、B 中不等式的解集确定出A 、B ，找出A 与B 的交集即可．【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =-<=<，集合{}{}2|20|02B x x x x x =-<=<<，所以A B ={}1|0x x <<.故选C【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.已知复数z ＝1+i ，则z •z =（ ） 2 B. 2C. ﹣2D. 2[【答案】B 【解析】 【分析】先求出z 的共轭，进而利用乘法公式得到结果. 【详解】∵z ＝1+i ，∴1z i =-， ∴()()112z z i i ⋅=+-=， 故选：B【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题. 3.设x R ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b +=（ ）A. 5B. 10C. 25D. 10【答案】B 【解析】试题分析：由a b ⊥知，则，可得．故本题答案应选B ．考点：1.向量的数量积；2.向量的模．4.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα=（ ） A. 25-B. 15-C.25D.15【答案】C 【解析】 【分析】先由题得tan 2α=，再化简222sin cos sin cos tan sin cos 1sin cos tan 1αααααααααα===++，即得解.【详解】由题得tan 2α=, 所以222sin cos sin cos tan 2sin cos 1sin cos tan 15αααααααααα====++.故答案为C【点睛】(1)本题主要考查三角化简求值，考查同角的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)本题解题的关键是222sin cos sin cos tan sin cos 1sin cos tan 1αααααααααα===++，这里利用了“1”的变式，221sin cos αα=+.5.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 34,p p【答案】C 【解析】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.6.设变量x, y 满足约束条件360,{20,30,x y x y y +-≥--≤-≤则目标函数z = y －2x 的最小值为（ ）A. －7B. －4C. 1D. 2【答案】A 【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，由题意知,当目标函数2z y x =-表示的直线经过点A(5，3)时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3257-⨯=-，故选A.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.7.若01x y <<<，则 A. 33y x < B. log 3log 3x y < C. 44log log x y < D. 11()()44xy<【答案】C 【解析】【详解】试题分析：3xy =增函数且x y <，所以A 错误.3log y x =为增函数且01x y <<<，故33log log 0x y <<，即110log 3log 3x y <<， 所以log 3log 3x y >，所以B 错误；14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数且x y <，所以D 错误.4log y x =为增函数且x y <，故44log log x y <故选C.考点：比较大小.8. 执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，输出的S=（ ）A.67B.37C.89D.49【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而，∴，故选B.考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.9.“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】函数f (x )的单调增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，所以当a ＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f (x )在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a ≤2，所以a ＝1不一定成立．“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A.10.由函数f （x ）＝sin 2x 的图象平移得到g （x ）＝cos （ax 6π-），（其中a 为常数且a ＞0）的图象，需要将f （x ）的图象（ ）A. 向左平移3π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位D. 向右平移6π个单位【答案】B 【解析】 【分析】先根据平移关系求出a ＝2，利用三角函数的诱导公式，进行转化，结合平移关系进行转化即可．【详解】解：由函数f （x ）＝sin2x 的图象平移得到g （x ）＝cos （ax 6π-）， 则函数的周期相同即a ＝2，则g （x ）＝cos （2x 6π-）＝sin （2x 62ππ-+）＝sin （2x 3π+）＝sin2（x 6π+）， 则需要将f （x ）的图象向向左平移6π个单位，故选：B ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的诱导公式以及平移关系是解决本题的关键，比较基础．11.已知函数f （x ）＝x •sinx 的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若x 1，x 2∈（22ππ-，），且f （x 1）＜f （x 2），则（ ）A. x 1＞x 2B. x 1+x 2＞0C. x 1＜x 2D. x 12＜x 22【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式f （x ）＝x •sin x ，结合奇偶函数的判定方法得出函数f （x ）＝x •sin x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，其图象是右边一个图．再利用正弦函数的性质得出当x 02π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时和当x 02π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，时，函数f （x ）＝x •sin x 的单调性，即可对几个选项进行判断． 【详解】解：由于函数f （x ）＝x •sin x ， ∴f （﹣x ）＝﹣x •sin （﹣x ）＝x •sin x ＝f （x ），∴函数f （x ）＝x •sin x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，其图象是右边一个图．且当x 02π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，函数f （x ）＝x •sin x 是增函数，∵x 1，x 2∈（22ππ-，），函数f （x ）＝x •sin x 是偶函数，且f （x 1）＜f （x 2）， ∴()()12fx f x < ，又当x 02π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，函数f （x ）＝x •sin x 是增函数， ∴12x x <， 即x 12＜x 22 故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数图象和奇偶性与单调性的综合，根据函数解析式，得出函数图象的特点，考查了数形结合思想和读图能力．12.已知函数f （x ）＝e x，g （x ）＝2，若在[0，+∞）上存在x 1，x 2，使得f （x 1）＝g （x 2），则x 2﹣x 1的最小值是（ ） A. 1+ln 2 B. 1﹣ln 2 C.916D. e ﹣2【答案】B 【解析】 【分析】先由f （x 1）＝g （x 2），可得12xe =，设x 2﹣x 1＝t ，（t ＞0）可得x 2＝t +x 1，即方程2xe -=0．那么（e x+2）2＝16（t +x ），t 2(2)16x e x +=-，通过求导研究单调区间，求极值即可求出结论． 【详解】解：由f （x 1）＝g （x 2），可得12xe =， 设x 2﹣x 1＝t ，（t ＞0） 可得x 2＝t +x 1，即方程2x e -=0． 那么（e x +2）2＝16（t +x ）∴t 2(2)16x e x +=-，令y 2(2)16x e x +=-，（x ≥0） 可得y ′()()242()2888x x x x e e e e +-+-==令y ′＝0， 可得x ＝ln2，∴在区间（0，ln 2）时函数y 递减，（ln 2，+∞）时函数y 递增； 当x ＝ln 2，可得y 的最小值为1﹣ln 2． 即t 的最小值为1﹣ln 2． 故选：B ．【点睛】本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题，考查换元法及减元思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_______. 【答案】1 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题中条件求出d 、q 的值，进而求出2a 和2b 的值，由此可得出22a b 的值. 【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=， 求得2q =-，3d =，那么221312a b -+==，故答案为1. 【考点】等差数列和等比数列【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.14.1ABC D AB AD 2DB CD CA λCB λ__________3在中，已知是边上一点．若＝，＝＋，则＝．【答案】23【解析】∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋ (－)＝＋.又＝＋λ，∴ λ＝.15.已知等差数列的前n 项和为n S ，且12130,0S S ><，则使n S 取得最大值的n 为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】由12130,0S S ><，根据等差数列的前n 项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大． 【详解】因为等差数列中，12130,0S S ><， 所以()126713760,130S a a S a =+>=<，6770,0a a a ∴+><， 670,0a a ∴><，∴S n 达到最大值时对应的项数n 的值为6． 故答案为：6【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n 项和，属于容易题． 16.已知△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且bcosC ﹣ccosB 14=a 2，tanB ＝3tanC ，则a ＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，由tan B ＝3tan C 可得sinB cosB =3sinCcosC ⨯，变形可得sin B cos C ＝3sin C cos B ，结合正弦定理可得sin B cos C ﹣sin C cos B 14=sin A ×a ，变形可得：sin B cos C ﹣sin C cos B 14=sin （B +C ）×a ，由和角公式分析可得sin B cos C ﹣sin C cos B 14=⨯a ×（sin B cos C +sin C cos B ），将sin B cos C＝3sin C cos B 代入分析可得答案．【详解】根据题意，△ABC 中，tanB ＝3tanC ，即sinB cosB =3sinCcosC⨯，变形可得sinBcosC ＝3sinCcosB ，又由bcosC ﹣ccosB 14=a 2，由正弦定理可得：sinBcosC ﹣sinCcosB 14=sinA ×a ， 变形可得：sinBcosC ﹣sinCcosB 14=sin （B +C ）×a ，即sinBcosC ﹣sinCcosB 14=⨯a ×（sinBcosC +sinCcosB ）， 又由sinBcosC ＝3sinCcosB ，则2sinCcosB ＝sinCcosB ×a ， 由题意可知：2B π≠，即sinCcosB≠0，变形可得：a ＝2； 故答案为：2．【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，涉及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知f （x ）=﹣2sin 22xω（ω＞0）的最小正周期为3π．（1）求ω的值；（2）当x ∈[324ππ，]时，求函数f （x ）的最小值．【答案】(1)23(2)1．【解析】 【分析】（1）先化简f （x ）＝2sin （6x πω+）﹣1，由函数f （x ）的最小正周期为3π即可求出ω的值；（2）由（1）可知f （x ）＝2sin （23x 6π+）﹣1，在由x ∈[324ππ，]，求出222363x πππ≤+≤，从而当22363x ππ+=，即x 34π=时，f （x ）min ＝2-11=．【详解】（1）f （x ）=﹣2112cos xx cos x ωωω-⨯=+-=2sin （6x πω+）﹣1，∵函数f （x ）的最小正周期为3π， ∴ω2233ππ==， （2）由（1）可知f （x ）＝2sin （236x π+）﹣1， ∵x ∈[324ππ，]，∴222363x πππ≤+≤，∴当22363x ππ+=，即x 34π=时，f （x ）min ＝2-11=． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，三角函数的周期性及求三角函数的最值，是基础题．18.已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos )A A =-． （1）求A ；（2）若7a =，sin sin 14B C +=，求△ABC 的面积．【答案】（1）π3A =;（2）【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式以及同角三角函数关系得tan2A，解得A;（2）根据正弦定理得13b c +=，再根据余弦定理得40bc =，最后根据三角形面积公式得结果.【详解】（1）由于)sin 1cos A A =-，所以22sin cos 222A A A =，tan 23A =．因为0πA <<，故π3A =． （2）根据正弦定理得sin a A =， b B =，c C =．因为sin sin B C +=，所以13b c +=． 由余弦定理得222π72cos 3b c bc =+-得40bc =． 因此△ABC的面积为1sin 2bc A = 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 19.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n，若n a n ∈N *，且n ≥2）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记2n an n c a =⋅，求数列{c n }的前n 项和T n ．【答案】(1) a n＝2n ﹣1；(2) T n()21652109n n +-⨯+=．【解析】分析】（1）根据题意，有a n ＝S n ﹣S n ﹣1，结合n a ==1，则数列=1为首项，公差为1的等差数列，=1+（n ﹣1）＝n ，则S n ＝n 2，据此分析可得答案；（2）由（1）的结论可得c n ＝（2n ﹣1）×22n ﹣1；进而可得T n ＝1×2+3×23+5×25+……+（2n ﹣1）×22n ﹣1，由错位相减法分析可得答案．【详解】（1）数列{a n }中，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，（n ∈N *，且n ≥2）①n a （n ∈N *，且n ≥2）②=1， 则数列=1为首项，公差为1的等差数列，=1+（n ﹣1）＝n ， 则S n ＝n 2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣1，a 1＝1也符合该式，则a n ＝2n ﹣1；（2）有（1）的结论，a n ＝2n ﹣1， 则c n ＝（2n ﹣1）×22n ﹣1；则T n ＝1×2+3×23+5×25+……+（2n ﹣1）×22n ﹣1，③； 则4T n ＝1×23+3×25+5×27+……+（2n ﹣1）×22n +1，④；③﹣④可得：﹣3T n ＝2+2（23+25+……+22n ﹣1）﹣（2n ﹣1）×22n +1103=-+（53-2n ）×22n +1， 变形可得：T n()21652109n n +-⨯+=．【点睛】本题考查数列的递推公式的应用以及数列的错位相减法求和，关键是求出数列{a n }的通项公式，考查学生的计算能力．20.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1+λa n ，其中λ≠0． （1）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；（2）当λ＝2时，求数列{()()1111n n n a a a ++--}的前n 项和．【答案】(1)证明见解析 ，a n 11λ=-•1()1n λλ-- (2)212n -+1． 【解析】 【分析】（1）数列{a n }的前n 项和S n ＝1+λa n ，其中λ≠0．n ＝1时，a 1＝1+λa 1，λ≠1，解得a 1．n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，化为：11n n a a λλ-=-．即可证明{a n }是等比数列，进而得出其通项公式． （2）当λ＝2时，a n ＝﹣2n ﹣1．()()()()1112111212nn n n n n a a a +-+-==--++21111212n n -⎛⎫- ⎪++⎝⎭．利用裂项求和方法即可得出．【详解】（1）证明：数列{a n }的前n 项和S n ＝1+λa n ，其中λ≠0．n ＝1时，a 1＝1+λa 1，λ≠1，解得a 111λ=-． n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝1+λa n ﹣（1+λa n ﹣1），化为：11n n a a λλ-=-．∴数列{a n }是等比数列，首项为11λ-，公比为：1λλ-． ∴a n 11λ=-•1()1n λλ--， （2）解：当λ＝2时，a n ＝﹣2n ﹣1．()()()()1112111212n n n n n n a a a +-+-==--++21111212n n -⎛⎫- ⎪++⎝⎭． ∴数列{()()1111n n n a a a ++--}的前n 项和＝2[21111111121112121212n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2（11122n-+）212n=-+1． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21.已知函数f （x ）＝lnx ()11a x x --+，a ∈R ．（1）若x ＝2是函数f （x ）的极值点，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）若x ＞1时，f （x ）＞0，求a 的取值范围． 【答案】(1) x +8y ﹣1＝0，(2) （﹣∞，2]． 【解析】 【分析】（1）由x ＝2是函数f （x ）的极值点，可得，f ′（2）＝0，代入可求a ，然后结合导数的几何意义即可求解，（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论即可求解．【详解】（1）∵f ′（x ）()22222112(1)(1)x a x a x x x x +-+=-=++， 由x ＝2是函数f （x ）极值点，可得，f ′（2）＝0， ∴a 94=， ∴y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率k ＝f ′（1）18=-， 又f （1）＝0故y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程y ()118x =--即x +8y ﹣1＝0， （2）若a ≤2，x ＞1时，f ′（x ）()222222211221(1)(1)(1)x a x ax x x x x x x x +-+-+=-=+++＞＞0， ∴f （x ）在（1，+∞）上单调递增，f （x ）＞f （1）＝0，符合题意， 若a ＞2，方程x 2+（2﹣2a ）+1＝0的△＝4a 2﹣8a ＞0，∴x 2+（2﹣2a ）+1＝0有两个不等的根，设两根分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2， ∵x 1+x 2＝2a ﹣2，x 1•x 2＝1，∴0＜x 1＜1＜x 2，＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈（1，x 2）时，x 2+（2﹣2a ）+1＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，f （x ）＜f （1）＝0，不符合题意，综上可得，a 的范围（﹣∞，2]．【点睛】本题主要考查了极值存在条件的应用，导数的几何意义的应用及函数恒成立问题的求解，体现了分类讨论思想的应用．22.设函数f （x ）＝ax 2+（1﹣2a ）x ﹣lnx （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＞0时，证明f （x ）≥ln （ae 2）﹣2a （e 为自然对数的底数）． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出导函数f '（x ），再对a 分情况讨论，分别求出函数f （x ）的单调区间； （2）由（1）可知当a ＞0时，f （x ）的最小值为f （1）＝1﹣a ，令g （a ）＝1﹣a ﹣（lnae 2﹣2a ）＝a ﹣1﹣lna ，利用导数得到g （a ）的最小值为g （1）＝0，所以g （a ）≥0，即证得f （x ）≥ln （ae 2）﹣2a ．【详解】（1）f '（x ）＝2ax +（1﹣2a ）()()()221212111ax a x ax x x x x+--+--==，x ＞0， ①当a ≥0时，令f '（x ）＞0得：x ＞1；令f '（x ）＜0得：0＜x ＜1， ∴函数f （x ）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）， ②当a ＜0时，若12a-=1，即a 12=-时，f '（x ）≤0，f （x ）的单调递减区间为（0，+∞），若12a-＞1即12-＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为（0，1），（12a-，+∞），单调递增区间为（1，12a -），若12a-＜1即a12-＜时，f（x）的单调递减区间为（0，12a-），（1，+∞），单调递增区间为（12a-，1）；（2）由（1）可知当a＞0时，f（x）的最小值为f（1）＝1﹣a，令g（a）＝1﹣a﹣（lnae2﹣2a）＝a﹣1﹣lna，∴g'（a）＝111aa a--=，∴当a∈（0，1）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；当a∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（a）的最小值为g（1）＝0，∴g（a）≥0，∴1﹣a≥lnae2﹣2a，即f（x）≥ln（ae2）﹣2a．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，考查了分类讨论思想与转化思想，是中档题．。