随机信号分析习题一
1 _ Q — X 和 0
1. 设函数F(x)=」 ' ，试证明F(x)是某个随机变量©的分布
函数。并求下列
概率：PC .,1），P （1 _
_2）。
2. 设(X,Y)的联合密度函数为
e , x _0, y _0 0
, other
求 P
「
X :：: 1,0 : Y :: 。
求：(1 )边沿密度f x (x)， f Y (y)
(2)条件概率密度 f Y|X (y|x)， f xiY (X| y)
4. 设离散型随机变量 X 的可能取值为1,0,1,21，取每个值的概率都为1/4，又设随机变 量 Y
=g(X) =X 3 _X 。
(1 )求Y 的可能取值 (2) 确定Y 的分布。 (3) 求 E ［Y ］。
5. 设两个离散随机变量 X ，Y 的联合概率密度为：
1 1
1 f xY (x,y) (x-2)、(y-1) (x-3)、(y-1) (x-A)、(y-A)
3 3
3
试求：(1) X 与丫不相关时的所有 A 值。
(2) X 与丫统计独立时所有 A 值。
6. 二维随机变量(X ，Y )满足：
X = cos
丫二 sin :
'为在［0，2二］上均匀分布的随机变量，讨论 X ，Y 的独立性与相关性。
0 , x<0
3. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
f xY （x, y ） exp
7.已知随机变量X的概率密度为f (x)，求Y=bX的概率密度f (y)。
8.两个随机变量 X i , X ，已知其联合概率密度为 f(X i ,X 2),求X i X 2的概率密度? 9.设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，
y = g(x)如图，求y = g(x )的概率密度
f Y (y)
10. 设随机变量 W 和Z 是另两个随机变量 X 和丫的函数
W =x 2 Y
i
2
z =x 2
设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量
W 和Z 的联合概率密度函数。
11. 设随机变量 W 和Z 是另两个随机变量 X 和Y 的函数
W 二X Y Z =2(X Y)
已知f xY (x,y)，求联合概率密度函数
f wzC ,z)。
(1 )求X 的特征函数，X ( ■)。 (2)由 X ()，求 E[X]。
13. 用特征函数方法求两个数学期望为 0,方差为1，互相独立的高斯随机变量
X 1和X 2之
和的概率密度。
14. 证明若X n 依均方收敛，即
X n = X ，则X n 必依概率收敛于 X 。
15.设｛X n ｝和｛Y n ｝ (n =1,2，…)为两个二阶矩实随机变量序列， X 和丫为两个二阶矩实随 机变量。若 l.].m X n =X ，l.i.m Y n ^Y ，求证 limE{X m X n ^ E{ XY}。
n -?C
随机信号分析习题二
12.设随机变量X 为均匀分布，其概率密度
f x (x) = .0,
a 乞x 乞
b 其它
1. 设正弦波随机过程为
X(t) = Acosw0t
其中W。为常数；A为均匀分布在［0,1］内的随机变量，即
，0-a"1
f A(a^P
0,others
兀3兀兀
(1)试求t =0, , ，一时，X(t)的一维概率密度;
4w04w0w0
n:
(2)试求t 时，X(t)的一维概率密度。
2W0
2. 若随机过程X(t)为
X(t)二At, —：：::: t ::::
式中，A为在区间［0,1］上均匀分布的随机变量，求E［X(t)］及R X (t1,t2)。
3. 设随机振幅信号为
X(t)二Vsinw0t
其中w。为常数；V是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
4. 设随机相位信号
X(t) = acos(w°t )
式中a、w0皆为常数，••为均匀分布在［0,2二］上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
5. 设X(t)二Asin(wt R,t：： ::，Y(t)二Bsin(wt 二)，」：：：t ：：::，其中
A，B，w， '为实常数，r~U［0,2二］，试求R xY(s,t)。
2
6. 数学期望为m X(t)=5sin t、相关函数为R X魚,t2) = 3「恥斗)的随机信号X(t)输入
微分电路，该电路输出随机信号Y(t)二X(t)。求Y(t)的均值和相关函数。
7.设随机信号X(t) =Ve3t cos2t，其中V是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的
t
随机信号Y(t) X(・)d，。试求Y(t)的均值、相关函数、协方差函数和方差。
8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程
「COS兀t,出现正面
X(t)二2t, 出现反面
设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。
(1) 求X(t)的一维分布函数F x(x,1/2)和F x(x,1)；
(2) 求X (t)的二维分布函数F X(X I,X2；1/2,1)。
9. 给定一个随机过程X(t)和任一实数x，定义另一个随机过程
I l, X(t)沁
丫(t)=' ' 丿
10, X(”X
证明Y(t)的均值函数和自相关函数分别为X(t)的一维和二维分布函数。
10. 定义随机过程
1,第n次投掷均匀硬币出现正面X(t)二
卜1,第n次投掷均匀硬币出现反面
n =0, 一1, _2，…，(n -1)S ::: t ::: nS，S 为正常数，设.-U[0, S]，且•与X(t)相互独立，令Y(t) =X(t_ )，试求R x(s,t)与R Y(s,t)。
n
11. 考虑一维随机游动过程Y n，n =0,1,2/，其中丫0=0, Y n X i为一取值-1和1 的随机变量，已知p(X j = -1) = q，P(X j 二• 1) = p，0 岂p,q 辽1，p 7 = 1,且X i，
i =1,2/相互独立，试求：
1) P(Y n =m)；
2) EY n和DY n。
12.考虑随机过程X(t)，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每
个样本函数都具有相同的形状，将t「0时刻以后出现的第一个零值时刻记为T)，假设T0是一个均匀分布的随机变量
11 T,o Et ET
0, others
