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九下数学(北师版)课件-利用二次函数图象求一元二次方程的近似值

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北师大版九年级数学下册第二章2.5《二次函数与一元二次方程》教学课件(共6份)

北师大版九年级数学下册第二章2.5《二次函数与一元二次方程》教学课件(共6份)
∴抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是:（-1，0）和（4，0）
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
5 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有 什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。
y
y=x2-4x+4
2
1
M
N
0
123
x
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
它因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流
不至于落在池外？
y/m
解: 在y=-x2+2x+3中，当x=0时y=3，
∴ OA=3m 而当y=0时，x1=-1（舍去），x2=3
A
∴水池的半径至少为3m.
O
x/m
课堂寄语
利用二次函数的图象求一元二次方程的 近似根，虽然对于我们现在解一元二次方程 没有应用价值，但它体现了“数形结合”这 一重要的数学思想方法。也启示我们只要善 于观察和思考，就能发现事物之间的各种联 系，去探索科学的奥秘。
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
解法2
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
(1).原方程可变形为x2+2x-13=0； (2).用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；；
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交 点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约 为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计 算器确定其近似值). (4).确定方程x2+2x-10=3的解;

北师大版数学九年级二次函数与一元二次方程课件PPT

北师大版数学九年级二次函数与一元二次方程课件PPT
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴的交点
有两个交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数与一元二次方程 例: 已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，求k的
二次函数与一元二次方程
【例】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式 h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的间． （1）t=1时，足球的高度是多少？（2）t为何值时，h最大？（3）球经过 多长时间球落地？（4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你 能在图上表示吗?（5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？ 你能在图上表示吗?
取值范围.
错解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0， 得k＞－
9 ． 4
正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与x轴有交点，
∴△=（－7）2－4×k×（－7）= 49＋28k≥0，
得k≥－
9 4
，即k≥－
9 4
且k≠0
点拨：①因为是二次函数，因而k≠0； ②有交点，所以应为△≥0．
知识升华
一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4 的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。
y
y=x2-4x+4
2 1 0 M 1 2 3 N

2-5 二次函数与一元二次方程-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)

2-5 二次函数与一元二次方程-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
课堂基础练
试用二次函数的图象估计下列方程的近似根
1） 2 + 2 − 8 = 2 ，
2） 2 + 2 − 7 = 6
。
y x 2 2 x 10
课堂小结
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=h的近似根的一般
6.20
…
…
-0.03
-0.01
0.02
0.04
…
随堂测试
1．已知二次函数 = − 2 + 2 + 的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程
− 2 + 2 + = 0的根为________．
【详解】解：由函数图像可知,二次函数与x轴的交点为（-1,0）,
对称轴为直线x=1,
根据二次函数的对称性可知另一个交点为（3,0）,
∴抛物线与x轴交点为（2，0）．故选：B．
2．二次函数y＝x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（
A．b＝﹣3
B．b＝﹣2
C．b＝﹣1
【详解】解：令x2+bx+1＝0，则Δ＝b2﹣4，
∵二次函数图象与x轴由两个不同交点，
∴b2﹣4＞0，∴b2＞4，即b＜﹣2或b＞2．
故选：A．
D．b＝2
数学（北师大版）
九年级 下册
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
课前导入
学习目标
1）二次函数与一元二次方程之间的联系。
2）理解二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 。

北师大版九年级数学下册2.5.1：二次函数与一元二次方程 课件(共15张PPT)

北师大版九年级数学下册2.5.1：二次函数与一元二次方程 课件(共15张PPT)

x
������ = ������������ − ������������ + ������
o1
x
教学目标
1.经历探索二 次函数与一元 二次方程的关 系的过程，体 会方程与函数 之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交 3.理解一元二 点的个数与一元二次方 次方程的根就 程的根的个数之间的关 是二次函数与 系，理解何时方程有两 x轴交点的横 个不相等的实数根、两 坐标. 个相等的实数根和没有 实数根.
������������ + ������������ = ������ 解得：
������������ = ������ ������������ = −������ ������������ − ������������ + ������ = ������ 解得： ������ = ������ ������������ − ������������ + ������ = ������ 没有实数根
总结归纳
二次函数������ = ������������������ + ������������ + ������的图像与x轴交点的 横坐标就是一元二次方程������������������ + ������������ + ������ = ������的根
典型例题
例1、已知方程������������������ + ������������ + ������ = ������的两个根分别为������������ =
观察比较，小组讨论得出结果：
������ = ������������ + ������������
与x轴的交点是：

北师大版九年级数学下册：第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根课件

北师大版九年级数学下册：第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根课件
导引：当 y＝－x2＋2x－3的函数值为－8时，对应点的横坐标 即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的根，如图所示．
解：在平面直角坐标系内作函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图， 由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋ 2x－3与直线y＝－8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐 标在－1与－2之间，右边的公共点横坐标在3和4之间． (1)先求在－1和－2之间的根，利用计算器进行探索：
第二章 二次函数
2.5 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方 程的近似根
知识回顾
例题讲授 课堂小结
获取新知 随堂演练
知识回顾
问题：上节课我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)之间的关系，那么如何利用二次 函数图象直接求出一元二次方程的根呢?
因此x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个近似根．
例3 利用函数的图象，求方程x2＋2x－3＝0的根．
解：先把方程化成x2＝－2x＋3. 如图，在同一直角坐标系中 分别画出函数y＝x2和 y＝－2x＋3的图象，得到它 们的交点为(－3，9)和(1，1)， 则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.
归纳总结
利用图象交点法求一元二次方程的根的步骤： (1)将ax2＋bx＋c＝0化为ax2＝－bx－c的情势； (2)在同一坐标系中画出y＝ax2与y＝－bx－c的图象； (3)视察图象：两图象的公共点情况即为方程的根的情况， 如有公共点，则公共点的横坐标即为ax2＋bx＋c＝0的根．
随堂演练
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于 x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 ( A ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定

九年级数学下册第二章二次函数8二次函数与一元二次方程习题课件北师大版20222220416

九年级数学下册第二章二次函数8二次函数与一元二次方程习题课件北师大版20222220416

x
…
y
…
0.1 0.24
0.2
…
-0.44
…
x
…
y
…
1.8 -0.44
1.9
…
0.24
…
由图象可知方程的近似根是x1=0.1,x2=1.9.
第十五页，编辑于星期六：七点 十分。
【总结提升】求一元二次方程近似根的“四步法”
第十六页，编辑于星期六：七点 十分。
题组一:二次函数与一元二次方程的关系 1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是 ( )
第三十页，编辑于星期六：七点 十分。
3.对于二次函数y=x2+6x+1,当x=-5.8时,y=-0.16<0;当
x=-5.9时,y=0.41>0.那么方程x2+6x+1=0的一个根的近
似值是
.(精确到0.1)
【解析】因为y=x2+6x+1的对称轴是x=-3,且当x=-5.8时,
y=-0.16<0;当x=-5.9时,y=0.41>0.所以方程x2+6x+1=0的
=0(a≠0)的关系.
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
交点的个数
的根的情况
2
__两__个_不__等__实__数_根___
1
__两_个__相__等__实__数__根__
0
__无_实__数__根__
第三页，编辑于星期六：七点 十分。
2.一元二次方程的图象解法. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的____横__坐_标就 是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的___. 根

北师大版数学九年级下册第2课时 利用二次函数求一元二次方程的近似根课件


一个根可以类似地求出:
x
2.1 2.2 2.3 2.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56
因此,x=2.3是方程的另一个近似根.
随堂练习
利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0 的近似根.
解:由图象可知,图象与x轴有两个交 点,其横坐标一个在-1与0之间,另一 个在2与3之间.
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
(1)先求-1和0之间的根.利用计算器进行探索:
x -0.1 -0.2 -0.3 y 0.58 0.12 -0.38 因此,x=－0.2是方程的一个近似根.
(2)再求2和3之间的根.利用计算器进行探索:
x 2.1 2.2 2.3 y 0.58 0.12 -0.38 因此, x = 2.2 是方程的一个近似根.
进行新课
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2+2x-10=0的根吗?
由图象可知,图象与x轴有两个交点, 其横坐标一个在-5与-4之间,另一个 在2与3之间.
(1)先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索:
x
-4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56

北师大版九年级数学下册：2.5 二次函数与一元二次方程 课件(共26张PPT)


【解析】（1）依题意，m,-3m是一元二次方程
x2 bx c 0 的两根．根据一元二次方程根与系数的
关系，得 m (3m) b , m (3m) c， b 2m，c 3m 2
∴ 4c 12m 2 3b 2
（2）依题意， b 2
1
，b

2
，
解析：（1）由图象知函数过点（0，0）与点（8，0） 代入关系式h=－5t2+v0t+h0得h0=0, 由已知可知v0=40， 得h=－5t2+40t.
（2）由图象可知小球经过8秒后落地.可以令h=0，得t=0s （舍去）或t=8s.
二次函数①y=x2+2x，②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的 图象如图所示.
1 b c 0,

c

3,
解得
b 2,

c

3,
故所求解析式为 y x 2 2x 3
（2）令 y 0, 得 x 2 2x 3 0，
解得 x1 1， x 2 3，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),
∴由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围 是－1＜x＜3．
h=－5t2+v0t +h0 表示，
80
其中h0 (m)是抛出点距地面 70
的高度，v0 (m/s)是抛出时 60
的速度.一个小球从地面被
50 40
以40 m/s的速度竖直向上抛 30
起，小球的高度h (m)与运 20
动时间t(s)的关系如图所示，10
那么
O 1 2 3 4 5 6 7 8 t/s
（1）h与t 的关系式是什么？ （2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与 同伴交流.

北师大版九年级数学下册2.5《二次函数与一元二次方程》课件(共17张PPT)

(3).确定方程x2+2x-10=0的解;
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3.
做一做P75
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
(2). 作直线y=3；
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3 的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约 为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计 算器确定其近似值). (4).确定方程x2+2x-10=3的解;
其横坐标一个在-5与-4之间 约为-4.3
x
-4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y=x2+2x-10 -1.39 -0.76 -0.11 0.56
另一个在2与3之间 约为2.3
x
2.1 2.2
y=x2+2x-10 -1.39 -0.76
2.3
-0.11
2.4
0.56
课堂寄语
二次函数与一元二次方程的关 系，体现了“数形结合”这一重要 的数学思想方法。也启示我们只要 善于观察和思考，就能发现事物之 间的各种联系，去探索科学的奥秘 。
二次函数y=x2-2x+1
一元二次方程x2-2x+1=0
的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？
与x轴有1个交点： （1，0）
解： (x-1)2=0 ∴ x1=x2=1
方程的根是1
二次函数y=x2-2x+2
一元二次方程x2-2x+2=0
的图象与x轴有几个交点？ 有几个根？

2019春九年级下册北师大版数学课件：2.5.二次函数与一元二次方程(2)(共16张PPT)


C
x1=x2-2x-3的图象,根据图象回答下列问题. (1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？ (2)当x取何值时,y=0?这里x取值与方程x2-2x-3=0有什么关系? (3)x取什么值时,函数值y大于0？x取什么值时,函数y小于0？
解： (1)图象如图(1)图象与x轴的交点为(-1,0)、 (3,0),与y轴的交点坐标为(0,－3)； (2)当x=－1时或x=3时,y=0,x的取值与方 程x2－2x－3=0的解相同； (3)当x＜－1或x＞3时,y＞0；当－1＜x＜ 3时,y＜0.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
y=ax2+bx+c(a≠0) 整数 整数
1.上节课我们学习了二次函数y=ax2＋bx＋ c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2 ＋bx＋c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x 轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于 是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x 轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确 地求出方程的解,所以要进行估算.本节课我们将学 习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.
用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的解(精确到0.1). 下图是函数y=x2＋2x－1的图象. 从图象上看,可以估计x的取值是－2.4 或者－2.5,利用计算器进行探索,如下表：
x
…
-2.4 -2.5
…
y的值由负变正,可见在－2.4和－2.5之间一 定有一个x的值使y=0,即有方程x2＋2x-1=0的一个根.由于题目 只要求精确到0.1,所以这是去x=-2.4或x=-2.5作为根都符合要 求.但是当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接0.所以选 x=-2.4. 因此,方程x2+2x-1=0在-3与-2之间精确到0.1的根为 x=-2.4. 有了上面的分析和结果,求另一个近似根 就不困难了,请大家继续.(学生自行研究)另一根为 x=0.4.
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y＝kx＋2 (2x2＋(k－2)x－1＝0，∴x1＋x2＝－(k－2)，x1x2
＝－1，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(k－2)2＋4.∴当 k＝2 时，(x1－x2)2 的最小值为 4，即|x1－x2|的最小值为 2，∴x2－1＝0，x1＝－1，x2＝1，∴ y1＝0，y2＝4.∴当|x1－x2|最小时，抛物线与直线的交点为 M(－1,0)、N(1,4)．
则当 y＜5 时，x 的取值范围是 0＜x＜4 .
10．画出函数 y＝x2－2x－3 的图象，利用函数图象回答： (1)方程 x2－2x－3＝0 的解是什么？ (2)x 取什么值时，函数值大于 0? (3)x 取什么值时，函数值小于 0? 解：(1)如图为 y＝x2－2x－3 的图象，由图象可得方程 x2 －2x－3＝0 的解是 x1＝3，x2＝－1； (2)当 x＜－1 或 x＞3 时，函数值大于 0；
自我诊断 2.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是 x＝1，与 x 轴的一个交 点是(3,0)，则方程式 ax2＋bx＋c＝0 的根是 x1＝－1，x2＝3 .
1．借助二次函数 y＝2x2－3x－1 的图象，可求出下面方程______的近似根
(C ) A．x2＋5x－1＝0
B．2x2＋3x－1＝0
C．2x2－3x＋5＝6
D．x2＋5x＝0
2．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx
＋c＝0 的近似解为( B )
A．x1≈－2.1，x2≈0.1 C．x1≈－2.9，x2≈0.9
B．x1≈－2.5，x2≈0.5 D．x1≈－3，x2≈1
3．抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，则关于 x 的不等式 ax2＋ bx＋c＞0 的解集是( C )
A．没有根
B．只有一个根
C．有两个根，且一个正，一个负
D．有两个根，且一根大于－1，一根小于－2
8．如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，其对称轴为直线 x＝1.若
其与 x 轴一交点为 A(3,0)，则由图象可知，不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是
x＜－1或x＞3
.
9．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表： x … －1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 …
利用二次函数图象求一元二次方程的近似值．
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的方法：(1)先画出函数 y＝ ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象；(2)确定抛物线与 x 轴的交点分别在哪两个相 邻的 整数 之间；(3)列表，在(2)中的两个 整数 之间取值，从而利用计算器 确定方程的近似根．
自我诊断 1.下列表格是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x 与函数值 y 的对
A．x＜2 C．－3＜x＜1
B．x＞－3 D．x＜－3 或 x＞1
4．二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象如图所示，则方程 x2＋bx＋c＝0 的两个根 是 x1＝1，x2＝3 ；若函数 y＜0，则对应 x 的取值范围是 1＜x＜3 .
5．利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2－2x－1＝0 的近似根(精确到 0.1)．
6．已知二次函数 y＝x2－3x＋m(m 为常数)的图象与 x 轴交于点(1,0)，则关
于 x 的方程 x2－3x＋m＝0 的两个实数根是( B )
A．1 和－1
B．1 和 2
C．1 和 0
D．1 和 3
7．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则一元二次方程 ax2
＋bx＋c＝0( D )
(2)由题意可得yy13＝ ＝xx＋2＋n2，x－10 ∴x2＋2x－10＝x＋n，x2＋x－10－n＝0， ∵只有一个交点，∴b2－4ac＝0，∴1－4×(－10－n)＝0，n＝－441.
12．已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(m－2,0)和 B(2m＋1,0)(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴相交于点 C，顶点为 P，对称轴为 l：x＝1. (1)求抛物线的解析式； (2)直线 y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点 M(x1，y1)、N(x2，y2)(x1＜x2)， 当|x1－x2|最小时，求抛物线与直线的交点 M 和 N 的坐标． 解：(1)∵抛物线的对称轴为 x＝1，∴－2×b－1＝1，∴b＝2，抛物线 y＝ －x2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(m－2,0)和 B(2m＋1,0)，即－x2＋bx＋c＝0 的 解为 m－2 和 2m＋1，则有(m－2)＋(2m＋1)＝b，(m－2)(2m＋1)＝－c，∴ m＝1，c＝3，∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3；
(3)当－1＜x＜3 时，函数值小于 0.
11．在同一直角坐标系中，画出二次函数 y1＝x2＋2x－10 和一次函数 y2＝ 5x－12 的图象． (1)求方程 x2＋2x－10＝5x－12 的近似根； (2)若一次函数 y3＝x＋n 与二次函数 y1 的图象只有一个交点，求出 n 的值． 解：图象略．(1)x1＝2，x2＝1；
应值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c 为常数)的一个解 x 的范围是
( C)
x
6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.04
A．6＜x＜6.17
B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19
D．6.19＜x＜6.20
易错点：不会利用对称轴公式求抛物线与 x 轴的交点坐标．
解：方程 x2－2x－1＝0 的根是函数 y＝x2－2x－1 与 x 轴交点的横坐标．作 出二次函数 y＝x2－2x－1 的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根， 一个在－1 和 0 之间，另一个在 2 和 3 之间．先求－1 和 0 之间的根，当 x ＝－0.4 时，y＝－0.04；当 x＝－0.5 时，y＝0.25；因此，x＝－0.4(或 x＝－ 0.5)是方程的一个近似根；同理，x＝2.4(或 x＝2.5)是方程的另一个近似根．