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最新19.9(1)勾股定理课件ppt

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1勾股定理课件

1勾股定理课件
19.9(1)勾股定理
创设情境 一根电线杆在离地面3米处断裂，电线杆顶部落 在离电线杆底部4米处，电线杆折断之前有多高？
? 3m
4m
动手实验
总结：等腰直角三角形中，两条直角 边的平方和等于斜边的平方。
得出猜想
直角三角形两条直角边的 平和，等于斜边的平方。
验证：
a c
b
c
b a
a b
c
b c
a
AB2 AC2 BC2
C
B
例题讲授：
例1：在Rt⊿ABC中，∠C=90.设a、b、c分 别为∠A,∠B,∠C所对的边。 A
(1)已知b=4,c=5，求a；
(2)已知a=5,c=13，求b；
(3)已知a=b=1，求c；
(2)解：在Rt⊿ABC中，∠C=90
c2 a2 b2 (勾股定理 )
C
(b a)2 4 1 ab c2 2
b2 2ab b2 2ab c2
a2 b2 c2
验证：
a c
b
c b
a
a b
c
b c
a
这是中国汉代数学家 赵爽的验证方法。 被称为“赵爽弦图”。
归纳：
勾股定理：
直角三角形两条直角边的平方和，
等于斜边的平方。
A
字母表示：
在Rt⊿ABC中， ∵∠C=90°
杆顶部落在离电线杆底部4米处，电线杆折断之前
有多高？
解：在RtABC中
B
A 90
BC 2 AB2 AC 2 (勾股定理 )
3
BC AB2 AC2 (等式性质) A
4C
AB 3, AC 4
BC 32 42 16 5
AB BC 3 5 8

勾股定理数学优秀ppt课件

勾股定理数学优秀ppt课件
实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。

《勾股定理》PPT精品课件(第1课时)

《勾股定理》PPT精品课件(第1课时)

解：本题斜边不确定，需分类讨论： B 4
当AB为斜边时，如图
BC2 AB2 AC2 16 9 7，
3 C 图
B
4 AA 3 C
图
BC 7.
方法点拨：已知直角三角形的两边求
当BC为斜边时，如图
第三边,关键是先明确所求的边是直
BC2 AB2 AC2 16 9 25， 角边还是斜边,再应用勾股定理. BC 5.
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
c2 4 1 ab b a 2 a2 b2.
2
cb a b-a
赵爽弦图
知识讲解
右图是四个全等的直角三角形拼成的.请你根据此图， 利用它们之间的面积关系推导出: a2 b2 c2
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
知识讲解
猜想直角三角形的三边关系
B
C A
图中每个小方格子都是 边长为1的小正方形．
问题1
1、 BC=_3__, AC=_4__, AB=__5_ 2、 S黄 =_9__, S蓝 =1_6__, S红 =2_5__
3、S黄、S蓝与S红的关系是S_黄__+_S_蓝_=__S_红_.
4、能不能用直角三角形ABC的三边表 示S黄、S蓝、S红的等量关系？
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× 1 ab+c2
2
=c2+2ab， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
a b
ac b
b ca
cb a
知识讲解
勾股定理

勾股定理课件PPT

勾股定理课件PPT

04 勾股定理的应用
在几何学中的应用
确定直角三角形
勾股定理是确定直角三角形的重要工 具，通过已知的两边长度，可以计算 出第三边的长度，从而判断三角形是 否为直角三角形。
求解三角形问题
证明定理
勾股定理在几何学中经常被用于证明 其他定理或性质，例如角平分线定理、 余弦定理等。
勾股定理在求解三角形问题中也有广 泛应用，例如求解三角形的面积、周 长等。
03
02
解决实际问题
勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。例如，在建筑 、航空、航海等领域，都需要用到勾股定理来计算角度 、长度等参数。
数学史上的里程碑
勾股定理在数学史上具有重要地位，它是数学发展的一 个里程碑。它的证明和发展推动了数学的发展，为后来 的数学家提供了许多启示和灵感。
02 勾股定理的起源与历史
02
毕达哥拉斯证明法是基于三角形 的边长和角度之间的关系，通过 观察和归纳，证明了勾股定理。
欧拉证明法
欧拉是18世纪的瑞士数学家，他通过代数方法和函数论，给出了勾股定理的一个 新证明。
欧拉证明法不仅证明了勾股定理，还进一步揭示了勾股定理与其他数学概念之间 的联系，使得勾股定理在数学领域中更加重要。
勾股定理在复数域的推广
勾股定理在复数域的推广形式
在复数域中，勾股定理的形式有所变化，但基的勾股定理关系仍然成立。
证明方法
利用复数域的性质和几何意义，通过几何图形和代数运算相结合的方法进行证 明。
06 勾股定理的趣味问题与挑战
勾股定理的趣味题目
勾股定理的证明
通过几何图形和数学推理，证明勾股 定理的正确性，让学生深入理解定理 的本质。
美观性。
航海学
在航海学中，勾股定理被用于确 定船只的航向、航速等参数，以

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.9 勾股定理 课件

沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.9 勾股定理 课件

∵∠ABD=90°(垂直定义)，
B
C
∴AB2=AD2+BD2(勾股定理)
D
得：AD A2B B2 D 1(1)2 3
22
SABC12BCAD
3 4
课堂小结
1．学习内容方面： 勾股定理及其公式应用；
2．数学思想方面： 数形结合、特殊到一般、面积法。
3.情感方面： 中国人有智慧，数学很有用，数学很美。
我国数学家商高
公元前五百多年，古希腊有个毕达哥拉斯学 派，他首先发现了勾股定理，因此在国外人 们通常称“勾股定理”为毕达哥拉斯定理。
为了纪念毕达 哥拉斯学派， 1955年希腊曾 经发行了一枚 纪念邮票。
但他们不知道中国研究勾股定理 要比他们早了整整五百多年。
解决问题，实践演练
某居民楼进行消防演习，消防员要通过消防梯子
勾股定理几种著名的解法赏析之一
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ； 也可以表示为 c2 +4•ab/2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
勾股定理几种著名的解法赏析之二
勾股定理几种著名的解法赏析之三
勾股定理
提出问题，引入新课
某居民楼进行消防演习，消防员要通过消防梯子
赶到24米高的楼上进行营救，若梯子底部距居民
楼7米，问架设的梯子至少要多长？
已知：在Rt⊿ABC中，∠A=90°,
B
AB=24,AC=7
求： BC.
?
24

勾股定理全章课件

勾股定理全章课件
B
8cm
牛奶盒
6cm
A 10cm
47
盒子长为10cm，宽为6cm ，高为8cm，蚂蚁沿着表面从A
点爬行到B点的最短路程又是多少呢？
B3
解：由题意知有三种展开
B1 B
方法，如图.由勾股定理得 AB12 =102 + (6+8) 2 =296， AB22= 82 + (10+6) 2 =320，
AB32= 62 + (10+8) 2 =360， B2 ∴AB1＜AB2＜AB3.
又∵四边形的周长为32cm，
∴CD+BC=32-AD-AB=32-8-8=16(cm).
设CD=x ，则BC=16-x，
由勾股定理得82+x2=(16-x)2
解得x=6cm. ∴S△BCD= ×6×8=24(cm)2
39
3.问题背景：
在△ABC中， AB、BC、AC三边的长分别为
,
求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先
这两幅图中A,B的 面积都好求，该 怎样求C的面积呢
？
8
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边 都在网格线上的正方形)：
左图： 右图：
9
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易 求出面积的三角形和四边形)：
左图： 右图：
10
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
三个 正方形的面积有怎样的关系
直角边， c为斜边，则有 a2+b2=c2 .
在直角三角形中
注意
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边 还是斜边时一定要分类讨论
19
拓展: 1.
2.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别 向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3， 求△ABE及阴影部分的面积.

勾股定理ppt课件

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c， 那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方(勾股定理)
2、你是通过什么方法得出这一结论的?
通过探索、发现、归纳、证明得出
3、这节课体现了哪些数学思想方法?
数形相结合,从特殊到一般.
作业布置
必做题：课本28页复习巩固1，2两题. 选做题：作业本第七页. 欧几里得证明勾股定理.
a2 + b2= c2
正方形A、B、C 所围成的等腰直角三角形的三边 之间有什么关系？
观察发现
AB
acb
C
SA + SB = SC
a2 +b2 = c2
等腰直角三角形的三边之间的关系：
两条直角边的平方和等于斜边的平方.
等腰直角三角形有上述性质，一般的直角三角形也 有这个性质吗？
P
Q CR
PQ Biblioteka R用了“补”的方法用了“割”的方法
如图，每个小方格的面积均为1.你能求出 正方形R的面积吗？ (1)
观察所得到的这组数据，你有什么发现？
P9
a
SP + SQ = SR
16Q b
c
2R5
a2 + b2 = c2
所围正成方的形直P角、三Q角、形R 的所三围边成之的间的直关角系三：角形的三 边之间两有条什直么角关边系的？平方和等于斜边的平方.
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分
别为a、b，斜边长为ｃ，那么a2 + b2 = c2.
B
a
c
C
b
A
a2 = c2－b2
c a2 b2 a c2 b2
b2 = c2－a2 b c2 a2

勾股定理课件PPT

(2)若a=9,b=40,则c=_4_1____. 2.在 ABC中, C=90°,若 AC=6,CB=8,则ABC面积为 __2_4__,斜边为上的高为_4_._8___.
3．若等腰三角形中相等的两边长 为10cm,第三边长为16 cm,那么第 三边上的高为 ( D)
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm
设AE=xcm，则EC=(10－x)cm
在Rt△ABC 中，根据勾股定理：
C E
BE2=BC2+EC2 x2=62＋ (10－ x解)2得x=6.8 ∴EC=10－
6.8=3.2cm
例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿 着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距 离是多少？
勾股数组的规律:
1. 2奇1偶 2.如果a,b,c是两两互素的勾股数,那a,b 必定1奇1偶,c必为奇数
勾股定理 外星人
在人类在寻找“外星人” 时，碰到个难题；一 旦遇到“外星人”该怎么与他们交谈？显然用人类 的语言文字音乐是不行的。数学家华罗庚建议，用 一幅数形关系作为与“外星人”交谈的语言。这幅 图中有边长为3、4、5的正方形，它们又互相联结成 一个三角形。三个正方形都被分成了大小相等的一 些小方格，并且每条边上的小方格的个数，与这条 边长度的数字相等。两个小方形的小方格数分别为9 和16，其和为25，恰好等于大方形的小方格数。整 幅图反映；“在直角三角形中，两条直角边的平方 和等于斜边的平方。”
P1、P2、 、P100,设mi=APi2 +PiB • PiC(i=1、2、 、100).
求:m1+m2 + +m100的值。
A

勾股定理ppt课件

体会数形结合的思想。（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
情境引入
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的 一 些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理， 体会数形结合的思想。（重点） 2.会用勾股定理进行简单的计算。（难点）
一、勾股定理的认识 让我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边 长为c,那么有a2+b2=c2.
a c2 - b2 , b c2 - a2 , c a2 b2
(a、b、c为正数)
三、学以致用
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b.
归纳 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两 边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方 程求解.
变式2：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
斯再去他那位老朋友家做客 我们也来观察一下地面的图案，看看从中能发
现什么？
问题1：观察构成正方形A、B、C的等腰直角三角形之间有什么关系？试 问三个正方形面积之间有什么样的数量关系？
AB C
这些小的等腰直角三角形都全等
发现：SA+SB=SC
问题2：若正方形A、B、C边长分别为a、b、c，根据面积关系，猜想等 腰直角三角形三边之间有什么关系？
AB C
ab c
SA+SB=SC
猜想:a2+b2=c2

勾股定理课件ppt


THANKS
感谢观看
衡性非常重要。
03
地貌形成
地貌的形成过程中涉及到物体的高度和距离的关系，而这种关系可以用
勾股定理来描述，因此勾股定理可以帮助我们理解地貌的形成过程。
06
总结与回顾
勾股定理的重要性和应用价值
勾股定理是几何学中一个非常重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关 系，对于解决几何问题具有关键作用。
建筑中的支撑结构需要精确计算和设计，勾股定理可以帮助建筑师确 定支撑结构的尺寸和形状，以确保建筑物的承重能力。
勾股定理在航天工程中的应用
确定飞行轨道
在航天工程中，勾股定理被用来确定飞行器的轨道和速度 ，以确保飞行器能够准确到达目标。
导航
飞行器在飞行过程中需要精确的导航，勾股定理可以帮助 飞行员计算出飞行器的位置和方向，以确保飞行器的安全 和准确性。
04
勾股定理的变式和推广
勾股定理的变式
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三条边满足勾 股定理的条件，那么这个三角形
是直角三角形。
勾股定理的推广
如果一个三角形的两条边长分别 为a和b，且它们的夹角为α，那 么这个三角形的第三条边长c满
足$c^2 = a^2 + b^2 2ab\cos(α)$。
勾股定理的变形
在现实生活中，勾股定理的应用非常广泛，例如在建筑、测量、航空等领域都有实 际应用。
通过对勾股定理的学习和应用，可以更好地理解几何学的基本概念和原理，提高解 决实际问题的能力。
学习勾股定理的收获和感悟
学习勾股定理需要掌握其基本 概念和定理，了解其历史背景 和证明方法。
通过学习和实践，可以培养自 己的逻辑思维能力和空间想象 力，同时提高对数学的兴趣和 热情。
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A.3米 B.4米 C.5米 D.6米
３
４
２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直 角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,
则AB为A( )
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
A
130
?
C 120 B
1.在△ABC中，∠C=90°.
练 (1)若a=6，c=10，则b=8 ;
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
勾股定理(毕达哥拉斯定理)
（gou－gu theorem）
弦
如果直角三角形两直角边 勾 a c
分别为a， b，斜边为c，
b
股
那么
a2b2c2
即直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方.
勾股世界
两千两多千多年年前前，，古古希希腊有腊个有哥拉个毕达哥拉斯 学斯学派派，，他他们们首首先发先现发了勾现股了定勾理，股因定此 理，因此在 在国国外外人人们们通通常常称勾称股勾定理股为定毕理达哥为拉毕斯 达哥拉斯定 定理理。。为为了了纪纪念念毕达毕哥达拉斯哥学拉派斯，1学95派5 ，1955年 年希希腊腊曾曾经经发发行行了一了枚一纪念枚票纪。念邮票。
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作《 周国家髀之甲
49 4 16 8 25
A
图乙
a
Bb c C
SA+SB=SC
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？
SA+SB=SC C
Aa c b
图甲 B
图乙 a
bc C
SA+SB=SC
3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
数式表示）
例3 如图，∠ACB=∠ABD=90°，
CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC的长C。
D
解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30°
8
又AD=8 ∴BD= 1 AD=4 2
A 30°
B
在Rt△ABD中 , ∠ABD=90°
A 2 B A 2 D B 2 D 8 2 4 2 48
在Rt△ABC中， A2B C2A C2,B 且 C A CB A2B 2C2A C2A 1A2B 24
勾股定理的证明
证明方法3：赵爽弦图
赵爽，又名婴， 字君卿，中国数 学家。东汉末至 三国时代吴国人。 他是我国历史上 著名的数学家与 天文学家。
勾股定理的证明
证明方法4：美国总统加菲尔德的证明方法
c a
b
c a
b
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
2
AC2 6
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相 对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长 为( ) C
利用拼图来验证a2 +b2 =c2： 1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角
形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边
c为边长的正方形吗？拼一拼试试看?
c a
b
3.你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
（1）大正方形的面积可以表示为 c2 ； 也可以表示为 4•ab/2+(b- a)2
习 (2)若a=12，b=9，则c=1 5 ;
(3)若c=25，b=15，则a=20 ;
2.等边三角形边长为10，求它的高及面积。
3.如图，在△ABC中，C=90°，
C
CD为斜边AB上的高，你可以 b
得出哪些与边有关的结论？
A
m
a h DnB
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，A
求证：AD2-AB2=BD·CD
例1 如图，在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的
长。解：在Rt△ABC中 , ∠C=90°
B
A2 B A2 C B2 C
72242625
AB25
25
24
如果将题目变为：
在Rt△ABC中,AB=25, BC=24,求AC的长呢？
A 274 C
在直角三角形中，已知两边可以求第三边
例2 已知等边三角形ABC的边长是6cm，
A
(1)求高AD的长；(2)S△ABC
解：(1) ∵△ABC是1等边三角形，AD是高
BD BC3
在Rt△AB2D中 , ∠ADB=90° A2D A2B B2D B
D
C
A D 3 6 92 7 33 cm
1
(2)SABC2BCAD
S=
163 39 3(cm 2)
3 4
a2
2
如果等边三角形的边长为a，那么面积S是多少？（用含a的代
19.9(1)勾股定理
情景引入
受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的 顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
邮票赏析
这是1955年希腊曾经发行的 纪念一位数学家的邮票。
问题2 在直角三角形中，直角边
与斜边之间有没有某种等量关系？
SA+SB=SC
C A
B 图甲
4 4 8
C
1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴ ⑵正方形A、B、C的 的面积有什么关系？
面积各为多少？
SA+SB=SC
C A
B 图甲
49 4 16 8 25
A
图乙
B C
SA+SB=SC
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑴ ⑵正方形A、B、C的 的面积有什么关系？
面积各为多少？
SA+SB=SC
C Aa c
c a
b
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
大正方形的面积可以表示为 (a+b；)2 也可以表示为 c2 +4•ab/2
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab
证明：过A作AE⊥BC于E