分式运算的几种技巧
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。 一、 整体通分法
例1 计算：
2
11
---a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.
【解】2222(1)(1)(1)(1)1
1(1)111111
+--+---=-+=-==------a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法
例2 计算2221
232
4+-++-+
x x x x x x
分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。
解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21
+x +2+x x =21++x x
三、 分组加减法
例3计算21-a +12
+a -12-a -21+a
分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。
解：原式=（21-a -21+a ）+（12
+a -12-a ）
=44
2-a +142--a =)1)(4(1222--a a
四、 分离整数法
例4 计算
3
x 4
x 4x 5x 2x 3x 1x 2x ---
--+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
解：原式=(1)1(2)1(4)1(3)1
1243++++-----+-++--x x x x x x x x
=1111(1)(1)(1)(1)1243+-++---++--x x x x =11111243
--+++--x x x x
=。。。
五、 逐项通分法
例5 计算：4
4322x a x 4x a x 2x a 1x a 1--
+-+-- 分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
同类方法练习题：计算1x 21x 11x 12+-+--1
x 8
1x 48
4+-+-
六、 裂项相消法 例6 计算：
1111
...(1)(1)(2)(2)(3)(9)(10)
a a a a a a a a +++++++++++.
分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到
111
(1)1
=-++a a a a ，这样可抵消一些项.
解：原式=11111111()()()...()11223910
a a a a a a a a -+-+-++-+++++++ =
111010(10)
-=++a a a a
七、 整体代入法 例7．已知
1x
+1
y =5求2522x xy y x xy y -+++的值
解法1：∵1x +1y =5∴x y ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=11
2()5
112x y
x y
+-++=25552?-+=57
解法2：由
1x +1
y
=5得，x y xy +=5, x+y=5xy
∴
2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ?-+=57xy xy =5
7
练习：若
11x y -=5，求3533x xy y
x xy y
+---的值．
八、 公式变形法
例8．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+
4
1
a
解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a
=5 ∴a 4+
41a =(a 2+2
1a )2-2=[(a+1a
)2-2]2
-2=(52-2)2-2=527 练习：（1）已知x 2+3x+1=0，求x 2
+21x
的值．
九、 设中间参数法 例9．已知
b c a += a c b += a b c +，计算：()()()
a b b c c a abc +++ 解：设b c a += a c b += a b c
+=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ；
把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k
若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1 若a+b+c ≠0，则k=2
()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc
??=k
3
当k=-1时，原式= -1
当k=2时，原式= 8
练习：（1）已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则
=+-y
x y
x 3__________。 （2）已知
6z
5y 4x ==，则
z
3z 4y 3x 2+-=_____________。 十、先取倒数后拆项法（尤其分子单项，分母多项）
例10．已知21
a
a a -+=7，求242
1a a a ++的值 解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =8
7
∴4221a a a ++=a 2+2
1a +1=(a+1a )2-1=15
49 ∴2421a a a ++=4915
练习：已知a+1
a
=5．则242
1a a a ++=__________. 十一、 特殊值法(选填题) 例11. 已知abc=1,则
1a ab a ++＋1b bc b ++＋1
c
ca c ++=_________.
分析：由已知条件无法求出a 、b 、c 的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值． 解：令a=1，b=1，c=1，则 原式=
11111?+++11111?+++11111?++=13+13+1
3
=1.
说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果．
练习：（1）已知：xy z ≠0,x+y+z=0,计算
y z x ++x z y ++x y
z
+
（2）已知6z
5y 4x ==，则
z
3z 4y 3x 2+-=________ 十二、 主元法
例12. 已知xyz ≠0,且3x －4y －z=0,2x ＋y －8z=0,求222
2x y z xy yz zx
++++的值.
解：将z 看作已知数，把3x －4y －z=0与2x ＋y －8z=0联立， 得 3x －4y －z=0,
2x ＋y －8z=0. 解得 x=3z, y=2z.
所以，原式=222(3)(2)(3)(2)(2)2(3)z z z z z z z z z ++?+?+?=2
2
14 1.14z z
= 练习：已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算:
222
a b c ab bc ac ++++
混合运算练习题
（1）2
222223223x y y
x y x y x y x y x ----+--+ （2）1111322+-+--+a a a a . (3) 21x x -－x －1 (4) 3a
a --263a a a +-+3a
(5)x y y y x x y x xy --++-222 (6)293261623x x x -+
--+
(7)xy y x y x y x 2211-????
? ??+-- (8)a a a a a a 4)22(2-?+-- (9)232224x x x x x x ??-÷ ?+--??
(10))1x 3x 1(1x 1x 2x 2
2+-+÷-+- (11) )2
52(23--+÷--x x x x (12) (ab b a 22++2)÷b a b a --2
2
(13)22321113x x x x x x x +++-?--+ (14)x
x x x x x x x x 416
)44122(2222+-÷+----+
(15)计算：x x
x x x x x x -÷+----+4)4
4122(22，并求当3-=x 时原式的值．
【错题警示】
一、错用分式的基本性质
例1化简
错解：原式
分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.
正解：原式
二、错在颠倒运算顺序
例2计算
错解：原式
分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.
正解：原式
三、错在约分
例1 当为何值时，分式有意义？
[错解]原式.
由得.
∴时，分式有意义.
[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.
[正解]由得且.
∴当且，分式有意义.
四、错在以偏概全
例2 为何值时，分式有意义？
[错解]当，得.
∴当，原分式有意义.
[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.
[正解] ，得，
由，得.
∴当且时，原分式有意义.
五、错在计算去分母
例3 计算.
[错解]原式
=.
[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.
[正解]原式
.
六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4 当为何值时，分式的值为零.
[错解]由，得.
∴当或时，原分式的值为零.
[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.
[正解]由，得.
由，得且.
∴当时，原分式的值为零.
七、错在“且”与“或”的用法
例7 为何值时，分式有意义
错解：要使分式有意义，须满足，即.
由得，或由得.
当或时原分式有意义.
分析：上述解法由得或是错误的.因为与中的一个式子成立并不能保证一定成立，只有与同时成立，才能保证一定成立.
故本题的正确答案是且.
八、错在忽视特殊情况
例8解关于的方程.
错解：方程两边同时乘以，得，即.
当时，，
当时，原方程无解.
分析：当时，原方程变为取任何值都不能满足这个方程，错解只注意了对的讨论，而忽视了的特殊情况的讨论.
正解：方程两边同时乘以，得，即
当且时，，当或时，原方程无解.