高三数学试题(文)

第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页…………外………………内……………○……在※※装※※订※※线………○……第II卷（非选择题）二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．若(x2+a)(x+x)8的展开式中x8的系数为9,则a的值为.14．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题,大意是:酒店把酒坛层层堆积,底层摆成长方形,以后每上一层,长和宽两边的坛子各少一个,堆成一个棱台的形状(如图1),那么总共堆放了多少个酒坛?沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术,设底层长和宽两边分别摆放a,b个坛子,一共堆了n层,则酒坛的总数S=ab+(a-1)(b-1)+(a-2)(b-2)+…+(a-n+1)(b-n+1).现在将长方形垛改为三角形垛,即底层摆成一个等边三角形,向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛(如图2),若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛,顶层摆放1个酒坛,那么酒坛的总数为.15．定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=f'(x2)=f(b)-f(a)b-a,则称函数f(x)是[a,b]上的“中值函数”.已知函数f(x)=13x3-12x2+m是[0,m]上的“中值函数”,则实数m的取值范围是.16．设函数f(x)=exx+a(x-1)+b(a,b∈R)在区间[1,3]上总存在零点,则a2+b2的最小值为.三、解答题(共6题，共70分)17．已知数列{a n}的各项均为正数,S n为其前n项和,且4S n=a n2+2a n-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若T n=a1+1S1−a3+1S3+a5+1S5-…+(-1)n+1a2n-1+1S2n-1,比较T n与1的大小.18．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a sin(C+π6)=b+c.(1)求角A的大小;(2)若a=√7,BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-3,角A的平分线交边BC于点T,求AT的长.19．垃圾是人类生产和生活中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,因此需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取20个镇进行分析,得到样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,20),其中x i和y i分别表示第i个镇的人口(单位:万人)和该镇年垃圾产生总量(单位:吨),并计算得∑i=120x i=80,∑i=120y i=4 000,∑i=120(x i-x¯)2=80,∑i=120(y i-y¯)2=8 000,∑i=120(x i-x¯)(y i-y¯)=700.(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的线性相关程度;(2)求y关于x的线性回归方程;(3)某机构有两款垃圾处理机器,其中甲款机器每台售价100万元,乙款机器每台售价80万元,下表是这两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表:根据以往经验可知,某镇每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元,若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年),以频率估计概率,该镇选择购买哪一款垃圾处理机器更划算?参考公式:相关系数r=∑i=1n(x i-x¯)(y i-y¯)√∑i=1(x i-x¯)2∑i=1(y i-y¯)2,对于一组具有线性相关关系的数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),其回归直线y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1nx i y i−nx-y-∑i=1nx i2−nx-2，a^=y-−b^x-.20．如图,已知各棱长均为2的直三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AB的中点.(1)求证:BC1∥平面A1EC;(2)求点B1到平面A1EC的距离.21．已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2√2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点S(-13,0)的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在x轴上是否存在一个定点T,使得无论直线l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.22．已知函数f(x)=lnx,g(x)=-12x.(1)令F(x)=ax·f(x)-2x2·g(x),讨论F(x)的单调性;(2)设φ(x)=f(x)x-g(x),若在(√e,+∞)上存在x1,x2(x1≠x2)使不等式|φ(x1)-φ(x2)|≥k|lnx1-lnx2|成立,求k的取值范围.第3页共4页◎第4页共4页参考答案1.D【解析】解法一 因为A ={x ||x |≤3}={x |-3≤x ≤3},(题眼)(方法点拨:含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边,小于在中间”,即|x |≤a 的解集是{x |-a ≤x ≤a },|x |≥a 的解集是{x |x ≤-a 或x ≥a })B ={x |x ≤2},所以A ∩B ={x |-3≤x ≤2},故选D.解法二 因为3∉B ,所以3∉(A ∩B ),故排除A,B;因为-3∈A 且-3∈B ,所以-3∈(A ∩B ),故排除C.故选D. 【备注】无 2.B【解析】解法一 z =4-3i 2-i=(4-3i)(2+i)(2-i)(2+i)=11-2i 5=115−25i,所以|z |=√(115)2+(-25)2=√5,(题眼)故选B.解法二 |z |=|4-3i2-i |=|4-3i||2-i|=√42+(-3)2√22+(-1)2=√5=√5,故选B.(方法总结:若z 1,z 2∈C ,则|z 1z 2|=|z 1|·|z 2|,|z1z 2|=|z 1||z 2|(|z 2|≠0)) 【备注】无3.A【解析】解法一 由sin x =1,得x =2k π+π2(k ∈Z ),则cos (2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又由cosx =0,得x =k π+π2(k ∈Z ),而sin(k π+π2)=1或-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,(判断充分、必要条件应分三步:(1)确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试从条件推结论(充分性),从结论推条件(必要性);(3)确定条件和结论是什么关系)故选A.解法二 由sin x =1,得x =2k π+π2 (k ∈Z ),则cos(2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又cos 3π2=0,sin 3π2=-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,故选A. 【备注】无 4.A【解析】由题可知,数列{a n }是首项为29、公比为12的等比数列,所以S n =29[1-(12)n ]1-12=210-210-n,T n =29×28×…×210-n=29+8+…+(10-n )=2n(19-n)2,由T n >S n ,得2n(19-n)2>210-210-n,由n(19-n)2≥10,可得n 2-19n +20≤0,结合n ∈N *,可得2≤n ≤17,n ∈N *.当n =1时,S 1=T 1,不满足题意;当n ≥18时,n(19-n)2≤9,T n ≤29,S n =210-210-n>210-1>29,所以T n <S n ,不满足题意.综上,使得T n >S n 成立的n 的最大正整数值为17. 【备注】无 5.B【解析】依题意,1=a 2+b 2-2a ·b =1+1-2a ·b ,故a ·b =12,所以(a -b )·(b -c )=a ·b -b 2-(a -b )·c =(b -a )·c -12=|b -a ||c |·cos<b -a ,c >-12≤1-12=12,当且仅当b -a 与c 同向时取等号.所以(a -b )·(b -c )的最大值为12.故选B.【备注】无 6.D【解析】由已知可得∠xOP =∠P 0OP -∠P 0Ox =π2t -π3,所以由三角函数的定义可得y =3sin∠xOP =3sin(π2t -π3),故选D.【备注】无 7.B【解析】本题主要考查古典概型、排列与组合等知识,考查的学科素养是理性思维、数学应用. “礼、乐、射、御、书、数”六节课程不考虑限制因素有A 66=720(种)排法,其中“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排课方法可以分两类:①“数”排在第一节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 41A 22A 33=48(种)排法;②“数”排在第二节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 31A 22A 33=36(种)排法.(方法总结:解决排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置))故“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排法共有48+36=84(种),所以“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的概率P =84720=760,故选B. 【备注】无 8.C【解析】解法一 由已知可得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.在平面ACC 1A 1内,过点C 1作C 1H ⊥PC ,垂足为H ,如图.由CC 1⊥底面ABC ,可得CC 1⊥BC ,因为AC ⊥BC ,AC ∩CC 1=C ,所以BC ⊥平面ACC 1A 1,所以BC ⊥C 1H ,又C 1H ⊥PC ,PC ∩BC =C ,所以C 1H ⊥平面PBC ,连接BH ,故∠C 1BH 就是直线BC 1与平面PBC 所成的角.在矩形ACC 1A 1中,CP =√CA 2+AP 2=√42+22=2√5,sin∠C 1CH =cos∠PCA =AC CP =2√5=√5=C 1H CC 1=C 1H 3,故C 1H =3×√5=√5.故在△BC 1H中,sin∠C 1BH =C 1HBC 1=√53√2=√105,所以直线BC 1与平面PBC 所成角的正弦值等于√105.故选C.解法二 由已知得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.如图,以C 为坐标原点,分别以CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C C_1的方向为x ,y ,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),P (0,4,2),B (3,0,0),C 1(0,0,3),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2),B ⃗ C_1=(-3,0,3).设平面BCP 的法向量为n =(x ,y ,z ),则由{n ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥CP⃗⃗⃗⃗ 可得{n·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x =0,n·CP ⃗⃗⃗⃗ =4y +2z =0,即{x =0,2y +z =0,得x =0,令y =1,得z =-2,所以n =(0,1,-2)为平面BCP 的一个法向量.设直线BC 1与平面PBC 所成的角为θ,则sin θ=|cos<n ,B ⃗ C_1>|=|n·B⃗⃗ C_1||n||B⃗⃗ C_1|=√(-3)2+32×√12+(-2)2=√105.故选C.【备注】求直线与平面所成角的方法:(1)定义法,①作,在直线上选取恰当的点向平面引垂线,确定垂足的位置是关键;②证,证明所作的角为直线与平面所成的角,证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;③求,利用解三角形的知识求角.(2)向量法,sin θ=|cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n|(其中AB 为平面α的斜线,n 为平面α的法向量,θ为斜线AB 与平面α所成的角).9.B【解析】本题主要考查集合以及自定义问题的解题方法；G =N,⊕为整数的加法时，对任意a,b ∈N ，都有a ⊕b ∈N ，取c =0，对一切a ∈G ，都有a ⊕c =c ⊕a =a ，G 关于运算⊕为“融洽集”. 【备注】无 10.D【解析】对于A,甲街道的测评分数的极差为98-75=23,乙街道的测评分数的极差为99-73=26,所以A 错误;对于B,甲街道的测评分数的平均数为75+79+82+84+86+87+90+91+93+9810=86.5,乙街道的测评分数的平均数为73+81+81+83+87+88+95+96+97+9910=88,所以B 错误;对于C,由题中表可知乙街道测评分数的众数为81,所以C 错误;对于D,甲街道的测评分数的中位数为86+872=86.5,乙街道的测评分数的中位数为87+882=87.5,所以乙的中位数大,所以D 正确. 故选D. 【备注】无 11.A【解析】本题考查函数的图象与性质,数形结合思想的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 解法一 易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,显然x ≠-3,当x ≠0且x ≠−3时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得a =|x|x 3+3x 2,设g (x )=|x|x 3+3x 2,则g (x )的图象与直线y =a 有3个不同的交点.当x >0时,g (x )=1x 2+3x ,易知g (x )在(0,+∞)上单调递减,且g (x )∈(0,+∞).当x <0且x ≠-3时,g (x )=-1x 2+3x,g'(x )=2x+3(x 2+3x)2,令g'(x )>0,得-32<x <0,令g'(x )<0,得−3<x <−32或x <−3,所以函数g (x )在(−∞,−3)和(−3,−32)上单调递减,在(−32,0)上单调递增,且当x 从左边趋近于0和从右边趋近于−3时,g (x )→+∞,当x 从左边趋近于-3时,g (x )→−∞,当x →−∞时,g (x )→0,可作出函数g (x )的大致图象,如图所示,由图可知,a >49.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).解法二 易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,当x ≠0时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得1|x|=a (x +3),则该方程有3个不同的根.在同一坐标系内作出函数y =1|x|和y =a (x +3)的图象,如图所示.易知a >0,当y =a (x +3)与曲线y =1|x|的左支相切时,由-1x=a (x +3)得ax 2+3ax +1=0,Δ=(3a )2-4a =0,得a =49.由图可知,当a >49时,直线y =a (x +3)与曲线y =1|x|有3个不同的交点,即方程1|x|=a (x +3)有3个不同的根.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).【备注】【方法点拨】利用方程的根或函数零点求参数范围的方法及步骤:(1)常规思路:已知方程的根或函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图象一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.(2)常用方法:①直接法——直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数范围;②分离参数法——先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;③数形结合法——先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.(3)一般步骤:①转化——把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况;②列式——根据零点存在性定理或结合函数图象列式;③结论——求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围 12.B【解析】因为圆x 2+y 2=a 2与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,所以∠A 1MA 2=90°,tan∠MOA 2=ba,所以∠PMA 2=90°.因为△MPA 2是等腰三角形,所以∠MA 2P =45°.因为∠PA 2M 的平分线与y 轴平行,所以∠OA 2M =∠PA 2x ,又∠OA 2M +∠A 2MO +∠MOA 2=180°,∠OA 2M =∠A 2MO ,所以∠MOA 2=∠MA 2P =45°,(题眼)所以b a=tan∠MOA 2=1,所以C 的离心率e =c a =√a 2+b 2a 2=√1+b 2a 2=√2.故选B.【备注】无 13.1【解析】二项式(x +1x )8的展开式中,含x 6的项为C 81x 7(1x )1=8x 6,含x 8的项为C 80x 8(1x )0=x 8,所以(x 2+a )(x +1x)8的展开式中,x 8的系数为8+a =9,解得a =1.【备注】无 14.220【解析】根据题目中已给模型类比和联想,得出第一层、第二层、第三层、…、第十层的酒坛数,然后即可求解.每一层酒坛按照正三角形排列,从上往下数,最上面一层的酒坛数为1,第二层的酒坛数为1+2,第三层的酒坛数为1+2+3,第四层的酒坛数为1+2+3+4,…,由此规律,最下面一层的酒坛数为1+2+3+…+10,所以酒坛的总数为1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+10)=1+3+6+…+55=220. 【备注】无 15.(34,32)【解析】由题意,知f '(x )=x 2-x 在[0,m ]上存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<m ),满足f '(x 1)=f '(x 2)=f(m)-f(0)m=13m 2-12m ,所以方程x 2-x =13m 2-12m 在(0,m )上有两个不相等的解.令g (x )=x 2-x-13m 2+12m (0<x <m ),则{Δ=1+43m 2-2m >0,g(0)=-13m 2+12m >0,g(m)=23m 2-12m >0,解得34<m <32.【备注】无16.e 48 【解析】设x 0为函数f (x )在区间[1,3]上的零点,则e x 0x 0+a (x 0-1)+b =0,所以点(a ,b )在直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0上,(题眼)而a 2+b 2表示坐标原点到点(a ,b )的距离的平方,其值不小于坐标原点到直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0的距离的平方,(名师点拨:直线外一点到直线上的点的距离大于等于该点到直线的距离)即a 2+b 2≥e 2x 0x 02(x 0-1)2+12=e 2x 0x 04-2x 03+2x 02.令g (x )=e 2xx 4-2x 3+2x 2,x ∈[1,3],则g'(x )=2e 2x (x 4-2x 3+2x 2)-e 2x (4x 3-6x 2+4x)(x 4-2x 3+x 2)2=2x(x-1)2(x-2)e 2x (x 4-2x 3+x 2)2,则当1≤x <2时,g'(x )<0,当2<x ≤3时,g'(x )>0,所以函数g (x )在区间[1,2)上单调递减,在区间(2,3]上单调递增,所以g (x )min =g (2)=e 48,所以a 2+b 2≥e 48,所以a 2+b 2的最小值为e 48. 【备注】无17.解:(1)令n =1,则4a 1=a 12+2a 1-3,即a 12-2a 1-3=0,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.因为4S n =a n 2+2a n -3 ①,所以4S n +1=a n+12+2a n +1-3 ②,②-①,得4a n +1=a n+12+2a n +1-a n 2-2a n ,整理得(a n +1+a n )(a n +1-a n -2)=0, 因为a n >0,所以a n +1-a n =2,所以数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列,所以a n =3+(n -1)×2=2n +1.(2)由(1)可得,S n =(n +2)n ,a 2n -1=4n -1,S 2n -1=(2n +1)(2n -1), 所以a 2n-1+1S 2n-1=4n (2n+1)(2n-1)=12n-1+12n+1.当n 为偶数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…-(12n-1+12n+1) =1-12n+1<1; 当n 为奇数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…+(12n-1+12n+1)=1+12n+1>1.综上,当n 为偶数时,T n <1;当n 为奇数时,T n >1. 【解析】无 【备注】无 18.无【解析】(1)由已知及正弦定理,得2sin A sin(C +π6)=sin B +sin C ,所以sin A cos C +√3sin A sin C =sinB +sin C.(有两角和或差的正弦(余弦)形式,并且其中有一个角是特殊角时,常常将其展开) 因为A +B +C =π,所以sin B =sin(A +C ),所以sin A cos C +√3sin A sin C =sin(A +C )+sin C ,则sin A cos C +√3sin A sin C =sin A cos C +cos A sin C +sin C ,即√3sin A sin C =sin C cos A +sin C.因为sin C ≠0,所以√3sin A =cos A +1,即sin(A -π6)=12. 因为0<A <π,所以A =π3.(2)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3可知cb cos 2π3=-3,因此bc =6. 由a 2=b 2+c 2-2bc cos∠BAC =(b +c )2-2bc -bc =7,可得b +c =√7+3×6=5. 由S △ABC =S △ABT +S △ACT 得,12bc sin π3=12c ·AT ·sin π6+12b ·AT ·sin π6,(与角平分线相关的问题,常常利用三角形的面积来解决)因此AT =bcsinπ3(b+c)sinπ6=6×√325×12=6√35. 【备注】无19.解:(1)由题意知,相关系数r =∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)√∑i=1(x i -x ¯)2∑i=1(y i -y ¯)2=√80×8 000=78=0.875, 因为y 与x 的相关系数接近于1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系.(2)由题意可得,b ^=∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)∑i=120(x i-x ¯)2=70080=8.75,a ^=y -−b ^x -=4 00020-8.75×8020=200-8.75×4=165,所以y ^=8.75x +165.(将变量x ,y 的平均值代入线性回归方程,求得a ^)(3)以频率估计概率,购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X (单位:万元)的分布列为E (X )=-50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2=30(万元).购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y (单位:万元)的分布列为E (Y )=-30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1=25(万元).因为E (X )>E (Y ),所以该镇选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.(根据已知数据,分别计算随机变量X 和Y 的分布列、期望,期望越大,说明节约费用的平均值越大,也就越划算)【解析】本题主要考查变量相关性分析、线性回归方程的求解、概率的计算以及随机变量期望的意义和求法,考查的学科素养是理性思维、数学应用.第(1)问,由已知数据,代入相关系数公式,求得相关系数r 即可判断x 和y 的相关程度;第(2)问,根据最小二乘估计公式,求得b ^,a ＾的值,从而确定y 关于x 的线性回归方程;第(3)问,根据统计数据计算随机变量X 和Y 的分布列,并分别求期望,由期望的意义可知,数值越大表示节约的垃圾处理费用的平均值越大,从而确定购买哪一款垃圾处理机器. 【备注】无20.(1)如图,连接AC 1交A 1C 于点O ,连接OE ,则BC 1∥OE.(题眼)BC 1∥OEOE ⊂平面A 1EC BC 1⊄平面A 1EC }⇒BC 1∥平面A 1EC.(运用直线与平面平行的判定定理时,关键是找到平面内与已知直线平行的直线)(2)如图,连接A 1B ,则V A 1-ACE =12V A 1-ABC =12×13V ABC-A 1B 1C 1=12×13×√34×22×2=√33.(题眼) 根据直三棱柱的性质,易得A 1A ⊥平面ABC ,因为CE ⊂平面ABC ,所以AA 1⊥CE .因为E 为AB 的中点,△ABC 为正三角形,所以CE ⊥AB. 又AA 1∩AB =A ,AA 1,AB ⊂平面ABB 1A 1,所以CE ⊥平面ABB 1A 1, 因为A 1E ⊂平面ABB 1A 1,所以A 1E ⊥CE .在Rt△A 1CE 中,A 1E ⊥CE ,A 1C =2√2,A 1E =√5,EC =√3,所以S △A 1CE =12×√5×√3=√152. 设点A 到平面A 1EC 的距离为h ,则点B 1到平面A 1EC 的距离为2h .因为V A 1-ACE =V A-A 1CE =13×S △A 1CE ×h ,(点到平面的距离可转化为几何体的体积问题,借助等体积法来解决.等体积法:轮换三棱锥的顶点,体积不变;利用此特性,把三棱锥的顶点转换到易于求出底面积和高的位置是常用方法) 所以h =2√55,即点A 到平面A 1EC 的距离为2√55, 因此点B 1到平面A 1EC的距离为4√55.【解析】无【备注】高考文科数学对立体几何解答题的考查主要设置两小问:第(1)问通常考查空间直线、平面间的位置关系的证明;第(2)问通常考查几何体体积的计算,或利用等体积法求点到平面的距离.21.解:(1)由椭圆的定义可得2a =2√2,则a =√2, ∵椭圆C 的离心率e =ca =√22,∴c =1,则b =√a 2-c 2=1,∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),(由于存在直线l 与x 轴重合的情形,故需进行分类讨论) 由{x =my-13y 22+x 2=1消去x 并整理,得(18m 2+9)y 2-12my -16=0,Δ=144m 2+64(18m 2+9)=144(9m 2+4)>0恒成立,则y 1+y 2=12m 18m 2+9=4m 6m 2+3,y 1y 2=-1618m 2+9. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ,则TA ⊥TB ,TA⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13,y 1),TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 2-t -13,y 2), 则TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13)(my 2-t -13)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-m (t +13)(y 1+y 2)+(t +13)2=-16(m 2+1)-m(t+13)×12m18m 2+9+(t +13)2=(t +13)2-(12t+20)m 2+1618m 2+9=0,∵点T 为定点,∴t 为定值,∴12t+2018=169,(分析式子结构,要使此式子的取值与m 无关,必须要将含有m 的相关代数式约去,通常采用分子与分母的对应项成比例即可解决) 解得t =1,此时TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43)2-169=0,符合题意. 当直线l 与x 轴重合时,AB 为椭圆C 的短轴,易知以AB 为直径的圆过点(1,0).综上所述,存在定点T (1,0),使得无论直线l 如何转动,以AB 为直径的圆恒过定点T .【解析】本题主要考查椭圆的定义及几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查的学科素养是理性思维、数学探索.(1)首先由椭圆的定义求得a 的值,然后根据离心率的公式求得c 的值,从而求得b 的值,进而得到椭圆C 的标准方程;(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),与椭圆方程联立,得到y 1+y 2,y 1y 2,由题意得出TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,然后根据平面向量数量积的坐标运算及T 为定点求得t 的值,当直线l 与x 轴重合时,验证即可,最后可得出结论. 【备注】无22.(1)∵F (x )=ax ·f (x )-2x 2·g (x ),∴F (x )=x +ax ·ln x , ∴F'(x )=1+a +a ln x .①当a =0时,F (x )=x ,函数F (x )在(0,+∞)上单调递增;②当a >0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递增,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )<0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )>0,所以当a >0时,F (x )在(0,e -1-1a )上单调递减,在(e-1-1a,+∞)上单调递增;③当a <0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递减,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )>0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )<0,∴F (x )在(0,e -1-1a )上单调递增,在(e -1-1a ,+∞)上单调递减. (2)由题意知,φ(x )=lnx x+12x,∴φ'(x )=1-lnx x 2−12x 2=1-2lnx 2x 2,令φ'(x )=0,得x =√e ,∴x >√e时,φ'(x )<0,∴φ(x )在(√e ,+∞)上单调递减.不妨设x 2>x 1>√e ,则φ(x 1)>φ(x 2),则不等式|φ(x 1)-φ(x 2)|≥k |ln x 1-ln x 2|等价于φ(x 1)-φ(x 2)≥k (ln x 2-ln x 1),即φ(x 1)+k ln x 1≥φ(x 2)+k ln x 2.令m (x )=φ(x )+k ln x ,则m (x )在(√e ,+∞)上存在单调递减区间, 即m'(x )=φ'(x )+kx=-2lnx+2kx+12x 2<0在(√e ,+∞)上有解,即-2ln x +2kx +1<0在(√e ,+∞)上有解,即在(√e ,+∞)上,k <(2lnx-12x)max .令n (x )=2lnx-12x(x >√e ),则n'(x )=3-2lnx 2x 2(x >√e ),由 n'(x )=0得x =e 32, ∴函数n (x )=2lnx-12x在(√e ,e 32)上单调递增,在(e 32,+∞)上单调递减.∴n (x )max =n (e 32)=2ln e 32-12e 32=e -32,∴k <e -32.故k 的取值范围为(-∞,e -32).【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,考查分类讨论思想、化归与转化思想的灵活应用,考查考生的运算求解能力以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力.(1)通过对函数求导,对参数进行分类讨论,来讨论函数的单调性;(2)依据函数的单调性将不等式转化为函数存在单调递减区间,最后转化为函数的最值问题来解决.【备注】【素养落地】本题将函数、不等式等知识融合起来,借助导数研究函数的性质,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.【技巧点拨】解决本题第(2)问的关键是化归与转化思想的应用,先利用函数的单调性将不等式转化为φ(x1)+k ln x1≥φ(x2)+k ln x2,然后根据式子的结构特征构造函数m(x)=φ(x)+k ln x,将m(x)在(√e,+∞))max.上存在单调递减区间转化为m'(x)<0在(√e,+∞)上有解,进而转化为k<(2lnx-12x。

8题图高三数学试题2(文科)参考公式: 棱锥的体积公式13V Sh=,其中S 是底面面积,h 是高. 一、选择题:1．设全集{|15}U x Z x =∈-≤≤,{1,2,5}A =,}41|{<<-∈=x N x B ,则U BC A =A ．{}3B ．{}0,3C ．{}0,4D ．{}0,3,42．已知i 为虚数单位,则复数2(1)(1)i i -+等于 A ．22i -+ B ．22i -- C ．22i + D ．22i - 3．若||1,||2,a b c a b ===+且c a ⊥,则向量a 与b 的夹角为A. 030B. 060C. 0120D. 0150 4．到定点(0,)(p 其中0)p >的距离等于到定直线y p =-的距离的轨迹方程为A. px y 22=B. py x 22=C.px y 42= D.py x 42= 5．已知下列四个命题：① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面； ③ 若一条直线平行一个平面，另一条直线垂直这个平面，则这两条直线垂直； ④ 若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直； 其中真命题的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④6．若函数2()f x x bx c =++的图象的对称轴为2x =,则函数()f x 的导函数()f x '的图象不经过 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7. 下列说法错误的是A. 命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题为:“若1x ≠,则2320x x -+≠”B. “1x >”是“0x >”的充分不必要条件C. 若p q ∨为真命题，则p 、q 均为真命题D. 若命题p :“x R ∃∈,使得210x x ++<”,则p ⌝:“x R ∀∈,均有210x x ++≥”. 8．右图是一个几何体的三视图,根据图中的数据,可得该几何体的表面积是A. 32πB. 16πC. 12πD. 8π第16题图第11题9．在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知0,453A aB π===则b =A. 2B. 3C. D. 410．若干个球中含有至少3个红球和3个黑球,从中摸出3个球，其中含有红球的概率为0.5,含有黑球的概率为0.8,问摸到的3个球中既有红球也有黑球的概率为A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5 二、填空题:11. 一个算法的程序框图如右图所示,则该程序输出的结果为_________.12.设等比数列{}n a 的公比21=q ,前n 项和为n S ,则 44a S = .13.若点Q P ,分别是圆22221,(3)(2)1x y x y +=-++= 上的动点，则PQ的最大值为14.不等式组260300x y x y x +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积为 .三、解答题: 15．已知函数()2()sin cos cos 2f x x x x =++,x R∈.(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期以及()f x 的值域; (Ⅱ) 函数()21g x x =+的图象经过怎样的变换得到函数()x f 的图象？16．从某学校高三年级800名学生中 随机抽取50名测量身高，据测量被 抽取的学生的身高全部介于155cm 和 195cm 之间，将测量结果按如下方式 分成八组：第一组[)155,160．第二组[)160,165；…第八组[]190,195，1C1B1A1DCBADFE第17题图右图是按上述分组方法得到的条形图. (Ⅰ) 根据已知条件填写下面表格：组别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本数 (Ⅱ) 估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm 以上（含180cm ）的人数；(Ⅲ) 在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？ 17．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 的中点,AC BD F =.(Ⅰ) 求证:CE ⊥BD ；(Ⅱ) 求证:CE ∥平面1A BD；21世纪教育网 (Ⅲ) 求三棱锥1D A BC-的体积.18． 已知{}n a 是等比数列,12a =,318a =;{}n b 是等差数列,12b =,1234b b b b +++=12320a a a ++>.(Ⅰ) 求数列{}n a 的前n 项和nS 的公式；(Ⅱ) 求数列{}n b 的通项公式；(Ⅲ) 设14732n n P b b b b -=++++,10121428n n Q b b b b +=++++,其中1,2,3,n =,试比较nP 与nQ 的大小,并证明你的结论.19．已知点P 是函数y =.(Ⅰ) 是否存在两个定点,使P 到它们的距离之和为常数,若存在,求出这两个定点的坐标； (Ⅱ) 设点Q 的坐标为()0,1-,求PQ 最大值.20．已知定义在()0,+∞的函数()ln ()af x x a R x =-∈,当1=a 时,()f x 在区间()2,1上有一个零点;现给出下面参考数据:x1 1.25 1.375 1.5 1.75 ()f x 1- 0.58-0.44-0.26- 0.012-x1.76573 1.78125 1.81251.875 2 ()f x 0.0020.020.0430.0950.193请你回答下列问题（Ⅰ）求出函数x x x f 1ln )(-=在区间(1,2)上的零点(要求误差不超过0.1）;（Ⅱ）若方程0)(=x f 恰有2个不同的实数解,求实数a 的取值范围.高三数学试题2(文科)参考答案一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDCDDBCCCB二、填空题11．45 12．15 1314．92三、解答题: 15．解: ()sin 2cos 21)14f x x x x π=++=++（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期22T ππ==值域为[1;（Ⅱ）函数()21g x x =+图象向左平移8π个单位得到函数()x f 的图象16．（本题满分12分）解: （Ⅰ）由条形图得第七组频率为：1(0.0420.0820.220.3)0.06,0.06503-⨯+⨯+⨯+=⨯=∴第七组的人数为3人组别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本中人数 2 4 10 10 15 4 3 2 （Ⅱ）由条形图得前五组频率为 (0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82， 后三组频率为1－0.82=0.18估计这所学校高三年级身高在180cm 以上（含180cm ）的人数800×0.18=144（人）(Ⅲ)第二组四人记为a 、b 、c 、d ，其中a 为男生，b 、c 、d 为女生，第七组三人记为1、2、3， 其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：a b c d 1 1a 1b 1c 1d 2 2a 2b 2c 2d 3 3a 3b 3c 3d所以基本事件有12个恰为一男一女的事件有1b ，1c ，1d ，2b ，2c ，2d ，3a ；共7个1C1B1A1DCBADFE因此实验小组中，恰为一男一女的概率是712.17．（本题满分14分）解: (Ⅰ)证明：根据正方体的性质BD AC ⊥， 因为1AA ABCD BD ABCD⊥⊂平面，平面，所以1BD AA ⊥，又1ACAA A=所以11BD ACC A ⊥平面，11CE ACC A ⊂平面，所以CE ⊥BD ；(Ⅱ)证明：连接1A F，因为111111////AA BB CC AA BB CC ==，，所以11ACC A 为平行四边形，因此1111//AC AC AC AC=，由于E 是线段11A C 的中点,所以1//CE FA ，因为1FA ⊂面1A BD，CE ⊄平面1A BD，所以CE ∥平面1A BD(Ⅲ)1131136D A BC A BCDBCD a V V S A A --∆==⋅⋅=18．（本题满分14分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由231a a q =得2319a q a ==，3q =± 当3q =-时，12326181420a a a ++=-+=<,这与12320a a a ++>矛盾，故舍去；当3q =时，12326182620a a a ++=++=>,故符合题意.从而数列{}n a 的前n 项和()2133113n n n S -==--(Ⅱ)设数列{}n b 的公差为d ，由123426b b b b +++=,得14626b d +=,又12b =解得3d =,所以31n b n =-;(Ⅲ)14732,,,,n b b b b -组成以3d 为公差的等差数列，所以()211953222n n n P nb d n n -=+⋅=-10121428,,,,n b b b b +组成以2d 为公差的等差数列,1029b =,所以()210123262n n n Q nb d n n -=+⋅=+,22953()(326)(19)222n n P Q n n n n n n -=--+=-所以对于任意正整数n ，当20n ≥时，n nP Q >； 当19n =时，n nP Q =； 当18n ≤时，n nP Q <.19．（本题满分14分）解:（Ⅰ）由y =221(0)4x y y +=≥所以P是半个椭圆上的动点，这个椭圆的焦点坐标为())根据椭圆的定义P 到这两个焦点的距离之和为4，所以存在两个定点使P 到它们的距离之和为常数，这两个定点的坐标分别为())；(Ⅱ)设P 点坐标为(),x y ，则2PQ =()221x y ++因为y =2244x y =-，2PQ =()221x y ++=2325y y -++ 当[]10,13y =∈时，2PQ 取最大值163，PQ20．（本题满分14分）解：(Ⅰ)假设x x x f 1ln )(-=在区间()2,1上的零点为0x ,因为(1)10,(2)0.1930,(1.5)0.260f f f =-<=>=-<，所以0x(1.5,2)∈ 因为(1.75)0.0120f =-<，所以0x(1.75,2)∈, 因为(1.875)0.0950f =>，所以0x(1.75,1.875)∈因为1.875 1.750.06250.12-=<，所以可以取0 1.8125x =函数x x x f 1ln )(-=在区间()2,1上的零点近似值是：1.8125（说明：由于(1.8125)0.0430f =>，所以区间(1.75,1.85)内的数均可以是合乎要求的解）（Ⅱ）∵21()a f x x x '=+, ∴当0a ≥时,()0(0,)f x x '>∈+∞,即),0(ln )(+∞+=在x ax x f 为单调增函数，故),0(0)(+∞=在x f 不可能有两实根, ∴0a <,令()0f x '=,解得x a =-当0x a <<-时,()0,()f x f x '<递减,当x a >-时,()0()f x f x '>,递增,∴()f x 在x a =-处取到极小值1)ln(+-a 又当0()x f x →→+∞，，当,()x f x →+∞→+∞要使0x >时,()f x 与x 轴有两个交点当且仅当ln()10a -+<.解得01<<-a e ，故实数a 的取值范围⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,1e。

第一学期学分认定考试 高三数学（文）试题2014.01本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将有关信息填在答题卡规定的位置上，按要求贴好条形码.2.第I 卷答案请用2B 铅笔把答题纸上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上.3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域；如需改动，先划掉原来的解答，然后再写上新的解答；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：2341=4==;=33S R V R V S h V S h ππ球球锥体底柱体底；；第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的. 1.设全集(){}(){}2,21,ln 1x x U R A x R B x R y x -==∈<=∈=-，则下图中阴影所表示集合为A.{}1x x ≥B.{}12x x ≤< C.{}01x x <≤D.{}1x x ≤2.某高中共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为 A.24 B.18 C.16 D.123. 已知命题22:2:23p x Rq a y x ax ∃∈===-+；命题是函数在区间[)1,+∞递增的充分但不必要条件.给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题；②命题“p q ⌝∧”是真命题；③命题“p q ⌝∨”是真命题；④命题“p q ∨⌝”是假命题 其中正确说法的序号是 A.②④ B.②③C.②③④D.①②③④4.平面向量a b 与的夹角为()60,2,0,1,2a b a b ==+=则B.C.4D.125.已知角α终边上一点)2sin 23tan P αα-=，则A.1--B.1-C.-D. 06.函数()01xxa y a x=<<图象的大致形状是7.已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为()f x π，则的单调递增区间 A.()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B.()2,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C.(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦8.抛物线()20,3x py M x =上一点到焦点的距离为5，则实数p 的值为 A.8-B.4C.8D.169.函数()()321f x x ax =+-+∞在区间，内是增函数，则实数a 的取值范围是 A.[)3+∞，B.[)3-+∞，C.()3-+∞，D.()-∞，-310.圆22446050x y x y x y +-++=--=被直线所截得的弦长等于B.2C.1D.511.设函数()()()[]()13,3,2f x x x f xf x∈+=-∈--=对任意x R,都有f且当时，sin2xπ，则()2014f=A.0B.12C.1-D.112.在区间[]1,4内取数a，在区间[]0,3内取数b，则函数()()2154f x x b=+-有两个相异零点的概率是A.56B.79C.19D.29第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.设变量x,y满足约束条件2,,2xy xx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数2z x y=+的最小值为____________.14.函数()()log310,1ay x a a=+->≠的图象恒过定点A，若点A在直线10mx ny++=上，其中0mn>，则12m n+的最小值为________.15.一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的表面积为________.16. 设曲线()()1*11ny x n N+=∈在点，处的切线与x轴的交点的横坐标为1239,lgn n nx a x a a a a=+++⋅⋅⋅+令，则的值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知()()()22sin .cos 2,,,f x x x x a b c ππ=---分别为△ABC 中角A ，B ，C的对边，角A 为锐角且()0f A （I ）求角A 的大小；（II）若2,a b ==ABC 的面积S.18.（本小题满分12分）已知四棱锥,//,90S ABCD AD BC ABC -∠=，面SAB ⊥底面ABCD，,2,,2SA SB a BC a AB AD a =====点E ，F ，M 分别是SB ，BC ，CD 的中点. （I ）求四棱锥S-ABCD 的体积； （II ）证明：AB SM ⊥； （III ）证明：SD//面AEF.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的各项均为正整数，13a =，前n 项和为3412n S S a a ，且恰是与的等比中项.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）证明：1211134n S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<20.（本小题满分12分）袋里装有7个球，每个球上分别标有从1到7的一个号码，这些球以等可能性（假定不受重量的影响）从袋里取出.已知号码n 的球重27833n n -+克， （I ）如果任意取出一球，求其重量大于号码数的事件A 的概率； （II ）如果同时任意取出两球，求它们重量相同的事件B 的概率.21.（本小题满分12分）已知()()323,ln f x x ax x g x x b =-+=+（I ）若曲线()()()1f x h x g x x x=+=在处的切线是0x y +=，求实数a 和b 的值；（III ）若()3x f x =是的极值点，求()[]02f x 在，上的最大最小值.22.（本小题满分14分）已知()2212121x F F C y a a +=>1、分别是椭圆：的左、右焦点，O 为坐标原点.（I ）若椭圆2212131y x C C -=与双曲线：的离心率互为倒数，求此时实数a 的值；（II ）若直线()101l F 经过点和点，，且原点到直线l 又另一条直线m ，斜率为1，与椭圆1C E F OE OF ⊥交于，两点，且，求直线m 的方程；（III ）若在直线2x =上存在点P ，使线段121PF M MF PF ⊥的中点满足.求实数a 的取值范围.11。

丰台区~第一学期期末练习高三数学（文科） 第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0,1A =-，{}=1B x x =，则AB =（ ）A ．{}1B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0,1- 2．“2x >”是“2log 0x >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为-3.7，则输出的y 值是（ ）A ．-0.7B ．0.3C ．0.7D ．3.74．若,x y 满足1,1,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．25．已知向量()1,1a =，()44,2a b +=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（ ）A ．3B ．C ．27．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点A 在y 轴上，线段AF 的中点B 在抛物线上，则AF =（ ）A ．1B ．32C ．3D ．6 8．全集(){},,U x y x y =∈∈Z Z ，非空集合S U ⊆，且S 中的点在平面直角坐标系xOy内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称.下列命题： A ．若()1,3S ∈，则()1,3S --∈B ．若()0,0S ∉，则S 中元素的个数一定为偶数C ．若()0,4S ∈，则S 中至少有8个元素D ．若(){},4,,x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z ，则(){},4,,x y x y x y S +=∈∈⊆Z Z第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9．复数i1iz =-在复平面内所对应的点在第 象限． 10．某单位员工中年龄在20~35岁的有180人，35~50岁的有108人，50~60岁的有72人.为了解该单位员工的日常锻炼情况，现采用分层抽样的方法从该单位抽取20人进行调查，那么在35~50岁年龄段应抽取 人． 11．已知4sin 5α=，2παπ<<，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．12．已知直线210x y --=和圆()2211x y -+=交于,A B 两点，则AB = ．13．能够说明“方程()()()()221313m x m y m m -+-=--的曲线不是双曲线”的一个m的值是 ．14．设函数()()f x x ∈R 的周期是3，当[)2,1x ∈-时，(),20,1,0 1.2x x a x f x x +-≤<⎧⎪=⎨⎛⎫≤< ⎪⎪⎝⎭⎩①132f ⎛⎫=⎪⎝⎭； ②若()f x 有最小值，且无最大值，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．在ABC ∆222sin B B =． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若4a =，b =c 的值.16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别是,PB PD 的中点，PA AD =.（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABCD ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面PCD ；（Ⅲ）若4AD =，2CD =，求三棱锥E ADF -的体积..17．等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，等比数列{}n b 的各项均为正数，且满足12n a n n b b +=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及数列{}n b 的公比q ；（Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .18．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.（Ⅰ）从该校所有学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；（Ⅱ）若在已抽取的100名学生中，2017年12月恰参加了1次活动的学生比4次活动均未参加的学生多17人，求,a b 的值；（Ⅲ）若学生参加每次公益活动可获得10个公益积分，试估计该校4000名学生中，2017年12月获得的公益积分不少于30分的人数.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，点(B 在椭圆C上，12F BF ∆是等边三角形. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点A 在椭圆C 上，线段1AF 与线段2BF 交于点M ，若12MF F ∆与12AF F ∆的面积之比为2:3，求点M 的坐标.20．已知函数()()22ln f x a x x ax a =-+∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 在()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.丰台区2017-2018学年度第一学期期末练习2018.01高三数学（文科）答案及评分参考一、选择题1-4:CABD 5-8:DACC 二、填空题9．二 10．6 1112．2 13．13m ≤≤之间的数即可 14．2，51,2⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题15．解：222sin B B =，所以2cos 2sin B B B =. 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以tan B =所以3B π=.（Ⅱ）由余弦定理可得(222424cos3c c π=+-⋅⋅⋅，所以24120c c --=，解得6c =或2c =-（舍）. 解得6c =.16．解：（Ⅰ）证明：连接BD ， 因为,E F 分别是,PB PD 的中点， 所以EF BD ∥.又因为EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD .（Ⅱ）证明：因为PA AD =，F 为PD 中点. 所以AF PD ⊥. 又因为ABCD 是矩形， 所以CD AD ⊥. 因为PA ⊥底面ABCD ， 所以PA CD ⊥. 因为PAAD A =，所以CD ⊥平面PAD . 因为AF ⊂平面PAD ， 所以CD AF ⊥. 又因为PDCD D =，所以AF ⊥平面PCD .（Ⅲ）由（Ⅱ）知CD ⊥平面PAD . 因为AB CD ∥， 所以AB ⊥平面PAD . 因为点E 是PB 的中点， 所以点E 到平面AFD 的距离等于12AB . 所以1114413233E ADF ADF V S AB -∆⎛⎫=⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭， 即43E ADF V -=. 17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d .依题意1115312a d a a d +=⎧⎨++=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩.所以21n a n =+.设等比数列{}n b 的公比为q ，由2112n n n b b ++=，得23122n n n b b +++=.因为21221n n n n n n b b b q b b b ++++==，且2312211242n n n n n n b b b b +++++==，所以24q =.因为数列{}n b 的各项均为正数，所以2q =.（Ⅱ）因为2112n n n b b ++=， 令1n =，得3122b b =， 因为231211122b b b b q b ===， 所以12b =，所以1222n nn b -=⋅=.所以()()()1122n n n S a b a b a b =++++++=()()1212n n a a a b b b +++++++()()212321212nn n ⋅-++⋅=+=-21222n n n +++-.所以21222n n S n n +=++-.18．解：（Ⅰ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰有2次参加公益活动”为事件A ， 则()203011002P A +==. 所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰有2次参加公益活动的概率为12. （Ⅱ）依题意131017a b a b +=⎧⎨+-=⎩，所以103a b =⎧⎨=⎩.（Ⅲ）121540001080100+⨯=. 所以估计该校4000名学生中，12月获得的公益积分不少于30分的人数约为1080人. 19．解：（Ⅰ）由题意(B 是椭圆C 短轴上的顶点，所以b =因为12F BF ∆是正三角形， 所以122F F =，即1c =. 由2224a b c =+=，所以2a =.所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=.（Ⅱ）设()00,M x y ，(),A A A x y ，依题意有00x >，00y >，0A x >，0A y >. 因为121223MF F AF F S S ∆∆=，所以01213A x x +=+，且023A y y =， 所以0312A x x +=，032A y y =，即00313,22x A y +⎛⎫⎪⎝⎭. 因为点A 在椭圆上，所以22143A A x y +=，即220031322143x y +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=. 所以200152270x x -+=，解得01x =，或0715x =. 因为线段1AF 与线段2BF 交于点M ， 所以01x <，所以0715x =. 因为直线2BF 的方程为)1y x =-， 将0715x =代入直线2BF 的方程得到0y =.所以点M 的坐标为7,1515⎛⎝⎭. 20．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222a x a x a ax x f x x x-++-'==.由()0f x '=得x a =或2ax =-. 当0a =时，()0f x '<在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递减区间是()0,+∞，没有单调递增区间. 当0a >时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞. 当0a <时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）当0a >时，()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞. 所以()f x 在()1,e 上有零点的必要条件是()0f a ≥，即2ln 0a a ≥，所以1a ≥.而()11f a =-，所以()10f ≥.若1a =，()f x 在()1,e 上是减函数，()10f =，()f x 在()1,e 上没有零点. 若1a >，()10f >，()f x 在()1,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数，所以()f x 在()1,e 上有零点等价于()e 01ef a <⎧⎪⎨<<⎪⎩，即22e e 01ea a a ⎧-+<⎨<<⎩，解得)1e 12a -<<.综上所述，实数a的取值范围是)1e 1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.。

高三文科数学试题说明：试题满分150分，时间120分钟。

分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，选项按要求涂在答题卡，第Ⅱ卷为第3页至第4页,按要求写在答题卡指定位置。

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合{|32}M m m m =∈≤-≥Z 或，{|13}N n n =∈-Z ，≤≤C )Z M N ⋂=则(（ ） A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2. 定义集合运算：|xA B z z x A y B y ⎧⎫*==∈∈⎨⎬⎩⎭，，．设{}02A =，，{}12B =，，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．63. 在等差数列{}n a 中，若2006200720086a a a ++=，则该数列的前2013项的和为（ ） A ．2012 B ．2013C ． 4024D ．40264. 在△ABC 中，cos cos A bB a=，则△ABC 一定是 ( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5. 已知a 、b 、c∈R，下列命题正确的是 ( ) A ．a ＞b ⇒ ac 2＞bc 2B ．b a cbc a >⇒> C ．110a b ab a b >⎫⇒>⎬<⎭ D ．110a b ab a b>⎫⇒>⎬>⎭ 6. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则 ( )A. (5)(3)(1)f f f <-<B. (1)(3)(5)f f f <-<C. (3)(1)(5)f f f -<<D. (5)(1)(3)f f f <<-7. 设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ( ) A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-8. 若函数()(21)()x f x x x a =+- 为奇函数,则sin 3a π=（ ）.A.12B.32C.34D. 19. 已知变量x 、y 满足约束条件11y x xy y ≤⎧⎪+≤⎨≥-⎪⎩，则32z x y =+的最大值为( )A ．-3 B. 25C. -5D. 410. 已知函数2sin(2)(0)y x ωϕω=+>)在区间[]02π，的图像如下：那么ω＝（ ） A ．1B ．2C ．21D ．31 11. 函数()sin lg f x x x =-零点的个数（ ）A ．3B. 4C. 5D. 612. 函数3,0()log 1,0xex f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩的图像的是（ ）y 2π11 O二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上) 13. 函数lg(5)2x y x -=-的定义域是 ．14. 40(2)2x a x x ++≥>-恒成立，则a 的取值范围是______________． 15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中252,16a a ==，则2182n n nS S ++的最小值是 ．16. 在下列命题中：①对于任意实数x ，有()(),()(),f x f x g x g x -=--=且x>0时,()0,()0,f x g x ''>>则x<0时()().f x g x ''> ②函数sin(2)6y x π=-图象的一个对称中心为点(,0)3π；③若函数()f x 在R 上满足1(2)()f x f x +=-，则()f x 是周期为4的函数； ④在ABC ∆中，若20OA OB OC ++=，则AOC BOC S S∆=;其中正确命题的序号为_________________________________。

2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{}13,Z M x x x =-<≤∈{}1,0,1,2N =-M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}12x x -<≤{}1,0,1,2-{}0,1,2{}1,0,1,2,3-【答案】C【分析】化简集合，根据交集的定义求解即可.M 【详解】因为，{}13,Z M x x x =-<≤∈所以，又，{}0,1,2,3M ={}1,0,1,2N =-所以.{}0,1,2M N = 故选：C.2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i 为虚数单位）i1i z a =-为“等部复数”，则实数a 的值为（ ）A ．B ．C ．0D ．13-1-【答案】B【分析】先化简复数，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出的值．z a 【详解】，222(1i)i i 1i ((1i i 1i 1i))111a a a z a a a a a a +-+-==+-==++++-复数为“等部复数”，i1i z a =-，22111a a a -∴=++1a ∴=-故选：B ．3．攀枝花昼夜温差大，是内陆地区发展特色农业的天然宝地，干热河谷所孕育的早春蔬菜为大家送去新鲜优质的维生素和膳食纤维.下图为攀枝花年月日至日的最高气温与最低气温的天20233612气预报数据，下列说法错误的是（ ）A ．这天的单日最大温差为度的有天7172B ．这天的最高气温的中位数为度729C ．这天的最高气温的众数为度729D ．这天的最高气温的平均数为度729【答案】D【分析】确定这天的单日最大温差为度的日期，可判断A 选项；利用中位数的定义可判断B 717选项；利用众数的概念可判断C 选项；利用平均数公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，这天的单日最大温差为度为月日、月日，共天，A 对；7173103112对于B 选项，这天的最高气温由小到大依次为：、、、、、、（单位：），728282929293031C故这天的最高气温的中位数为度，B 对；729对于C 选项，这天的最高气温的众数为度，C 对；729对于D 选项，这天的最高气温的平均数为，D 错.728229330312042977⨯+⨯++=>故选：D.4．如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x 的取值范围是()f x []3,2-（ ）A ．B ．[]4,1-[]2,4-C ．D ．[]1,4-[]1,2-【答案】B【分析】根据程序框图，明确该程序的功能是求分段函数的值，由此根据该函2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩数值域，可求得答案.【详解】由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，该函数解析式为 ，2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩输出的函数值在区间 内 ，[]3,2-必有当时，，，1x >20log 2x <≤14x ∴<≤当 时 ，，，1x ≤310x -≤-≤21x ∴-≤≤即得 ．[2,4]x ∈-故选∶B ．5．若角的终边上有一点，则（ ）β()2,1P tan 2β=A ．B ．C ．D ．4343-4545-【答案】A【分析】根据正切函数的定义及二倍角的正切公式求解.【详解】因为角的终边上有一点，β()2,1P 所以，1tan 2β=所以，22tan 14tan 211tan 314βββ===--故选：A6．对于直线m 和平面，，下列命题中正确的是（ ）αβA ．若，，则B ．若，，则//m α//αβ//m βm β⊥αβ⊥//m αC ．若，，则D ．若，，则m α⊥//αβm β⊥m α⊂αβ⊥m β⊥【答案】C【分析】根据线面关系和面面关系逐项判断可得出答案.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；//m α//αβ//m βm β⊂对于B ，若，，则或，故B 错误；m β⊥αβ⊥//m αm α⊂对于C ，若，，则，故C 正确；m α⊥//αβm β⊥对于D ，若，，则与相交或或，故D 错误.m α⊂αβ⊥m β//m βm β⊂故选：C.7．已知，，，，若“p 且q ”是真命题，则实数a:[1,2]p x ∀∈20x a -≥0:q x ∃∈R 200220x ax a ++-=的取值范围是（ ）A ．B ．C ．或D ．且2a ≤-1a ≤2a ≤-1a =2a >-1a ≠【答案】C【分析】分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解p qa 【详解】若p 真，则；若q 真，则或．又因为“p 且q ”是真命题，所以或1a ≤2a ≤-1a ≥2a ≤-．1a =故选：C ．8．已知，c ＝sin1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）0.0232log 8,π==a b A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b【答案】D【分析】由对数的运算法则求出a ,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b ,c 进行放缩，最后求得答案.【详解】由题意，，，533223log 8log 20.65a ====0.020ππ1b =>=，则.ππsinsin1sin 43c <<⇒<<a c b <<故选：D.9．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形.若向图2随机投一点，则该点落在白色部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．32π2π1285π【答案】D【分析】计算出白色部分对应的面积后根据几何概型的概率公式可求概率.【详解】设圆的半径为2，如图设与交于，设的中点为，连接.HC AF P AF M ,OM AO 则，设，则，故，OM AF ⊥AP a =222354222a a a ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭285a =而题设中空白部分的面积为，22214342a a ⎫⨯⨯⨯+=⎪⎪⎭故点落在白色部分的概率是，22484ππ5πa a ==故选：D.10．已知双曲线，A 为双曲线C 的左顶点，B 为虚轴的上顶点，直线l 垂()2222:10,0x y C a b a b -=>>直平分线段，若直线l 与C 存在公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）AB A ．B ．C ．D．)+∞)+∞(【答案】B【分析】先根据题意求得直线l 的斜率，再根据直线l 与C 存在公共点，只需直线l 的斜率大于渐近线的斜率即可求解.ba -【详解】依题意，可得，则，()(),0,0,A a B b -00AB b bk a a -==+又因为直线l 垂直平分线段，所以，AB l a k b =-因为直线l 与C 存在公共点，所以，即，a b ba ->-22a b <则，即，解得222a c a <-2222,2c e a <>e >所以双曲线C 的离心率的取值范围是.)+∞故选：B11．已知函数对任意都有，则当取到最大值时，()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()12f x >ω图象的一条对称轴为（ ）()f x A ．B ．π8x =3π16x =C ．D ．π2x =3π4x =【答案】A【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3ππ3383x ωω<+<+1()2f x >3ππ83ω+出的范围，进而得到的最大值为，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案.ωω43【详解】，,3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 0ω>，ππ3ππ3383x ωω∴<+<+，1()2f x >，π3ππ5π3836ω∴<+≤，所以的最大值为，403ω∴<≤ω43当时，令，43ω=4π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4πππ,Z 332x k k +=+∈解得，π3π,Z 84x k k =+∈当时，对称轴为，经检验，其他三个均不合要求.0k =π8x =故选：A12．定义在R 上的连续函数满足，且为奇函数.当时，()f x ()()11f x f x -=+()42y f x =+(]2,3x ∈，则（ ）()()()3232f x x x =---(2022)(2023)f f +=A ．B ．C ．2D ．01-2-【答案】B【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期()()2=f x f x -()()22f x f x -+=-+()f x 为，再根据求解即可.4()()20233f f =【详解】因为函数满足，所以关于对称，()f x ()()11f x f x -=+()f x 1x =即①.()()2=f x f x -又因为为奇函数，所以，()42y f x =+()()4242f x f x -+=-+即②.()()22f x f x -+=-+由①②知，()()2=-+f x f x 所以，()()()24f x f x f x +=-+=-即，所以函数的周期为，()()4f x f x =+()f x 4所以，()()()2023505433f f f =⨯+=,()()()2022505422=⨯+=f f f 因为时，，(]2,3x ∈()()()3232f x x x =---所以，3(3)(32)3(32)2f =---=-又为奇函数，所以当时，，(42)y f x =+0x =(2)0f =所以，(2022)(2023)022f f +=-=-故选：B.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件，则的最大值为___________.010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2z x y =+【答案】2【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】作出约束条件对应的平面区域，如图所示，010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩由，可得直线，2z x y =+122z y x =-+当直线过点A 时，此时直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，122zy x =-+y z 又由，解得，010x x y =⎧⎨+-=⎩(0,1)A 所以的最大值为.z 0212z =+⨯=故答案为：2.14．已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则2:4C y x =________.OA OB ⋅=【答案】3-【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线的方程，将直线方程与抛物线联立得到一AB 元二次方程，利用韦达定理得到，，由即可求出.126x x +=121=x x 1212OA OB x x y y ⋅=+【详解】抛物线的焦点为，24y x =()1,0设A ，B 两点的坐标为和，由题意得直线的方程为，11(,)x y 22(,)x y AB 1y x =-将直线和抛物线联立，可得，241y x y x ⎧=⎨=-⎩2610x x -+=其中，364320∆=-=>则，，126x x +=121=x x .1212OA OB x x y y ⋅=+()()121211x x x x +--=()121221x x x x =-++21613=⨯-+=-故答案为：3-15．如图，圆台中，O 在线段上，上下底面的半径分别为12O O 12O O =12OO ，________.11r =2r =【答案】69π5【分析】列出外接球半径所满足的方程，解出半径，得外接球表面积.【详解】设外接球半径为R，，=26920R =所以外接球表面积为，269π4π5R =故答案为：.69π516．如图，四边形中，与相交于点O ，平分，ABCD AC BD AC DAB ∠，，则的值_______.π3ABC ∠=33AB BC ==sin DAB ∠【分析】由余弦定理求出AC =sin BAC ∠=【详解】在中，，ABC π,3,13ABC AB BC ∠===由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯，2213123172=+-⨯⨯⨯=所以.AC =由正弦定理得，sin sin BC ACBAC ABC =∠∠即sin sin BC ABC BAC AC ∠∠⋅===cos BAC ∠=又因为平分，所以.AC DAB∠sin 2sin cos DAB BACBAC ∠∠∠==三、解答题17．某企业从生产的一批产品中抽取个作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结100果制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；100x(2)用频率代替概率，按分层抽样的方法从质量指标值位于、内的产品中随机抽取[)15,25[)35,45个，再从这个产品中随机抽个，求这个产品质量指标值至少有一个位于内的概率.6622[)35,45【答案】(1)平均数为，中位数为25x =23.75(2)35【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出，利用x 中位数的定义可求得样本的中位数；（2）分析可知质量落在有个，分别记为、、、，质量落在有个，分别[)15,254A B C D [)35,452记为、，列举出所有的事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可a b 求得所求事件的概率.【详解】（1）解：由已知得．100.01510200.04010300.02510400.0201025x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=因为．设中位数为，则，0.150.40.5+>x ()15,25x ∈则，解得．()0.015100.04150.5x ⨯+⨯-=23.75x =（2）解：质量指标值位于、内的产品的频率分别为，[)15,25[)35,450.04100.4⨯=，其中，0.02100.2⨯=0.4:0.22:1=所以用分层抽样的方法抽取的个产品中，质量落在有个，6[)15,254分别记为、、、，质量落在有个，分别记为、，A B C D [)35,452a b 则从这个产品中随机抽个，共种情况，如下：、、、、、、6215AB AC AD Aa Ab BC 、、、、、、、、，这种情况发生的可能性是相等的.BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab 15设事件为从这个产品中随机抽个，M 62这个产品质量指标值至少有一个位于内，2[)35,45有、、、、、、、、，共种情况.Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab 9则.()93155P M ==18．已知等差数列的公差为，前n 项和为，现给出下列三个条件：①成等{}n a ()0d d ≠n S 124,,S S S 比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.432S =()6632S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，且，设数列的前n 项和为，求证：.()122n n n b b a n --=≥13b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 1132n T ≤<【答案】(1)42n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）先分析条件①②③分别化简，若选①②，①③，②③，联立化简后条件求首项与公差得出通项公式即可；（2）由，利用累加法求出求出，再由裂项相消法求出的前n 项和，结()122n n n b b a n --=≥n b 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭合的单调性可得证.n T 【详解】（1）由条件①得，因为，，成等比数列，则，1S 2S 4S 2214S S S =即，又，则，()()2111246a d a a d +=+0d ≠12d a =由条件②得，即，414632S a d =+=13162a d +=由条件③得，可得，即.()6632S a =+()11615352a d a d +=++12a =若选①②，则有，可得，则；1122316d a a d =⎧⎨+=⎩124a d =⎧⎨=⎩()1142n a a n d n =+-=-若选①③，则，则；124d a ==()1142n a a n d n =+-=-若选②③，则，可得，所以.1343162a d d +=+=4d =()1142n a a n d n =+-=-（2）由，且，()12284n n n b a n b n -=--=≥13b =当时，2n ≥则有()()()()1213213122084n n n b b b b b b b b n -=+-+-++-=++++- ()()2841213412n n n -+-=+=-又也满足，故对任意的，有，13b =241n b n =-*n ∈N 241n b n =-则，()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以，21111112111121233521121n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦ 由于单调递增，所以，21n n T n =+113n T T ≥=综上：.1132n T ≤<19．如图1，圆O 的内接四边形中，，，直径.将圆沿折ABCD 45DAC ∠=︒60CAB ∠=︒2AC =AC 起，并连接、、，使得为正三角形，如图2.OB OD BD BOD(1)证明：图2中的平面；AB ⊥BCD (2)在图2中，求三棱锥的体积.D OBC -【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用勾股定理证明，然后结合可证；AB BD ⊥AB BC ⊥（2）利用可求答案.12D OBC O BCD A BCDV V V ---==【详解】（1）由题意得到，.1AB BD ==AD =222AD AB BD =+所以.AB BD ⊥因为为直径所对的圆周角，所以.ABC ∠AB BC ⊥又，平面，平面，BD BC B ⋂=BD ⊂BCD BC ⊂BCD 平面.∴AB ⊥BCD （2）因为平面，平面，AB ⊥BCD CD ⊂BCD所以，因为，，AB CD ⊥AD CD ⊥AB AD A ⋂=所以平面，因为平面，所以，DC ⊥ABD BD ⊂ABD DC BD ⊥所以1122D OBC O BCD A BCD V V V AB BD DC ---===⋅⋅20．已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.C ()12,0F -()22,0F G ⎛ ⎝(1)求椭圆的标准方程；C (2)椭圆的上、下顶点分别为点和，动点在圆上，动点在椭圆上，直线、C M N A 221x y +=B C MA 的斜率分别为、，且.证明：、、三点共线.MB 1k 2k 125k k =N A B 【答案】(1)2215x y +=(2)证明见解析【分析】（1）求出的值，利用椭圆的定义可求得，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标c a b C 准方程；（2）计算得出，结合已知条件可得出，即可证得结论成立.15BM BN k k ⋅=-AN BN k k =【详解】（1）易知椭圆的.2c =点在椭圆上，且G 12GF GF +==∴2a a =⇒=由得，椭圆的标准方程为：.222a b c =+1b =∴C 2215x y +=（2）设，()22,B x y因为.22222222222211111555BM BNy y y y k k x x x y -+--⋅=⋅===--由得.125k k =21115BN k k k =-=-为圆的直径，所以，，.MN 221x y +=NA MA ⊥∴11AN BN k k k =-=故、、三点共线.N A B 【点睛】关键点点睛：本题考查三点共线的证明，解题的关键在于根据椭圆的方程计算得出，以及由圆的几何性质得出，结合斜率关系来进行证明.15BM BN k k ⋅=-NA MA ⊥21．已知函数在处的切线方程为.()e ln x f x x a x=-1x =()2e 1y x b =+-(),a b R ∈(1)求实数a ，b 的值；(2)当时，恒成立，求正整数m 的最大值.1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2e 0x f x x m --+<【答案】(1)，1a =-e 1b =+(2)3【分析】（1）求出导数，根据题意列出方程组求解即可得解；（2）分离参数转化为的最小值，利用导数判断单调性及极值确定最小值()()2e ln x g x x x x=-+-+为，根据单调性求出的范围即可得解.()00212g x x x =-++()0g x 【详解】（1）定义域为，.()0,∞+()()1e x af x x x '=+-由题意知，()()12e 2e 112e 1e f a f b ⎧=-=+⎪⎨=+-='⎪⎩解得，.1a =-e 1b =+（2）由题意有恒成立，即恒成立()2e ln 0x x x x m -+-+<()2e ln x m x x x <-+-+设，，.()()2e ln xg x x x x =-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()11e x g x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭当时，，∴112x ≤≤10x -≥令，其中，则()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()21e 0x h x x '=+>所以函数在上单调递增()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，，所以存在唯一，1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()1e 10h =->01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得，即，可得.()0001e 0x h x x =-=001e x x =00ln x x =-当时，，此时函数单调递减，012x x <<()0g x '>()g x 当时，，此时函数单调递增.01x x <<()0g x '<()g x ，∴()()()()00000000min 00122ln 2212x g x g x x e x x x x x x x ==-+-+=-+⋅+=-++，由对勾函数性质知函数在递减，21122(1y x x x x =-++=+-()0,1x ∈，.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()()0002123,4g x x x =-++∈当时，不等式对任意恒成立，∴3m ≤()2e ln xm x x x <-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦正整数m 的最大值是3.∴【点睛】关键点点睛：第一个关键点首先要分离参数，将问题转化为恒成立，()2e ln x m x x x<-+-+第二个关键在于求取函数的最小值，需结合零点存在性定理得出隐零点()()2e ln x g x x x x=-+-+，分析的范围.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()000212g x x x =-++22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数），曲线xOy 1C 11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.()222:24C x y -+=(1)求，的极坐标方程；1C 2C (2)若射线分别与曲线，相交于A ，B 两点，求的面积.()π06θρ=≥1C 2C 2C AB △【答案】(1)，2cos 24ρθ=4cos ρθ=【分析】（1）两式平方相减消去参数即可得出曲线普通方程；利用将直角坐标方程1C cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩转化为极坐标方程；（2）利用极坐标的几何意义，求得的长，利用直线与夹角为及的长，求得AB 2OC π6θ=π62OC 边上的高，从而求得面积.AB 【详解】（1）依题意得，化简整理得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩224x y -=令，，化简得.cos x ρθ=sin y ρθ=2cos 24ρθ=对于，化简得：.()22222440x y x y x -+=⇒+-=4cos ρθ=（2）设，(),A A ρθ(),B B ρθ依题意得，解得2cos 24π6ρθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩A ρ=，解得，4cos π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩Bρ=∴B A AB ρρ=-=-设到射线的距离为d ，2C π6θ=，解得，2πsin6d OC =1d =∴(21122C AB S AB d =⋅==△23．已知函数.()13f x x x =-+-(1)解不等式；()1f x x ≤+(2)设函数的最小值为c ，正实数a ，b 满足，求的最小值.()f x a b c +=111a b ++【答案】(1)[]1,5(2)43【分析】（1）分类讨论去绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式得c 的值，再利用基本不等式求的最小值.111a b ++【详解】（1）当时，不等式可化为，，1x <4211x x x -≤+⇒≥x ∈∅当时，不等式可化为，得，即.13x ≤≤21x ≤+1x ≥13x ≤≤当时，不等式可化为，得，即.3x >241x x -≤+5x ≤35x <≤综上所述，原不等式的解集为.[]1,5（2）由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=所以，即.2c =2a b +=所以.()1111111412131313b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取到等号，21a b a b +=⎧⎨=+⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以的最小值为.111a b ++43。

高三文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}24M x x =<，{}2230N x x x =--<，且M N =A ．{}2x x <-B ．{}3x x >C ．{}12x x -<<D ．{}23x x << 2．若函数2()log f x x =，则下面必在()f x 反函数图像上的点是反函数图像上的点是A ．(2)aa ， B ．1(2)2-，C ．(2)a a ，D ．1(2)2-，3．右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为A ．64+163B ． 16+334C ．163D ． 16 4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为项和为21，则=++543a a a （ ）A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 5. 将函数)32sin(p+=x y 的图像向右平移12p=x 个单位后所得的图像的一个对称轴是：个单位后所得的图像的一个对称轴是：A. 6p=x B. 4p=x C. 3p=x D. 2p=x6． 若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆落在圆1022=+y x 内（含边界）的概率为内（含边界）的概率为A ．61 B ．41 C ．92D ．3677．下列有关命题的说法正确的是．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件”的充分不必要条件 B ．“2=x ”是“0652=+-x x ”的必要不充分条件．”的必要不充分条件． C ．命题“x R $Î，使得210x x ++<”的否定是：“x R "Î， 均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．”的逆否命题为真命题．P T O ，ｍ）三点共线， 则ｍ的值为 ．．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 ． a b b a a b 2的值为 ．p所得的弦长为所得的弦长为． pp ．开始开始 a =1 a =3a +1 a >100? 结束结束是否a =a +1 输出a33]3型号型号 甲样式甲样式 乙样式乙样式 丙样式丙样式 500ml2000 z 3000 700ml3000 4500 5000 A B C 2a0AF F F 13OF QN MQ a b a 21n +722p)ppp3122p]1 333222,0),(2,0),2a a --22,a 2)2a a a -22a -22a -222123a a -- QN MQ )33x x-1a£ïíïx=>上恒成立，0x >\只要24aa ì£ïí解：（1）由121n n na a a +=+得：1112n na a +-=且111a=，所以知：数列1n a ìüíýîþ是以1为首项，以2为公差的等差数列，为公差的等差数列， …………2分所以所以1112(1)21,21n nn n a a n =+-=-=-得：； ------------4分（2）由211n n b a =+得：212112,n n n n b b n=-+=\= ， 从而：11(1)n n b b n n +=+ ------------6分则 122311111223(1)n n n T b b b b b b n n +=+++=+++´´+=11111111()()()()1223341n n -+-+-++-+ 1111nn n =-=++ ------------9分（3）已知)1()1)(1)(1(12531-++++=n nb b b b P 246213521n n =····- 22212(4)(4)1,221n nn n n n +<-\<- 设：nn T n 2124523+´´´= ，则n n T P >从而：nn n n T P P n n n 2121223423122+´-´´´´=> 21n =+故：故： 21n T n >+ ------------14分。

2024年4月高三数学（文）全国卷模拟考试卷试卷满分150分，考试时间120分钟。

2024.4注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设21ii i z +=+，则z =（）A ．12B ．1CD2．设集合{}{}20,4A x x B x x =≥=≤，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]22-,C ．[]0,2D ．[)2,0-3．函数()2ln 1f x x x =-的大致图象为（）A．B．C．D ．4．若关于,x y 的不等式组1020x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域是直角三角形区域，则实数k =（）A ．1-B ．1C ．1-或0D ．0或15．已知命题“[]21,4,e 0xx m x∀∈--≥”为真命题，则实数m 的取值范围为（）A ．(],e 2-∞-B ．41,e 2⎛⎤-∞- ⎝⎦C ．[)e 2,-+∞D ．41e ,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭6．下图是某全国性冰淇淋销售连锁机构的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月销售量折线图（单位：杯），则下列选项错误的是（）A ．这8个月月销售量的极差是3258B ．这8个月月销售量的中位数是3194C ．这8个月中2月份的销量最低D ．这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份7．已知向量()1,1a =- ，()3,4b =-，则cos ,a a b -= （）A ．52626B ．52626-C ．2613D ．26138．已知角π3α+的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点13,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．12-C ．12D ．329．某导航通讯的信号可以用函数()23sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭近似模拟，若函数()f x 在[]0,m 上有3个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．211π,π312⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．211π,π312⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．117π,π126⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．117π,π126⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知231ln ,,e 23a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c>>D ．b c a>>11．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（）A ．12B ．13C ．40D ．12112．在三棱锥D APM -中，524,,,π6AD MP MP AP MP DP APD ==⊥⊥∠=，则三棱锥D APM -的外接球的表面积为（）A ．17πB ．28πC ．68πD ．72π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在区间[]3,4-上随机取一个数x ，若x a ≤的概率为47，则=a .14．已知函数()f x 的导函数()()()214f x x x x a '=+++，若1-不是()f x 的极值点，则实数=a .15．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的面积为6π，点P 在椭圆C 上，且P 与椭圆上、下顶点连线的斜率之积为49-．记椭圆C 的左、右两个焦点分别为12,F F ，则12PF F △的面积可能为．（横线上写出满足条件的一个值）16．如图，在ABC 中，π6DAC ∠=，2,AC CD D ==为边BC 上的一点，且AD AB ⊥，则AB =.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17．某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．直方图中,,a b c 成等差数列，时长落在区间[)80,90内的人数为200．(1)求出直方图中,,a b c 的值；(2)估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(3)从参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90恰好各一人的概率．18．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形CDEF 为等腰梯形，EF CD ，且平面ABCD ⊥平面,224CDEF AD DE EF ===．(1)证明：AE CE ⊥；(2)求三棱锥E BDF -的体积．19．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，13a =且2111322n n n S S a +++=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()1(1)1n nn a b n n +=-+，求{}n b 的前10项和10T ．20．已知抛物线2:2(04)C x py p =<<的焦点为F ．点()4,P m 在抛物线C 上，且5PF =．(1)求p ；(2)过焦点F 的直线1l 交抛物线C 于,A B 两点，原点为O ，若直线,OA OB 分别交直线2l ：332y x =-于,M N 两点，求线段MN 长度的最小值．21．已知函数()()()211e 12x f x a x a =+-+∈R ．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)设()1212,x x x x <是函数()y f x '=的两个零点，求证：122x x +>．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 2ρθρθ+=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)已知点()0,1T ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求TA TB -的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知,,a b c 均为正实数，且满足9444a b c ++=．(1)求114100c a b+-的最小值；(2)求证：22216941a b c ++≥.1．B【分析】利用分母实数化对z 进行化简，从而得到答案.【详解】由题意可得()()221i 1i (1i)2ii i i i 1i 1i 12z +++=====-+--+-，所以1z =．故选：B ．2．C【分析】先化简集合B ，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为{}0,A x x =≥{}[]242,2B xx =≤=-∣，所以[]0,2A B = ，故选：C 3．B【分析】根据定义域、特殊值可以对选项进行排除，从而得到正确选项.【详解】因为()f x 的定义域为()(),11,∞∞-⋃+，故排除C ；又()36ln20f =>，故排除A ；13ln 022f ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，故排除D ．故选：B ．4．C【分析】由已知，关于,x y 的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域，则直线20kx y +-=垂直于直线0y x +=或直线20kx y +-=垂直于直线1x =，从而得到k 值.【详解】由题意，当直线20kx y +-=垂直于直线0y x +=时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以1k =-.当直线20kx y +-=垂直于直线1x =时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以0k =.故选:C ．5．A【分析】分离参数2e xm x ≤-，求函数()[]2e ,1,4xf x x x=-∈的最小值即可求解.【详解】因为命题“[]21,4,e 0xx m x ∀∈--≥”为真命题，所以[]21,4,e x x m x∀∈≤-．令()[]2e ,1,4,e xx f x x y x =-∈=与2y x=-在[]1,4上均为增函数，故()f x 为增函数，当1x =时，()f x 有最小值，即()1e 2m f ≤=-，故选：A ．6．B【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，再根据极差，中位数的定义可判断A 和B ；根据折线图可判断C 和D.【详解】将数据按从小到大的顺序排列：707，1533，1598，3152，3436，3533，3740，3965，对于A ，极差是39657073258-=，故A 正确；对于B ，因为850%4⨯=，所以中位数是第四个数和第五个数的平均数，即3152343632942+=，故B 错误；对于C ，这8个月中2月份的销量最低，故C 正确；对于D ，这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份，增加了1619，故D 正确．故选：B ．7．B【分析】根据向量的坐标运算，先求()a ab ⋅- ，再分别求a r 和a b - ，利用()cos ,a a b a a b a a b⋅--=⋅-求解.【详解】因为()1,1a =- ，()3,4b =-，所以()2,3a b -=-，a =-= a b ，所以()cos ,a a b a a b a a b⋅--=⋅-==．故选：B 8．D【分析】利用三角函数的定义可求出πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再根据诱导公式求解即可.【详解】因为角π3α+的终边经过点12P ⎛ ⎝⎭，所以πsin 32α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以ππππcos cos sin 63232ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.9．A【分析】先求出函数的零点，然后根据()f x 在[]0,m 上有3个零点，则即可求出实数m 的取值范围.【详解】令2π4π,3x k k -=∈Z ，得ππ,64k x k =+∈Z ，所以函数()f x 的零点为ππ,64k x k =+∈Z ，可知()f x 在[)0,∞+上的零点依次为π5π2π11π,,,,612312x =，若()f x 在[]0,m 上有3个零点，则211π,π312m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．故选：A ．10．A【分析】利用当0x >时，ln 1x x ≤-判断a b >，通过函数1y x=在是减函数判断b c >.【详解】当0x >时，设()ln 1f x x x =-+，则()11f x x'=-，当01x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()()10f x f ≤=，也就是说当0x >时，ln 1x x ≤-，用1x 代替x ，可得11ln 1x x≤-，即1ln 1x x ≥-，所以321ln1233>-=，即a b >．又知2211e 3e->=，所以b c >，所以a b c >>．故选：A 11．C【分析】本题是一个探究型的题目，从图①中读取信息：白球分形成两白一黑，黑球分型成一白两黑；由图②，从第二行起，球的总个数是前一行的3倍，白球的个数是前一行白球个数的两倍加上黑球的个数，黑球的个数是前一行黑球个数的两倍加上白球的个数.由此建立递推关系求解得到结果.【详解】设题图②中第n 行白心圈的个数为n a ，黑心圈的个数为n b ，依题意可得13n n n a b -+=，且有111,0a b ==，所以{}n n a b +是以111a b +=为首项，3为公比的等比数列，13n n n a b -∴+=①；又12n n n a a b +=+，12n n n b b a +=+，故有11n n n n a b a b ++=--，∴{}n n a b -为常数数列，且111a b -=，所以{}n n a b -是以111a b -=为首项，1为公比的等比数列，1n n a b ∴-=②；由①②相加减得：1312n n a -+∴=，1312n n b --=；所以4531402b -==．故选：C ．12．C【分析】根据线面垂直判定定理，证明线面垂直并作图，明确外接球的球心位置，利用正弦定理求得底面外接圆的半径，结合图中的几何性质，求得外接球的半径，可得答案.【详解】由题意可知，,MP PA MP PD ⊥⊥．且,PA PD P PA ⋂=⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以MP ⊥平面PAD ．设ADP △的外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得2sin AD r APD =∠，即42sin150r ︒=，所以4r =．设三棱锥D APM -的外接球的半径为R ，则222(2)(2)R PM r =+，即2(2)46468R =+=，所以217R =，所以外接球的表面积为24π68πR =．故选：C ．13．2【分析】根据几何概型的概率公式，根据长度之比即可求解.【详解】显然0a ≥．区间[]3,4-长度是7，区间[]3,4-上随机取一个数,x x a ≤的解集为[],a a -，区间长度为2a ，所以x a ≤的概率为2477a =，所以2a =．故答案为：214．3【分析】设()24h x x x a =++，依题意有()10h -=，解出a 的值并检验即可.【详解】由()()()214f x x x x a '=+++，设()24h x x x a =++，若1-不是函数()f x 的极值点，则必有()10h -=，即140a -+=，所以3a =．当3a =时，()()()()22143(1)3f x x x x x x =+++=++'，故当3x >-时，()0f x '≥，当3x <-时，()0f x '<，因此3x =-是()f x 的极值点，1-不是极值点，满足题意，故3a =．故答案为：315．2（答案不唯一，在内的任何数都可以）【分析】根据给定条件，求出ab ，结合斜率坐标公式求出,,a b c ，再求出焦点三角形面积的范围即得.【详解】由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为6π，得π6πab =，解得6ab =，设点00(,)P x y ，显然00x ≠，由2200221x y a b+=，得2222002b y b x a -=，椭圆C 的上、下顶点坐标分别为(0,),(0,)b b -，则2220002200049y b y b y b b x x x a -+-⋅==-=-，即2249b a =，解得3,2a b ==，半焦距c =12PF F △的面积12001|2|2||PF F S c y y =⨯⨯= ，而0(2,2)y ∈-且00y ≠，因此12(0,PF F S ∈ ，所以12PF F △的面积可能为2.故答案为：216【分析】在ACD 中由正弦定理求出ADC ∠，即可求出ACD ∠，再代入求出AB ，最后由ABD △为等腰直角三角形得解.【详解】由题可知，在ACD 中，由正弦定理得sin sin sin CD AD ACDAC ACD ADC==∠∠∠，即2πsin sin sin6AD ACD ADC ==∠∠，得2sin 2ADC ∠=，又AC CD >，由图可得ADC ∠为钝角，所以3π4ADC ∠=，所以π4ADB =∠，则πππ4612ACD ∠=-=，则π2sinππππππ124sin 4sin cos cos sin π464646sin 6AD ⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又AD AB ⊥，所以ABD △为等腰直角三角形，则AB AD ==．17．(1)0.04,0.03,0.02a b c ===(2)71.7，73(3)815【分析】（1）先求出c ,再利用面积和为1求出0.07a b +=，再结合等差数列求解a ，b ;（2）利用左右面积相等求中位数，由频率乘组距求和得平均数；（3）由分层抽样确定[)60,70和[)80,90的人数，再利用列举法求解概率.【详解】（1）由已知可得2001000100.02c =÷÷=，则()0.0050.020.005101a b ++++⨯=，即0.07a b +=，又,,a b c 成等差数列，20.02b a ∴=+，解得0.04,0.03a b ==．（2）()()0.0050.04100.450.5,0.0050.040.03100.750.5+⨯=++⨯= ，设中位数为x ，且[)70,80x ∈，()()0.0050.0410700.030.5x ∴+⨯+-⨯=，解得71.7x ≈，即中位数为71.7;平均数为()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=;（3）由（1）知:2:1a c =，按照分层抽样随机抽取6人中，参加课外兴趣班的时长在[)60,70内的有2643⨯=人，记为,,,A B C D ，参加课外兴趣班的时长在[)80,90内的有1623⨯=人，记为,x y ．从,,,,,x y A B C D 中随机抽取2人的所有基本事件有:()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,x y x A x B x C x D y A y B ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,y C y D A B A C A D B C B D C D ，共15种，其中，被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的恰好各一人的事件有:()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,x A x B x C x D y A y B y C y D ，共8种．所以被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的恰好各一人的概率为815.18．(1)证明见解析(2)3【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，再得到线线垂直，利用勾股定理求出线段长度，最后利用线段长度符合勾股定理证明线线垂直；（2）转换顶点，以B 为顶点，以DEF 为底面，从而13--==⨯⨯ E BDF B DEF DEF V V S BC 即可得到体积.【详解】（1）连接AC ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ⋂平面,CDEF CD AD CD =⊥，AD ⊂面ABCD ，AD ∴⊥平面CDEF ，又DE ⊂平面CDEF ，则AD DE ⊥，ADE ∴V 是直角三角形，即AE =．在梯形CDEF 中，作EH CD ⊥于H ，则1,DH EH ==CE ==．又AC =222AC CE AE =+，AE CE ∴⊥．（2）BC CD ⊥ ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ⋂平面CDEF CD =，BC ⊂面ABCD ，BC ∴⊥平面CDEF ．由（1）知11222DEF S EF EH =⨯⨯=⨯=△，11433--==⨯⨯=⨯ E BDF B DEF DEF V V S BC .19．(1)21n a n =+(2)1011【分析】（1）已知n S 与n a 的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化简，最后对1n =时进行检验，得到数列{}n a 是等差数列，从而写出通项公式；（2）根据n a 得到n b ，观察数列通项公式特点，裂项，进而得到前10项和10T .【详解】（1）由题意知：2111322n n n S S a +++=-，即()21123n n n S S a +++=-，当2n ≥时，()2123n n n S S a -+=-，两式相减，可得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为0n a >，可得()122n n a a n +-=≥．又因为13a =，当1n =时，()212223S S a +=-，即2222150a a --=，解得25a =或23a =-（舍去），所以212a a -=（符合），从而12n n a a +-=，所以数列{}n a 表示首项为3，公差为2的等差数列．所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+．（2）由题意得()()1112111(1)(1)(1)111n n n n n a n b n n n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪+++⎝⎭，所以10123910T b b b b b =+++++ 111111111110112233491010111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以101011T =.20．(1)2p =【分析】（1）根据点P 在抛物线C 上符合抛物线的方程和抛物线的定义得到两个方程，联立可解得p ；（2）联立直线1l 方程与抛物线方程得到,A B 两点坐标关系，表示出直线,OA OB ，分别与直线2l 方程联立得到,M N 两点横坐标，再由距离公式表示出线段MN 长度，整理后转换成二次函数求最值问题，进而得到线段MN 长度的最小值.【详解】（1）因为点()4,P m 在C 上，所以162pm =，因为5PF =，所以由抛物线定义得52p PF m ==+，解得4,2m p ==或1,8m p ==（舍）．所以2p =．（2）由（1）知，抛物线C 的方程为24x y =，()0,1F ．若直线AB 的斜率不存在，则与抛物线只有一个交点，不合题意，所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线1l 的方程为1y kx =+，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-，从而有21x x -==由2114x y =得直线OA 的方程1114y x y x x x ==，联立143260x y x x y ⎧=⎪⎨⎪--=⎩解得1126M x x =-，同理2126N x x =-．所以1126N M N M MN x x x =-=-=-=-322443k k==--令()430k t t -=≠，则43tk -=，所以5MN ==，当且仅当1425,254t t==即34k =-时等号成立，所以线段MN 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中线段（距离）类的最值（范围）问题（1）几何法：利用圆锥曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解；（2）代数法：把要求最值的几何量或代数式表示为一个或几个参数的函数，利用函数、不等式的知识进行求解.21．(1)230x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线并化简即可；（2）由导函数的两个零点得()()12121e e x x x x a +=++和()()21211e e x xx x a -=+-，得到21211e e x x x x a -+=-，转化为证明()212121e e 2e e x x x xx x +->-，换元21t x x =-，证明()()2e 20th t t t =-++>即可.【详解】（1）当1a =时，()()212e 1,2e 2x xf x x f x x =-+=-'，则()()03,02f f '==，则切线方程为32y x -=，因此曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为230x y -+=．（2）证明：函数()()121e ,,xf x a x x x =+-'是()y f x '=的两个零点，所以()()12121e ,1e x xx a x a =+=+，则有()()12121e e x x x x a +=++，且()()21211e e x xx x a -=+-，由12x x <，得21211e e x x x x a -+=-．要证122x x +>，只要证明()()121e e2x x a ++>，即证()212121e e 2e e x x x x x x +->-．记21t x x =-，则0,e 1t t >>，因此只要证明e 12e 1t t t +⋅>-，即()2e 20tt t -++>．记()()2e 2(0)t h t t t t =-++>，则()()1e 1th t t '=-+，令()()1e 1t t t ϕ=-+，则()e tt t ϕ'=，当0t >时，()e 0tt t ϕ'=>，所以函数()()1e 1tt t ϕ=-+在()0,∞+上递增，则()()00t ϕϕ>=，即()()00h t h ''>=，则()h t 在()0,∞+上单调递增，()()00h t h ∴>=，即()2e 20tt t -++>成立.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，关键是利用零点代换得21211e e x x x x a -+=-，进而换元求解函数最值即可证明.22．(1)220x y +-=，22(2)9x y +-=【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式可得直线l 的直角坐标方程，利用消参法可得曲线C 的普通方程；（2）求出直线l的参数方程515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），联立曲线C 的普通方程，可得根与系数的关系式，利用t 的几何意义，即可求得答案.【详解】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入cos 2sin 2ρθρθ+=，得220x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为220x y +-=；由曲线C 的参数方程为3cos ,23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数），化为3cos 23sin x y αα=⎧⎨-=⎩，平方相加得曲线C 的普通方程为22(2)9x y +-=；（2）由（1）可得点()0,1T 在直线l 上，由此可得直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），将其代入曲线C的普通方程中得280t -=，设点A 对应的参数为1t ，点B 对应的参数为2t，则12128t t t t +==-，所以12,t t 一正一负，所以12125TA TB t t t t -=-=+=.23．(1)125(2)证明见解析【分析】（1）结合已知等式，将114100c a b +-化为11944100a b a b ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式，即可求得答案；（2）利用柯西不等式，即可证明原不等式.【详解】（1）因为,,a b c 均为正实数，9444a b c ++=，所以1111114944944100100100c a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=+++-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1245≥=，当且仅当1914100a a b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即111,,3205a b c ===时等号成立．（2）证明：根据柯西不等式有()()22222229344(944)16a b ca b c ++++≥++=，所以22216941a b c ++≥．当且仅当3344a b c ==，即416,4141a b c ===时等号成立，即原命题得证.。

高三文科数学高考复习试题（附答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高三文科数学高考复习试题，请认真复习!高三文科数学高考复习试题一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内.1.函数y=log2x-2的定义域是( )A.(3，+∞)B.[3，+∞)C.(4，+∞)D.[4，+∞)2.设集合A={(x，y) | }，B={(x，y)|y=2x}，则A∩B的子集的个数是( )A.1B.2C.3D.43.已知全集I=R，若函数f(x)=x2-3x+2，集合M={x|f(x)≤0}，N={x| <0}，则M∩∁IN=( )A.[32，2]B.[32，2)C.(32，2]D.(32，2)4.设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+x，则当x<0时，f(x)=( )A.-(-12)x-xB.-(12)x+xC.-2x-xD.-2x+x5.下列命题①∀x∈R，x2≥x;②∃x∈R，x2≥x;③4≥3;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠-1”.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.36. 已知下图(1)中的图像对应的函数为，则下图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是( )7.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )A.(1.4,2)B.(1,1.4)C.(1，32)D.(32，2)8.点M(a，b)在函数y=1x的图象上，点N与点M关于y轴对称且在直线x-y+3=0上，则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上( )A.既没有最大值也没有最小值B.最小值为-3，无最大值C.最小值为-3，最大值为9D.最小值为-134，无最大值9.已知函数有零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：将正确答案填在题后横线上.10.若全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x-6=0}，则如图中阴影部分表示的集合为_______ _.11.若lga+lgb=0(a≠1)，则函数f(x)=ax与g(x)=-bx的图象关于________对称.12.设 ,一元二次方程有正数根的充要条件是 = .13.若函数f(x)在定义域R内可导，f(2+x)=f(2-x)，且当x∈(-∞，2)时，(x-2) >0.设a=f(1)，，c=f(4)，则a,b,c的大小为.14、已知。