数学文化与中国

让中国传统数学文化浸润小学数学课堂摘要：中华上下五千年，泱泱大国，书如瀚海。

中国是一个对“数”这种概念异常重视的国度，对于数的重视，促使中国古代数学在世界上曾长期处于领先地位。

相传在夏商时期，人们就已经开始创造和使用十进制。

在《尚书》中，常常可以看到“亿兆”、“兆民”等词。

甲骨文中也记载过十进制。

可见在很久以前数学就已经出现并发展起来。

在数学文化发展的今天，让中国传统数学文化浸润数学课堂，深入到数学教学中，将使我们的数学课堂教学变得更加丰富多彩。

本篇文章我们将探讨数学与传统文化的关系，就如何让传统数学文化与小学数学融会贯通进行阐述。

关键词：中国传统数学文化；小学数学；方法策略；引言：浩瀚的宇宙，微小的粒子，奔速向前的火箭，精巧的化工产品，变化的地球，神秘的生物，我们生活的方方面面，无不在向我们述说着数学的无处不在。

数学作为中国文明不可缺少的一部分，更是一种难得的文化现象。

从古至今，有许许多多的人因为对数学进行深入研究，最终获得成就而名垂千古。

作为四大文明古国之一的中国，它的数学领域一直处于世界领先水平，丰富并推动了世界数学文化的发展。

随着新课程的开展，回归传统文化的趋势越来越明显。

一、传统文化与数学的关系（一）了解名人名著，培养人文精神在对学生进行传统文化与数学的碰撞教学中，我们可以借用一些名人名著的实例对学生进行课堂教学。

借助名人故事让学生了解先人在研究数学时的锲而不舍的精神，借此，培养学生的学科素养以及人文精神。

例如，我们在课堂教学中以数学家刘徽的故事为例：刘徽一生刚正不阿，在探讨数学的过程中大胆联系实际，能够正视并指正前人的错误，使得我国的《九章算术》一书得到补充和完善，并让其流传至今让我们在现在仍然可以学习使用。

在教学中我们以刘徽的故事为例，希望能够帮助学生意识到，在学习知识的同时要始终保持质疑精神，只有在不断质疑中学习，才能更为扎实的掌握知识，才能在数学学习的这条道路上走得更加深远。

通过对古代名人名著的研究，使学生认识到我国不仅有辉煌的古代文明，而且还有智慧的古代人民。

数学传统文化有哪些（有关数学的文化传统）本篇文章给大家谈谈数学传统文化有哪些，以及有关数学的文化传统对应的知识点，希望对各位有所帮助，不要忘了收藏文库喔。

本文目录：1、传统文化与数学的关系2、中国传统数学的主要特征是什么?从哪些成就表现出来3、在数学教学中怎样体现传统文化4、中华民族传统文化有哪些？包括什么？传统文化与数学的关系数学是一门客观、精确的学科，蕴藏着极其丰富的思想性，中华优秀传统文化博大精深、源远流长，是我们的国粹，是我们炎黄子孙的精神财富，如何将数学与传统文化教育相结合，充分发挥传统文化独特而强大的功能,引导学生在感受、感悟我国丰富的民族数学文化遗产的过程中，同时培养数学文化素养、开发智能？是每一位数学教师都在思考的问题，我们主要做了以下几个方面的尝试：一、走近数学名人运用教材中反映我国历代数学家对数学研究作出巨大贡献的实例教育学生，如：刘徽在对《九章算术》中一些问题的补充证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献。

他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。

在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法。

在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。

他利用割圆术科学地求出了圆周率π≈3.14的结果。

刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作。

通过研究还知道了刘徽一生刚直不阿，在任何条件下都敢于发表自己的见解，敢于修正前人的错误。

他在研究数学的过程中，不仅重视理论研究，而且也很注意理论联系实际。

他的治学精神是大胆、谨慎、认真。

他对自己还没有解答的问题，把自己感到困难的地方老老实实地写出来，留待后人去解决。

刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚。

他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人。

数学与文化的交流与传承中国数学源远流长，拥有丰富的数学文化遗产。

这些传统的数学知识与技巧不仅体现了中国古代智慧，还与中国文化密不可分。

如今，在全球化的背景下，数学与文化之间的交流与传承变得尤为重要。

本文将探讨数学与文化之间的联系，分析数学对文化的影响，以及如何保护、传承数学文化。

1. 数学与文化的联系数学与文化之间存在着密切的联系。

首先，数学是一种语言，它跨越了不同国籍、语言和文化的界限。

通过数学这种共通的语言，人们可以进行交流与合作，无论其文化背景如何。

其次，数学作为一门学科，其发展也与当地文化密切相关。

例如，中国古代的算筹和算术发展出了现代数学中的计数法和进位制。

这些数学技巧不仅仅是数学的发展，也是中国文化的一部分。

2. 数学对文化的影响数学在交流与传承文化中起到了重要的作用。

首先，数学帮助人们对世界的认知和理解。

通过数学的抽象思维和逻辑推理，我们可以更好地理解自然界的规律和人类社会的运行方式。

其次，数学的发展也推动了科学技术和经济的进步，对文化的发展产生了深远影响。

现代科技和经济的繁荣，离不开数学在这些领域中的应用。

3. 保护和传承数学文化保护和传承数学文化是我们责无旁贷的任务。

首先，要积极整理和保护数学文化的遗产。

建立专门的机构和数据库，将古代数学著作和技巧进行系统整理和保护，并向大众开放。

其次，推动数学教育的改革，将数学与文化的联系融入到教育中。

教育界可以通过编写与文化相关的数学教材，让学生更好地理解数学的实际应用和历史渊源。

同时，加强数学教师的培训和交流，提高他们对数学文化的认识和理解，以便更好地传授给学生。

4. 数学与文化的现代交流随着全球化的进程，数学与文化的交流也变得更加频繁与广泛。

首先，国际数学大会成为了不同文化之间交流的平台。

每四年举办一次的国际数学大会，汇集了世界各国的数学家和学者，他们通过分享研究成果和讨论学术问题，促进了数学文化的传承和发展。

其次，数学文化也通过书籍、研究论文和网络媒体来传播。

中国传统⽂化与古代数学关系（附：《九章算法》）数学作为⼀门重要的⼯具性学科,是⼈类长期实践,思考的智慧结晶。

它作为⼈类⽂明的⼀个组成部分，和⼀定的社会历史发展⽔平相适应；它作为⼀种⽂化现象，⼜受到整个⽂化结构的影响。

在古代的东⽅很早就孕育和发展了数学。

中国是四⼤⽂明古国之⼀，也是数学的发源地之⼀，由于地域、⽂化等特点，中国古代数学与欧洲数学存在着巨⼤的差别。

这不仅表现在对理论与计算的偏重上，还表现在数学与社会关系的处理上。

欧洲数学注重理论的逻辑推演和系统的建⽴，⽽与之相对，中国数学注重算法的研究和知识的现实可⽤性。

这些特点使得中国数学在很长⼀段时间⾥成就位居世界之⾸。

本⽂将从物质⽂化，制度⽂化和精神⽂化三个⽅⾯就中国古代数学的发展进⾏讨论。

关键词：中国古代数学、算法，实⽤性、物质⽂化、制度⽂化、精神⽂化§1 物质⽂化：封建经济对中国古代数学的影响众所周知，中国⾃古以来就是⼀个农业⼤国。

中国的⼤部分地区⽓候适宜，降⽔充沛，⾮常适于耕种，因⽽在中国古代近2000多年的历史中，农业⼀直占据着统治地位。

因此中国的古代⽂化的经济基础基本上是农业经济。

这种情况决定古代中国的物质⽂化是农业⽂化。

中国古代数学也与农业经济有着密切的关系。

⾃给⾃⾜的封建经济对中国古代的数学发展的影响主要见于数学的实⽤性和算术性。

§1.1实⽤主义中国古代的数学和数学家是⾮常务实的，数学家们强调数学的实⽤性。

即数学应当服从并服务与农业⽣产活动。

古代数学家研究数学的动机主要在于满⾜国计民⽣的需要，注重的是数学的实际功⽤，这就决定了中国古代数学研究的实⽤特征，富有务实精神。

《九章算术》是中国最古⽼的经典著作，也是中国古代数学的巅峰之作，⾃它之后的中国古代数学家所研究的数学问题都来⾃于此书。

书有九章，包含246个问题。

都和农业⽣产有关，九章分别是⽅⽥（⼟地测量）、粟⽶（百分法和⽐例）、衰分（⽐例分配）、少⼴（减少宽度）、商功（⼯程审议）、均输（征税）、盈不⾜（过剩与不⾜）、⽅程（列表计算的⽅法）、勾股（直⾓三⾓形）。

数学文化中华传统文化「数学文化中华传统文化」导言：数学是一门古老而丰富的学科，在数学的发展历程中，中国留下了许多独特而卓越的贡献。

中国传统文化是中国数学发展的重要背景之一，通过探索中华传统文化与数学之间的联系，我们可以更深入地了解和欣赏中国数学的瑰宝。

第一部分：数学在中华传统文化中的地位1. 数字的象征意义：- 传统的数字象征：例如，八的象征意义是繁荣和发财，九是最大的单个数字，代表长久和永恒。

- 八卦与易经：八卦作为一种数学符号，与自然和宇宙之间的关系息息相关。

- 数字的运用：在传统文化中，数字经常被用于风水、命名和预测等方面。

2. 算筹与计算方法：- 算筹的起源：中国古代使用的计算工具，包括算筹、算盘等，为传统数学的发展提供了实际支持。

- 鱼书与算术运算：鱼书是古代将数字、代数以及算术运算进行系统化整理的重要工具。

3. 数学与自然科学的结合：- 射影几何与建筑：中国传统建筑中的射影几何应用，展现了数学在实际生活中的应用。

- 天文学与历法：中国古代的天文学和历法，基于对自然运行规律的观察和计算，涉及到复杂的数学方法。

第二部分：中华传统文化在数学发展中的影响1. 儒家思想对数学的影响：- 强调经典文化的学习：儒家思想推崇经典的学习，培养了中国古代学者对数学研究的深入。

- 学以致用的观念：儒家思想强调实际应用，促进了数学在中国传统文化中的深入研究。

2. 道家思想对数学的影响：- 周易理论的数学思想：道家思想中的阴阳与五行观念，催生了中国古代数学发展中的许多数学概念。

3. 佛教的数学贡献：- 佛教传入西域和中国：佛教的传入催生了禅宗寺庙，其中涉及到许多几何学和数学的应用。

第三部分：数学文化与中华传统文化的交融1. 数学文化的传承与发展：- 数学著作的传世：中国古代出现了许多重要的数学著作，其中包括《九章算术》、《孙子算经》等。

- 解剖古籍的数学内涵：通过研究传统文化中的古籍，可以发现其中隐藏的数学知识。

中华传统数学文化的价值
中华传统数学文化是中国古代数学的重要组成部分，它不仅对中国古代数学的发展产生了深远的影响，也对世界数学的发展做出了重要贡献。

以下是中华传统数学文化的一些价值：
1. 思想方法：中华传统数学文化中蕴含着丰富的思想方法，如数形结合、归纳法、类比法等，这些思想方法不仅在数学研究中具有重要的作用，也在其他领域有着广泛的应用。

2. 科学精神：中华传统数学文化中蕴含着科学精神，如严谨的逻辑思维、实事求是的态度等，这些精神对于培养学生的科学素养和创新能力具有重要的意义。

3. 文化传承：中华传统数学文化是中华文化的重要组成部分，它是中华民族智慧的结晶，传承和弘扬中华传统数学文化有助于增强民族自信心和自豪感。

4. 实际应用：中华传统数学文化在实际应用中也有着广泛的应用，如在建筑、天文、地理等领域都有着重要的作用。

中华传统数学文化具有重要的历史、文化和科学价值，它是中华
民族智慧的结晶，也是世界数学文化的重要组成部分。

我们应该传承和弘扬中华传统数学文化，为推动数学事业的发展和社会的进步做出更大的贡献。

中国数学发展历史中国是世界上文明发达最早的国家之一，数学这门学科在中国的发展历史源远流长。

从远古的河洛文化、到春秋战国时期的《九章算术》，再到现代的数学研究，中国数学的发展历程呈现出一种独特的风格和面貌。

中国的数学起源可以追溯到远古的河洛文化。

河洛文化是中国古代的一种计数方式，利用石子、贝壳等物进行计数，后来逐渐演变为算盘的使用。

这种计数方式利用了十进制的原理，使得计数更加方便、准确。

到了春秋战国时期，中国的数学发展迎来了一个高峰。

《九章算术》的出现标志着中国古代数学体系的形成。

这部著作包含了大量的数学问题及其解法，内容涵盖了代数、几何、概率统计等多个方面。

其中，求解线性方程组的方法、分数运算、面积和体积的计算等成果在当时世界上处于领先地位。

近代以来，中国数学的发展受到了西方数学的影响，同时也开始与西方进行交流。

清朝时期，西方数学开始被引入中国，中国的数学家开始学习西方的数学知识。

这使得中国的数学研究进入了一个新的阶段。

在现代，中国的数学研究已经取得了显著的成果。

中国的数学家们在代数、几何、拓扑、概率统计等多个领域都取得了重要的突破。

其中，中国在解析数论、代数几何、泛函分析等领域的成就尤为突出。

同时，中国的数学家们也开始将数学应用到其他领域，如物理、工程、经济等。

随着科技的进步和人类对自然界认识的深入，数学的研究也在不断地深入和发展。

在中国，数学界正在积极推动学科交叉和创新研究。

例如，将数学与物理、工程、经济等领域相结合，开展跨学科的研究，为解决实际问题提供新的思路和方法。

中国的数学教育也在不断改进和优化。

越来越多的学生开始接触和理解数学，培养出了一大批优秀的数学人才。

这些人才将在未来的数学研究和应用中发挥重要的作用。

总结：中国数学发展历史悠久，从河洛文化到《九章算术》，再到现代的数学研究，中国的数学一直在不断地发展和进步。

未来，随着科技的不断进步和创新研究的推动，中国的数学将会在更多的领域发挥重要作用。

数学在中国传统文化中的地位与影响数学是一门古老而神秘的学科，它在中国传统文化中占有着重要的地位。

自古以来，中国人就非常注重理性思考与数学理论的研究。

在古代，中国数学家们不仅探索数学本身的规律，也应用数学知识解决了许多实际问题。

本篇文章将从数学在中国传统文化中的地位与影响两个方面进行探讨。

一、数学在中国传统文化中的地位在中国古代，数学曾经是“六艺”之一。

有关数学的理论与应用都是古代教育的重要组成部分，而且中国古代的数学家也往往是文人墨客，他们不仅擅长数学计算，还熟练写作。

司马迁《史记》中记载：“史记所举华夏之早数、算术、几何、天文皆识之，其言纳矣。

”在古代中国，士人们必须掌握基本的算术、几何学和天文学知识，这在《礼记·学记》中有详细规定。

数学被看作是士人应该学习的一项必要技能。

另外，中国传统文化中的八卦也是数学与宇宙哲学的结合。

八卦以一分为二，再以两分为四，不断延伸，一直到八卦。

在八卦中，有韦编三绝、金锁囊、天罡、地煞、五行、龙脉等元素，涵盖了数学的很多方面。

八卦形式的应用可以帮助人们认识宇宙本身的规律和运转方式。

二、数学在中国传统文化中的影响中国传统文化中的数学思想对后世产生着深远的影响。

中国数学家的成就为后世奠定了坚实的基础。

其中最出名的数学家之一是清朝数学家李善兰。

他的《九章算术》被称为古代数学的里程碑。

这部经典著作讲述了许多基本的算数运算,以及测量、代数和几何成像等问题。

这些提出的数学理论和方法都为人类所广泛使用，对当今科学技术的发展具有重要意义。

此外，在中国古代，数学家往往也兼顾了很多领域的工作。

比如，晋代数学家祖冲之也是一位天文学家，他在计算和预测日食、月食时，提出了精细的算法。

他还在数学和天文学领域中发明了新的方法和技术，这些方法在后来的发展中对全球各地的科学家都有很大的启示作用。

总之，数学在中国传统文化中占有极为重要的地位，数学家们的开拓工作为后来的历史发展做出了很多贡献。

浅谈中国古代数学文化摘要：在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中一朵绚丽的奇葩。

数学不仅是中国古代实用科学的基石，而且含有神秘的文化色彩，有着深厚的文化积淀，它渗透在中国的各个领域，是中华文化不可缺少的一部分。

关键词：中国古代数学；周易；数字文化一、中国古代数学的发展在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。

从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期到达顶峰。

与以证明定理为中心的希腊古典数学不同，中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。

从线性方程组到高次多项式方程，乃至不定方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算法(中国数学家称之为“术”)，他们用这些算法去求解相应类型的代数方程，从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。

特别是，几何问题也归结为代数方程，然后用程式化的算法来求解。

因此，中国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征。

中国是一个对于“数”这种概念异常重视的国度，对于数的重视，促使中国古代数学在世界上曾长期处于领先地位。

起码在夏商时代，中国即创造和使用了十进位制。

在传说中，有“黄帝为法，数有十等”的记载。

在《尚书》中，每见“亿兆”、“兆民”等词。

在甲骨文中，也有个位、百位、千位、万位的记录。

这说明，中国早在四五千年前即已使用十进位值制。

与此相比，直至12世纪，欧洲所使用的是仍然为既不便于思维、也不便于运算的罗马计数法。

古巴比伦人和中美洲的玛雅人虽然也采用了位值制，但巴比伦人采用的是六十进位，玛雅人采用的是二十进位。

印度于公元6世纪开始采用十进位值制，是受中国文化影响而产生的。

位值制数码为阿拉伯数码的前身。

因此，李约瑟说:“西方后来所习见的‘印度数字’的背后，位值制早已在中国存在两千年了。

”“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界。

”直至宋元时代，中国的数学在众多方面都走在世界的前列。

小学数学教学中渗透中国传统文化的探究一、古代数学思想的传承中国古代有许多数学家留下了丰富而有深度的数学著作，其中最著名的当属《九章算术》和《周髀算经》。

这些著作不仅仅包括了丰富的数学知识，更融合了古代文化的智慧和思想。

在小学数学教学中，可以通过讲解这些古代数学著作，帮助学生了解中国古代数学思想的深邃和丰富。

《九章算术》中包含了许多实际问题的解法，这些问题涉及到了农业、商业和日常生活等方方面面，对学生来说是非常具有启发性的。

又如《周髀算经》中蕴含了丰富的数学思想，有很多充满艺术性的定理，如勾股定理等，可以通过这些数学定理引导学生去发现真实世界中的规律，激发学生的求知欲。

二、古代数学方法的运用中国古代数学家们创造了许多独特的数学方法，这些方法在小学数学教学中依然可以得到应用。

比如在计算方面，古代数学家们就发明了许多高效的计算方法，如计算平方根的方法、计算圆周率的方法等。

在数学教学中，可以通过讲解这些古代计算方法，帮助学生更好地理解数学知识，同时也能够培养学生的创新思维。

在几何学方面，古代中国数学家在几何学上也有许多成就。

如《周髀算经》中就有很多关于几何的知识，如计算圆周率的方法、求正多边形面积的方法等。

这些古代几何方法不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，同时也能够激发学生的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。

三、数学文化的传承和弘扬通过在小学数学教学中渗透中国传统文化，不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，更可以传承和弘扬中国的数学文化。

中国传统数学文化不仅仅包括了古代数学著作和数学方法，更融合了中国传统文化的智慧和思想。

通过在小学数学教学中渗透中国传统文化，可以帮助学生更好地了解和理解中国传统文化，同时也能够激发学生的民族自豪感。

在教学中，可以结合中国传统文化的故事、谚语、成语等，引导学生去理解数学知识的深刻含义。

比如在教学《乘法口诀》时，可以结合《孔子家语》中的“不积小流，无以成江海”等古代谚语，引导学生理解乘法的基本概念和原理。

数学中的中国传统文化教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容．”因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导．一、算法问题1．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为()A．2 B．3C．4 D．5答案 C解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．2．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为()A．4 B．2C．0 D．14答案 B解析由题意输出的a是18,14的最大公约数2，故选B.3．用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是()A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析∵459÷357＝1…102，357÷102＝3…51，102÷51＝2，∴459和357的最大公约数是51，需要做除法的次数是3.124．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n 次多项式函数f n (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n 次加法和n (n ＋1)2次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n 次加法和n 次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU 运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f (x )＝0.5x 6＋4x 5－x 4＋3x 3－5x 当x ＝3时的值时，最先计算的是( )A ．－5×3＝－15B ．0.5×3＋4＝5.5C ．3×33－5×3＝66D ．0.5×36＋4×35＝1 336.6答案 B解析 f (x )＝0.5x 6＋4x 5－x 4＋3x 3－5x ＝(((((0.5x ＋4)x －1)x ＋3)x ＋0)x －5)x ，然后由内向外计算，最先计算的是0.5×3＋4＝5.5.5．若用秦九韶算法求多项式f (x )＝4x 5－x 2＋2当x ＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为( )A ．4,2B ．5,3C ．5,2D ．6,2 答案 C解析 ∵f (x )＝((((4x )x )x －1)x )x ＋2，∴乘法要运算5次，加减法要运算2次．6．已知函数f (x )＝6x 6＋5，当x ＝x 0时，用秦九韶算法求f (x 0)的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为( )A ．21,6,2B ．7,1,2C ．0,1,2D ．0,6,1答案 D解析 ∵f (x )＝6x 6＋5，多项式的最高次项的次数是6，∴要进行乘法运算的次数是6.要进行加法运算的次数是1，运算过程中不需要乘方运算．7．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a依次为2,2,5，x，n均为2，则输出的s等于()A．7 B．12C．17 D．34答案 C解析第一次运算，a＝2，s＝2，n＝2，k＝1，不满足k>n；第二次运算，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n；第三次运算，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17，故选C.8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为()A．x3－(3x＋2)x－11 B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11 D．((x－3)x＋2)x－11答案 D解析f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－119．用秦九韶算法求函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7当x＝2的值时，v3的结果是() A．4 B．10C．16 D．33答案 C解析函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7＝((((3x－2)x＋2)x－4)x)x－7，3当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2－2＝4，v2＝4×2＋2＝10，v3＝10×2－4＝16.10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2的值，当x＝－2时，v1的值为()A．1 B．7C．－7 D．－5答案 C解析∵f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋0.3)x＋2，∴v0＝a6＝1, v1＝v0x＋a5＝1×(－2)－5＝－7.11．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6的值，当x＝3时，v3的值为() A．－486 B．－351C．－115 D．－339答案 C解析f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6＝(((－6x＋5)x＋0)x＋2)x＋6，∴v0＝a4＝－6，v1＝v0x＋a3＝－6×3＋5＝－13，v2＝v1x＋a2＝－13×3＋0＝－39，v3＝v2x＋a1＝－39×3＋2＝－115.12．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为()A．20 B．61C．183 D．5484答案 C解析由程序框图知，初始值：n＝4，x＝3，v＝1，i＝3，第一次循环：v＝6，i＝2；第二次循环：v＝20，i＝1；第三次循环：v＝61，i＝0；第四次循环：v＝183，i＝1.结束循环，输出当前v的值183.13．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天？()A．1 326 B．510 C．429 D．336答案 B解析由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.14．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋1，乘法运算次数为____________．加法运算次数为________．答案5 5解析∵f(x)＝((((5x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋1，∴乘法要运算5次，加法要运算5次15．若f(x)＝x4＋3x3＋x＋1，用秦九韶算法计算f(π)时，需要乘法m次，加法n次，则m＋n ＝________.答案 6解析f(x)＝x4＋3x3＋x＋1＝(((x＋3)x)x＋1)x＋1，用秦九韶算法计算f(π)时，乘法运算与加法运算的次数和等于6.16．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，56其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.141 59…，若令3110<π<4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110<π<165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________．答案 22717．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 222…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x .这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝________. 答案 1＋52解析 由题意，可令1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52. 18．用辗转相除法求840与1 764的最大公约数．答案 1 764＝840×2＋84,840＝84×10＋0，∴840与1 764的最大公约数是84.19．用更相减损术求440 与556的最大公约数．答案 556－440＝116,440－116＝324,324－116＝208，208－116＝92,116－92＝24,92－24＝68，68－24＝44,44－24＝20,24－20＝4,20－4＝16，16－4＝12,12－4＝8,8－4＝4，∴440与556的最大公约数4.20．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝3时的值． 答案 f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)xv 0＝7，v 1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2 369，v6＝2 369×3＋1＝7 108，v7＝7 108×3＋0＝21 324，∴f(3)＝21 324，即当x＝3时，函数值是21 324.21．(1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；(2)用秦九韶算法计算函数f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4在x＝2时的函数值．答案(1)1 785＝840×2＋105,840＝105×8＋0，∴840与1 785的最大公约数是105.(2)秦九韶算法如下：f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4＝x(2x3＋3x2＋5)－4＝x[x(2x2＋3x)＋5]－4＝x{x[x(2x＋3)]＋5}－4，故当x＝2时，f(x)＝2×{2×[2×(2×2＋3)]＋5}－4＝62.22．(1)用辗转相除法求779与247的最大公约数；(2)利用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4当x＝3时的值．答案(1)779＝247×3＋38，247＝38×6＋19，38＝19×2.故779与247的最大公约数是19；(2)把多项式改成如下形式：f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4＝((((2x＋4)x－2)x＋8)x＋7)x＋4.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：v0＝2，v1＝v0x＋4＝2×3＋4＝10，v2＝v1x－2＝10×3－2＝28，v3＝v2x＋8＝28×3＋8＝92，v4＝v3x＋7＝92×3＋7＝283，v5＝v4x＋4＝283×3＋4＝853.所以当x＝3时，多项式f(x)的值是853.23．(1)用辗转相除法求228与1 995的最大公约数；(2)用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x5＋2x3－8x＋5在x＝2时的值．答案(1)1 995＝228×8＋171，228＝171×1＋57，7171＝57×3，因此57是1 995与228的最大公约数．(2)f(x)＝3x5＋2x3－8x＋5＝((((3x＋0)x＋2)x＋0)x－8)x＋5当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2＝6，v2＝6×2＋2＝14，v3＝14×2＝28，v4＝28×2－8＝48，v5＝48×2＋5＝101，所以当x＝2时，多项式的值是101.24．(1)用“更相减损术”求72和168的最大公约数；(2)用“辗转相除法”求98和280的最大公约数．答案(1)∵168－72＝96，96－72＝24，72－24＝48，48－24＝24，故72和168的最大公约数是24.(2)∵280＝2×98＋84，98＝1×84＋14，84＝6×14，故98和280的最大公约数是14.25．用秦九韶算法求函数f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的函数值．答案f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，当x＝3时，v0＝1，v1＝v0×3＋0＝3；v2＝v1×3＋1＝10;v3＝v2×3＋1＝31;v4＝v3×3＋1＝94;v5＝v4×3＋1＝283，即x＝3时的函数值为283.89二、数列问题1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A.54钱 B.43钱 C.32钱 D.53钱 答案 B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，则a －2d ＝a －2×(－a 6)＝43a ＝43. 2．南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”( )A.439B.778C.776D.58110答案 B解析 设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤， 则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778， ∴每一等人比下一等人多得778斤金． 3．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织390尺．问：每天多织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有( )A ．0.55尺B ．0.53尺C ．0.52尺D ．0.5尺 答案 A解析 设每天多织d 尺，由题意a 1＝5，{a n }是等差数列，公差为d ，∴S 30＝30×5＋30×292d ＝390， 解得d ≈0.55.4．《张丘建算经》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日，第五日，第八日所织之和为十五尺，问第九日所织尺数为( )A ．7B ．9C ．11D ．13 答案 D解析 设第一天织a 1尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋7×62d ＝21，a 1＋d ＋a 1＋4d ＋a 1＋7d ＝15，解得a 1＝－3，d ＝2，∴第九日所织尺数为a 9＝a 1＋8d ＝－3＋8×2＝13.5．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？” 意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为( )A.23B.815C.2031D.35答案 C解析 由题意可得：每天织布的量组成了等比数列{a n }，S 5＝5，公比q ＝2 ，a 1(1－25)1－2＝5， 计算可得a 1＝531，所以a 3＝531×22＝2031. 6．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的( )A ．33%B ．49%C ．62%D ．88% 答案 B解析 由题意可得：每日的织布量形成等差数列{a n }，且a 1＝5，a 30＝1，设公差为d ，则1＝5＋29d ，解得d ＝－429. ∴S 10＝5×10＋10×92×(－429)＝1 27029. S 30＝30×(5＋1)2＝90. ∴该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的1 27029×190≈0.49＝49%. 7．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )A ．30尺B ．90尺C ．150尺D ．180尺 答案 B解析 由题意可得，每日的织布量形成等差数列{a n }，且a 1＝5，a 30＝1，所以S 30＝30×(5＋1)2＝90. 8．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )A ．9日B ．8日C ．16日D ．12日答案 A解析 由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－0.5；设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m＝103m ＋m (m －1)×132＋97m ＋m (m －1)×(－0.5)2＝2×1 125，解得m ＝9(负值舍去)．9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )A.176升B.72升C.11366升 D.10933升 答案 A解析 自上而下依次设各节容积为a 1，a 2，…a 9， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2(a 2＋a 3)＝33a 8＝4，得⎩⎨⎧ a 2＋a 3＝32，a 8＝43，所以a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176(升)． 10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．24里B ．48里C ．96里D ．192里答案 C解析 由题意可知此人每天走的步数构成以12为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得a 1[1－(12)6]1－12＝378，解得a 1＝192， ∴第二天此人走了192×12＝96里． 11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里 答案 C解析 记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q ＝12的等比数列， 由S 6＝378，得S 6＝a 1(1－126)1－12＝378，解得a 1＝192，∴a 6＝192×125＝6. 12．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为( )A ．6斤B ．9斤C ．10斤D ．12斤答案 B解析 此问题构成一个等差数列{a n }，设首项为2，则a 5＝4，∴中间3尺的重量为3a 3＝a 1＋a 52×3＝2＋42×3＝9(斤)， 故选B.13．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12 斤 答案 A解析 依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a 1＝4，则a 5＝2，由等差数列性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．14．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析 由题意设塔顶有a 盏灯，由题意由上往下数第n 层就有2n －1·a 盏灯，∴共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a ＝381盏灯，即1×(1－27)1－2a ＝381. 解得a ＝3.15．我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢．( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n 天打洞之和为1－2n 1－2＝2n －1， 同理，小老鼠前n 天打洞之和为1－(12)n 1－12＝2－12n －1， ∴2n －1＋2－12n －1＝10，解得n ∈(3,4)，取n ＝4. 即两鼠在第4天相逢．16．如图是谢宾斯基(Sierpinsiki)三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，则{a n }的通项公式可以是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝2n －1C ．a n ＝3nD ．a n ＝2n －1 答案 A解析 着色的小三角形个数构成数列{a n }的前4项，分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝3×3＝32，a 4＝32×3，因此{a n }的通项公式可以是a n ＝3n －1.17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案 6766 解析 设该数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧ a 1＋7d ＝43，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766. 18．华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代楔形文字泥板的图片，同学们猜测它是一种乘法表的记录，请你根据这个猜测，判定表示________？(如图)答案 395解析 图片中记录的是自然数乘以9的运算结果，左列是被乘数，右列是该数乘以9的积数，经过分析可知：其中▽代表1，⊲代表10，代表60.所以表示60×6＋10×3＋5×1＝395.19．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)，如图 A.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r ∈N . 请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1…C 0n C 1n … C r n … C n-1n C n n图A12 12 13 16 13 14 112 112 1415 120 130 120 1516 130 160 160 130 161C 1n +1C 0n 1C 1n +1C 1n …1C 1n +1C r n …1C 1n +1C n -1n 1C 1n +1C n n 图B答案 1C 1n +1C r n ＝1C 1n +2C r n +1＋1C 1n +2C r +1n +1 解析 类比观察得，莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C 1n +1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C r n ＋C r +1n ＝C r +1n +1，有1C 1n +1C r n ＝1C 1n +2C r n +1＋1C 1n +2C r +1n +1. 20．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面用点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数，将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第________项；(2)b 2k -1＝________.(用k 表示)答案 (1)5 030 (2)5k (5k －1)2解析 由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *， 故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k (5k ＋1)2(k ∈N *)， b 2k -1＝a 5k -1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2，故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项．21．请认真阅读下列材料：“杨辉三角” (1261年)是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如图1)．在“杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1，分母为正整数的分数)，称为莱布尼兹三角形(如图2)11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1… …图11112 1213 16 1314 112 112 1415 120 130 120 15… …图2请回答下列问题：(1)记S n 为图1中第n 行各个数字之和，求S 4，S 7，并归纳出S n ；(2)根据图2前5行的规律依次写出第6行的数．答案 (1)S 4＝8＝23；S 7＝64＝26；Sn ＝2n －1.(2)图中每个数字都是其两脚的数字和，故第6行为16 130 160 160 130 16. 三、空间几何体1．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是( )寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．∵积水深9寸，∴水面半径为12(14＋6)＝10寸， 则盆中水的体积为13π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)． ∴平地降雨量等于588ππ×142＝3(寸)． 故选C.2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)．则由此可推得圆周率π的取值为(注：1丈＝10尺)( )A ．3B ．3.14C ．3.2D ．3.3答案 A解析 由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺，∵圆堡瑽(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)， ∴V ＝112×(482×11)＝2 112，设底面圆的半径为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2πR ＝48，πR 2×11＝2 112， ∴π＝3.3．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺 答案 B解析 设圆柱形谷仓底面半径为r 尺，由题意得，谷仓高h ＝403尺． 于是谷仓的体积V ＝πr 2·h ≈2 000×1.62，解得r ≈9.∴圆柱底圆周长约为2πr ≈54尺＝5丈4尺．4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113 答案 B解析 由题意知275L 2h ≈13πr 2h ⇒275L 2≈13πr 2，而L ＝2πr ，代入得π≈258. 5．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面ABCD 、面ABFE 、面CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10，EF 到面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是( )A ．110B ．116C ．118D ．120答案 D解析 过A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为P ，M ，Q ，N ，将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15.棱柱的高为8，∴V ＝15×8＝120. 故选D.6．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4π.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V 牟＝r 3－V 方盖差，r 为球的半径，也即正方形的棱长均为2r ，从而计算出V 球＝43πr 3.记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正，棱长为2r 的正方形的方盖差为V 方盖差，则V 方盖差V 正等于( )A.12B.22C. 2D. 3答案 C解析 由题意，V 方盖差＝r 3－18V 牟＝r 3－18×4π×43×π×r 3＝13r 3，所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为 V 正＝13×r ×r ×r 2－(22r )2＝26r 3， ∴V 方盖差V 正＝13r 326r 3＝ 2.7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )A ．a ，bB ．a ，cC ．c ，bD ．b ，d答案 A解析 由直观图可知，其正视图与侧视图完全相同，则其只能是圆，这时其俯视图就是正方形加对角线(实线)． 故选A.8．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4∶π，即V 牟：V 球＝4∶π.也导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V 牟＝r 3－V 方盖差，从而计算出V 球＝43πr 3.记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正，则( ) A ．V 方盖差＞V 正B ．V 方盖差＝V 正C ．V 方盖差＜V 正D ．以上三种情况都有可能 答案 A解析 由题意，V 方盖差＝r 3－18V 牟＝r 3－18×4π×43πr 3＝13r 3，所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正＝13×r ×r ×r 2－(22r )2＝26r 3， ∴V 方盖差＞V 正．9．我国古代数学名著《数学九章》 中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺(注：1丈等于10尺)( ) A ．29尺 B ．24尺 C ．26尺 D ．30尺答案 C解析 由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长242＋102＝26(尺)．10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )A ．14斛B ．28斛C ．36斛D ．66斛答案 B解析 设圆锥的底面半径为r ，则π2r ＝9，解得r ＝18π，故米堆的体积为14×13×π×(18π)2×5≈45，∵1斛米的体积约为1.62立方， ∴堆放的米有45÷1.62≈28斛．11．《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( ) (注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸答案 D 解析 如图，AB ＝10(寸)，则AD ＝5(寸)，CD ＝1(寸)， 设圆O 的半径为x (寸)，则OD ＝(x －1)(寸)， 在Rt △ADO 中，由勾股定理可得52＋(x －1)2＝x 2， 解得x ＝13(寸)．∴sin ∠AOD ＝AD AO ＝513，即∠AOD ≈22.5°，则∠AOB ＝45°.则弓形ACB 的面积S ＝12×π4×132－12×10×12≈6.33(平方寸)．则该木材镶嵌在墙中的体积约为V ＝6.33×100 ＝633(立方寸)． 故选D.12．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组， 经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)答案 41π解析 由题意，该球形容器的半径的最小值为1236＋4＋1＝412， ∴该球形容器的表面积的最小值为4π·414＝41π.13．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．(1)如果该沙漏每秒钟漏下0.02 cm 3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到1秒)? (2)细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到0.1cm)．答案 (1)开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 H ＝23×8＝163，底面半径为r ＝23×4＝83，V ＝13πr 2H ＝13π×(83)2×163＝39.71，V ÷0.02＝1 986(秒)．所以沙全部漏入下部约需1 986秒．(2)细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4， 设高为H ′，V ＝13π×42×H ′＝1 02481π，H ′＝6427≈2.4.锥形沙堆的高度约为2.4 cm.14．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE .(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由．。

古代中国的数学文化
古代中国的数学文化（一）
我国是世界四大文明古国之一。

很早以前，我们的祖先从渔猎农事活动中，就接触了计算和测量，积累了大量的知识。

万里长城和大运河是我国古代文明的伟大成就。

长城由西至东，在险峻起伏的山岭上绵延数千公里，是世界上仅有的巨大土石建筑。

沟通南北的大运河，长达1700多公里，朴实壮观，是非常杰出的水利工程。

我国人民在长城和运河的建造过程中，积累了大量的几何测量，数学计算和土木工程等方面的知识。

古代中国的数学文化（二）
中国早在五六千年前，就有了数学符号，到了商朝，刻在甲骨或陶器上的数字，已十分常见。

这时，自然数记数都采用了十进位制。

甲骨文中就有从一到十到百、千、万的十三个记数单位。

我国古代的计算，不是用记数文字进行，而是用算筹。

至少在公元前8世纪到前5世纪的春秋时代，我国算筹记法已经完备，而印度正式使用0这一符号是在公元876年以后。

只有0使用后，十进位制才算完备。

因此，中国是名副其实的十进位制故乡。

中华优秀传统数学文化融入数学教学的若干路径汪晓勤!华东师范大学教师教育学院"!"""#!#摘 要$将中华优秀传统数学文化融入数学教学"教师要深入学习和研究中国古代数学史"收集和分析有关素材"并且运用不同的方式加工和整合%中国古代数学史中的概念&问题&方法等融入小学数学教学的具体路径有概念引入&问题设计&方法运用以及公式推导等%关键词$小学数学'中国古代数学史'中华优秀传统文化'数学文化在提倡中华优秀传统文化进中小学课程!教材#的当下"尤其要注意将中国古代数学史料融入小学数学教学%本文试从概念引入&问题设计&方法运用以及公式推导四个方面"说明中国古代数学史中的概念&问题&方法等在小学数学教学中的具体应用%一&概念引入方面借鉴中国古代数学史中某些概念产生的动因"可以采用发生教学法来教授有关主题%小数概念最早诞生于中国%刘徽在注释(九章算术)中的*开方术+时"针对开不尽的情形称$*不以面命之"加定法如前"求其微数%微数无名者以为分子"其一退以十为母"其再退以百为母%退之弥下"其分弥细%+此外"他在注释*割圆术+时"使用了大量的*微数+%如图$"已知圆!的半径!"%$尺"则圆内接正六边形的边长"#%$尺"由勾股定理得!$的长度为槡&'寸"约等于八寸六分六厘二秒五忽十分忽之四!即(##"!'%)忽#"于是又得&$的长度为一寸三分三厘九毫七图#秒四忽十分忽之六!即$**+&)%#忽#"进而可求圆内接正十二边形的边长"&,,从刘徽对*微数+的定义以及*割圆术+的计算实例来看"小数产生的动因是*无名+"即*没有单位可用+%我们可以借鉴小数的诞生过程来引入小数概念%例如"姚明的身高为!米!分米#厘米"即!!#厘米"那么"他的身高分别是几分米&几米呢-当*厘米+这个单位缺失时"原来位于个位的#现在*无家可归+了%教师可以从$厘米和$分米之间的关系出发"引导学生给#寻找一个*新家+%当学生找到*新家+十分位时"小数概念应运而生%类似地"当*厘米+和*分米+这两个单位都缺失时"原来分别位于个位和十位的#和!现在都*无家可归+了"教师可以从$厘米&$分米和$米之间的关系出发"引导学生分别给#和!寻找*新家+"从而再引出百分位%二&问题设计方面根据数学史料来编制数学问题的策略有再现式&情境式&条件式&目标式&对称式&串联式和自由式七种% 再现式指的是直接采用历史上的问题"除了文字翻译以外"原题中的条件和目标保持不变%其他方式都有不同程度的改编%以(九章算术)为代表的中国古代数学典籍往往都是以问题集的形式呈现的"为今日小学数学教学提供了丰富多彩的问题$除了纯粹的计算问题&常规图形的面积计算问题之外"还有很多实际应用的算术问题&特殊图形的面积计算问题"都具有很强的趣味性和适度的挑战性%教师可以直接有选择地*再现+它们%例如"(孙子算经)中一些实际应用的算术问题如下 $河上荡杯$*今有妇人河上荡杯"津吏问曰$杯何以多-妇人曰$家有客%津吏曰$客几何-妇人曰$二人共饭"三人共羹"四人共肉"凡用杯六十五"不知客几何-+百鹿入城$*今有百鹿入城"家取一鹿"不尽'又三家共一鹿"适尽%问$城中家几何-+鸡兔同笼$*今有鸡兔同笼"上有三十五头"下有九十四足"问$鸡兔各几何-+禽兽问数$*今有兽六首四足"禽二首二足%上有七十六首"下有四十六足"问$禽兽各几何-+再如"明代数学家程大位的(算法统宗)中一些以诗歌来表达的实际应用的算术问题如下 $老人问甲$*有一公公不记年"手持竹杖在门前%借问公公年几岁-家中数目记分明%一两八铢泥弹子"每岁盘中放一丸%日久岁深经雨湿"总然化作一泥团%秤重八斤零八两"加减方知得几年%+!$斤%$#两"$两%!)铢#苏武牧羊$*当年苏武去北边"不知去了几周年%分明记得天边月"二百三十五番圆%+!$+年&闰#排鱼求数$*三寸鱼儿九里沟"口尾相衔直到头%试问鱼儿多少数"请君对面说因由%+!$里%*#"步"$步%$'寸#房客分银$*隔墙听得客分银"不知人数不知银%七两分之多四两"九两分之少半斤%+!$斤%$#两#牧童分杏$*牧童分杏各争竞"不知人数不知杏%三人五个多十枚"四人八枚两个剩%+僧分馒头$*一百馒头一百僧"大和三个更无争"小和三人分一个"大小和尚得几丁%+汪晓勤,基于数学史料的高中数学问题编制策略.-/,数学通报"!"!"!'#$+$'%郭书春,中国科学技术典籍通汇0数学卷!一#../,沈阳$辽宁教育出版社"$++)$!)!!))%郭书春,中国科学技术典籍通汇0数学卷!二# ../,沈阳$辽宁教育出版社"$++)$$*&($)""%狐鹏共舞$*今有狐狸一头九尾"鹏鸟一尾九头%只云前有七十二头"后有八十八尾"问二禽兽各若干%+龟鳖同池$*三足团鱼六眼龟"共同山下一深池%九十三足乱浮水"一百二眼将人窥%或出没"往东西"倚栏观看不能知%有人算得无差错"好酒重酌赠数杯%+又如"南宋数学家杨辉在(田亩比类乘除捷法)中&明代数学家吴敬在(九章算法比类大全)中&明代数学家王文素在(算学宝鉴)中相继记载的一些特殊图形的面积计算问题如下 $$%今有梭田!如图!"为菱形#"中阔八步"正长十二步"问田几何%!%偏梭田!如图*"为平行四边形#"长四十步"左畔阔二十步"右畔阔十步"问田几何%*%今有腰鼓田!如图)"为两个梯形的组合#"两头各广八步"中广四步"正长一十二步"问田几何%)%三广田!如图'"为两个梯形的组合#"一头广四步"一头广六步"中广八步"正长一十二步"问田几何%'%有曲尺田!如图#"为两个梯形的组合#"内曲十二步"外曲二十六步"两头各广七步"问田几何%#%有箭薚田!如图&"为两个梯形的组合#"两畔各长八步"中长四步"阔十二步"问田几何%&%有箭翎田!如图("为两个梯形的组合#"中长八步"东西两畔各长四步"阔一十二步"问田几何%(%四广田!如图+"为多个梯形的组合#"南广十四步"南中广二十一步"北中广十二步"北广十六步"长六十步%问$为田几何-+%五广田!如图$""为多个梯形的组合#"南广十三步"南中广十八步"正十二步"北中广十九步"北广十七步"长六十步%问$为田几何-图& 图' 图(图" 图$ 图%图) 图* 图#!此外"(算法统宗)中给出了很多特殊图形"这些图形可以由两个基本图形组合或从一个图形中挖去另一个图形而形成%据此"教师可以直接提出很多特殊图形的面积计算问题%这里"值得一提的是"中国古代数学典籍中有过一些错误的面积计算公式"后来被纠正了%例如"北周的甄鸾在(五曹算经)中给出了腰鼓田!图)#面积的算法$取三广的平均值"乘以正长'四不等田!四边两两不相等的四边形#面积的算法$取两组对边长度的平均值"相乘%此后"杨辉&王文素等人纠正了甄鸾的错误%教学中"教师可以呈现历史上的一些错误的面积计算公式"让学生判断并纠正"从而感悟数学的演进性%根据中国古代数学史料"还可以通过再现式以外的各种方式"改编得到大量数学问题%郭书春,中国科学技术典籍通汇0数学卷!一#../,沈阳$辽宁教育出版社"$++)$$"("$"(''郭书春,中国科学技术典籍通汇0数学卷!二#../,沈阳$辽宁教育出版社"$++)$#!#+")*&))'%例如"根据*鸡兔同笼+问题!或*禽兽问数+问题&*狐鹏共舞+问题&*龟鳖同池+问题&*僧分馒头+问题"它们本质上是一样的#"可以通过条件式改编得到以下问题$$%已知自行车和三轮车共有*!辆"轮子共有&'个%问$自行车和三轮车各有几辆-!%小明在某个家具店里看到了两种凳子"一种有三只脚"一种有四只脚%他数了一下凳子"共有!'张'再数了一下脚"共有+"只%问$三只脚和四只脚的凳子各有几张-*%育才小学五年级和六年级共有&'"名学生"学校安排核酸混合检测"五年级$"人共$管"六年级'人共$管"共用了$$"个试管%问$五&六年级各有多少学生-)%一旅游小队去爬山"上午(时上山"每小时平均行*千米"到达山顶休息$小时"下山时每小时平均行'千米"下午!时到达山底%全程共行了$+千米%上山和下山的路程各是多少千米-再如"根据中国古代的益智游戏工具七巧板!如图$$所示#"可以通过自由式编制各类相关问题$图##$%用七巧板分别拼一个三角形&梯形&平行四边形'!%组块$ &的面积分别是整个正方形面积的几分之几-*%组块$&*和&的面积之和是整个正方形面积的几分之几-)%组块)&#和&的面积有怎样的关系-'%在七巧板中"找出所有的轴对称图形% #%试用七巧板拼一个新的轴对称图形%三&方法运用方面中国古代数学史为数的运算及各类算术问题的求解提供了丰富的素材和多元的方法%例如"(九章算术)是世界上最早给出分数四则运算法则的数学文献%其中"分数的加法&减法&乘法和除法分别被称为*合分+*减分+*乘分+和*经分+"它们的运算法则如下$合分术$*母互乘子"并以为实%母相乘为法%实如法而一%+'(/)*%'*(*/()(*%'*/()!#(*减分术$*母互乘子"以少减多"余为实%母相乘为法%实如法而一%+'()*%'*(*!0()(*%'*0()#(*乘分术$*母相乘为法"子相乘为实%实如法而一%+'(1)*%')!#(*经分术$*以人数为法"钱数为实"实如法而一%有分者通之"重有分者同而通之%+刘徽注称$*以法分母乘实"实分母乘法%+('2*)!%()')2'*')%()#'*对乘分术和经分术"刘徽的解释用现代的数学符号表示就是$'(1)*%'*(*1')'*%')(*"'(2)*%'*(*2()(*%'*()%在分数四则运算的教学中"教师可以制作微视频"追溯中国古代的运算法则%在分数乘法和除法的教学中"教师还可以让学生探究$为什么两个分数相乘"结果会等于以分子的乘积为分子&分母的乘积为分母的分数-为什么两个分数相除"结果会等于除数的倒数与被除数相乘-进而将学生的解释与古人叶丽艳"喻平,学习策略的心理学研究及其对小学数学教学的启示.-/,教育研究与评论!小学教育教学#"!"!$!!#$+%的方法加以对比%再如"刘徽在(九章算术注)中指出"通分是*齐同术+的一种$*凡母互乘子谓之齐"群母相乘谓之同%同者"相与通同"共一母也'齐者"子与母齐"势不失本数也%+而*齐同术+是一种有着广泛应用的通法$*然则齐同之术要矣$错综度数"动之斯谐"其犹佩 解结"无往而不理焉%乘以散之"约以聚之"齐同以通之"此其算之纲纪乎%+类似通分那样"*齐同术+的基本思想是从分母或分子!可推广至两个或多个比的一组对应项#的最小公倍数的角度考虑问题"等比放大分子或分母!保持分数大小或比值不变#%以下是*齐同术+在解决不同问题时的一些应用%行程问题%如(九章算术)*均输章+中的$*今有凫起南海"七日至北海'雁起北海"九日至南海%今凫&雁俱起"问$何日相逢-+利用*齐同术+计算相同天数中凫&雁共同飞行的距离$凫#*天飞行南海到北海距离的+倍"雁#*天飞行南海到北海距离的&倍"因此"二鸟同时出发"#*天共飞行南海到北海距离的$#倍"故从出发到第一次相逢"需要#*$#日"即*$'$#日%工程问题%如(九章算术)*均输章+中的$*今有一人一日为牝瓦三十八枚"一人一日为牡瓦七十六枚%仅令一人一日作瓦"牝&牡相半%问$成瓦几何-+利用*齐同术+"一人二日制牝瓦&#枚&一人一日制牡瓦&#枚"故一人三日制牝瓦和牡瓦各&#枚"于是一人一日制牝瓦和牡瓦各!'$*枚%注水问题%如(九章算术)*均输章+中的$*今有池"五渠注之%其一渠开之"少半日一满'次"一日一满'次"二日半一满'次"三日一满'次"五日一满%今皆决之"问$几何日满池-+利用*齐同术+计算各水渠单独注水相同日数的满池次数!见表$#"可知五渠共同注水$'天"满池次数为)'/$#/#/'/*%&)"故满池$次需$'&)日%表# 各水渠单独注水相同日数的满池次数水渠序号已知的化整的齐同的注水日数满池次数注水日数满池次数注水日数满池次数$$*$$*$')'!$$$$$'$'*!$!$'!$'#)*$*$$''''$'$$'*盈亏问题%如(九章算术)*盈不足章+中的$*今有共买鸡"人出九"盈一十一"人出六"不足十六%问$人数&鸡价各几何-+利用*齐同术+计算盈亏钱数相同时每人所出钱数及所买鸡数"由此算出盈亏平衡时每人所出钱数及所买鸡数!如图$!所示#%由此"可以算出所买鸡数为$时每人所出钱数!即人均后的鸡价#为!$"!&%&"+%因此"每人出钱比人均后的鸡价多+0&"+%$$+时"总钱数比鸡价多$$"故人数为+"鸡价为&"%#&实际上"上文所提(孙子算经)中的*河上荡杯+问题和*百鹿入城+问题!也可归入(九章算术)的*均输章+#&(算法统宗)中的*房客分银+和*牧童分杏+问题!也可归入(九章算术的*盈不足章+#也可用*齐同术+来解%!$#$!人共吃#碗饭&)碗羹&*碗肉"共用$*个碗"已知用碗总数为#'"故知人数为#'2$*1$!%#"%!!#三家先共取三鹿"又共取一鹿"故共取四鹿"已知鹿数为$"""故家数为$""2)1*%&',,四&公式推导方面中国古代的多边形面积理论建立在两个公理的基础上%一是长方形面积公式%二是出入相补原理$一个图形从一处移动到另一处"面积不变'将一个图形分割成若干部分"每一部分面积之和等于原图形面积%有了这两个公理"任意多边形的面积问题都可以得到解决"因而中国古代的多边形面积理论是完备的%例如"(九章算术)中给出了*圭田+!三角形#面积公式*半广以乘正从+"即半底乘以高%刘徽的推导方法如下$*半广知"以盈补虚为直田也%亦可半正从以乘广%+即如图$*"通过*以盈补虚+!即出入相补#"将三角形转化为矩形"从而得到三角形面积公式%图#'类似地"(九章算术)中还给出了梯形面积公式"其中"直角梯形面积公式为*并两邪而半之"以乘正从若广+或*半正从若广"以乘并+"即上下底之和的一半乘以高或高的一半乘以上下底之和%刘徽注称$*并而半之者"以盈补虚也%+即如图$)"通过*以盈补虚+"将直角梯形转化为矩形"从而得到直角梯形面积公式%同样的方法"可用于一般梯形%图#(而杨辉在(田亩比类乘除捷法)中还用*补图+的方法来推求三角形&菱形&梯形的面积"如图$'所示%图#"因此"教师可以设计情境"引导学生探究三角形&平行四边形&梯形面积的计算公式"并将学生的方法与中国古代数学家的方法比较"从而让学生跨越时空与数学家对话"增强数学学习的信心%五&结语近年来"34.视角下的小学数学教学开始受到越来越多一线教师的关注"许多教师希望通过数学史的融入来提升教学的质量"更好地落实*立德树人+的目标"但在实践中遇到了很多困难"集中在*融入什么+和*如何融入+两个问题上%要将中华优秀传统数学文化融入数学教学"教师要深入学习和研究中国古代数学史"收集和分析有关素材"并且运用不同的方式加工和整合%中国古代数学文化博大精深"而本文所举只是沧海一粟%我们有理由相信"教育取向的中国古代数学史研究&中国古代数学史融入数学教学的实践和评价"都将是未来34.领域的重要课题"也将成为小学数学教师研修培训的重要主题之一%。