新人教A版必修4高中数学任意角三角函数第2课时学案

第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1.1.1任意角自主学习知识梳理1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着________从一个位置________到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按______________________形成的角负角按________________形成的角零角一条射线________________，称它形成了一个零角2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．4．终边落在坐标轴上角的集合终边所在的位置角的集合x轴正半轴x轴负半轴x轴y轴正半轴y轴负半轴y轴自主探究终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合第一象限第二象限第三象限第四象限对点讲练知识点一终边相同的角与象限角例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.回顾归纳 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角． 变式训练1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.知识点二 终边相同的角的应用例2 已知，如图所示，(1)写出终边落在射线OA ，OB 上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．回顾归纳 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．变式训练2 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．知识点三 角的象限的判断例3 已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置．回顾归纳 若已知角α是第几象限角，判断α2，α3等是第几象限角，主要方法是解不等式并对k 进行分类讨论．考查角的终边的位置．变式训练3 已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角．(2)k ·360°与α之间是“＋”号，k ·360°－α可理解为k ·360°＋(－α)．(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．(4)k ∈Z 这一条件不能少.课时作业一、选择题 1．与405°角终边相同的角是( ) A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈Z C ．k ·360°＋45°，k ∈Z D ．k ·180°＋45°，k ∈Z 2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限 3．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在( ) A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 4．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5. 如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z }二、填空题6．经过10分钟，分针转了________度．7．下列命题：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是钝角；⑥小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中判断错误的是______．(把有关命题的序号写上即可)8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.三、解答题9．在与角－2 010°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．10．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1．1.1任意角知识梳理1．(1)一条射线端点旋转(2)类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角3．α＋k·360°，k∈Z整数个周角4.终边所在的位置角的集合x轴正半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴负半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}x轴{α|α＝k·180°，k∈Z}y轴正半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴负半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}y轴{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}自主探究α终边所在的象角α的集合限第一{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}象限第二{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}象限第三{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}象限第四{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}象限对点讲练例1解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．变式训练1解(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角．(2)－2 010°＝－6×360°＋150°，∴－2 010°与150°终边相同．∴－2 010°是第二象限角．例2解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．变式训练2解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．(1){α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．(2){α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合(1)与(2)的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }． 例3 解 因为α是第二象限角， 所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z . 所以2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z ，所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上． 因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，即α2的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，即α2的终边在第三象限．所以α2的终边在第一或第三象限．变式训练3 D [由于k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°. 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．]课时作业 1．C 2.A3．A [∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ， ∴α－β＝k ·360°，k ∈Z .]4．C [可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．]5．C [与边界终边相同的角为k ·360°＋120°或k ·360°－45°.故阴影部分的角为k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z .] 6．－607．①③④⑤⑥解析 ①390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确．②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确． ③－330°角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确．④120°角是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以④不正确． ⑤480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以⑤不正确．⑥0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑥不正确． 8．－110°或250°解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°<θ<360°， ∴k ＝－1或0. ∴θ＝－110°或250°.9．解(1)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与角－2 010°终边相同的最小正角是150°.(2)∵－2 010°＝－5×360°＋(－210°)，∴与角－2 010°终边相同的最大负角是－210°.(3)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与－2 010°终边相同也就是与150°终边相同．由－720°≤k·360°＋150°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋150°依次得：－570°，－210°，150°，510°.10．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．。

三角函数线及其应用课时第21．有向线段(1)定义：带有方向的线段．OMMP. (2)表示：用大写字母表示，如有向线段，2．三角函数线PPPMxM. ，过垂直于作轴，垂足为作图：①(1)α的终边与单位圆交于AxT. α0)作的终边或其反向延长线于点轴的垂线，交②过(1，(2)图示：MPOMAT，分别叫做角α、结论：有向线段(3)的正弦线、余弦线、正切线，统称为三、角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？xy轴上当角的终边落在轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在提示：时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．π8π1．角和角有相同的( )77A．正弦线 B．余弦线．不能确定D ．正切线C．π8πC [角和角的终边互为反向线，所以正切线相同．]772．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )OMAT′．正弦线′，正切线 A OMAT′．正弦线′，正切线 B MPAT，正切线C．正弦线MPAT′，正切线′D．正弦线MPAT，C，正切线为正确．C [α为第三象限角，故正弦线为]3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为．y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0，0的余弦线长度为时，α的终边落在1 [若角α1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.]】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．【例1ππ10π17.(3)－；(2)；(1)364 [解]如图．MPOMAT为正切线．其中为正弦线，为余弦线，三角函数线的画法x轴的垂(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．xA)的终边(α作正切线时，应从(1，0)点引为第一或第四象限角轴的垂线，交α(2)ATT.于点，即可得到正切线或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)π5 1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．8 ]如图：[解π5????MP－＝，sin??8π5????OM－，cos＝??8π5????AT－. ＝tan??8) ＞cos β，那么下列结论成立的是( 【例2】 (1)已知cos αβsin α＞sin ．若Aα、β是第一象限角，则α＞tan β是第二象限角，则B．若α、βtanα＞sin βC．若α、β是第三象限角，则sin＞tan β．若α、β是第四象限角，则tan αDππ4π2π4π22π4 的大小．，tan和tan和(2)利用三角函数线比较sin和sin，coscos553533在规定象限内画观察正弦线或正、β的余弦线出α→思路点拨：(1) 切线判断大小满足cos α＞cos β2π4π观察图形，(2)作出和的正弦线、余弦线和正切线→比较大小35 错误；A，故βsin ＜αsin 时，βcos ＞αcos 可知，(1)由图[ D)1(图(1)由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B错误；图(2)由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；图(3)由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．]图(4)2π2π2π4π4πMPOMATMPOM′，＝′，tan＝，＝′cos＝＝解：如图，(2)sin，cos，333554πAT′.＝tan 5．MPMP′|，符号皆正，| 显然|′|＞2π4π∴sin＞sin；352π4πOMOM′|，符号皆负，∴cos＞cos；|＜| |352π4πATAT′|，符号皆负，∴tan＜tan|＞||.35(1)利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．2π2π2πabc＝tan，则( ＝cos， 2．已知sin＝，)777abcacb＜．．＜B＜＜A babcac＜．D＜．C＜＜D[由如图的三角函数线知：2π2ππATMP＞，因为＝＜，784MPOM，＞所以．2π2π2π所以cos＜sin＜tan，777bac.]所以＜＜πππ3π3．设＜α＜，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果＜α＜，4224上述长度关系又如何？ππMPOMAT，，余弦线为，正切线为α＜时，角α的正弦线为[解] 如图所示，当＜42π3πATMPOMMPOM′，′时，角α显然在长度上，的正弦线为＞′，余弦线为＞＜；当＜α24ATATMPOM′.′＞′＞′正切线为′，显然在长度上，]探究问题[aaa (|α≥|≤1)的不等式？，sin α≤1．利用三角函数线如何解答形如sinaaa(|，sin α≤|≤1)的不等式：提示：对形如sin α≥图①yOMaay轴的垂线交单位圆于两作)，过点(0画出如图①所示的单位圆；在，轴上截取＝PPOPOPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为和点和和′；写出终边在′，并作射线aa的角α的范围．α的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin ≥sin 满足不等式α≤aaa|≤1)的不等式？≤α(|．利用三角函数线如何解答形如2cos α≥，cosaaa|≤1)的不等式：≤cos α对形如提示：cos ≥，α(|图②．xaaxOM轴的垂线交单位圆于两，0)＝，过点画出如图②所示的单位圆；在(轴上截取作OPOPPPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为满′，作射线′；写出终边在点和和和aa cos α的角α≥足不等式cos α≤的范围．的角α的范围，其余部分即为满足不等式3】利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．【例132. αα|≤(1)cos α＞－≤；(3)|sin ；(2)tan 223的写出角α确定对应确定角α的终→思路点拨：→――方程的解边所在区域取值范围[解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是3π3π???kkk?Z，＜α＜2π2＋π－∈. α???44??(2)如图，由正切线知角α的取值范围是ππ???kkk?Zπ＋∈π，α≤. α???62??111(3)由|sin α|≤，得－≤sin α≤.222如图，由正弦线知角α的取值范围是ππ???kkk?∈，π＋Zπ－α≤≤.α???66??2”，求α的取值范围．的不等式改为“cos α＜ 1．将本例(1)2[解]如图，由余弦线知角α的取值范围是π7π???kkk?Z＜2，π2＋π＋∈＜α. α???44??132．将本例(3)的不等式改为“－≤sin θ＜”，求α的取值范围． 22π117π3π2π????－＝－，sin且－≤sin θ＝]由三角函数线可知sin＝sin，sin＝[解??62633223，故θ的取值集合是＜ 2ππ2π7π????kkkk????k＋22π2，＋π＋π，2π－ (．∈Z)∪????6633yx－1的定义域．．利用本例的方法，求函数＝2sin 3x－1≥0，2sin ]要使函数有意义，只需解[1x≥.即sin 2π5π??kk??k＋＋，2π2π∈Z)． (由正弦线可知定义域为??66利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置．(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．(3)在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的提醒：所有角的集合．．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小1 问题，难点是对三角函数线概念的理解． ．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题2 ；三角函数线的画法，见类型1(1) ；利用三角函数线比较大小，见类型2(2)3.利用三角函数线解简单不等式，见类型(3)．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值3的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之 重． ．利用三角函数线解三角不等式的方法41．下列判断中错误的是( )A ．α一定时，单位圆中的正弦线一定B ．在单位圆中，有相同正弦线的角相等C ．α和α＋π有相同的正切线D ．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上π5πB [A正确；B 错误，如与有相同正弦线；C 正确，因为α与π＋α的终边互为反66向延长线；D 正确．]πOMMP 分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( 2．如果， )5MPOMMPOM ＜0＜．B0＜＜．A ．MPOMMPOM 0＞＞＞＞0 DC ．．ππOM 的余弦线和正弦线满足α＝[角β＝的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角D 54MP 0.]＞＞baba，则cos 4 ，3．若．＝sin 4，的大小关系为＝ππ35ba＜，＜＜ [因为424 ，如图4弧度角的正弦线和余弦线()画出ba.]＜cos 4，即观察可知sin 4＜的集合．α的终边范围，并由此写出角α．在单位圆中画出适合下列条件的角413. α≤－(1)sin α；≥(2)cos 223yOBABOA＝(1)作直线[α的终边在如图①所交单位圆于解，两点，连接]，，则角2π2???kkk?∈Zπ，≤π≤απ＋2＋2.α)含边界，角的取值集合为α(示的阴影区域内???33??图①图②1xCDOCOD，则角α＝－(2)作直线交单位圆于，两点，连接，的终边在如图②所示的2．24???kkk?∈，Zπ≤α≤＋2π2π＋π.阴影区域内(α的取值集合为，角含边界)α???33??。

第二课时三角函数线及其应用[提出问题]在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，过A(1,0)作AT⊥x轴，交终边或其反向延长线于点T.问题1：根据上面的叙述画出α分别取135°，30°，225°和－60°时的图形．提示：问题2：由上面的图形结合三角函数定义，可以得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？提示：可以，|sin α|＝|MP|，|cos α|＝|OM|，|tan α|＝|AT|.[导入新知]1．有向线段带有方向的线段叫做有向线段．2．三角函数线三角函数线的四个注意点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值； (4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．[例1] 作出3π4的正弦线、余弦线和正切线．[解] 角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P .作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .[类题通法] 三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .[活学活用]作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线．解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .[例2] 分别比较sin 3与sin 5；cos 3与cos 5；tan 3与tan π5的大小．[解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x 轴非负半轴为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox ，垂足为M .由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT .同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan4π5＝AT ′.由图形可知，MP >M ′P ′，符号相同，则sin2π3>sin 4π5；OM >OM ′，符号相同，则cos 2π3>cos 4π5；AT <AT ′，符号相同，则tan 2π3<tan 4π5.[类题通法]利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．[活学活用] 设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4，上述长度关系又如何？解：如图所示，当π4<α<π2时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT ，显然在长度上，AT >MP >OM ；当π2<α<3π4时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切线为AT ′，显然在长度上，AT ′>M ′P ′>OM ′.[例3] (1)sin α<－12；(2)cos α>32.[解] (1)如图①，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12作x 轴的平行线交单位圆于P ，P ′两点，则sin ∠xOP＝sin ∠xOP ′＝－12，∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6，故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫7π6＋2k π<α<11π6＋2k π，k ∈Z .(2)如图②，过点⎝⎛⎭⎪⎫32，0作x 轴的垂线与单位圆交于P ，P ′两点，则cos ∠xOP ＝cos ∠xOP ′＝32，∠xOP ＝π6，∠xOP ′＝－π6， 故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫－π6＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z .[类题通法]利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．[活学活用]利用三角函数线求满足tan α≥33的角α的范围． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k ²π＋π6≤α<k ²π＋π2，k ∈Z2.三角函数线的概念[典例] 已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．y 轴的非负半轴上 B ．y 轴的非正半轴上 C ．x 轴上 D ．y 轴上[解析] 由题意可知，sin α＝±1，故角α的终边在y 轴上． [答案] D [易错防范]1．本题易错误地认为正弦线是长度为单位长度的有向线段时，sin α＝1，从而误选A. 2．若搞错正弦线和余弦线的位置，则易错选C.3．解决此类问题要正确理解有向线段的概念，既要把握好有向线段是带有方向的线段，有正也有负，同时也要把握准正弦线和余弦线的位置．[成功破障]已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上 答案：C[随堂即时演练]1．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、四象限的角平分线上D ．第一、三象限的角平分线上 答案：C2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM答案：D3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________． 答案：14．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________． 答案：sin 1>cos 15．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，利用单位圆证明：sin θ＋cos θ＞1.证明：如图所示，设角θ的终边交单位圆于点P ，作PM ⊥x 轴于点M .因为sin θ＝MP ＝|MP |，cos θ＝OM ＝|OM |，所以sin θ＋cos θ＝|MP |＋|OM |＞|OP |，而|OP |＝1，所以sin θ＋cos θ＞1.[课时达标检测]一、选择题1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定答案：C2．已知α的余弦线是单位长度的有向线段，那么α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．直线y ＝x 上 D ．以上都不对 答案：A3．若π4＜θ＜π2，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．tan θ＜cos θ＜sin θB ．sin θ＜tan θ＜cos θC ．cos θ＜tan θ＜sin θD ．cos θ＜sin θ＜tan θ答案：D4．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．a <c <b答案：C5．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π]答案：A 二、填空题6．利用单位圆，可得满足sin α＜22，且α∈(0，π)的α的集合为________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 7．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π8．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，22 三、解答题9．试作出角α＝7π6的正弦线、余弦线和正切线．试作出角α＝7π6的正弦线、余弦线和正切线．解：如图：α＝7π6的余弦线、正弦线和正切线分别为OM ，MP 和AT .10．利用单位圆中的三角函数线，求满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0的x 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ＞12.如图所示，由三角函数线可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π k ∈Z ，2k π－π3<x ＜2k π＋π3 k ∈Z .此交集为图形中的阴影重叠部分，即2k π≤x ＜2k π＋π3(k ∈Z)．故x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ＜2k π＋π3，k ∈Z .11．试利用单位圆中的三角函数线证明：当0<α<π2时，sinα<α<tan α.证明：如图，单位圆与α的终边OP 相交于P 点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，连接AP ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作AT ⊥x 轴交OP 于点T ，则sin α＝MP ，α＝AP ，tan α＝AT ，由S 扇形OAP <S △OAT，即12OA ²AP <12OA ²AT ，所以AP <AT .又MP <PA <AP ，因此MP <AP <AT ，即sin α<α<tanα.。

2020-2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4年级：姓名：1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)内容标准学科素养1.理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一.提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点一任意角的三角函数阅读教材P11～12，思考并完成以下问题(1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？提示：sin α＝|PM||OP|＝yr，cos α＝|OM||OP|＝xr，tan α＝|PM||OM|＝yx.(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？提示：不变．三角形相似，对应边成比例．(3)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.(4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin α，cos α，tan α的表示变化吗？提示：不变．仍是sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦 x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0) 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α α≠k π＋π2，k ∈Z知识点二 阅读教材P 13，思考并完成以下问题根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ (1)当α的终边在第一象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x >0，tan α＝y x >0 (2)当α的终边在第二象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x <0，tan α＝y x<0. (3)当α的终边在第三象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x <0，tan α＝yx>0.(4)当α的终边在第四象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x >0，tan α＝yx<0.知识梳理 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三 诱导公式一阅读教材P 14，思考并完成以下问题当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？ 提示：sin 390°＝sin(360°＋30°)， sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)， 故30°、390°、－330°终边相同． 知识梳理 诱导公式一sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α， 其中k ∈Z .(1)当α的终边在y 轴正半轴时，P (0，1)，则α＝π2＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝sin π2＝1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝cos π2＝0．(2)当α的终边在y 轴负半轴时，P (0，－1)，则α＝32π＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝sin 32π＝－1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝cos 32π＝0．(3)当α的终边在x 轴正半轴时，P (1，0)， 则α＝2k π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋0)＝sin 0＝0． cos α＝cos(2k π＋0)＝cos 0＝1． tan α＝tan(2k π＋0)＝tan 0＝0.(4)当α的终边在x 轴负半轴时，P (－1，0)， 则α＝2k π＋π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋π)＝sin π＝0． cos α＝cos(2k π＋π)＝cos π＝－1． tan α＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0．[自我检测]1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D2．α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则sin α＝______，cos α ＝________．答案：35 －45授课提示：对应学生用书第8页探究一 任意角的三角函数的定义及应用[教材P 12例1、例2]方法步骤：(1)确定终边上点的坐标．(2)应用定义求值． 角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值[例1] (1)已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解析] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1，3)，此时sin θ＝3（－1）2＋32＝31010， tan θ＝3－1＝－3.(2)已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．[解析] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值[例2] 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．[解析] 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，。